BT về định lý vi -ét (có đáp án)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (397.78 KB, 34 trang )
Nguy ễn văn hoan trờng thcs sơn công
ứng hòa - hà nội
Bài tập định lý vi-ét
Bài 1
!"
#$%
&
'
(
)
*
+$,$
# /$$%
&
+$,$$012
3%45$6
=
=+
m
xx
m
xx
37$8.9$%78"$)
)
:#)
;
:#
:#)
<
!"#
&
')
5=+$> ')$$%
&
?
@
)
)
ài!
A
A
"$B.4
7C$01DE
&"#"F&
F
A GH$
$%
&
+$-IJFK
K LHM%45$6
A
)
)
)
N
)
O
P7$8.9$%K
⇒
K
<
K
)*
)
⇒
K
)*
⇒
K
)*
(
5=QRR2
-(9$
Q$?$9$
−
7S
( x x+ − =
* x x⇔ + + − =
( )
x⇔ + − =
( ) ( )
x x⇔ + + + − =
( ) ( )
) x x⇔ + − =
) )
x x
x x
+ = = −
⇔ ⇔
− = =
"T0717B$$%U"$%G7V
$%
"W"2$%X-C$
$$%U"$%
⇔
YF
#Z
Q$?I[$$%-.&.
371-\5$6
. .
..
+ =
= −
ZZ
( )
( )
ZZ
u u m
u m
+ =
⇔
= −
⇔
u u m
u m
+ =
= −
( )
m m m
u m
− + − =
⇔
= −
m m
u m
− =
⇔
= −
m m− =
⇔
( )
& m m m m− = ⇔ = =
D@79Z
5=> -$$01]
Lưu ý: Có thể giả sử phương trình có hai nghiệm, tìm m rồi thế vào PT(1)
tìm
hai nghiệm của phương trình , nếu hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì
trả lời.
Ở trường hợp trên khi m = 0 PT (1) có hai nghiệm
& x x= − =
thỏa
mãn
x x=
, m = 3 PT (1) có hai nghiệm
& )x x= =
thỏa mãn
x x=
.
Bµi
!"=$
!4$W$%+$,$$012
!
F
( )
[ ]
mm
))
+$,$
/ /$%+$,$$012
" $$%0$HE.9$^9$:
:# :
:#:
5=+$:
$$%0$HE.
Bài 5.: Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Giải: Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
G
= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
+
m
mm
=
m
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
m
<0
<
>+
m
m
=>
<
>
m
m
m
=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Bài 6: Cho phơng trình: x
2
-( 2m + 1)x + m
2
+ m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
xx
=50
giải: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
( )
( )
<+=+
>−+=
≥−+−+=∆
;
;)
mxx
mmxx
mmm
_
−<⇔
−<
>+−
>=∆
⇔ m
m
mm
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( )
_
=+−− mm
−−
=
+−
=
⇔
=−+⇔=++⇔
_
_
_< _
m
m
mmmm
Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh: ax
2
+ bx + c = 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x
1
,
x
2
Chøng minh:
a,Ph¬ng tr×nh ct
2
+ bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t
1
vµ
t
2
.
b,Chøng minh: x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2
≥
4
gi¶i: §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:
( )
( )
<+=+
>−+=
≥−+−+=∆
;
;)
mxx
mmxx
mmm
_
−<⇔
−<
>+−
>=∆
⇔ m
m
mm
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( )
_
=+−− mm
−−
=
+−
=
⇔
=−+⇔=++⇔
_
_
_< _
m
m
mmmm
Bµi 8: a. V× x
1
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax
2
+ bx + c = 0 nªn ax
1
2
+ bx
1
+ c =0. .
Vì x
1
> 0 => c.
=++
a
x
b
x
Chứng tỏ
x
là một nghiệm dơng của
phơng trình: ct
2
+ bt + a = 0; t
1
=
x
Vì x
2
là nghiệm của phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 => ax
2
2
+ bx
2
+ c =0
vì x
2
> 0 nên c.
=+
+
a
x
b
x
điều này chứng tỏ
x
là một nghiệm d-
ơng của phơng trình ct
2
+ bt + a = 0 ; t
2
=
x
Vậy nếu phơng trình: ax
2
+ bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x
1
; x
2
thì phơng trình : ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t
1
; t
2
.
t
1
=
x
; t
2
=
x
b. Do x
1
; x
1
; t
1
; t
2
đều là những nghiệm dơng nên
t
1
+ x
1
=
x
+ x
1
2 t
2
+ x
2
=
x
+ x
2
2
Do đó x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2
4
Bài 9: Cho phơng trình : x
2
-2(m - 1)x + m
2
- 3 = 0
( 1 )
; m là tham số.
a/. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
b/. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng
ba lần nghiệm kia.
Giải :a/. Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
0.
(m - 1)
2
-m
2
-3
0
4 - 2m
0
m
2.
b/. Với m
2 thì (1) có 2 nghiệm.
Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta có:
a a m
a a m
+ =
=
a=
m
3(
m
)
2
= m
2
3
m
2
+ 6m 15 = 0
m = 3
2
;
( thõa mãn điều kiện).
Bai 10 : Cho phơng trình 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
;
x
2
thỏa mãn: 3x
1
- 4x
2
= 11
Giải:
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thì > 0
<=> (2m - 1)
2
- 4. 2. (m - 1) > 0
Từ đó suy ra m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:
=
=
=+
114x3x
2
1m
.xx
2
12m
xx
21
21
21
=
=
=
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3
8m-26
77m
x
7
4m-13
x
1
1
Giải phơng trình
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3 =
ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng
trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t
Bai 11: Cho pt
=+ mmxx
a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với
m
.
b. Gọi
G xx
là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt.
( )
+++
+
=
xxxx
xx
P
Giải . : cm
m
B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:
=
=+
mxx
mxx
+
+
=
m
m
P
(1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn.
==
==
mGTNN
mGTLN
P
Bai 12: Cho phơng trình
x
2
- mx +
m
2
+ 4m - 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -1
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn
xx
xx
+=+
giải : a) m = -1 phơng trình (1)
*
*
=+=+ xxxx
+=
=
x
x
b) Để phơng trình 1 có 2 nghiệm thì
)
( + mm
(
*
)
+ Để phơng trình có nghiệm khác 0
+
+
)
)
)
m
m
mm
(
*
)
+
=
=+
=++=+
xx
xx
xxxxxx
xx
+=
=
=
=+
=
*)
*)
(
m
m
m
mm
m
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và
*) =m
Bài 13 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x
2
- m
2
x + m + 1 = 0
có nghiệm nguyên.
giải:
Phơng trình có nghiệm nguyên khi = m
4
- 4m - 4 là số chính phơng
Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại
m = 2 thì = 4 = 2
2
nhận
m 3 thì 2m(m - 2) > 5 2m
2
- 4m - 5 > 0
- (2m
2
- 2m - 5) < < + 4m + 4
m
4
- 2m + 1 < < m
4
(m
2
- 1)
2
< < (m
2
)
2
không chính phơng
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 14: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình
x
2
-(m+5)x-m+6 =0
Có 2 nghiệm x
1
và x
2
thoã mãn một trong 2 điều kiện sau:
a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b/ 2x
1
+3x
2
=13
ta có
)))_;)_
++=+++=++= mmmmmmm
Để PT có hai nghiệm phân biệt sao cho khi m
)< =
và m
)< =+
Giả sử x
2
>x
1
ta có HPT x
2
x
1
=1
X
1
+x
2
=m+5
X
1
x
2
=m+6
GiảI HPT ta đợc m=0 và m=-14 TMĐK
Theo giả thiết ta có 2x
1
+3x
2
=13
X
1
+x
2
=m+5
X
1
x
2
=-m+6
GiảI HPT ta đợc m=0 và m=1 thỏa mãn ĐK
Bài 15: Cho phơng trình x
2
- 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)
a. Chứng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình (1) mà
không phụ thuộc vào m.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x
2
1
+ x
2
2
(với x
1
, x
2
là nghiệm của
phơng trình (1))
giai : a.
`
= m
2
3m + 4 = (m -
)
2
+
)
<
>0
m.
Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
b. Theo Viét:
=
=+
mxx
mxx
=>
=
=+
;
mxx
mxx
<=> x
1
+ x
2
2x
1
x
2
4 = 0 không phụ thuộc vào m
a. P = x
1
2
+ x
1
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m - 1)
2
2 (m-3)
= (2m -
_
)
2
+
m
)
_
)
_
VậyP
min
=
)
_
với m =
)
_
( )
2 2
1
x - 2m+1 x+m + =0
2
!"!#$%&$'
!"!#$%&$
1 2
,x x
!&()*!
( ) ( )
1 2
M = x -1 x -1
+, -.'
Q$?$
GaB$%U"$%9$
)
#
)
) >> mm
G5+$#
)
$$%U"$%371-b$6
{ }
xx +
T
9$7
c
d
ae4?9$D@7$8.9$%#
)
5=QRR2c-
9$
Bai17:. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
G
= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
+
m
mm
=
m
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
m
<0
<
>+
m
m
=>
<
>
m
m
m
=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
/
!"=$fGIJ
A
A
\$012G"$gW$$%
G
D@
7$8.9$%
Gii G"F&
A
F"F
A
A
A
A
aB$$%
G
F
3%45$6
m
x x
x x m
= +
+
=
378"$
⇔
A
⇔
⇔
⇔=&-C$
5=
0
!"=$fGIJ
A
A
\$012G"$gW$$%
G
D@
7$8.9$%
Giải:G"F&
A
∆F"F
A
A
A
A
aB$$%
G
∆F≥
⇔≥
⇔ ≥
3%45$6
m
x x
x x m
= +
+
= −
378"$
⇔
A
⇔
⇔
⇔=&-C$
1
!
x m x m m− + + + − =
-fIJ
!4$W / /$%U"$%
+$,$$012
& Q,$
G
-0$%27B"$B.4
I.7C$01-+Eh
x x x x+ −
23
( )
( ) ) _ ) m m m m m m m∆ = + − − + = + + = + + > ∀
i. / /$%U"$%+$,$
"
A
h
x x x x+
( )
_x x x x= +
_ m m m= + +
; ;
)
m m m= + + = +
_
)
m=
P7$01-+E2h-
_
)
aC7S9$
Bai 21 : . Cho phơng trình bậc hai sau, với tham số m:
x
2
- (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)
1. Giải phơng trình (1) khi m = 2.
2. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phơng trình
(1).
234
j$k
A Z
5Z-V"=$"
RlZ$$%-
Vy khi m = 2 th ỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim l x
1
= 1 v x
2
= 2.
"Q$?I[-V$%2
7S
=++ mm
)
=+++
mm
))
=+
m
))
=
m
=
m
45
Vy vi m = -1 thỡ phng trỡnh(1) cú mt nghim l x = -2.
Bai 22:
Cho ph
!"#
$
%"&
'
()*
+
"" !
<
<
,-
'
=(m+1)
- (2m+3) = m
-2 !"#
$
thi.
/0"ln h12
$
3456
Theo 789:
;
x
!"#
$
%"&
'
;
'
'
;'
'
''
Bài 23 :
Cho phơng trình: (m
2
+ 2m + 2)x
2
(m
2
2m + 2)x 1 = 0
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình đã cho.
1)
Tìm các giá trị của m để : x
1
2
+ x
2
2
= 2x
1
x
2
(2x
1
x
2
1)
2)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x
1
+ x
2
Gợi ý :
1) dễ có phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
Theo vi et :
++
=
++
+
=+
mm
xx
mm
mm
xx
thay vào , tìm đợc m
2) S =
++
+
mm
mm
.
Sau đó xét hiệu S (
) và hiệu S (
+
) ta tìm đợc max,
min.
Hoặc dùng phơng pháp đenta
Bài 24 : Cho phơng trình: x
2
-( 2m + 1)x + m
2
+ m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
xx
=50
giai: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
( )
( )
<+=+
>+=
++=
;
;)
mxx
mmxx
mmm
_
<
<
>+
>=
m
m
mm
b. Giải phơng trình:
( )
_
=+ mm
=
+
=
=+=++
_
_
_< _
m
m
mmmm
Bài 25: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x
1
,
x
2
Chứng minh:
a,Phơng trình ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t
1
và
t
2
.
b,Chứng minh: x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2
4
gia ̉i : a. V× x
1
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax
2
+ bx + c = 0 nªn ax
1
2
+ bx
1
+
c =0. .
V× x
1
> 0 => c.
=++
a
x
b
x
Chøng tá
x
lµ mét nghiÖm d¬ng cña
ph¬ng tr×nh: ct
2
+ bt + a = 0; t
1
=
x
V× x
2
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
ax
2
+ bx + c = 0 => ax
2
2
+ bx
2
+ c =0
v× x
2
> 0 nªn c.
=+
+
a
x
b
x
®iÒu nµy chøng tá
x
lµ mét nghiÖm d-
¬ng cña ph¬ng tr×nh ct
2
+ bt + a = 0 ; t
2
=
x
VËy nÕu ph¬ng tr×nh: ax
2
+ bx + c =0 cã hai nghiÑm d¬ng ph©n biÖt x
1
; x
2
th× ph¬ng tr×nh : ct
2
+ bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t
1
; t
2
.
t
1
=
x
; t
2
=
x
b. Do x
1
; x
1
; t
1
; t
2
®Òu lµ nh÷ng nghiÖm d¬ng nªn
t
1
+ x
1
=
x
+ x
1
≥
2 t
2
+ x
2
=
x
+ x
2
≥
2
Do ®ã x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2
≥
4
⇔=&-C$
5=
AA-IJ
!4$l /$%U"$%
Cách 1∆`
#+$,$ll /$
$%U"$%
Cách 2E+$,$G0$HE..l /
$U"$%
&Q,$
G
-$$%2l7B
2 2
1 2 1 2
x x x x 7+ − =
3+$,$ /$$%U"$%
j$7i
1 2
x x 2m+ =
A
P7
2 2
1 2 1 2
x x x x 7+ − =
⇔i
A <⇔
<⇔
⇔±
5=?l.]."$0⇔±
6
!
AA$$%-
\
$012"$B.4
i
x
x
x
x
23
\7S
A
m$g7n$
i
xx
xx +
( )
xx
xxxx −+
A;
/
!f
)
A
A
Q$?$+$
"7B $%U"$%
23
9$
G
)
A
A k
)
⇔
⇔
=
=
x
x
⇔
±=
=
G
x
x
5=7@ $%-
G
"a>
G7$8.9$%
≥
7@k
A
A
7@7o $%U"$%
⇔
$%7V$%"W$%H
Z=-$%
⇔
A
⇔
±
j$
Gk
⇔
=
=
t
t
?@
=
G-$01]
j$
Gk
⇔
−=
=
t
t
9/\S
5=
9/?@-1
Tãm l¹i ph¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm ph©n biÖt
⇔
5=%$%-
=
=
*
_
<
y
x
0
$0127B
AA
A
=-$%$%X-C$2p
237@=
-$%
⇔
)
AA A
⇔
AA(
⇔
=
−=
)
a
a
j$7$%X-C$2-
−−
−
aa
a
Rg.G$%X-C$2-
Rg.)G$%X-C$2-
(
Bµi 1
!
A
a) 7B$%0$%2
$01.%7J$"W.
b) 7B$%0$%E-IJ72
$C./2V$0./C.8"W
27
!U.
Q$^7B$%
G
?@
xx =
#
>
Rg.
#
∆
#
∆
/-b
"Rg.
#
##
#7@k
⇔
±
#$%$01.%7J$"W.
#-$01]
!U."
Q$?I[$%
q
-IJ72C./
2V$0./C.8"W
#
#&
#
*
! -fIJ
Q$?$9$8
"7B)$% 4j$7rC$
9/$01-+E2
23
7@B"$g7n$
5+$7@k
" cs$ 9 $8.
E-$%aB7@)$%s$
l?$7o$%0$%790R=G
7B"7].)$%G7$8.9$%]72-
Z5+$ 7@)$%-
Rg
8
.$l 9/7C7S$01 li9/$01-+
Et
32: Cho phng trình x
- 2 (k -1 )x + 2k 5 = 0 ( ẩn x )
a. Ch<ng minh r4ng PT có nghiệm với mọi k .
b. Tìm k để A = x
x+
-2x
- 2x
có giá trị bằng 6
a. Tính
G
= k
-4k + 5 = ( k -2 )
+ 1 > 0 với mọi k
b . Theo hệ thức Viet có x
+ x
=2 ( k-1)= 2k -2
x
x
= 2k -5
A= (x
+ x
)
- 2x
x
- 2 (x
+ x
)
9A
9_A9A
)9
;9(
Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0)
Bài 33 :
Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x
2
- m
2
x + m + 1 = 0
có nghiệm nguyên.
Giải :
Phơng trình có nghiệm nguyên khi = m
4
- 4m - 4 là số chính ph-
ơng
Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 (loại)
m = 2 thì
= 4 = 2
2
nhận
m 3 thì 2m(m - 2) > 5 2m
2
- 4m - 5 > 0
- (2m
2
- 2m - 5) < < + 4m + 4
m
4
- 2m + 1 < < m
4
(m
2
- 1)
2
< < (m
2
)
2
không chính phơng
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
a) Cho phơng trình
x x m+ + =
. Với những giá trị nào của
m
thì
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt ? Khi đó gọi
x
và
x
là hai
nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của
m
để
x x
+ =
.
để PT có hai nghiệm phân biệt thì
)*
>=
m
)
*
< m
Khi đó ta có x
1
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
=31 ap dụng hệ thức vi ét ta đợc
(-3)
2
-2m=31
== mm
thỏa mãn đièu kiện m<9/4
Bài 34:
Cho phơng trình
; ) x mx
+ =
. Tìm giá trị của
m
, biết rằng phơng trình
đã cho có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn điều kiện
<
x x
+ =
ó :
)*
= m
để PT có 2 nghiệm x
1
x
2
thì điều kiện cần và đủ là :
*
)
)*
G
= haymmmmm
Theo giả thiết
)
*
;
<
;
( ;
===
mm
m
cả hai giá trị này của m
ddeuf thỏa mãn điều kiện
m
vậy các giá trị của m thỏa mãn điều kiện
của bài toán là m =
)
Bài 35:
Cho phng trình x
2
- 2mx + m
2
- m + 1 = 0 vi m là tham s= với x là >n
s=.
a) Gii phng trình vi m = 1.
b) Tìm m phng trình có hai nghi?m phân bi?t x
1
,x
2
.
c) Vi i@u ki?n cAa câu b hãy tìm m biu th<c A = x
1
x
2
- x
1
- x
2
Bt
giá tr7 nh% nhCt.
Cho phng trình x
2
- 2mx + m
2
-m + 1 = 0 (1)
a) Khi m = 1 thi (1) tr) th nh:
x
2
- 2x + 1 = 0 (x - 1)
2
= 0 x = 1.
b) (1) có hai nghi?m phân bi?t x
1
, x
2
= m - 1 > 0 m > 1.
VDy (1) có hai nghi?m phân bi?t x
1
, x
2
m > 1.
c) Khi m > 1 ta co:
S = x
1
+ x
2
= 2m v P = x
1
x
2
= m
2
m + 1
Do ó : A = P - S = m
2
-m + 1 - 2m = m
2
-3m + 1 = E .
Bài 36: Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 1)x + m
2
- 7 = 0.
a, Giải phơng trình trên khi m = 2.
b, Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt.
a. Với m = 2 thay vào đợc x
2
- 2x - 3 = 0
có dạng a - b + c = 0 ( Hoặc tính
;
=
)
x
1
= -1 ; x
2
= 3 và kết luận nghiệm
b. Tính
(
`
+=
m
(
`
>+>
m
Suy ra m < 4 và kết luận m < 4 phơng trình có nghiệm
64)!f x
; x m x+ =
m l tham
s
0$0127B$%
= +
" 0$0127B$%
G x x
I
GG"$B.4
* )A x x
=
7C$01-+E
ính
mm >+= )
suy ra PT có hai nghiemj phân biệt x
1
x
2
A =(x
1.
x
2
+6)
xx +
theo định lý vi ét ta có
A =x
1
x
2
=-6
+= xxA
vậy A
max
=0 khi và chỉ khi
=
=
=
=
=
=
=+
=
=+
;
m
x
x
va
m
x
x
mxx
xx
xx
Vậy m =0 ; m =2 là các giá trị cần tìm
Bài 38: Cho Phơng trình bậc hai , x là ẩn, tham số m:
( )
2
2 1 2 0x m x m + + =
1- Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
m.
2- Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình . Chứng tỏ M = x
1
+ x
2
- x
1
x
2
không phụ thuộc vào giá trị của m .
Giải :
1.
= [-(m+1)]
2
-2m = m
2
+2m +1 -2m = m
2
+ 1 > 0
Nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
2.
1 2
1 2
1 2 1 2
TheoViet :
x + x = 2(m + 1)
x .x = 2m
M = x + x - x .x = 2(m + 1) - 2m = 2
Nên không phụ thuộc vào giá trị của m .
Bi 39 :
Tìm sJ thuc a 7B phng trình sau có nghi%m nguyên
x ax a + + =
.
điều kiện đẻ phơng trình có nghiệm
()
aa
Gọi x
1
.x
2
Là hai nghiệm của phơng trình giả sử x
1
>x
2
Theo định lý vi ét ta có :
=
+=
=+
xxxxxx
axx
axx
=
=
x
x
hoăc
=
=
x
x
do x
1
-1
x
=
=
=
=
)
x
x
hoac
x
x
Suy ra a=6 hoặc a=-2 thỏa mãn ddieuf kiện
Bài 40 : Cho phơng trình bậc hai ẩn x: x
2
- 4x + m + 1 = 0
1. Giaỉ phơng trình khi m = 3
2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiêm.
3. Tìm giá trị của m sao cho phơng trình có hai 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 10
GiảI :
1. Khi m = 3, phơng trình đã cho trở thành : x
2
- 4x + 4 = 0 (x - 2)
2
=
0 x = 2 là nghiệm kép của phơng trình.
2. Phơng trình có nghiệm K 0 (-2)
2
-1(m + 1) K 0 4 - m -1
K 0 m v 3.
Vậy với m v 3 thì phơng trình đã cho có nghiệm.
3. Với m v 3 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm . Gọi hai nghiệm
của phơng trình là x
1
, x
2
.Theo định lý Viét ta có : x
1
+ x
2
= 4 (1),
x
1
.x
2
= m + 1 (2). Mặt khác theo gt : x
1
2
+ x
2
2
= 10 (x
1
+ x
2
)
2
- 2
x
1
.x
2
= 10 (3). Từ (1), (2), (3) ta đợc :16 - 2(m + 1) = 10 m = 2 <
3(thoả mãn) . Vậy với m = 2 thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm
thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Bài 41 : Cho PT x
4
-2mx
2
+m
2
-4 = 0
A, Giải PT với m= -1
B , Tìm m để PT có 4 nghiệm ?
Giải a, Khi m = -1 ta có PT x
4
+2x
2
-3=0 đặt x
2
=t đ/k t
Ta có PT t
2
+2t -3 =0 t
1
=1 t
2
=-3 loại
Giải ra ta đợc x=
B, t= x
2
(t
t có PT : T
2
-2m +m
2
-4 =0 (2)
để (1) cpos 4 nghiệm thì (2) phải có 2 nghiệm dơng phân biệt
>=
>+=
)
G
mtt
mm
{
)
>
>
m
m
vậy với m>2 thì PT có 4
nghiệm
Bài 42 : cho PT : x
2
-(2m+2)x +m
2
+2m = 0
A, Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi m
B, gọi x
1
x
2
là hai nghiệm của PT tìm m để 2x
1
+x
2
= 5
Giả a, vậy PT có nhiệm với mọi m
B, x
1
x
2
là hai nghiệm của PT
X
1
+x
2
= 2m + 2 (1)
X
1
x
2
= m
2
+2m (2)
Mà 2x
1
+x
2
= 5
x
1
+x
1
+x
2
=5 suy ra x
1
+2m +2 =5 suy ra x
1
= 3 2m
Thay x
1
vào suy ra x
2
= 2m-2 x
1
= 4m -1thay vaof (2) ta đợc
9m
2
-12m+3 = 0 suy ra m
1
= 1, m
2
='
ài 43 : cho PT x
2
- (3m -1)x +2m
2
-m = 0
A, GPT khi m = 1
b. tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
1
mà
= xx
GiảI a, khi m =1 PT trở thành x
2
-2x +1 = 0 s uy ra (x-1)
2
= 0
Suy ra x = 1
B, khi m
Thì
=
xxx
x
)
2
= 4
G ) ))
====+ mmmmmmmxxxx
Bài 44 : Cho pT x
2
-2(m+4) x +m
2
-8 = 0
A, giải PT với m =-3
B, Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt x
1,,
x
2
mà x
1
2
+x
2
x
1
x
2
=121
Giai a, khi m = -3 ta có x
2
-2x+1=0 suy ra x = 1
G)(()
GG
>>+=+= mmmm
X
1
2
+x
2
2
-x
1
x
2
= 121
=+ xxxx
suy ra 4(m+4)
2
-3( m
2
-8) =121
m
+32m -33 suy ra m
1
= 1 m
2
=-33 loại vậy với m= 1 thì PT thỏa mãn
Bài 45 : Cho PT x
2
+(m
2
+1)x +m+2 = 0 m là tham số
A, Chứng minh rằng với mọigiá trj của m thì PT có hai nghiệm phân biệt
B , Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của PT tìm tất cả giá trị của m sao cho
+=
+
xx
x
x
x
x
__
xx
GiảI a,
=
(m
2
+1)
2
-4(m-2)=m
4
+2m
2
+1 -4m +8= m
4
-2m
2
+1+4m
2
-4m
+1+7=(m
2
-1)
2
+(2m-1)
2
+7 >0với mọi m vậy PT luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi m
B , (2x
1
-1)x
1
+(2x
2
-1)x
2
= x
1
2
x
2
2
+55suy ra 2x
1
-x
1
+2x
2
2
-x
2
-x
1
2
x
2
2
-55=0
2(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)-(x
1
x
2
)
2
-55 =0 (2) áp dụng định lý vi ét
Ta có : x
1
+x
2
=- (m
2
+1) x
1
x
2
= m-2 thay vào (2) ta có
2m
4
+4m
2
+2+8+1-4-55-4m +4m =0 suy ra 2m
4
+4m
2
-48 =0
đặt m
2
= t
2t
2
+4t 48 = 0,
G
= 100 >0 suy ra t
1
=4 . t
2
= -6 ( loại)
Thay t = 4 suy ra m
2
=4 vậy m=
xét điều kiện suy ra m =- 2
Bài 46 : Cho PT (m+1)x
2
-2(m-1)x+m-3 = 0 ẩn x m là tham số (m
A, Chứng minh PT có nghiệm với mọi x ?:
B, Tìm m để PT có có hai nghiệm cùng dấu :
C,Tìm m để PT có nghiệm này gấp đôI nghiệm kia ?
GiảI : a,
G
=(m-1)
2
-(m+1)(m-3) = m
2
-2m +1-m
2
+3m-m+3=4>0
Vậy PT có nghiệm với mọi m
B, Để PT có hai nghiệm cùng dấu thì ;
>
>
>
>
)
m
xx
> m
với m>3 thì PT có hai nghiệm cùng dấu
C,
) ==
x
1
=
G
=
+
+
=
+
+
m
m
x
m
m
X
2
=
+
=
+
m
m
m
m
Giả sử : Trờng hợp 1 : 1=
+
m
m
2 suy ra m+1=2m-6
<; ==+ mmm
TH2 : 2.1=
_
===+=+
+
mmmmmmm
m
m
Bài 47 : Cho PT : x
2
-2(m+1)x+2m+10 = 0
Tìm m sao cho hai nghiệm x
1,
x
2
của PT thỏa mãn 10x
1
x
2
+x
1
2
+x
2
2
đạt giá trj
NN
GiảI : 10x
1
x
2
+x
1
2
+x
2
2
=8x
1
x
1
+2x
1
x
2
+x
2
+x
2
2
=8x
1
x
2
+(x
1
x
2
)
2
=8(2m+10)+
[ ]
+ m
=16m +80 +4m
2
+8m +4 = 4m
2
+24m+84=(2m+6)
2
+48
Vởy giá trj nhỏ nhất khi m= -3 là 48
Bài 48 : Cho PT : 2x
2
+2(m+1)x+m
2
+4m +3 = 0
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT : tìm GTLN của A =
xxxx
GiảI : A =
xxxx +
Bài 47 : Cho PT x
2
-2(m+4)x+m
2
-8 = 0
A, Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt ?
B, tìm m để A = x
2
2
+x
2
2
-x
1
-x
2
đạt giá trị nhỏ nhất ?
GiảI : Để PT có hai nghiệm phân biệt thì
()G
GG
+= mm
8m+24
m
B, A= (x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)=
[ ]
)()
+++ mmm
= 4m
2
+16m+64-2m
2
+16+2m+8=2m
2
+18m+88=2
++
)
*_
*
m
=2(m+
*_
*_
*
+
vậy giá trị nhỏ nhất của A =
*_
khi x=-
*_
Bài 49 : Cho PT x
2
(m+1)x +m
2
-2m+2=0
A, giảI PT với m=2
B, Tìm m để PT có hai nghiệm cùng dấu có một nghiệm x
1
=2 tìm nghiệm
x
2
=?
C, Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT tìm m để giá trị của biểu thức
A= x
1
2
+x
2
2
-x
1
-x
1
đạt giá trị lớn nhất ?
GiảI a, với m=2 thì PT x
2
-3x+4-4+2 =0
X
2
-3x+2=0
x
1
=1 x
2
=2
B,
<
*
)
_
*
)
_
<<<>
= mmm
để PT có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
cùng dấu thì P >0
mmmm GG
>++
thuộc điều kiện xác định
'< << m
thay x
1
=2 vào PT ta có m
2
-4m+4 =0
= m
M=2 thỏa ,mãn Đ/K x
1
x
2
=
=1
= x
C,
'<G <<> m
thì PT có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
khi đó
A = (x
1
2
+x
2
2
-x
1
x
2
=(x
1
+x
2
) -3x
1
x
2
=(m+1)
2
-3(m
2
-2m+2)
A= -2m
2
+8m-5=3-2(m-2)
=
m
Baì 50 : Cho PT ; x
2
-2(m+1)x+m-4 = 0 (1)
A, giảI PT với m=1
B, Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi m
C, gọi x
1
,x
2
là 2 nghiệm của PT (1) CMR K=x
1
(!-x
2
)+x
2
(1-x
1
) không phụ
thuộc vào m
GiảI a, m=1 ta có x
1
=2+
<
x
2
=2-
<
B,
mmmmmmmmm G
)
*
_))
G
>++=++=+++=+=
x=
C, PT có hai nghiệm x
1
,x
2
K =x
1
-x
1
x
2
+x
2
-x
1
x
2
=10
()
==++=+=+ mmmmxxxx
Vậy biểu thức đúng với mọi m
Bài 51 : Cho PT x
2
-2mx+m
2-
+m+1= 0
A, GiảI PT với m=1
B, tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt
c. Tìm m để biểu thức A= x
1
x
2
-x
1
-x
2
đật GTNN
GiảI : a, Với m=1 thì PT trở thành x
2
-2x+1 =0
Vậy x = 1
B,
G
+= mmm
= m-1 để PT có hai nghiệm phân biệt thì
G
mm
C, Với Đ/K m>1 áp dụng định lý vi ét ta có
X
1
+x
2
= 2m x
1
x
2
=m
2
-m+1
A = x
1
x
2
-x
1
-x
2
=x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)=m
2
-m+1-2m suy ra m
2
-3m+1
)
_
)
_
)
_
)
*
+ mmm
Vậy giá trị NN khi m=3/2 thì A= -5/4
Bài 52 : Cho PT x
2
-2(m-1)x+2m-4 = 0
A, GiảI PT với m=2
B, Tìm giá trị NN của M = x
1
2
+x
2
2
với x
1
, x
2
là nghiệm
GiảI : a, với m=2 PT trở thành x
2
-2x =0 vậy x= 0 x=2
B,
[ ]
))))
G
++=++== mmmmmmm
(m-2)
2
+1>0 với
m
M= x
1
2
+x
2
2
=x
1
2
+2x
1
x
2
+x
2
2
-2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
=
[ ]
)
mm
4m
2
-8m +4-4m +8 =4m
2
-12m +12= 4m
2
-12m +9 +3=(2m-3)
2
+3
Vậy để M nhỏ nhất thì 2m-3 = 0 suy ra m = 3/2 và GTNN là 3
Bài 53 : Cho PT x
2
-2mx +m
2
-1 = 0
A, Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi m
B, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
, x
2
của PT độc lập với m
C Tìm m để
_
=+
x
x
x
x
GiảI : a,
G
>=+== mmmm
Vậy PT có nghiệm với moi m
B, x
1
+x
2
=-(-2m)=2m = S
s
m =
thay vao (1) x
1
x
2
==m
2
-1=P
(1)
-(
))))
)
=++==
= PSPSP
S
P
s
C,
_
=+
x
x
x
x
x
1
2
+x
2
2
) = -5x
1
x
2
=2x
1
2
+2x
2
+4x
1
x
2
+x
1
x
2
=0
= 2(x
1
2
+x
2
2
+2x
1
x
2
)+x
1
x
2
=0
2(2m)
2
+m
2
-1 =0
9m
2
-1=0
m =
Bài 54 ; Cho PT x
2
-2(m1)x+2m+3= 0
A, giảI PT với m= -3
B, Tìm m để PT có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn (x
1
-x
2
)
2
= 4
A, x
1,2
=
<
B, Để PT có hai nghiệm thì
[ ]
G
++=++= mmmmm
M
2
-2
m
m
(x
1
-x
2
)
2
= 4
x
1
2
+x
2
2
-2x
1
x
2
=4
x
1
2
+2x
1
x
2
+x
2
2
= 4
[ ]
) ))))
=+++=+ mmxxxxxxxx
4m
2
+8m+4-8m-12=4 suy ra 4m
2
-8=4
)
=== mmm
Thỏa mãn điều kiện
Bài 55 : Cho PT x
2
-5mx -4m = 0
A, GiảI PT với m=-1
B, trong trờng hợp PT có hai nghiệm x
1
,x
2
chứng minh rằng
X
1
2
-5mx
2
-4m >0
GiảI : Với m=-1 PT có hai nghiệm x
1
=-1 , x
2
=-4
B với m
PT có hai nghiệm phân biệt lúc đó
X
1
+x
2
=5m suy ra x
2
=5m-x
1
X
1
.x
2
=-4m
Xét x
1
2
-5mx
2
-4m (1) thay x
2
=5m x
1
vào (1)
Ta có x
1
2
+5m(5m-x
1
)-4m = x
1
2
+25m
2
-5mx
1
-4m =(x
1
2
-5mx
1
-4m)+25m
2
vi
x
1
Là nghiệm của PT x
1
2
-5mx -4m =0 nên x
1
2
-5mx
1
-4m=0
Mà m
G
nên 25m
2
>0 vậy (x
1
-5mx
1
-4m ) +25m
2
>0 ta có đpcm
Bài 56 : Cho PT x
2
-(m+2)x+2m = 0
A, giảI PT với m =-1
B, Tìm m để PT có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
(x
1
+x
2
)
2
-x
1
x
2
_
GiảI a, Với m=-1 ta có x
1
=-1 x
2
=2
B,
[ ]
mmmmmmmmm GG))()))
=+=++=+=
Vậy PT có nghiệm với mọi m
Theo hệ thức vi ét ta có ( x
1
+x
2
)
2
-x
1
x
2
_ _))__
++++++ mmmmmmm
_
+++
mmm
