Hoi giang phuong trinh mat phang

3
1
6
Luyeọn taọp : Phơngtrìnhmặtphẳng
(Tiết 32)
(Chơngtrìnhcơbản)
Giáoviên: VõDuyMinh

α
α
α
b
r
H×nh 1

H×nh 2

H×nh 3

Em h·y cho
biÕt h×nh
nµo mÆt
ph¼ng () cã
VTPT
§¸p sè: H×nh 2;
H×nh 3
và Hình 4
α
n = a,b
 

 
r
r r
α
a
r
b
r
H×nh 4

a
r
b
r
a
r
b
r
a
r

Em hãy lựa chọn ph ơng trình mặt phẳng sao cho phù
hợp với kết luận :
Ph ơng trình mặt phẳng Kết luận
1. Ax+ By + Cz = 0
a. Song song với trục Ox
hoặc chứa trục Ox
2. By + Cz + D = 0
b. Song song với mp Oxy

hoặc trùng với mp Oxy
3. Ax + Cz = 0 c. Đi qua gốc toạ độ
4. Cz + D = 0
d. Song song với trục Oz
hoặc chứa trục Oz
e. Chứa trục Oy


Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-1) và B(-3;0;1).
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-1) và B(-3;0;1).
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB.
thẳng AB.


Bài tập 1:
Bài tập 1:
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu a, ớ
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu a, ớ
nhóm 2 – 4 làm câu b theo th t ứ ự
nhóm 2 – 4 làm câu b theo th t ứ ự
d iướ
d iướ


đây:
đây:
α
B

A
I
α
(0;1;0)j
r
A
y
O


- Mp qua M(x
- Mp qua M(x
0
0
;y
;y
0
0
;z
;z
0
0
) và VTPT có PT:
) và VTPT có PT:


A(x-x
A(x-x
0
0

)+B(y-y
)+B(y-y
0
0
)+C(z-z
)+C(z-z
0
0
)=0
)=0
( ; ; )n A B C=
r
- Hai vectơ không cùng phương
,u v
r r
[ ]
,n u v
α
=
r r r
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và điểm A.
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và điểm A.
có giá nằm trên mp (
α
) có VTPT
*Nhắc lại:


Giải: 1a)
α

B
A
I
Gäi I lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng AB th×:
MỈt ph¼ng trung trùc cđa AB ®i qua I vµ
vu«ng gãc víi ®o¹n th¼ng AB
Vậy mp trung trực đoạn AB có phương trình:
2(x+1)+1(y-1)-1(z-0)=0
Hay 2x+y-z+1=0
( 4; 2;2) 2(2;1; 1)n AB= = − − = − −
uuur
r
1 3 2 0 1 1
( ; ; ) ( 1;1;0)
2 2 2
I
− + − +
= −
Nên có VTPT


Bài tập1:
Bài tập1:
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-1) và B(-3;0;1).
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-1) và B(-3;0;1).
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB.
thẳng AB.

α
n
r
x
Hai vectơ không cùng phương có giá nằm trên mp (
α
) là:
vtđv của trục Oy và

Nên mặt phẳng (
α
) có VTPT
(0;1;0)j =
r
(1;2 1)OA = −
uuur
, ( 1;0; 1)n j OA
α
 
= = − −
 
uuur
r
r
Vậy phương trình mặt phẳng (
α
) là:
-1(x-0)+0(y-0)-1(z-0)=0
Hay: x+z = 0

Giải: 1b)
(0;1;0)j
r
A
y
O


Bài tập1:
Bài tập1:
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-1) và B(-3;0;1).
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-1) và B(-3;0;1).
b) Hãy viết phương trình mp (
b) Hãy viết phương trình mp (
α
)
chứa trục Oy và điểm A.
chứa trục Oy và điểm A.





Bài tập 2:
Bài tập 2:
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 2 -4 làm câu a, ớ
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 2 -4 làm câu a, ớ
nhóm 1 – 3 làm câu b theo th t ứ ự
nhóm 1 – 3 làm câu b theo th t ứ ự
d iướ

d iướ
đây.
đây.
Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) và mp (P): 2x-y+z+1=0.
Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) và mp (P): 2x-y+z+1=0.
a) Hãy viết phương trình mp (Q) qua M song song với (P).
a) Hãy viết phương trình mp (Q) qua M song song với (P).
b) Hãy viết phương trình mp (
b) Hãy viết phương trình mp (
α
α
) chứa OM
) chứa OM
và vuông góc (P).
và vuông góc (P).
Q
M (0;1;1)
P
2x – y + z + 1= 0
(2; 1;1)
P
n = -
r


- PTTQ của mp (
- PTTQ của mp (
α
α
) : Ax+By+Cz+D=0 (A

) : Ax+By+Cz+D=0 (A
2
2
+B
+B
2
2
+C
+C
2
2
≠
≠
0 )
0 )
có VTPT:
có VTPT:
*Nhắc lại:
( ; ; )=
r
n A B C
α
α
P
n
P
= ( 2;-1,1) // (P)
O
O
M

M

* Cách1: Mặt phẳng (Q) vì song song (P)
* Cách1: Mặt phẳng (Q) vì song song (P)


nên có VTPT
nên có VTPT
Vậy phương trình mặt phẳng (
Vậy phương trình mặt phẳng (
Q
Q
) là:
) là:


2(x-0)-1(y-1)+1(z-1)=0
2(x-0)-1(y-1)+1(z-1)=0


Hay 2x-y+z = 0 (Q)
Hay 2x-y+z = 0 (Q)
(2; 1;1)
Q P
n n= −
r r
Q
M (0;1;1)
P
2x – y + z + 1= 0

(2; 1;1)
P
n = -
r
Bài tập 2:
Bài tập 2:


Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) và mặt phẳng
(P): 2x-y+z+1=0.
(P): 2x-y+z+1=0.
a) Hãy viết phương trình mp (
a) Hãy viết phương trình mp (
Q)
Q)
qua M song song với (P).
qua M song song với (P).
Giải: 1a)

* Cách2: Mặt phẳng (Q) cần tìm song song với (P) có phương
* Cách2: Mặt phẳng (Q) cần tìm song song với (P) có phương
trình: 2x-y+z+D=0 (D
trình: 2x-y+z+D=0 (D
≠
≠
1) (Q).
1) (Q).
Vì mặt phẳng (Q) đi qua M(0;1;1) nên:
Vì mặt phẳng (Q) đi qua M(0;1;1) nên:

0-1+1+D=0 => D = 0
0-1+1+D=0 => D = 0
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:


2x-y+z = 0
2x-y+z = 0
Bài tập 2:
Bài tập 2:


Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) và mặt phẳng
(P): 2x-y+z+1=0.
(P): 2x-y+z+1=0.
a) Hãy viết phương trình mp (
a) Hãy viết phương trình mp (
Q)
Q)
qua M song song với (P).
qua M song song với (P).
Giải: 1a)
Lưu ý: Nếu D = 1: Kết luận không có mặt phẳng (Q).
Lưu ý: Nếu D = 1: Kết luận không có mặt phẳng (Q).



Bài tập 2:
Bài tập 2:

Trong không gian Oxyz cho điểm M (0;1;1)
Trong không gian Oxyz cho điểm M (0;1;1)


và mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0.
và mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0.
b) Hãy viết phương trình mp (
b) Hãy viết phương trình mp (
α
α
) đi qua OM và vuông góc (P).
) đi qua OM và vuông góc (P).
* Cách 1: Hai vectơ
* Cách 1: Hai vectơ
có giá song song ho c n m trên m t ph ng (ặ ằ ặ ẳ
có giá song song ho c n m trên m t ph ng (ặ ằ ặ ẳ
α
α
)
)
nên mp (
nên mp (
α
α
) có VTPT
) có VTPT

Vậy phương trình mp (
Vậy phương trình mp (
α
α
)
)
là:
là:


1(x-0)+1(y-0)-1(z-0)=0
1(x-0)+1(y-0)-1(z-0)=0


Hay x+y-z = 0 (
Hay x+y-z = 0 (
α
α
)
)
P
(0;1;1) va VTPT n =(2;-1;1)OM =
uuuur
r
n = OM, =(2;2;-2)=2(1;1;-1)
 
 
uuuur
r
r

P
n
α
α
P
n
P
= ( 2;-1,1) // (α)
O
O
M
M
Giải: 2b)
n
p

α
P
n
P
= ( 1;1,-1) // (P)
O
O
M
M

Ví dụ 2:
Ví dụ 2:
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ

nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự
nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự
d iướ
d iướ
đây
đây
.
.
b) Cách 2:Mặt phẳng (
b) Cách 2:Mặt phẳng (
α
α
) cần tìm qua g c to đ nênố ạ ộ
) cần tìm qua g c to đ nênố ạ ộ


có phương trình: Ax+By+Cz = 0 (A
có phương trình: Ax+By+Cz = 0 (A
2
2
+B
+B
2
2
+C
+C
2
2
≠
≠

0) (
0) (
α
α
)
)
Vì mặt phẳng (
Vì mặt phẳng (
α
α
) vuông góc (P) nên:
) vuông góc (P) nên:




<=> 2A – B + C = 0 (1)
<=> 2A – B + C = 0 (1)
Vì M(0;1;1) thu c (ộ
Vì M(0;1;1) thu c (ộ
α
α
) nên : B + C = 0 => C = - B thay vào (1)
) nên : B + C = 0 => C = - B thay vào (1)
=> C = - A => B = A
=> C = - A => B = A
Vậy phương trình mặt phẳng (
Vậy phương trình mặt phẳng (
α
α

) là:
) là:
Ax + Ay - Az = 0
Ax + Ay - Az = 0


A(x + y - z) = 0
A(x + y - z) = 0
Hay x + y - z = 0 ( A
Hay x + y - z = 0 ( A
≠
≠
0) (
0) (
α
α
)
)
. 0
P P
n n n n
α α
⊥ ⇔ =
r r r r

Bài tập 3:
Bài tập 3:
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ
nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự

nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự
d iướ
d iướ
đây
đây
.
.
Trong không gian Oxyz cho điểm M(3;2;1) và
Trong không gian Oxyz cho điểm M(3;2;1) và
hai mặt phẳng (
hai mặt phẳng (
α
α
): x+y-1=0.
): x+y-1=0.
(
(
β
β
): 2x + y – z – 1 = 0
): 2x + y – z – 1 = 0
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông
góc v i giao tuy n c a hai m t ph ng trên.ớ ế ủ ặ ẳ
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua M và
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua M và
ch a giao tuy n c a hai m t ph ng trên .ứ ế ủ ặ ẳ
ch a giao tuy n c a hai m t ph ng trên .ứ ế ủ ặ ẳ

M(3;2;1)
M(3;2;1)

α
P
β
?
P
n =
r
(1;1;0)n
α
=
r
(2;1; 1)n
β
= −
r
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho điểm M(3;2;1) và hai
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho điểm M(3;2;1) và hai
mặt phẳng (
mặt phẳng (
α
α
): x+y-1=0.
): x+y-1=0.
(
(
β
β
): 2x + y – z – 1 = 0
): 2x + y – z – 1 = 0
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc v i ớ

giao tuy n c a hai m t ph ng trên.ế ủ ặ ẳ

Bài tập 3:
Bài tập 3:
a)
a)


Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp (P)
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp (P)
Nên mặt phẳng (P) có VTPT
Nên mặt phẳng (P) có VTPT
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
-1(x-3) + 1(y – 2) -1(z-1) = 0
-1(x-3) + 1(y – 2) -1(z-1) = 0
Hay : x - y + z + 4 = 0 (P )
Hay : x - y + z + 4 = 0 (P )
( ) (1;1;0)
( ) (2;1; 1)
mp VTPT n
mp VTPT n
α
β
α
β
=> =
=> = −
r
r

, ( 1;1; 1)
P
n n n
α β
 
= = − −
 
r r r
Trong không gian Oxyz cho điểm M(3;2;1) và hai
Trong không gian Oxyz cho điểm M(3;2;1) và hai


mặt phẳng (
mặt phẳng (
α
α
): x+y-1=0.
): x+y-1=0.


(
(
β
β
): 2x + y – z – 1 = 0
): 2x + y – z – 1 = 0
,n n
α β
r r

M(3;2;1)
M(3;2;1)
α
P
?
P
n =
r
Q
β
N
N
P
P
Bài tập 3:
Bài tập 3:
Trong không gian Oxyz cho điểm
Trong không gian Oxyz cho điểm
M(3;2;1) và hai mặt phẳng (
M(3;2;1) và hai mặt phẳng (
α
α
): x+y-1=0.
): x+y-1=0.
(
(
β
β
): 2x + y – z – 1 = 0
): 2x + y – z – 1 = 0

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua M và
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua M và
ch a giao tuy n c a hai m t ph ng trên .ứ ế ủ ặ ẳ
ch a giao tuy n c a hai m t ph ng trên .ứ ế ủ ặ ẳ

Ví dụ 2:
Ví dụ 2:
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ
nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự
nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự
d iướ
d iướ
đây
đây
.
.
b) Cách 1: + Tìm điểm nằm trên giao tuyến (D):
b) Cách 1: + Tìm điểm nằm trên giao tuyến (D):


Cho x=0 => y = 1 và z = 0
Cho x=0 => y = 1 và z = 0


=> N(0;1;0)
=> N(0;1;0)
∈
∈
giao tuyến (D)

giao tuyến (D)


=>
=>
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp (Q)
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp (Q)
Nên mp(Q) có VTPT:
Nên mp(Q) có VTPT:
(3;1;1)NM =
uuuur
, (2; 2; 4) 2(1; 1; 2)
Q P
n NM n
 
= = − − = − −
 
uuuur
r r
va VTPT
P
NM n
uuuur
r
Vậy phương trình mp(Q) là: 1(x-0) -1(y-1) -2 (z-0) = 0
Vậy phương trình mp(Q) là: 1(x-0) -1(y-1) -2 (z-0) = 0


Hay x -y - 2z +1 = 0 (Q)
Hay x -y - 2z +1 = 0 (Q)

Ví dụ 2:
Ví dụ 2:
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ
nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự
nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự
d iướ
d iướ
đây
đây
.
.
a)
a)
Cách 2:Tìm 2 điểm nằm trên giao tuyến (D):N(0;1;0)
Cách 2:Tìm 2 điểm nằm trên giao tuyến (D):N(0;1;0)
∈
∈


(D)
(D)


Cho y = 0 => x=1 và z=1 . Gọi P (1;0;1)
Cho y = 0 => x=1 và z=1 . Gọi P (1;0;1)
∈
∈
(D)

(D)
Phương trình mặt phẳng (Q) qua 3 điểm : M;N;P
Phương trình mặt phẳng (Q) qua 3 điểm : M;N;P
Nên mp (Q) có VTPT
Nên mp (Q) có VTPT
, (2; 2; 4) 2(1; 1; 2)
Q
n N M NP
 
= = − − = − −
 
uuuur uuur
r
Vậy phương trình mp(Q) là: 1(x-0) -1(y-1) -2 (z-0) = 0
Vậy phương trình mp(Q) là: 1(x-0) -1(y-1) -2 (z-0) = 0


Hay x -y - 2z +1 = 0 (Q)
Hay x -y - 2z +1 = 0 (Q)

Ví dụ 2:
Ví dụ 2:
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ
Chia l p làm 4 nhóm, nhóm 1 -3 làm câu 1, ớ
nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự
nhóm 2 – 4 làm câu 2 theo th t ứ ự
d iướ
d iướ
đây
đây

.
.
a)
a)
Cách 2:Tìm 2 điểm nằm trên giao tuyến (D):N(0;1;0)
Cách 2:Tìm 2 điểm nằm trên giao tuyến (D):N(0;1;0)
∈
∈


(D)
(D)


Cho y = 0 => x=1 và z=1 . Gọi P (1;0;1)
Cho y = 0 => x=1 và z=1 . Gọi P (1;0;1)
∈
∈
(D)
(D)
Phương trình mặt phẳng (Q) qua 3 điểm : M;N;P
Phương trình mặt phẳng (Q) qua 3 điểm : M;N;P
Nên mp (Q) có VTPT
Nên mp (Q) có VTPT
, (2; 2; 4) 2(1; 1; 2)
Q
n N M NP
 
= = − − = − −
 

uuuur uuur
r
Vậy phương trình mp(Q) là: 1(x-0) -1(y-1) -2 (z-0) = 0
Vậy phương trình mp(Q) là: 1(x-0) -1(y-1) -2 (z-0) = 0


Hay x -y - 2z +1 = 0 (Q)
Hay x -y - 2z +1 = 0 (Q)

2 Ph ơng trình mặt phẳng là ph ơng trình dạng
4 Mặt phẳng (P) đi qua M(x
0
; y
0
; z
0
), nhận (A ; B ; C) là một véctơ pháp tuyến thì mp(P) có
ph ơng trình là .
5. Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz t ơng ứng tại A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0; c) có ph ơng trình
là
1. Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng là
n
r
6. Cho hai mp(P); Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D = 0
(P) Và (Q) cắt nhau
(P) Và (Q) song song
(P) Và (Q) trùng nhau .
(P) Và (Q) vuông góc
Véc tơ khác vectơ không và có giá vuông góc với mặt phẳng đó
n

r
Ax + By + Cz + D = 0 ( A
2
+ B
2
+ C
2
> 0)
A(x x
0
) + B(y y
0
) + C(z z
0
) = 0
1 0
x y z
a b c
+ + =
A : B : C A : B: C
' ' ' '
A B C D
A B C D
= =
' ' ' '
A B C D
A B C D
= = =
A.A + B.B + C.C = 0

Ghi nhớ

3. Mặt phẳng (P) song song hoặc chứa giá của hai véc tơ không cùng ph ơng và thì mp(P) có một

véctơ pháp tuyến là
u
r
v
r
,n u v

=

r r r

Bài tập về nhà

3
1
6