Phương trình tổng quát của đường thẳng - HH 10NC

Tiết 27 - 28
phơngtrìnhtổngquát
củađờngthẳng
- sgk_nc Hình học lớp 10 -
Biên soạn và thực hiện:
Hoàng Văn Huấn

I) Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ® êng th¼ng:
n
n
1
n
2
d
H×nh 1
§N: Vect¬ n kh¸c 0, cã gi¸ vu«ng gãc víi ®
êng th¼ng d gäi lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cña ®
êng th¼ng d.
1) Vect¬ ph¸p tuyÕn cña ® êng th¼ng:

Nhận xét:
+) Một đ ờng thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Các vectơ này
cùng ph ơng với nhau;
+) Các đ ờng thẳng song song có vectơ pháp tuyến cùng ph ơng
với nhau;
n
n
1
n
2

d
Hình 1
+) Hai đ ờng thẳng vuông
góc có vectơ pháp tuyến
vuông góc với nhau;
+) Có duy nhất một đ ờng
thẳng đi qua điểm I và
nhận vectơ n làm vectơ
pháp tuyến.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm I(x
o
;y
o
)
và vectơ n. Gọi d là đ ờng thẳng qua I, có vectơ
pháp tuyến n. Tìm điều kiện của x, y để điểm
M(x;y) nằm trên d.
M(x;y)d a(x-x
o
)+b(y-y
o
)=0
O
x
y
n
.
d
I

M
.
Hình 2
2) Bài toán:

1) Cho ® êng th¼ng d: 3x+2y-1=0, ® êng th¼ng
d cã mét vect¬ ph¸p tuyÕn lµ:
A (2;3) B (-3;2) C (3;-2) D (-3;-2)
BµitËptr¾cnghiÖmkh¸chquan
2) § êng th¼ng AB, víi A(1;2) vµ B(3;-4), cã
mét vect¬ ph¸p tuyÕn lµ:
A (6;-2) B (3;1) C (2;-6) D (1;3)
3) Cho ® êng th¼ng d: x-4y+9=0. §iÓm nµo
sau ®©y n»m trªn d?
A (1;2) B (-1;2) C (1;-2) D (3;1)

VD2: Viết ph ơng trình tổng quát của các đ ờng
thẳng đi qua A(1;-3) và song song, vuông góc với
đ ờng thẳng :
2x-5y+1=0
ax+by+c=0
với a
2
+b
2
0, n là một vectơ pháp tuyến
3) Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng:
4) Các ví dụ:
VD1: Mỗi ph ơng trình sau có phải là ph ơng trình
của một đ ờng thẳng không? Hãy chỉ ra một vectơ

pháp tuyến của đ ờng thẳng đó.
3x- 4=0 ; -5y+7=0 ;
(m-1)x+(m+1)y+5=0 ; kx-2ky+1=0
VD3: Cho đ ờng thẳng d có ph ơng trình tổng
quát là: 3x-4y-1=0
a, Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đ ờng
thẳng d.
b, Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc d,
điểm nào không thuộc d?
M(1;1) , N(-1;-1) , P(0;1/4) , Q(1/3;0)
VD4: Cho tam giác ABC có ba đỉnh
A(-1;1) , B(2;3) , C(4;-2)
a, Viết ph ơng trình đ ờng cao kẻ từ A;
b, Viết ph ơng trình tổng quát cạnh BC

C
A
B

y
d
xO
d
xO
y
a,
b,
d
xO
y

c,
d
xO
y
d,
d
xO
y
e,
A
B
H×nh 3
ϕ

+) ĐT ax+by=0 đi qua gốc toạ độ (H3c)
5) Các dạng đặc biệt của ph ơng trình tổng quát:
+) ĐT x/a+y/b=1 với ab0 đi qua A(a;0), B(0;b)
đ ợc gọi là ph ơng trình theo đoạn chắn (H3d)
+) ĐT y=kx+m đ ợc gọi là ph ơng trình theo hệ số
góc; ý nghĩa hình học của hệ số góc: k=tan
trong đó là góc tạo bởi đ ờng thẳng và chiều d
ơng của trục Ox (H3e)
+) ĐT by+c=0 song song hoặc trùng với trục Ox
(H3a)
+) ĐT ax+c=0 song song hoặc trùng với trục Oy
(H3b)

VD5: Mỗi đ ờng thẳng sau đây có hệ số góc
bằng bao nhiêu? Hãy chỉ ra góc t ơng ứng
với hệ số góc đó:

a, 2x+2y-1=0 ; b,
053 =+ yx
VD6: Viết ph ơng trình tổng quát của
đ ờng thẳng đi qua hai điểm A(2;0) và B(0;-5)

1) Hai đ ờng thẳng d
1
, d
2
cắt nhau D 0
2) Hai đ ờng thẳng d
1
, d
2
song song D=0 và (
D
x
0 hoặc D
y
0 )
3) Hai đt d
1
, d
2
trùng nhau D=D
x
=D
y
=0
2

1
2
1
2
1
21
//
c
c
b
b
a
a
dd =
2
1
2
1
2
1
21
c
c
b
b
a
a
dd ==
2
1

2
1
21
}{
b
b
a
a
Idd =
II) Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng:
Cho hai đ ờng thẳng d
1
, d
2
có ph ơng trình:
d
1
: a
1
x+b
1
y+c
1
=0 ; d
2
: a
2
x+b
2
y+c

2
=0
Khi a
2
, b
2
, c
2
cùng khác 0, ta có:

VD7: Xét vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng d
1
,
d
2
trong mỗi tr ờng hợp sau:
a, d
1
: 2x-3y+1=0 ; d
2
: 3x+4y-5=0
b, d
1
: 3x-y+5=0 ; d
2
: -6x+2y+7=0
c, d
1
: 2x-3y+1=0 ; d
2

: 3x+4,5y-1,5=0
VD8: Tuỳ theo m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
F=(x+y+5)
2
+(x+my-3)
2

III) C¸c bµi to¸n liªn quan:
1) ViÕt ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng; ® êng trung trùc;
2) ViÕt ph ¬ng tr×nh c¸c c¹nh, ® êng cao, ® êng trung
trùc, trung tuyÕn cña tam gi¸c;
3) ViÕt ph ¬ng tr×nh c¸c c¹nh, ® êng chÐo cña h×nh
vu«ng.

Bµi häc kÕt thóc
Chóc c¸c em häc tËp tèt !