Phuong trinh duong thang trong KG

BÀI DẠY:
§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
(TIẾT 1)


KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu hỏi: 1/Nhắc lại phương trình tham số và phương trình
chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy ?
2/ §Þnh nghÜa vec t¬ chØ ph¬ng cña ®êng th¼ng
trong mp Oxy.

KIỂM TRA BÀI CŨ
Vectơ ,có giá song song
hoặc trùng với đường thẳng
được gọi là VTCP của đường
thẳng
0u
≠
r r
∆
∆
0 1
0 2
x=x +a t
y=y +a t




2 2
1 2
( 0)a a
+ ≠
0 0
1 2
1 2
( . 0)
x x y y
a a
a a
− −
= ≠
2)Vectơ chỉ phương của đường
thẳng
∆
x
o
∆
y
M
1
u
ur
r
u
∆
-Đường thẳng :
0 0
1 2

( ; )
( ; )
Qua M x y
VTCP u a a





r
a) Pt tham số của có dạng:
∆
1.Pt tham số, pt chính tắc của đường
thẳng
∆
b) Pt chính tắc của có dạng:
∆

O
y
z
∆
u
r
x
a
r
M
Ph¬ng
tr×nh ®

êng th¼ng
trong KG
cã d¹ng
ntn?

Ta chỉ cần một
vec tơ chỉ phương
và một điểm thuộc
đường thẳng đó
O
x
y
∆
u
r
z
M
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Vectơ
gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ( Δ) nếu :
dường thẳng chứa song song hoặc trùng với ( Δ ).
0u
≠
r r
u
r

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
y
z

x
∆
M
0
0
M
a
r
CM:
Ta có:
0 0 0 0
( ; ; )M M x x y y z z
− − −
uuuuuur
0 1
0 2
0 3
( )
x x a t
y y a t t R
z z a t
= +


⇔ = + ∈


= +

0

M M M
∈ ∆ ⇔
uuuuuur
cùng phương với
a
r
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
− =


⇔ − =


− =

0
M M ta
⇔ =
uuuuuur r
0 1
0 2
0 3
( )
= +



= + ∈


= +

x x a t
y y a t t R
z z a t
1. Định lý:
Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng đi qua (x
0
;y
0
;z
0
)
nhận làm vectơ chỉ
phương. Điều kiện cần và đủ để
điểm M(x; y; z) nằm trên là có
một số thực t sao cho:
∆
∆
1 2 3
( ; ; )
=
r
a a a a
0

M
Ngược lại mọi điểm M (x; y; z) thoả mãn hệ phương trình trên đều
nằm trên đường thẳng Δ
HÖ PT trªn ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh th sè cña ®êng th¼ng Δ nãi trªn.

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
trong đó t là tham số.
2. Định nghĩa:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
M(x
0
;y
0 ;
z
0
) và có vectơ chỉ phương là phương
trình có dạng:
∆
1 2 3
( ; ; )
=
r
a a a a
0 1
0 2
0 3

x x a t
y y a t
z z a t

= +


= +


= +

Chú ý:
Nếu đều khác 0 ta còn viết pt của
đường thẳng dưới dạng chính tắc như sau:
0 0 0
1 2 3
- - -
= =
x x y y z z
a a a
1 2 3
, ,a a a
∆
NÕu a
1
; a
2
; a
3
®Òu kh¸c 0 th× tõ hÖ PT nãi trªn , rót t
ra ta nhËn ®îc ®iÒu g×?

+) Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần phải xác định

được hai yếu tố: toạ độ một điểm mà đường thẳng đi qua và toạ độ một
vtcp nào đó của đường thẳng.

(a
1
2
+ a
2
2
+a
3
2
≠ 0)
NX :
+) Từ phương trình tham số của đường thẳng ta xác định được ngay
một điểm thuộc đường thẳng và một véctơ chỉ phương của đường
thẳng đó.
+)Với mỗi giá trị của tham số t,hệ phương trình trên cho ta một điểm
M(xo + a
1
t; yo + a
2
t; zo + a
3
t) thuộc đường thẳng Δ.
Pt tham số của :
∆
0 1
0 2
0 3

x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
0 0 0
1 2 3
- - -
= =
x x y y z z
a a a
Pt chính tắc của :
∆
1 2 3
( . . 0)a a a
≠
Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần phải xác định nh÷ng
được yếu tố?
Từ phương trình tham số của đường thẳng ta xác định được ®iÒu g×?
Với mỗi giá trị của tham số t,hệ phương trình trên cho ta biÕt ®iÒu g× ?

Vớ d 1: Trong khụng gian Oxyz .Vit

pt tham s, pt chớnh tc ca ng
thng i qua im M(1;-2;3) v cú
vect ch phng

(2;3; 4)u

r
Ví dụ 4: Trong không gian
Oxyz. Viết phơng trình
t/số của đờng thẳng qua
M(-1; 3; 2) và song song với
đờng thẳng





=
=
=
tz
ty
tx
23
32
1
Ví dụ 6: Viết PTTS của đ
ờng thẳng đi qua điểm
A(1; -2; 3) và vuông góc với
(P): 2x + 4y + z + 9 = 0.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho 2
điểm A(1; -2; 3) và B(3; 1; 1). Viết
phuơng trình chính tắc của đờng thẳng
AB.
Ví dụ 2 :Cho đờng thẳng (d) có
phơng trình:
Tìm toạ độ 3 điểm
M thuôc (d) và 2 vectơ chỉ phơng.





=
+=
=
tz
ty
tx
2
1
23
I. PHNG TRèNH THAM S CA NG THNG
Ví dụ 5: Viết PTTS của đt
chứa trục Oy?
3. Các ví dụ:

Đường thẳng :

∆

0 0 0
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
qua M x y z
VTCP a a a a





r
0 0 0
1 2 3
- - -
= =
x x y y z z
a a a
Pt chính tắc của :
∆
1 2 3
( . . 0)a a a
≠
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz .Viết
pt tham số, pt chính tắc của đường
thẳng đi qua điểm M(1;-2;3) và có
vectơ chỉ phương
∆
(2;3; 4)u
−

r
Giải:
Pt tham số của :
∆
0 1
0 2
0 3

x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

∆
Pt chính tắc của :
1 2 3
2 3 4
x y z
− + −
= =
−
1 2
2 3
3 4

x t
y t
z t
= +


=− +


= −

Pt tham số của đường
thẳng là:
∆

Giải:
VD2: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng có phương
trình tham số:
3 2
1
2
x t
y t
z t
= −


= +



= −

∆
Hãy tìm tọa độ ba điểm M trên và 2 vectơ chỉ phương của
∆
∆
Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®êng th¼ng AB lµ:
Đường thẳng đi qua M(3;1;2) và một VTCP của là
∆
( 2;1; 1)u
∆
= − −
uur
∆
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; -2; 3) và
B(3; 1; 1).Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

Giải
A
B
Đường thẳng AB có VTCP là
(2;3; 2)AB
= −
uuur
2
3
3
2
2
1

−
−
=
+
=
−
zyx

Đường thẳng d có VTCP :
( 1; 3; 2)
d
u
− − −
uur
( 1; 3; 2)
d
u u
∆
= − − −
uur uur
1
3 3
2 2
x t
y t
z t
=− −


= −



= −

Pt tham số của đường thẳng là:
∆
M
∆
d
d
u
uur
Ví dụ 4:
1
2 3
3 2
x t
y t
z t
= −


= − −


= −

Giải:
Trong không gian Oxyz. Viết phương trình tham số của
đường thẳng qua M( -1;3;2) và song song với đường

thẳng d có phương trình:
∆
Do Δ //d =>
VD 5: PTDT chøa trôc Oy lµ:





=
=
=
0
0
z
ty
x

Ví dụ 6: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua
A(1; -2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x + 4y + z + 9 = 0
Ta có:
Phương trình tham số của đường thẳng (d) :
Véctơ pháp tuyến của mp(P) là :
Đường thẳng nên d nhận vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña (P) lµ
mét vÐc t¬ chØ ph¬ng => vectơ chỉ phương
cña (d) lµ
Giải
)1;4;2(n
( )d P
⊥

)1;4;2(u





+=
+−=
+=
tz
ty
tx
3
42
21
P)
P
n
uur
d
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
P)
d

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 7:
Trong không gian Oxyz cho (P): 2x + 4y + z + 9 = 0.và điểm A(1; -2; 3)
a.Viết pt tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(P).
b.Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp(P).
∆

3 2
1
2
x t
y t
z t
= −


= +


= −

VD8: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;3;1)và đường
thẳng có phương trình tham số:
∆
Tìm tọa độ hình hình chiếu H của A lên
∆
T×m to¹ ®é h×nh chiÕu H cña ®iÓm A lªn mp(P).

Giải
Ví dụ 7:
Trong không gian Oxyz cho (P): 2x + 4y + z + 9 = 0.và điểm A(1; -2; 3)
a.Viết pt tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(P).
b.Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp(P).
∆
P)
P
n

uur
∆
A
Víi H € Δ => H (1+2t; -2+4t; 3+t)
Ta có
( )H P
∈ ⇔
2
21 6
7
t t
⇔ = − ⇔ = −
⇒
3 22 19
( ; ; )
7 7 7
H
−
H
2(1+2t) + 4(-2+4t) + 3+t + 9 = 0
b) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn (P) => H = (P) ∩ Δ
a) PT tham sè cña ®êng th¼ng qua A vµ
vu«ng gãc víi (P) lµ:





+=
+−=

+=
tz
ty
tx
3
42
21

. 0AH u
∆
=
uuur uur
3 2
1
2
x t
y t
z t
= −


= +


= −

VD8: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;3;1)và đường
thẳng có phương trình tham số:
∆
Tìm tọa độ hình hình chiếu H của A lên

∆
Giải
( 2;1; 1)u
∆
− −
uur
, có VTCP
∆
(1 2 ; 2 ;1 )AH t t t
− − + −
uuur
Ta có:



A
H
∆
u
∆
uur
Vì H là hình chiếu của A lên nên:
∆
2(1 2 ) 1( 2 ) 1(1 ) 0t t t
⇔ − − + − + − − =
6 5 0t
⇔ − =
AH u
∆
⊥ ⇔

uuur uur
4 11 7
( ; ; )
3 6 6
H
⇒
5
6
t
⇔ =
+ H € Δ vµ AH ⊥ Δ = H. Do ®ã H( 3 - 2t; 1 + t; 2 – t)
+ AH ⊥ Δ nªn

Củng cố:
Pt tham số của :
0 1
0 2
0 3
( )
= +


= + ∈


= +

x x a t
y y a t t R
z z a t

∆
•
Đường thẳng :

0 0 0
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
qua M x y z
VTCP a a a a





r
∆
1)
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng có pt tham số:
∆
0 1
0 2
0 3

x x a t
y y a t
z z a t
= +



= +


= +

∆
Với mỗi điểm M tùy ý thuộc thì
0 1 0 2 0 3
( ; ; )M x a t y a t z a t
+ + +
2)
(với )
1 2 3
. . 0a a a
≠
0 0 0
1 2 3
- - -
= =
x x y y z z
a a a
Pt chính tắc của :
∆
•

I. PHNG TRèNH THAM S CA NG THNG
CH 1: Phơng trình nào sau đây là PTTS của đờng thẳng, nếu là
PTDT thì hãy xác định véc tơ chỉ phơng của đt đó .

=
+=
=
tz
ty
tx
a
23
2
31
)





=
=
=
1
4
2
)
z
ty
tx
b

=
=
=
tz
y
x
c 0
0
)





=
=
+=
mtz
mty
tmmx
d
2
)1(1
)
CH 2: Viết phơng trình tham số của đt đi qua điểm A(1; 2; -3)

và // trục tung?
CH 3:Tìm toạ độ gđ của đt (d): với np(P): x -2 y +3z -2 = 0.





+=
=
+=
tz
ty
tx
b
1
21
)

Cám ơn các thầy giáo, cô
giáo cùng tập thể lớp 12a2
đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi
hoàn thành bài giảng