T57 Dinh li Vi et vµ ung dung

Chuyeân ñeà
Toå Toaùn
Giải phương trình: 2x
2
- 9x + 7 = 0
Giải:
KIỂM TRA BÀI CŨ
∆= (-9)
2
– 4.2.7 = 81 - 56 = 25 > 0 ⇒
5∆ =
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
1 2
9 5 7 9 5
x ; x 1
4 2 4
+ −
= = = =
Ta có : a = 2, b= - 9, c = 7
Tính x
1
+ x
2
, x
1
.x
2
?

1 2

1 2
7 9
x x 1
2 2
7 7
x .x 1
2 2
+ = + =
= × =
b
a
=
−
c
a
=
Tiết 57 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi- Ðt
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+
bx +c = 0 có nghiệm thì dù đó là
hai nghiệm phân biệt hay nghiệm
kép ta đều có thể viết các
nghiệm đó dưới dạng:
a
b
x,
a
b

x
22
21
∆−−
=
∆+−
=
?1 H·y tÝnh : x
1
+x
2
, x
1
. x
2
1. HÖ thøc vi- Ðt
1 2
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
+ = +
-b +Δ + (-b) - Δ
=
2a
-2b
= =
2a
-

b
a
1 2
.
2 2
b b
x x
a a
   
− + ∆ − − ∆
= ×
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2 2 2
2 2
2
( 4 )
4 4
4
4
b b b ac
a a
ac
a
− ∆ − −
= =
= =
c
a

Tiết 57 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi- Ðt
F.Viète(1540-1603)
Tiết 57 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
§Þnh lÝ vi- Ðt
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng
tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) th×
1 2
1 2

+ = −




=


b
x x
a
c
x .x

a
1. Hệ thức vi ét
Bài tập1:
Bit rng cỏc phng trỡnh sau cú
nghim, khụng gii phng trỡnh, hóy
tớnh tng v tớch ca chỳng:
a) 2x
2
- 9x + 2 = 0
b) -3x
2
+ 6x -1 = 0
Giải
a) x
1
+ x
2
=
x
1
.x
2
= 1
( )
9
9
2 2

=
b) x

1
+ x
2
=
x
1
.x
2
=
6
2
3

=

1 1
3 3

=

áp dụng
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax

2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
Hoạt Động nhóm
Làm ?2
Cho ph ơng trình 2x
2
- 5x + 3 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính
a + b + c.
b) Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của ph
ơng trình.

c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2
.
Làm ?3
Cho ph ơng trình 3x
2
+ 7x + 4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của ph
ơng trình và tính a b + c
b) Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm
của ph ơng trình.
c) Tìm nghiệm x
2
.
1. Hệ thức vi ét
áp dụng
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a 0) thì

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
1. Hệ thức vi ét
áp dụng
Tổng quát 1: Nếu ph ơng trình ax
2
+bx+c=0
(a 0) có a+b+c= 0 thì ph ơng trình có m t
nghiệm x
1
=1, còn nghiệm kia là
2
c
a
=x
Hoạt Động nhóm

?2 Cho ph ơng trình 2x
2
- 5x + 3 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b) Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của ph ơng
trình.
c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2
.
Tr li:
Phng trỡnh 2x
2
-5x + 3 = 0
a) a =2; b = - 5; c = 3
a+b+c =2+(-5)+3=0
b) Thay x=1 vo phng trỡnh ta c:
2+(-5)+3=0
Vy x=1 l mt nghim ca phng
trỡnh
c) Ta cú x
1
.x
2
=
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Định lí vi- ét
Nếu x
1

, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a 0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
2 2
c c 3
1 x x
a a 2
ì = = =
c

a
1. Hệ thức vi ét
áp dụng
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình ax
2
+bx+c= 0
(a 0) có a+b+c=0 thì ph ơng trình có một
nghiệm x
1
=1, còn nghiệm kia là
2
c
x =
a
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình ax
2
+bx+c=0
(a0) có a-b+c = 0 thì ph ơng trình có một
nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
Hoạt Động nhóm
Tr li
Phng trỡnh 3x
2
+7x + 4= 0
a) a =3; b = 7; c = 4
a-b+c = 3 - 7 + 4 = 0
b) Thay x= -1 vo phng trỡnh ta
c: 3+(-7)+4=0

Vy x= -1 l mt nghim ca
phng trỡnh
c) Ta cú x
1
.x
2
=
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a 0) thì
1 2
1 2

+ =


=


b
x x
a

c
x .x
a
2
c
x = -
a
2 2
4
1
3

ì = = =
c c
( ) x x
a a
c
a
?3 Cho ph ơng trình 3x
2
+ 7x + 4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của ph ơng trình
và tính a b + c
b) Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm của ph
ơng trình.
c) Tìm nghiệm x
2
.

1. Hệ thức vi ét
áp dụng
?4Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình
a) -5x
2
+3x +2 = 0
b) 2004x
2
+ 2005x+1= 0
b) 2004x
2
+2005x +1= 0
có a=2004, b=2005, c=1
Có a - b + c = 2004-2005+1=0
x
2
= -
1
2004
Vậy x
1
= -1,
a) -5x
2
+3x+2= 0 có a=-5, b=3, c=2
Có a + b + c= -5+3+2= 0.
Vậy x
1
=1,
2

c 2 2
a 5 5

= = =

x
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Lời giải
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình ax
2
+bx+c= 0
(a 0) có a+b+c=0 thì ph ơng trình có một
nghiệm x
1
=1, còn nghiệm kia là
2
c
x =
a
2
c
x = -
a
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình ax
2
+bx+c= 0
(a0) có a-b+c = 0 thì ph ơng trình có một
nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là

Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a 0) thì
Chuye
n







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng
P thì hai số đó là hai nghiệm của ph
ơng trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện: S
2
- 4P 0
B i toán: Cho hai số có tổng l S và
tích bằng P. Tìm hai số đó.
x(S x) = P
Nếu = S
2
- 4P 0
thì ph ơng trình (1) có nghiệm. Các nghiệm
này chính là hai số cần tìm.
Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng
bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình.
x
2_
27x +180 = 0
= 27
2
- 4.1.180 = 729-720 = 9 >0
1 2
27 3 27 3
x 15, x 12

2 2
+
= = = =
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
S -x.
Theo giả thiết ta có ph ơng trình
x
2
- Sx + P= 0 (1)
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
9 3 = =
Gọi một số là x thì số kia là
Giải
1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng
P thì hai số đó là hai nghiệm của ph
ơng trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện: S
2
-4P 0
áp dụng
?5. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1,
tích của chúng bằng 5.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình :
x
2

- x + 5 = 0
= (-1)
2
4.1.5 = -19 < 0.
Ph ơng trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1 và
tích bằng 5.
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình
x
2
-5x+6 = 0.
Giải.

= 25 24 = 1>0
Vì: 2+3 =5; 2.3 = 6,
nên x
1
= 2, x
2
= 3 là hai nghiệm của ph
ơng trình đã cho.
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng

trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx

+ P = 0
Điều kiện: S
2
-4P 0
Luyện tập
Bài tập 25: Đối với mỗi ph ơng trình sau, kí
hiệu x
1
và x
2
là hai nghiệm (nếu có).
Không giải ph ơng trình, hãy điền vào
những chỗ trống ( ).
a) 2x
2
- 17x+1= 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
b) 5x
2
- x- 35 = 0, = x
1
+x

2
=
x
1
.x
2
=
c) 8x
2
- x+1=0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
d) 25x
2
+ 10x+1= 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2

=
281
17
2
1
2
701
1
5
-7
-31
0
2
5

1
25
Khụng cú
Khụng cú
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì

1 2
1 2

+ =


=


b
x x
a
c
x .x
a
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện: S
2
-4P 0
Bài 27Tr53 SGK.Dùng hệ thức Vi-ét

để tính nhẩm các nghiệm của ph ơng
trình.
a) x
2
7x+12= 0 (1)
b) x
2
+7x+13=0 (2)
Giải
a) =(7)
2
4.1.12 = 49 48 =1 > 0.
Theo Vi-ét x
1
+x
2
= 7 và x
1.
x
2
= 12
nên x
1
=3, x
2
= 4 là hai nghi m
c a ph ơng trình (1)
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
b) =(-7)
2

4.1.13 = 49 52 = -3 < 0.
Ph ơng trình (2) vô nghiệm.
1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
- Sx +
P = 0
Điều kiện: S
2
-4P 0
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Hai soỏ u vaứ v laứ hai nghieọm cuỷa
phửụng trỡnh: x
2
32x + 231 = 0
Baứi 28 aTr 53SGK.
Tỡm hai soỏ u vaứ v bieỏt:
u + v=32, u.v = 231.
H ớng dẫn
Qua bi hc ta cú th nhm nghim ca phng trỡnh
x
2
6x + 5 = 0 bng my cỏch?
* Dựng iu kin a+b+c=0 hoc a-b+c=0 tớnh nhm nghim
Giải
Ta có a=1, b= - 6, c=5
Có a + b + c = 1+(- 6) + 5 = 0.

Nờn phng trỡnh cú hai nghim l:
1 2
1; 5
c
x x
a
= = =
* Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm.
Theo hệ thức Vi- ét x
1
+ x
2
= 6 và x
1
.x
2
= 5
x
1
=1, x
2
= 5 là hai nghiệm c a ph ơng trình
Giải
= 9 5 = 4>0
1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng
trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x

2

Sx + P = 0
Điều kiện: S
2
-4P 0
Hng dn
- Hc thuc nh lớ Vi-ột v cỏch tỡm
hai s bit tng v tớch.
- Nm vng cỏch
nhm nghim: a+b+c=0; a-b+c=0

- Trng hp tng v tớch ca hai
nghim ( S v P) l nhng s nguyờn
cú giỏ tr tuyt i khụng quỏ ln.
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
BTVN: 28bc/tr53, 29/tr54 (SGK)
B sung thờm: Bi tp 38,41 trang
43,44 SBT
HƯỚNG DẪN BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài: 28 (SGK) Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
b) u+v= -8, u.v = -105 c) u+v=2, u.v=9
Chú ý: u+v= S và uv= P
-Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình:
x
2
– Sx + P=0 (Δ = S
2
- 4P Δ0)
Bài 29: (SGK) Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các

nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau: .
a) 4x
2
+ 2x - 5 = 0 b) 9x
2
- 12x + 4 = 0
c) 5x
2
+ x + 2 = 0 d)159x
2
- 2x -1 = 0
Chú ý: -Xét phương trình có nghiệm : (hay ac < 0)
-Rồi tính tổng x
1
+x
2 ;
tích x
1
x
2
0∆ ≥
b) Bài sắp học:
Tiết 58 : luyện tập (các em sử dụng hệ thức Vi-ét chuẩn bị
trước các bài tập 30 đến 33 (SGK/ tr 54) )

Chuyeân ñeà
Toå Toaùn