Chủ đề: HÀM SỐ LIÊN TỤC

Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC


Đ
ại số và Giải tích 11


Chuyên đề:

HÀM SỐ LIÊN TỤC


I-
LÝ THUYẾT:

1.
Hàm s
ố liên tục tại một điểm
,
trên m
ột khoảng:

o
Cho hàm số
y f ( x )
xác định trên khoảng


a;b
. Hàm số được gọi là liên tục tại điểm

(
)
0
;
x a bÎ
nếu:





0
0
x x
f x f x
lim

 

 
.

(Điểm
0
x
tại đó

y f ( x )
không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số)

Hoặc:
Hàm s
ố

y f ( x )
xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm


0
x a;b
:







0
0
0
x x x x
f x f x f x
lim lim
 
 
   
 
   
.

o Hàm s
ố


y f ( x )
xác định trên khoảng


a;b
được gọi là liên tục trên khoảng



a;b
nếu
nó liên
tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
.
o Hàm s
ố

y f ( x )
xác định trên khoảng


a;b

được gọi là liên tục trên đoạn




a;b
nếu
:



( ) ;
( ) ( )
( ) ( )
x a
x b
f x a b
f x f a
f x f b
liªn tôc trªn
lim
lim





















2.
Một số định lý về hàm số liên tục:

o
Đ
ịnh lý 1:



















0
0
0
NÕu vµ liªn tôc t¹i th×: ; ;
còng liªn tôc t¹i
 
f x
f ( x ) g( x ) x f x g x f x .g x g x
g x
x

o
Đinh lý 2:

Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của
chúng.
o
Định lý 3:
N
ếu
hàm s
ố

y f ( x )
liên tục trên đoạn


a;b

thì
đạt GTLN, GTNN và mọi giá
tr
ị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.

·
H
ệ quả:

Nếu nế
u hàm s
ố

y f ( x )
liên tục trên đoạn


a;b
và
0f ( a ).f ( b )
thì tồn tại ít
nhất một


0sè  c a;b : f ( c )
.

3. M
ột số thuật toán cần lưu ý:

a. Xét (tìm
đ
i
ều
ki
ện
tham s
ố
) s
ự
li
ên t
ục
c
ủa
h
àm s
ố
t
ại

đ
i
ểm

0
x
:

Bư
ớc 1:

Tính


0
f x
. Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn


0
x x
f x
lim

 
 


Bư
ớc 2:

So sánh


0
f x
và



0

 
 
x x
lim f x

đ
ể

đư
a ra k
ết
lu
ận













0

0
0
0
o o
x x
x x x x
f x f x
x
f x f x f x
lim
Hµm sè liªn tôc t¹i
lim lim
 

 

 

 



   

 
   



Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC

Đ
ại số và Giải tích 11


b.
Ch
ứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).

o
C
hứng tỏ h
àm s
ố

y f ( x )
liên tục trên đoạn


a;b

o
Chứng tỏ
0f ( a ).f ( b )
. Khi đó
0f ( x )
c
ó ít nhất một nghiệm thuộc



a;b
.
·
Muốn chứng minh
:
0f ( x )
có
n
nghi
ệm phân biệt
thì ta tìm
n

khoảng rời nhau
và
trên mỗi khoảng

đó

0
f ( x )
đều có nghiệm.

II
- LUY
ỆN
T
ẬP
:

Bài t
ập
1:
Xét s
ự
li
ên t
ục
c
ủa
h
àm s
ố
t
ại

đ
i
ểm

0
x

đ
ã
ch
ỉ
ra:

1)

f(x) =
2
9
3
3
6 3
x
khi x
x
khi x















t
ạ
i
0
3x =

2)


2 3
2
2 7 5
2
3 2
1 2
x x x
x
f x
x x
x
khi
khi


  





 






t
ạ
i
0
2x =

3)


3
3
2
1
1
1
khi
4
khi
3


 

 









 




x x
x
x
f x
x
t
ạ
i

0
1x = -

4)


1 2 3
2
2
2
khi
1 khi



 











x
x
f x
x
x
t
ạ
i

0
2x =

5)


3
3 2 2
2

2
2
khi
3
khi
4


 















x
x
x
f x
x
t

ạ
i

0
2x =

6)


2
4
5 3
4
khi
3
khi
2








 










x
x
x
f x
x
t
ạ
i

0
4x =

7)
(
)
2
4 2
2 1 2
x x
f x
x x
ì
+ <
=
í

+ ³
î
khi
khi
t
ạ
i
0
2
x =
8)
(
)
4 2
1 1
3 2 1
x x x
f x
x x
ì
+ - £ -
=
í
+ > -
î
khi
khi
t
ạ
i

0
1
x = -

9)
(
)
2
0
1 0
x x
f x
x x
ì
<
=
í
- ³
î
khi
khi
t
ạ
i
0
0
x =
10)
(
)

5
5
2 1 3
5
x
x
x
f x
x
-
ì
>
ï
ï
- -
=
í
ï
£
ï
î
khi
3
khi
2
t
ạ
i
0
5

x =

Bài t
ập
2:
Tìm
a

đ
ể hàm số liên tục tại
0
x
đã chỉ ra:

1)


3 2
1
1
1 1
x
x
f x
x
a x
khi
khi



 








 


t
ạ
i
0
1x =
2) f(x) =
2
2 2
2
4
2
x
x
x
a x
ì
+ -
ï

¹
í
-
ï
=
î
khi
khi
t
ạ
i
0
2x =

3
)
(
)
2
3 2
1
1
4
2
x x
x
x
f x
x
x

x
ì
- +
<
ï
ï
-
=
í
-
ï
+ ³
ï
+
î
khi
a khi 1
t
ạ
i

0
1x =

4)


3
3 2 2
2

2
1
4
khi
khi 2


 










 




x
x
x
f x
ax x
t
ạ

i
0
2x =

B
ài t
ập
4: Tìm
a

để hàm số liên tục trên

:
1)
(
)
2
1
2 3 1
x x
f x
ax x
ì
<
=
í
- ³
î
khi
khi

2)
(
)
(
)
2 2
2
2
a x x
f x
a x x
ì
£
=
í
- >
î
khi
1 khi

3)
(
)
2
4
2
2
2
x

x
f x
x
a x
ì
-
ï
¹
=
í
-
ï
=
î
khi
khi
4)
2
1
( ) 3
3
x x
f x ax b x
x x
ì
<
ï
= + £ £
í
ï

- >
î
khi
khi 1
4 khi

Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC


Đ
ại số và Giải tích 11


5)
2sin
2
( ) sin
cos
x x
f x a x b x
x x
p
p p
p
ì
- < -
ï
ï
ï
= + - £ £

í
ï
ï
>
ï
î
khi
khi
2 2
khi
2
6)










2
6
3
3
0
3
x x
x

x x
f x a x
b x
2

x 0




 

 






 











Bài t
ập 5
: Ch
ứn
g minh các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệm
tho
ả
yêu c
ầu

đề
ra:




4 2
3
2 3 0 1 1
6 1 0 2 2
1 0
2 2
x x x ; .
x x ; .
x x
cos x x

cos x s
a) 4 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn
b) 2 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
c) sin cã nghiÖm.

d) cã nghiÖm.
e)
    
   
  


 
 
5 4
5 3
3
2
6
3 5 2 0 2 5
5 4 1 0 2 3
6 1 2 0
in x ;
x x x ; .
x x x ;
) x x
cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn
f) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
g) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
h cã nghiÖm d¬ng.

p
p
 


 




 
    
    
   


M
ỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC:

Bài tập 1: Giả sử hai hàm số


y f x
và
1
2
 


 





 
y f x

đều liên tục trên


0 1;
và
0 1f ( ) f ( )
. Chứng minh rằng phương trình
1
0
2
 


  




 
f ( x ) f x
luôn có nghiệm trong đoạn
1
0

2
 
 
 
 
;
.
Gợi ý: Đặt hàm số
1
2
 


  




 
g( x ) f ( x ) f x
liên tục trên


0 1;
.
Ta có:
1 1 1 1
0 0 1 0
2 2 2 2

       
   
   
     
   
   
   
   
       
g( ) f ( ) f ; g f f ( ) f f ( )

Suy ra:



2
1 1 1
0 0 0 0
2 2 2
1
0 0
2
0
1
0 0
1
2
2

 
     

  
 
 
     

 

 

 
 


 
   
 
 

 



 






 





 




 







 




g( ).g f ( ) f x ;
g( ).g ycbt
x
g( ).g
x

Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC


Đ
ại số và Giải tích 11


Bài tập 2:

Chứng minh rằng nếu:
2 3 6 0  a b c
thì phương trình:
2
0
  ax bx c
có ít nhất
một nghiệm trên


0 1
;
.

Gợi ý:

Trường hợp1:

0a

. Ta có:




2
2
2 4 2
0
3 9 3
2
0 4 6 9 2 2 3 6 3 0
3 9 9 3
2
0 0
3
2 3 0
2 2 2
0 0 0 0
0
3 3 3
vµ


 


   





 
 


          




 
 


 




 


   
 


 
 
      

 
 

 

 
   


a b
f ( ) c f c
c c c
f ( ).f a b c ( a b c ) c
f ( ).f ycbt
a b
f ( ).f c x ;
ax bx











Trư
ờng hợp 2:

0a
. Ta có:

0
3 6 0
 
 
bx c
b c

* Nêu
0 0 th×  b c
và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có
nghiệm trên


0 1;
.
* N
ếu

0b
:


0
1
0 1
2

   
b
x ;
c

Bài t
ập 3: Cho hàm số




0 1 0 1  y f ( x ) : f : ; ;
và liên t
ục. Chứng minh rằng tồn tại


0 1
c ;
sao cho:
f ( c ) c
.
Gợi ý:

Đặt hàm số
 g( x ) f ( x ) x
liên t
ục
trên



0 1;





0 1 0 1
0 1 0 1
Lu ý:


   
f : ; ;
x f ( x )

Ta có:
0 0 0 1 1 1 0     g( ) f ( ) ; g( ) f ( )
do


0 1 0 1 ,   f ( x ) x ;

Lúc
đó
:


0 1 0 , 0;1  g( ).g( ) x

Bài tập 4: Cho hàm số

y f ( x )
liên tục trên đoạn


1 1 ;
. Chứng minh rằng với mọi
0 a, b

cho trước, phương trình:
1 1 


af ( ) bf ( )
f ( x )
a b
luôn có nghiệm thuộc


1 1 ;
.
Gợi ý: Đặt
1 1 
 

af ( ) bf ( )
h( x ) f ( x )
a b
liên t
ục trên



1 1
 ;
.

Ta có:









2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 0 0


 
 
  
 

 
 
    
 
  
     

a f ( ) f ( )
af ( ) bf ( )
h( ) f ( ) ;
a b a b
b f ( ) f ( )
af ( ) bf ( )
h( ) f ( )
a b a b
ab f ( ) f ( )
h( ).h( ) , a,b
a b

Chuyờn GII HN CA HM S V S LIấN TC



i s v Gii tớch 11


Bi tp 5:
Cho ph

ng trỡnh:

2
0
ax bx c



0ac
. Bi
t
r
ng

2 6 19 0
a b c
. Ch
n
g
minh ph

ng trỡnh cú
nghim trờn


0 1;
.
G
i ý:
Xột d
u

1
0
3








f ( ).f

Bi tp 6:
Cho ph

ng tr
ỡnh:
3 2
0 ax bx cx c



0ac
. Bi
t
r
ng

0

12 9 2

a b c
. Ch
n
g
minh ph

ng tr
ỡnh cú
nghi
m trờn


0 1
;
.

Gi ý:
Xột d
u

3
0
4

f ( ).f

Bi t
p
7: Cho ph

ng trỡnh:
2
0 ax bx c



0ac
. Bi
t
r
ng

0
2001 2000 1999

a b c
.
Ch
n
g minh ph

ng trỡnh cú
nghim trờn


0 1;
.
Gi ý:
X
ột d
u

2000
0
2001








f ( ).f

Bi tp 8:
Cho ph

ng trỡnh:
4
2 0 (*)x x

. Ch
ng
minh ph

ng trỡnh (*) cú nghi
m



0
1 2x ;
v
7
0
8x
.

Gi ý:

Xộ
t d
u
1 2
f ( ).f ( )
. Ch
n
g minh
7
0
8x

:


4 4
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
2 0 2 2 2
2 1 2
2 2
(1) áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
(2)
Dấu bằng xãy ra khi , vậy với thì dấu bằng ở (2) không xãy ra.
Vậy ta có: (3)
Từ (1) và (3) suy ra:



x x x x . x x
x x ;
x x
4 8
7
0 0 0 0 0
7
2 8 8
8 2 0

Cách khác: Hoặc có thể chỉ rõ:

x x x x x
f ( ).f ( )

Bi tp 9
:
Cho ph

ng tr
ỡnh:
6
1 0 x x (*)
. Ch
ng
minh ph

ng tr
ỡnh (*) cú nghi
m



0
1 2x ;
v

13
0
4x
.

Bi tp 10:
Ch
n
g minh c
ỏc ph

ng tr
ỡnh sau
õ
y lu
ụn cú nghi
m
v
i
b
t
k

gi
ỏ tr

n
o c
a
tham
s

m
:

3
0 1 2 2 3 0a) cos cos2 = b) x m x m( x ) ( x ) x

Gi ý:


3
1 3 1
4 4
2 2
3 1
0
4 4 2
1 2 2 3 1 5 2 1
a) Đặt cos cos2 Ta có: và
Suy ra:
b) Đặt Ta có: và

p p
p p

f ( x ) x m x. f f
f .f
f ( x ) m( x ) ( x ) x . f ( ) f ( )

1 2 1 0 Suy ra: f .f

Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC


Đ
ại số và Giải tích 11


Bài t
ập 11:
Ch
ứn
g minh c

ác ph
ươ
ng tr
ình sau
đâ
y lu
ôn có nghi
ệm
v
ới
m
ọi
gi
á tr
ị
c
ủa
tham s
ố
:



2 4 2 7
3
1 2 2 0 16 6 0
1 2 2 3 0 2 2 2 5 1
a) b)
c) d)
        

       
m m x x m( x ) x ( x )
m( x )( x ) ( x )x m( cos x ) sin x


Bài tập 12:
Ch
ứn
g minh v
ới
m
ọi

a, b, c
các ph
ươ
ng trình sau
đâ
y luôn có nghi
ệm
:
0
0
a)
b)
        
        
a( x b )( x c ) b( x c )( x a ) c( x a )( x b )
ab( x a )( x b ) ac( x c )( x a ) bc( x b )( x c )

Gợi ý:


2
0 3
0 3
a) §Æt
Ta cã liªn tôc trªn R vµ:


        

  



  


  






  
f ( x ) a( x b )( x c ) b( x c )( x a ) c( x a )( x b )
f ( x )
f ( a ) a( a b )( a c )

f ( b ) b(b c )(b a )
f ( c ) c( c b )( c a )
f ( ) abc
f ( ) f ( a ) f (b ) f ( c ) a
 
2 2 2 2 2
0 0
0
0 0 0
0
hoÆc
Tån t¹i sao cho (®pcm)
   
  
 
b c ( a b ) (b c ) ( c a )
f ( a )f ( b ) f ( ) f (c )
x f x

Bài tập
13:

a) Ch
ứn
g minh r
ằng
ph
ươ
ng tr
ình:

3 2
1
1000 0
100
  x x
có ít nh
ất
m
ột

nghi
ệm
d
ươ
ng.

b) Ch
ứng
minh r
ằng
v
ới
m
ọi

s
ố
th
ực

a, b, c
ph
ươ
ng tr
ình:
3 2
0   x ax bx c
có ít nh
ất
m
ột

nghi
ệm

Gợi ý:






3 2
1
1000
100
1
0 0 0 0
100
0 0

x
x
x
f ( x ) x x
f ( ) f ( x ) M f M
f ( ).f M
f ( x )
a, b, c R
f ( x )
a) §Æt liªn tôc trªn R
Ta cã: vµ lim suy ra víi sè tuú ý th×
Lóc ®ã:
lim
b) ,
lim




  
      
 

 



 

 





0 0
0 0
0
x
x
f ( x ) A f ( A )
f ( x ) B f ( B )
f ( A ).f ( B ) ycbt
Do lim nªn tån t¹i tuú ý sao cho:
T¬ng tù: lim nªn tån t¹i tuú ý sao cho:
Tõ ®ã suy ra:


   
   
 