luận văn thạc sĩ Quản trị rủi ro bằng mô hình VaR và phương pháp sử dụng Copula điều kiện DH KINH TÊ QUỐC DÂN

Đề tài nghiên cứu khoa học
MỤC LỤC
Đề tài nghiên cứu khoa học
DANH MỤC BẢNG BIỂU - SƠ ĐỒ - HÌNH VẼ
Đề tài nghiên cứu khoa học
LỜI MỞ ĐẦU
Cuộc khủng hoảng tài chính thế giới giai đoạn 2007-2010 là cuộc
khủng hoảng gây ra sự đổ vỡ hàng loạt các hệ thống ngân hàng, tín dụng, tình
trạng sụt giá chứng khoán trầm trọng và mất giá tiền tệ quy mô lớn bắt nguồn
từ Hoa Kỳ và đã lan rộng ra nhiều nước trên thế giới. Cuộc khủng hoảng bùng
phát từ cuối năm 2008 đã dẫn tới những sự đổ vỡ tài chính, suy thoái kinh tế,
suy giảm tốc độ tăng trưởng kinh tế ở rất nhiều quốc gia trên thế giới. Những
tác động này phần nào cũng đã gây ra những tổn thất cho nền kinh tế và thị
trường chứng khoán Việt Nam. Thị trường chứng khoán Việt Nam khép lại
năm 2008 với kỷ lục tạo đáy của chỉ số VNIndex, đóng cửa tại mức 315.62
điểm, mất 605.45 điểm, tương đương giảm 65.33% so với phiên giao dịch đầu
năm; giá trị vốn hóa thị trường từ mức 30 tỷ USD vào thời điểm đầu năm đã
suy giảm chỉ còn 13 tỷ USD tính đến đầu tháng 12, tương đương 17% GDP.
Sự đổ vỡ của thị trường chứng khoán Việt Nam đã gây ra những thiệt
hại không nhỏ đối với các công ty niêm yết, các tổ chức tài chính, ngân hàng,
và đặc biệt là các nhà đầu tư, những thiệt hại này nếu như được dự tính và đo
lường từ trước phần nào có thể giảm thiểu được tổn thất xảy ra. Đứng trước
những tổn thất, mất mát như vậy các tác nhân làm thế nào có thể nhận dạng,
đo lường, kiểm soát được rủi ro để có thể phòng ngừa và giảm thiểu những rủi
ro này, đó là vấn đề quản trị rủi ro. Vấn đề đo lường rủi ro đã được đề cập từ
rất lâu trên thế giới trong các lĩnh vực thống kê, kinh tế và tài chính. Thuật
ngữ VaR – (Value at Risk) đã được sử dụng rộng rãi trong khoa học kinh tế
kể từ sau sự kiện thị trường chứng khoán sụp đổ năm 1987. Mô hình VaR
được xem là một trong những phương pháp đo lường rủi ro thị trường của tài
sản và danh mục trong lĩnh vực quản trị rủi ro. Đề tài “Quản trị rủi ro bằng
mô hình VaR và phương pháp sử dụng Copula điều kiện” giới thiệu VaR

như một công cụ để ước lượng trước giá trị tổn thất thị trường của danh mục
1
Đề tài nghiên cứu khoa học
và tài sản, trong đó có sử dụng hàm Copula điều kiện trong xác suất mang lại
tính chính xác cao so với các phương pháp tính VaR truyền thống, giúp các tổ
chức và nhà đầu tư có thể dự báo mức độ tổn thất của danh mục và thực hiện
phòng hộ rủi ro.
Mục tiêu nghiên cứu:
+ Trình bày mô hình VaR trên phương diện lý thuyết cũng như ứng
dụng trong quản trị rủi ro tài chính.
+ Trình bày một số phương pháp ước lượng mô hình VaR trong đó nhấn
mạnh phương pháp sử dụng Copula điều kiện, đồng thời áp dụng tính toán trên
nhóm cổ phiếu REE và SAM trên Thị trường chứng khoán Việt Nam.
VaR là một giá trị đo mức độ tổn thất rất phổ biến, có vai trò trung tâm
trong quản trị rủi ro, là một độ đo đơn giản nhưng khó để ước lượng. Lý
thuyết Riskmetrics đưa ra để tính VaR. Đặc điểm của lý thuyết là thừa nhận
các chuỗi lợi suất tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn, hiệp phương sai
(Covariance) cho biết mức độ phụ thuộc giữa các tài sản, phương sai
(Variance) cho biết rủi ro của từng tài sản. Tuy nhiên, trong tài chính, điều
kiện hàm phân phối của lợi suất tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn là
hiếm khi xảy ra. Lý thuyết Copula là một công cụ toán học rất mạnh cho hàm
xác suất phân phối đồng thời do nó không bắt buộc các phân phối biên duyên
phải là phân phối chuẩn, cho phép mở rộng xác định phân phối đồng thời cho
n biến từ các hàm phân phối biên duyên của chúng và một hàm Copula. Đề tài
tiếp cận hàm Copula trong xác suất, xem xét ứng dụng Copula điều kiện để
ước lượng VaR của một danh mục gồm 2 tài sản trong trường hợp lợi suất của
tài sản không tuân theo quy luật phân phối chuẩn, sau đó tiến hành so sánh
phương pháp này với các phương pháp ước lượng VaR truyền thống.
Đề tài được thực hiện với mục đích giới thiệu Copula như một phương pháp
tiếp cận mới mẻ và mang tính chính xác cao khi ước lượng giá trị tổn thất, có

2
Đề tài nghiên cứu khoa học
khả năng thực hiện trên danh mục gồm lượng lớn tài sản dựa vào đặc trưng
của dạng Copula, và đặc biệt không cần quan tâm đến phân phối xác suất của
các lợi suất tài sản trong danh mục.
Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các phương pháp mô hình toán
kinh tế, phân tích kinh tế lượng, lý thuyết xác suất, thiết lập code trong phần
mềm MATLAB để tiếp cận và ước lượng về mặt định lượng mô hình VaR.
Đối tượng nghiên cứu: Quá trình phân tích và ước lượng mô hình
VaR đối với hai cổ phiếu REE và SAM sử dụng trong quản trị rủi ro danh
mục.
Phạm vi nghiên cứu: Diễn biến cổ phiếu REE và SAM trong giai đoạn
16/2/2006 đến thời điểm quyết định nắm giữ danh mục(20/2/2009) và ước
lượng mô hình VaR trong giai đoạn 23/9/2009 đến 12/2/2010.
Kết cấu đề tài:
LỜI MỞ ĐẦU
CHƯƠNG I: QUẢN TRỊ RỦI RO CỦA DANH MỤC VÀ PHƯƠNG PHÁP
QUẢN TRỊ RỦI RO BẰNG MÔ HÌNH VaR
CHƯƠNG II: MÔ HÌNH VaR CỦA DANH MỤC
CHƯƠNG III: PHÂN TÍCH, SO SÁNH KẾT QUẢ ƯỚC LƯỢNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
KẾT LUẬN
PHỤ LỤC
Phần phụ lục của nghiên cứu gồm toàn bộ quá trình kiểm định, ước
lượng mô hình bằng các phần mềm kinh tế lượng, các thao tác thực hiện tính
toán trên phần mềm MATLAB, các bộ code của MATLAB, kết quả ước
lượng 250 giá trị VaR lợi suất thực hiện theo 3 phương pháp trong khoảng
thời gian 23/9/2009 - 12/2/2010, và phần bổ sung thêm một kịch bản khác của
danh mục nắm giữ.
3

Đề tài nghiên cứu khoa học
CHƯƠNG I:
QUẢN TRỊ RỦI RO CỦA DANH MỤC VÀ PHƯƠNG PHÁP
QUẢN TRỊ RỦI RO BẰNG MÔ HÌNH VaR
1.1-RỦI RO TÀI CHÍNH VÀ QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH
1.1.1- KHÁI NIỆM RỦI RO VÀ RỦI RO TÀI CHÍNH
Khái niệm về rủi ro có thể được hiểu đơn giản là những kết cục có thể
xảy ra trong tương lai mà không được mong đợi. Đối với từng lĩnh vực
nghiên cứu, rủi ro được định nghĩa theo từng cách khác nhau. Trong lĩnh vực
quản trị rủi ro, thuật ngữ ‘Hiểm họa – Hazard’ được sử dụng để phản ánh một
sự kiện mà có thể gây ra một thiệt hại và thuật ngữ ‘Rủi ro – Risk’ được hiểu
đơn giản là xác suất để xảy ra một điều gì đó. Theo cách này, rủi ro chỉ phát
sinh khi có sự không chắc chắn về mất mát xảy ra. Điều này có nghĩa là, đứng
trước một quyết định hành động mà kết cục chắc chắn xảy ra mất mát thì
không phải là rủi ro. Một kết cục mất mát không chắc chắn tức là điều này có
thể xảy ra hoặc không, nhưng có tồn tại khả năng mất mát, gây thiệt hại cho
người ra quyết định hành động.
Trong lĩnh vực tài chính, rủi ro là một khái niệm đánh giá mức độ biến
động hay bất ổn của giao dịch hay danh mục đầu tư. Rủi ro tài chính được
quan niệm là hậu quả của sự thay đổi, biến động không lường trước được của
giá trị tài sản hoặc giá trị các khoản nợ đối với các tổ chức tài chính và các
nhà đầu tư trong quá trình hoạt động của thị trường tài chính. Như cách định
nghĩa này, rủi ro được hiểu theo nghĩa rộng hơn, tất cả những sự thay, đổi
biến động không lường trước được đều là những rủi ro, có thể những sự thay
đổi này là gây thiệt hại hoặc có lợi cho người ra quyết định hành động. Rủi ro
tiêu cực là những sự thay đổi, biến động không được mong chờ gây nên thiệt
hại. Những kết cục không lường trước được mà có lợi cho người ra quyết
4
Đề tài nghiên cứu khoa học
định gọi là rủi ro tích cực.

1.1.2-PHÂN LOẠI RỦI RO
Trong tài chính, rủi ro có thể xảy ra do nhiều nguyên nhân, tùy thuộc
vào nguyên nhân xảy ra rủi ro có thể phân loại các hình thức rủi ro tài chính
như sau:
- Rủi ro hệ thống (Systematic Risk): Rủi ro liên quan đến toàn bộ thị
trường hay toàn bộ nền kinh tế.
- Rủi ro kế toán (Accounting Risk): Rủi ro liên quan đến nghiệp vụ kế
toán không phù hợp với một giao dịch, có thể xảy ra khi quy trình và quy định
về kế toán thay đổi hay chưa được xây dựng.
- Rủi ro tài chính (Financial Risk): Rủi ro liên quan đến những thay đổi
của những nhân tố như lãi suất, giá cổ phiếu, giá hàng hóa và tỷ giá.
- Rủi ro kinh doanh (Business Risk): Rủi ro liên quan đến hoạt động
đặc trưng của doanh nghiệp.
- Rủi ro mô hình (Model Risk): Rủi ro liên quan đến việc sử dụng mô
hình không đúng hoặc không phù hợp, hoặc trong một mô hình tồn tại các sai
số hoặc các giá trị đầu vào không đúng.
- Rủi ro pháp lý (Regulatory Risk): Rủi ro xảy ra do các các giao dịch
không đúng pháp luật.
- Rủi ro quy mô (Quantity Risk): Rủi ro của một chiến lược phòng
ngừa rủi ro trong đó nhà phòng ngừa rủi ro không biết được mình sẽ sở hữu
hoặc bán bao nhiêu đơn vị tài sản giao ngay.
- Rủi ro thanh khoản (Liquidity Risk): Rủi ro xảy ra do tính thanh
khoản các tài sản không được thực hiện.
- Rủi ro tín dụng (Default Risk): Rủi ro xảy ra do đối tác trong hoạt
động tín dụng không có khả năng thanh toán.
- Rủi ro hoạt động: Rủi ro phát sinh do con người hoặc do kỹ thuật gây
5
Đề tài nghiên cứu khoa học
ra các sự cố.
Khi đề cập đến rủi ro tài chính người ta thường quan tâm đến rủi ro tài

chính, rủi ro thanh khoản và rủi ro tín dụng. Trong đề tài này, chúng ta tập
trung vào rủi ro tài chính liên quan đến những thay đổi của giá cổ phiếu.
1.1.3-TỔN THẤT TÀI CHÍNH
Những thiệt hại đối với nhà đầu tư do rủi ro tài chính gọi là tổn thất
tài chính (Financial Loss). Khi xảy ra rủi ro tài chính, hậu quả rất khó lường
và nếu các tổ chức tài chính, chính phủ không có đối sách hữu hiệu sẽ gây ra
ảnh hưởng tiêu cực đến hoạt động của toàn bộ nền kinh tế. Nếu các tổn thất
xảy ra đối với nhiều nhà đầu tư thì có thể dẫn đến khủng hoảng, đổ vỡ của các
định chế và tồi tệ hơn là của chính thị trường tài chính (Financial Crash,
Crisis).
1.1.4-QUẢN TRỊ RỦI RO (RISK MANAGEMENT)
Quản trị rủi ro là quá trình tiếp cận rủi ro một cách khoa học toàn diện
và có hệ thống nhằm nhận dạng, kiểm soát, phòng ngừa và giảm thiểu những
tổn thất, mất mát, những ảnh hưởng bất lợi của rủi ro.
Quản trị rủi ro bao gồm các nội dung:
- Nhận dạng – phân tích – đo lường rủi ro;
- Kiểm soát – phòng ngừa rủi ro;
- Tài trợ rủi ro trường hợp xuất hiện rủi ro;
Nhận dạng rủi ro là quá trình xác định liên tục và có hệ thống các hoạt
động kinh doanh của tổ chức. Hoạt động nhận diện rủi ro nhằm phát triển các
thông tin về nguồn gốc rủi ro, các yếu tố mạo hiểm, hiểm họa, đối tượng rủi
ro và các loại tổn thất. Nhận dạng rủi ro bao gồm các công việc theo dõi, xem
xét nghiên cứu môi trường hoạt động và toàn bộ mọi hoạt động của tổ chức
nhằm thống kê được tất cả các rủi ro, không chỉ những loại rủi ro đã và đang
xảy ra, mà còn dự báo được các dạng rủi ro mới có thể xuất hiện với tổ chức,
6
Đề tài nghiên cứu khoa học
trên cơ sở đó đề xuất các giải pháp kiểm soát và tài trợ rủi ro thích hợp.
Phân tích rủi ro là quá trình xác định nguyên nhân gây ra rủi ro, trên
cơ sở đó có thể tìm ra được biện pháp phòng ngừa. Không phải mỗi rủi ro chỉ

do một nguyên nhân gây ra, mà thường là do nhiều nguyên nhân, vì vậy quá
trình này là một quá trình phức tạp.
Đo lường rủi ro: là quá trình đánh giá, ước lượng đo đạc mức thiệt hại
khi rủi ro xảy.
Công việc trọng tâm của quản trị rủi ro là kiểm soát rủi ro. Đây là quá
trình sử dụng các biện pháp, kỹ thuật, công cụ, chiến lược, các chương trình
hoạt động…để ngăn ngừa, né tránh hoặc giảm thiểu những tổn thất, những
ảnh hưởng không mong đợi có thể xảy ra với các tổ chức. Các biện pháp kiểm
soát rủi ro được chia thành các nhóm sau:
- Phòng tránh rủi ro: là việc né tránh các hoạt động hoặc những nguyên
nhân là phát sinh tổn thất, mất mát có thể có.
- Ngăn ngừa tổn thất: là sử dụng các biện pháp để giảm thiểu số lần
xuất hiện các rủi ro và giảm mức độ thiệt hại do rủi do mang lại.
- Giảm thiểu tổn thất: là các biện pháp giảm thiểu những thiệt hại, mất
mát do rủi ro mang lại.
- Chuyển giao rủi ro: là quá trình chuyển giao tài sản hoặc hoạt động
cho người khác hoặc tổ chức khác; là quá trình chuyển rủi ro thông qua con
đường ký hợp đồng với tổ chức khác, trong đó quy định chỉ chuyển giao rủi
ro, không chuyển giao tài sản cho người nhận rủi ro (chẳng hạn như hoạt
động bảo hiểm).
- Đa dạng hóa rủi ro: là hoạt động gần giống phân tán rủi ro, đa dạng
hóa rủi ro thường được sử dụng trong hoạt động của doanh nghiệp, nhà đầu
tư, như: đa dạng hóa thị trường, đa dạng hóa mặt hàng, đa dạng hóa đối tác…
7
Đề tài nghiên cứu khoa học
để phòng chống rủi ro.
Rủi ro là bất thường, đa dạng, do nhiều tác nhân sinh ra, bất kỳ lúc nào,
khi nào. Do đó, dù phòng bị kỹ đến đâu, dù kiểm soát rủi ro chặt chẽ cách nào
thì cũng không thể tránh né, ngăn chặn hết tất cả những tổn thất. Người ta chỉ
có thể giảm thiểu, ngăn chặn bớt chứ không thể né tránh, tiêu diệt hết những

hậu quả xấu. Vì vậy, một khi tổn thất xảy ra, trước hết cẩn theo dõi, đánh giá
tổn thất, tiếp đó cần có những biện pháp xử lý rủi ro thích hợp. Các biện
pháp này chia làm 2 nhóm:
- Tự khắc phục rủi ro: là phương pháp mà cá nhân, tổ chức bị rủi ro tự
mình thanh toán các tổn thất. Nguồn bù đắp rủi ro là nguồn tự có của chính cá
nhân, tổ chức đó, cộng với các nguồn mà cá nhân, tổ chức đó đi vay và có
trách nhiệm hoàn trả. Để có thể tự khắc phục rủi ro một cách có hiệu quả thì
lập các quỹ dự phòng và lập các kế hoạch tài trợ tổn thất một cách khoa học.
- Chuyển giao rủi ro: đối với những tài sản đã mua bảo hiểm thì sẽ nhận
được khoản bồi thường khi rủi ro xảy ra.
Quản trị rủi ro tài chính là hoạt động tạo ra giá trị kinh tế trong một
công ty bằng cách sử dụng các công cụ tài chính để quản lý các rủi ro, đặc
biệt là rủi ro tín dụng và rủi ro thị trường. Rủi ro tài chính quan tâm đến
những rủi ro phát sinh từ thu đổi ngoại tệ, cổ phiếu, tính thanh khoản, rủi ro
lạm phát…Tương tự như quản trị rủi ro chung, quản trị rủi ro tài chính đòi hỏi
việc xác định nguồn của nó, đo đạc và lập kế hoạch giải quyết chung. Quản trị
rủi ro tài chính xác định trên cả hai mặt định tính và định lượng. Biện pháp
thông thường thực hiện quản trị rủi ro tài chính là sử dụng các công cụ tài
chính chẳng hạn như các sản phẩm phái sinh.
Mô hình VaR – (Value at Risk) là một trong những phương pháp đo
lường rủi ro thị trường của tài sản, danh mục. Đề tài quan tâm đến rủi ro trong
một danh mục đầu tư phát sinh từ sự thay đổi giá cổ phiếu trên thị trường,
8
Đề tài nghiên cứu khoa học
thay đổi này là ngẫu nhiên khi giả định thị trường là hiệu quả khi tất cả những
thông tin đều phản ánh trên giá trị của cổ phiếu. Sử dụng mô hình VaR như
một cách đo lường và cảnh báo sớm những tổn thất về mặt giá trị của danh
mục khi giá của mỗi cổ phiếu biến động giúp nhà đầu tư ước lượng mức độ
tổn thất và thực hiện phòng hộ rủi ro.
1.2-VaR VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG

1.2.1-Nguồn gốc ra đời và quá trình phát triển
Vấn đề về đo lường rủi ro đã được đề cập từ rất lâu trong các lĩnh vực
thống kê, kinh tế và tài chính. Quản trị rủi ro tài chính đã trở thành một mối
quan tâm cho các cơ quan quản lý và điều hành tài chính trong suốt thời gian
dài. Các nghiên cứu trong quá khứ đã chứng tỏ người ta đã muốn tiếp cận giá
trị tổn thất từ rất lâu, nhưng nó không được định nghĩa một cách chính xác
cho đến cuối thập niên 1980. Thuật ngữ VaR (Giá trị rủi ro - Value at Risk)
đã được sử dụng rộng rãi và thực sự trở thành một lĩnh vực quan trọng trong
khoa học kinh tế từ sau sự kiện thị trường chứng khoán sụp đổ năm 1987.
Người đã tiếp cận giá trị VaR đầu tiên là Harry Markowitz vào năm
1952. Trong bài báo tài chính “Sự lựa chọn danh mục đầu tư (Porfolio
Selection)”, ông đã dựa vào ma trận hiệp phương sai lợi suất để phát triển
phương pháp tối ưu danh mục đầu tư.
Trong những năm đầu thập niên 80, Ủy ban Chứng khoán và Ngoại hối
liên bang Hoa Kỳ (SEC - Securities and Exchange Commisson) đã thông qua độ
đo VaR để ràng buộc yêu cầu về vốn các công ty tài chính cho các khoản lỗ có
thể phát sinh, với độ tin cậy 95% trong khoảng thời gian 30 ngày, và ở các mức
độ khác nhau, chuỗi lợi suất quá khứ được sử dụng để tính toán các khoản lỗ
tiềm năng. Trong khoảng thời gian này, Ngân hàng Trust đã triển khai sử dụng
một đô đo VaR cho một hệ thống phân bổ vốn đầu tư của mình (RAROC).
Trong thời gian cuối thập niên 80 và đầu thập niên 90, một số tổ chức
đã thực hiện tính toán VaR để hỗ trợ cho việc phân bổ vốn đầu tư và hạn chế
9
Đề tài nghiên cứu khoa học
rủi ro của thị trường.
Những sự kiện tài chính đầu những năm 1990 cho thấy rất nhiều công
ty đã gặp rắc rối vì tổn thất công ty ở dưới mức dự kiến hoặc không được xác
định một cách rõ ràng từ trước. Từ khi tất cả các bàn giao dịch luôn quan tâm
đến việc tính giá trị tổn thất, VaR đã trở thành một điều kiện tất yếu trong các
báo cáo về rủi ro của hầu hết các công ty. Tại Ngân hàng JP Morgan, Giám

đốc điều hành nổi tiếng - Dennis Weatherstone đã tuyên bố “Báo cáo lúc
4:15”, với ý nghĩa phải tổng kết tổn thất của tất cả các công ty trong ngày trên
một báo cáo trong vòng 15 phút khi thị trường đóng cửa giao dịch. Độ đo tổn
thất VaR đã được phát triển cho mục đích này. VaR đã được ứng dụng rộng
rãi nhất tại Ngân hàng JP Morgan, đây cũng là nơi đã công bố rất nhiều
phương pháp VaR và cho phép truy cập miễn phí dữ liệu các tham số ước
lượng cần thiết trong năm 1994. Đây là lần đầu tiên VaR được quan tâm rộng
rãi mà không chỉ giới hạn trong một nhóm nhỏ các nhà khoa học và toán học
tài chính. Hai năm sau, phương pháp này đã được tách ra một cách độc lập mà
trước đây là một phần của nhóm RiskMetrics.
Năm 1997, SEC đã phán quyết rằng tất cả các công ty niêm yết phải
công bố thông tin định lượng về hoạt động phái sinh của họ. Những ngân
hàng lớn và các đại lý đã tuân thủ bằng cách bao gồm cả thông tin về VaR
trong các ghi chú báo cáo tài chính của họ.
Tổ chức Ngân hàng Quốc tế đã công bố “Hiệp định Basel II”, bắt đầu
từ năm 1999 và gần như hoàn thiện cho đến ngày nay, đã thúc đẩy hơn nữa
việc sử dụng VaR trong quản trị rủi ro. VaR đã trở nên một biện pháp hàng
đầu để đo lường tổn thất thị trường, và những tiếp cận tương tự như VaR cũng
được sử dụng trong nhiều điều khoản khác của Hiệp định.
1.2.2-Khái niệm VaR
VaR của danh mục tài sản thể hiện mức độ tổn thất có thể xảy ra đối
với danh mục, tài sản trong một khoảng thời gian nhất định với mức độ tin
10
Đề tài nghiên cứu khoa học
cậy nhất định.
Để tiếp cận khái niệm cơ bản của giá trị rủi ro (VaR - Value at Risk),
chúng ta sẽ lấy một ví dụ đơn giản:
Một nhà đầu tư quyết định đầu tư một khoản tiền lớn vào một danh
mục cổ phiếu châu Âu và tháng vừa rồi giá trị danh mục đầu tư này đã giảm
xuống 50000$. Sau khi khảo sát đến những nguyên nhân dẫn đến sụt giảm lợi

nhuận, anh ta muốn biết mức độ tổn thất tối đa vào cuối tháng này. Câu trả lời
ngay lập tức là anh ta có thể mất hết khoản tiền đầu tư, nhưng câu trả lời này
không phù hợp với thực tế vì ai cũng biết trường hợp thiệt hại lớn này hiếm
khi xảy ra. Câu trả lời thích hợp là: ”Nếu không tồn tại sự kiện đặc biệt, thì
tổn thất tối đa trong 95% các trường hợp sẽ không vượt quá 4000$ vào cuối
tháng này”. Đó là khái niệm của VaR.
VaR của danh mục tài sản tài chính được định nghĩa là khoản tiền lỗ tối
đa trong một thời gian nhất định, nếu ta loại trừ những trường hợp xấu nhất
hiếm khi xảy ra.
VaR là một phương pháp đánh giá mức rủi ro của một danh mục đầu tư
theo hai tiêu chuẩn như giá trị của danh mục đầu tư và khả năng chịu đựng rủi
ro của nhà đầu tư.
Trong ví dụ vừa rồi, VaR với mức ý nghĩa 95% của danh mục cổ phiếu
châu Âu trong một tháng là 4000$, điều này có nghĩa là nếu danh mục không
thay đổi trong vòng một tháng và nếu thị trường tài chính vẫn trong tình trạng
bình thường (không tồn tài trường hợp xấu nhất), thì khoản lỗ trong 95% các
trường hợp thấp hơn 4000$ và xác suất khoản lỗ cao hơn 4000$ là 5% trong
trường hợp xấu nhất: VaR(1 tháng , 95%) = 4000$.
Trong toán tài chính và quản trị rủi ro tài chính, VaR là một giá trị sử
dụng rộng rãi đo độ rủi ro mức độ tổn thất trên một danh mục tài sản tài chính
nhất định. Cho một danh mục, xác suất và khoảng thời gian không đổi, VaR
11
Đề tài nghiên cứu khoa học
được định nghĩa như một giá trị ngưỡng sao cho xác suất để tổn thất danh
mục trong khoảng thời gian nhất định không vượt quá giá trị này là một xác
suất cho trước.
1.2.3-Mô hình VaR
1.2.3.1-Tiếp cận mô hình
Giả sử rằng một nhà đầu tư quyết định đầu tư một danh mục tài sản P.
Tại thời điểm t, giá trị của danh mục đầu tư là

t
V
. Sau một khoảng thời gian
t
∆
, tức là tại thời điểm
tt
∆+
thì giá trị của danh mục đầu tư là
k
V
. Khi đó, giá
trị
tk
VVkV −=∆ )(
cho biết sự thay đổi giá trị của danh mục P trong khoảng
thời gian
t
∆
.
Hình 1.1: Biểu diễn thay đổi giá trị tài sản sau khoảng thời gian
t∆
.
t
t
∆

tt
∆+
k

V
là một biến ngẫu nhiên khi đó
tk
VVkV −=∆ )(
cũng là một biến ngẫu
nhiên. F
k
(x) là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
)(kV∆
. Nếu ta
xem xét P(
)(kV∆
≤ x
α
) = α, với 0 < α < 1, thì giá trị x
α
gọi là “Phân vị mức α”
của hàm phân bố F
k
.
1.2.3.2-Mô hình VaR
Xem xét nhà đầu tư ở vị thế trường vị, khi
0)( <∆ kV
tức là nhà đầu tư
sẽ chịu tổn thất. P(
)(kV∆
≤ x
α
) = α ta nói rằng xác suất để nhà đầu tư chịu tổn
thất dưới mức x

α
(x
α
<0) là α.
Ngược lại, nhà đầu tư ở vị thế đoản vị,
0)( >∆ kV
tức là nhà đầu tư sẽ
chịu tổn thất. P(
)(kV∆
≥ x
α
) = 1 - P(
)(kV∆
≤ x
α
) = 1 - α ta nói rằng xác suất để
nhà đầu tư chịu mức tổn thất trên mức x
α
(x
α
>0) là 1- α.
12
V
t
V
k
Đề tài nghiên cứu khoa học
Hình 1.2: Đồ thị mật độ xác suất biểu diễn mức phân vị α.
Đứng trên cả hai vị thế cho nhà đầu tư, khi nhà đầu tư chịu tổn thất tức
là giá trị danh mục sụt giảm (giá trị âm). Trong cả hai trường hợp trên, α được

cho như xác suất để mức tổn thất không vượt quá giá trị âm này. Ngưỡng giá
trị âm này chính là VaR. Như vậy VaR của một danh mục với chu kỳ k và độ
tin cậy (1- α)100% là mức phân vị α của hàm phân bố F
k
(x). Khi đó đại lượng
này được ký hiệu là VaR(k, α) và mang giá trị âm.
Như vậy ta có P(
)(kV∆
≤ VaR(k, α)) = α. Từ điều này rút ra ý nghĩa
của VaR(k, α) - nhà đầu tư nắm giữ một danh mục P và sau một chu kỳ k, với
độ tin cậy (1- α)100%, nhà đầu tư khả năng tổn thất một khoản sẽ bằng
VaR(k, α)
trong điều kiện hoạt động bình thường.
1.2.3.3-Các giả thiết
Thông thường giá trị rủi ro (VaR) phụ thuộc vào các giả định sau đây
(trừ một số phương pháp tiếp cận VaR phi tham số có những điểm khác):
Tính dừng: Trong mô hình hồi quy cổ điển chúng ta đã giả thiết rằng
các yếu tố ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng không, phương sai không đổi và
chúng không có tương quan với nhau. Nếu chúng ta tiến hành ước lượng một
mô hình với chuỗi thời gian, khi đó giả thiết của OLS bị vi phạm. Một chuỗi
được gọi là dừng nếu kỳ vọng, phương sai và hiệp phương sai không thay đổi
theo thời gian. Điều này cũng có nghĩa là phân bố xác suất của chuỗi là không
thay đổi theo thời gian.
=
x
f
k
(x)
x
α

α
13
Đề tài nghiên cứu khoa học
Bước ngẫu nhiên: Một biến
t
Y
được định nghĩa là một bước ngẫu
nhiên nếu
ttt
uYY +=
−1
mà trong đó
t
u
là nhiễu trắng (có trung bình bằng
không, phương sai không đổi và hiệp phương sai bằng không). Khi đó:
)()()()(
11 −−
=+=
tttt
YEuEYEYE
.
Điều này có nghĩa là kỳ vọng của
t
Y
không đổi. Với giả thiết này,
người ta tin rằng giá trị tương lai không phụ thuộc vào giá trị trong quá khứ.
Giá trị không âm: Các tài sản nhất thiết phải là các giá trị không âm.
Thời gian cố định: Giả thiết này cho rằng, điều gì đúng cho một
khoảng thời gian thì cũng đúng cho nhiều khoảng thời gian. Chẳng hạn, nếu

cho khoảng thời gian một tuần thì cũng có thể mở rộng cho một năm.
Phân phối chuẩn: Trong một số phương pháp tính VaR, thì giả thiết
lợi suất tài sản tuân theo quy luật phân phối chuẩn, chỉ trừ một số phương
pháp tiếp cận VaR phi tham số như Monte Carlo.
1.2.4-Các mô hình VaR trong thực hành
Trong thực tế các giả thiết để tính VaR thường xuyên bị vi phạm.
Người ta luôn muốn tìm giá trị VaR, ước tính được giá trị này càng gần giá trị
tổn thất trong thực tế nhất. Dưới đây là các mô hình VaR dần được cải thiện
để dần cải thiện cho các giả thiết bị vi phạm.
Lợi suất danh mục trong chu kỳ k được định nghĩa là:
t
t
V
kV
r
)(
∆
=
điều
này suy ra
tt
VrkV
=∆
)(
. Do
t
V
là xác định trước nên để tìm VaR của danh mục
ta chỉ cần tính VaR của lợi suất
t

r
.
1.2.4.1-Mô hình VaR cho lợi suất và tài sản
Giả thiết: Chuỗi lợi suất của tài sản
t
r
là chuỗi dừng và có phân bố chuẩn.
Với giả thiết này, chúng ta chỉ cần sử dụng hai tham số kỳ vọng (
µ
) và
độ lệch chuẩn (
σ
) (hoặc sử dụng các ước lượng của chúng) có thể tính được
14
Đề tài nghiên cứu khoa học
giá trị VaR.
Từ giả thiết
),(~
2
σµ
Nr
t
suy ra
)1,0(~ N
r
t
σ
µ
−
. Công thức tính VaR

được xác định như sau:
σαµα
)(%)100)1(,1(
1
−
+=−
NngàyVaR
(1)
Trong đó với các mức ý nghĩa
α
: 1%; 2,5%; 5% ta có
)01,0(
1−
N
= -2,33;
)025,0(
1−
N
= -1,96;
)05,0(
1−
N
= -1.65.
Hình 1.3: Ngưỡng VaR xác định trên hàm mật độ phân phối chuẩn.
1.2.4.2-Mô hình VaR cho danh mục
Đối với việc xác định VaR lợi suất cho một danh mục P cũng có công
thức tương tự:
ppr
NngàyVaR
p

σαµα
)(%)100)1(,1(
1
−
+=−
(2)
nếu lợi suất từng tài sản của danh mục tuân theo quy luật phân phối chuẩn
),(~
2
iii
Nr
σµ
với i = 1
÷
N thì lợi suất danh mục cũng tuân theo quy luật
phân phối chuẩn
),(~
2
ppp
Nr
σµ
. Giả sử
( )
n
www , ,,
21
là tỷ trọng danh mục
15
Pr(r
t

< VaR)
VaR
μ
r
i
Đề tài nghiên cứu khoa học
khi đó ta xác định được
∑
=
=
N
i
iip
rwr
1
;
∑
=
=
N
i
iip
rwr
1
;
VWW
p
'2
=
σ

.
Trong trường hợp các chuỗi lợi suất là các chuỗi dừng, có thể xác định
kỳ vọng và phương sai danh mục theo công thức trên để tìm giá trị VaR lợi
suất. Trường hợp các chuỗi lợi suất là các chuỗi không dừng, ta cần tiếp cận
mô hình RiskMetrics để ước lượng VaR.
1.2.4.2.a-Mô hình RisMetris
Mô hình VaR-Risk được ngân hàng JP Morgan công bố vào năm 1995.
Mô hình này quan tâm đến các chuỗi lợi suất không dừng (với một mức ý
nghĩa) và đặc biệt là tồn tại phương sai không thuần nhất. Phương pháp này
giả định rằng :
1. Chuỗi lợi suất
t
r
với điều kiện biết các thông tin tại thời điểm (t-1) tuân
theo quy luật phân phối chuẩn:
( )
( )
2
1
,~/
tttt
Nr
σµ
−
ℑ
.
2.
t
µ
tuân theo mô hình ARMA( 1,1).

3.
2
t
σ
tuân theo mô hình GARCH(1,1).
2
11
2
110
2
−−
++=
=
−=
ttt
ttt
ttt
u
u
ru
σβαασ
εσ
µ
; với
t
ε
~ IID(0,1) (3)
Tùy vào thực tế tính toán, chúng ta cũng có thể sử dụng một số mô hình
như : ARMA( 1,1) - GARCH(1,1); AR(1) - GARCH(1,1); ARMA( 1,1) -
IGARCH(1,1) ; AR(1) - GARCH(1,1)

1.2.4.2.b-Mô hình VaR phi tham số
Như trên, chúng ta đã trình bày các mô hình tính VaR cho danh mục tài
sản, có thể các chuỗi lợi suất tài sản là dừng, hoặc không dừng, nhưng các mô
hình này đều tôn trọng giả thiết chuỗi lợi suất tài sản là tuân theo quy luật
phân phối chuẩn. Trong trường hợp giả thiết này bị vi phạm, có một lớp các
16
Đề tài nghiên cứu khoa học
mô hình cho phép ước lượng VaR cho danh mục tài sản này goi là mô hình
VaR phi tham số.
Trong khi chúng ta không thể xác định được hàm phân bố xác xuất của
chuỗi lợi suất
t
r
, có thể sử dụng số liệu quan sát của
t
r
và các phương pháp
ước lượng trong kinh tế lượng hoặc mô phỏng để ước lượng phân bố xác suất
và để ước lượng mức phân vị tại một mức ý nghĩa cho trước.
Mô hình Historical Simulation (Mô phỏng từ giá trị quá khứ) là đại
diện phổ biến của cách tiếp cận này. Giả định quan trọng nhất của cách tiếp
cận này là quá khứ gần đây là một nguồn dự báo tin cậy của dao động tương
lai. Theo đó, lợi suất tài sản
t
r
được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, và VaR là
giá trị mà tại đó
t
r
nằm trên mức

α
thấp nhất.
Trong đề tài này, chúng ta sẽ tiếp cận với một phương pháp khác để tìm
hàm phân bố xác suất của
t
r
dựa trên tính chất của hàm Copula điều kiện.
Sau đó tiến hành mô phỏng Monte Carlo để ước tính VaR của danh mục.
1.3-COPULA VÀ Ý NGHĨA
1.3.1-Tiếp cận hàm Copula
Trong các phương pháp ước lượng VaR truyền thống, chúng ta luôn
phải tôn trọng giả thiết lợi suất của các tài sản tuân theo quy luật phân phối
chuẩn. Tuy nhiên, trong thực tế lại hiếm có khi nào xảy ra giả thiết này. Một
điều đặt ra là khi giả thiết này liên tục bị vi phạm có phương pháp nào đó có
thể khắc phục điều này. Nếu như không thể xác định được phân phối của
chuỗi lợi suất tài sản, chúng ta có thể ước lượng VaR được nữa không. Câu
trả lời là có, hàm Copula có những tính chất đặc trưng cho phân phối đồng
thời nhiều biến số. Chúng ta cũng sẽ dùng hàm Copula xác định phân phối
đồng thời của các tài sản trong danh mục có thể giúp ước lượng giá trị VaR
trong trường hợp giả thiết phân phối chuẩn bị vi phạm.
1.3.2-Định nghĩa
Copula có thể được nhìn nhận từ 2 điểm: Copula là phân phối đồng thời
17
Đề tài nghiên cứu khoa học
hay hàm phân phối đa biến từ các hàm phân phối biên duyên của các biến
ngẫu nhiên 1 chiều.
1.3.2.1- Định nghĩa 1
Một hàm phân phối Copula 2 chiều (ngắn gọn là một Copula) là một
hàm C, tập xác định trong [0;1]x[0;1], tập giá trị trong [0;1], tuân theo tính
chất sau:

1. C(x) = 0
2
]1;0[
∈∀
x
nếu ít nhất 1 thành phần của x bằng 0.
2. C(1,x) = C(x,1) = x
2
21
]1;0[),(
∈∀
xx
.
3.
∀
(a
1
, a
2
), (b
1
, b
2
)
∈
[0 ;1]
2
với a
1
≤ b

1
và a
2
≤ b
2
, ta có:
C
V
( [a; b]) = C(a
2
; b
2
) - C( a
1
; b
2
) - C(a
2
; b
1
) + C(a
1
; b
1
) ≥ 0.
Do đó, hàm phân phối đồng thời hai biến có các phân phối biên duyên là các
phân phối đều gọi là một Copula.
1.3.2.2- Định nghĩa 2
Hàm phân phối C gọi là một hàm Copula của véc tơ ngẫu nhiên X=( X
1

,X
2
)
t
nếu nó là hàm phân phối đồng thời của véc tơ ngẫu nhiên U=( U
1
,U
2
))
t
với U
i
= F
i
(X
i
) và F
i
là hàm phân phối biên duyên của X
i
, i = 1, 2.
Có nghĩa là:
F(x
1
, x
2
) = C( F
1
(x
1

), F
2
(x
2
)) (4)
Hàm F là hàm phân phối đồng thời của (X
1
,X
2
). Nếu F
1
, F
2
liên tục thì C sẽ
tồn tại duy nhất. Chúng ta có thể giải thích hàm Copula là một hàm hợp từ các
hàm phân phối biên duyên của một véc tơ ngẫu nhiên đến hàm phân phối
đồng thời của các hàm phân phối biên duyên đó.
1.3.3- Lý thuyết Sklar về sự tổn tại của Copula
Xét không gian xác suất
( )
P,,ℑΩ
, với
,Ω
là một tập khác rỗng,
ℑ
là một
σ
-đại số trên
,Ω
và P một độ đo xác suất trên

ℑ
. Cho X
1
và X
2
là hai biến
ngẫu nhiên trên
( )
P,,ℑΩ
với tập giá trị trên
*
ℜ
. Cho F, F
1
và F
2
lần lượt là
18
Đề tài nghiên cứu khoa học
hàm phân phối đồng thời và các hàm phân phối biên duyên của X
1
và X
2
.
Lý thuyết Sklar - 1959: Cho F
1
(x
1
) và F
2

(x
2
) là hàm phân phối biên duyên.
Khi đó, tồn tài một hàm Copula sao cho
2
21
),( Rxx ∈∀
:
F(x
1
, x
2
) = C (F
1
(x
1
), F
2
(x
2
))
Nếu F
1
, F
2
liên tục, khi đó C là duy nhất, nếu trái lại C xác định không duy
nhất trên [0;1]x[0;1]. Ngược lại, nếu C là một Copula, F
1
, F
2

là các hàm phân
phối của X
1
, X
2
khi đó F được định nghĩa như phương trình (4) là hàm phân
phối đồng thời có các hàm phân phối biên duyên F
1
, F
2
.
Chiều ngược lại của định lý cho phép xác định phân phối đồng thời đa
biến rất hay trong lĩnh vực tài chính. Nó cho phép chúng ta có thể xác định
giá trị phân phối đa biến từ một nhóm các hàm phân phối 1 biến (không nhất
thiết là cùng phân phối) và hàm Copula.
1.2.4- Copula Student-t
Cho
ℜ→ℜ:
v
t
là hàm phân phối Student một biến ngẫu nhiên, với
ν
là
bậc tự do:
ds
v
s
vv
v
xt

v
s
v
2
1
2
1
)2/(
)2/)1((
)(
+
−
∞−
∫








+
Γ
+Γ
=
π
(5)
Với
Γ

là hàm Euler. Cho
I∈
ρ
và
v
t
,
ρ
là hàm phân phối Student hai biến
ngẫu nhiên :

dsdt
v
stts
yxt
v
x
y
v
2
2
2
22
2
,
)1(
2
1
12
1

),(
+
−
∞− ∞−
∫ ∫








−
−+
+
−
=
ρ
ρ
ρπ
ρ
(6)
19
Đề tài nghiên cứu khoa học
Một Copula Student- t (ngắn gọn là copula t) là hàm sau:
∫ ∫
− −
∞− ∞−
+

−








−
−+
+
−
=
)( )(
2
2
2
22
2
,
1 1
)1(
2
1
12
1
),(
ut vt
v

t
dsdt
stts
vuC
ν ν
ρν
ρ
ρπ
νρ
(7)
Trong đó:
1
−
ν
t
là hàm ngược của phân phối Student một biến và
ν
là bậc tự do.
Nếu phân phối biên duyên F
1
, F
2
là hai phân phối Student t có cùng số
bậc tự do
ν
và C là một copula t với các tham số
ν
và
ρ
khi đó một hàm

phân phối hai biến F được định nghĩa như phương trình (4) là phân phối t hai
biến chuẩn hóa, với
µ
= 0, hệ số tương quan tuyến tính
ρ
và
ν
là bậc tự do.
Trong trường hợp này, copula t là hàm phân phối Student hai biến với
các biến chính là các phân phối t biên duyên của F. Copula t là tổng quát hàm
phân phối Student hai biến vì chúng ta có thể thông qua từ các hàm phân phối
biên duyên.
Một trong những đặc trưng của hàm Copula mà cho phép nó trở thành
một ứng dụng xác suất hữu hiệu trong lĩnh vực tài chính là không cần quan
tâm đến phân phối xác suất của từng biến mà chỉ quan tâm đến phân phối
đồng thời của hàm chứa các biến đó. Copula được định nghĩa là hàm phân
phối đồng thời với các biến chính là các hàm phân phối biên duyên của các
biến ban đầu. Theo tính chất của Copula thì các hàm biên duyên này tuân theo
quy luật phân phối đều cho dù biến ban đầu là tuân theo bất kỳ quy luật phân
phối nào.
Có nhiều dạng Copula được hình thành tùy thuộc vào cách tiếp cận,
trong đề tài này ta xem xét đến dạng Copula Student t được định nghĩa như
trên. Tuy vậy, dù là dạng Copula nào thì cũng tồn tài một bộ tham số đặc
trưng, nó cũng khái quát được mối quan hệ giữa các biến với nhau trong hàm
phân phối đồng thời, chẳng hạn như độ dao động, mức tương quan. Khác với
Riskmetrics tương quan giữa các biến là tương quan tuyến tính, Copula thể
20
Đề tài nghiên cứu khoa học
hiện tương quan là phi tuyến tính giữa các biến, điều này có nghĩa là ngoài
phản ánh sự ràng buộc giữa biến này và biến khác, còn phản ánh sự ràng buộc

giữa nhóm biến này và nhóm biến khác trong phân phối đa biến. Như thế, về
mặt lý thuyết khi số lượng biến tăng lên, Copula trở nên hữu hiệu hơn khi mô
tả mức độ ràng buộc giữa các biến trong phân phối đồng thời của chúng.
Từ hai đặc trưng, các biến không nhất thiết là tuân theo quy luật phân
phối chuẩn, và Copula thể hiện mức tương quan phi tuyến, có thể sử dụng
Copula để mô tả đặc tính của một danh mục gồm nhiều tài sản, từ đó với một
mức ý nghĩa cho trước, thực hiện mô phỏng Monte Carlo có thể ước lượng
mức giá trị tổn thất của danh mục.
21
Đề tài nghiên cứu khoa học
CHƯƠNG II:
MÔ HÌNH VaR CỦA DANH MỤC
Chúng ta xem xét một danh mục gồm hai cổ phiếu trên Sàn giao dịch
chứng khoán Thành phố Hồ Chí Minh là REE (Công ty cổ phần Cơ điện lạnh)
và SAM (Công ty cổ phần Cáp và Vật liệu Viễn thông) thời điểm nắm giữ
ngày 20/2/2009.
Công ty cổ phần Cơ điện lạnh và Công ty cổ phần Cáp và Vật liệu Viễn
thông là hai doanh nghiệp đầu tiên niêm yết trên Trung tâm giao dịch chứng
khoán Thành phố Hồ Chí Minh vào tháng 7 năm 2000.
Xét tại thời điểm nắm giữ danh mục, cùng trong xu thế chung của nền
kinh tế, Thị trường chứng khoán Việt Nam đang trong tình trạng khó khăn khi
vừa mới trải qua một năm kỷ lục của sự tạo đáy của chỉ số VNIndex, thị giá
các loại cổ phiếu sụt giảm mạnh, tính thanh khoản kém, sự thoái vốn của khối
ngoại, sự can thiệp của các cơ quan điều hành và sự ảm đạm trong tâm lý các
nhà đầu tư. Thị trường chứng khoán Việt Nam khép lại năm 2008 với sự sụt
giảm điểm mạnh, VNIndex đóng cửa tại mức 315.62 điểm, mất 605.45 điểm,
tương đương giảm 65.33% so với phiên giao dịch đầu năm.
Cũng như hầu hết các cổ phiếu niêm yết trên Thị trường chứng khoán
Việt Nam, giá của hai cổ phiếu REE và SAM cũng trong tình trạng sụt giảm
nghiêm trọng. Trong giai đoạn này, không thể mong chờ một kịch bản mà giá

của các cổ phiếu khởi sắc nhanh chóng, một khi chúng ta quyết định nắm giữ
danh mục này thì ước tính giá trị tổn thất danh mục trở nên cần thiết hơn bao
giờ hết.
Trong đề tài này, chúng ta chỉ quan tâm xem xét giá trị tổn thất của
danh mục đầu tư mà không phải là mục tiêu thay đổi tỷ trọng để tối đa hóa lợi
nhuận hay tối thiểu hóa rủi ro danh mục trong từng thời điểm, như vậy tỷ
22
Đề tài nghiên cứu khoa học
trọng danh mục sẽ được giữ nguyên trong giai đoạn nắm giữ. Để đơn giản
trong tính toán giả sử rằng tỷ trọng của hai tài sản trong danh mục là bằng
nhau và bằng 50%, giá trị danh mục tại thời điểm quyết định nắm giữ là
1.000.000.000 VND, tiếp cận lợi suất tài sản của hai cổ phiếu REE và SAM
như sau :
Xét rằng, tại một thời điểm t nào đó, chúng ta quyết định đầu tư danh
mục P với giá trị là
pt
V
, giá tại thời điểm này lần lượt là
t
S
1
và
t
S
2
, số lượng
cổ phiếu lần lượt là
1
n
và

2
n
. Khi đó chúng ta có:

tt
SnV
111
=
;
tt
SnV
222
=
;

ttpt
SnSnV
2211
+=
.
Do tỷ trọng danh mục là bằng nhau nên
t
V
1
=
t
V
2
hay là
t

Sn
11
=
t
Sn
22
.
Sau một chu kỳ k, danh mục có giá trị
pk
V
, lợi suất của danh mục thay đổi:
pt
ptpk
pt
p
p
V
VV
V
kV
r
−
=
∆
=
)(
.
Nếu như chúng ta không thay đổi danh mục thì giá trị danh mục sau
thời gian k là
kkpk

SnSnV
2211
+=
. Như vậy :
t
tk
t
tk
tt
ttkk
p
Sn
SnSn
Sn
SnSn
SnSn
SnSnSnSn
r
22
2222
11
1111
2211
22112211
22)(
)()(
−
+
−
=

+
+−+
=
(
t
Sn
11
=
t
Sn
22
)

t
tk
t
tk
S
SS
S
SS
2
22
1
11
2
1
2
1
−

+
−
=
.
23