PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-LT VÀ BT CƠ BẢN

Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số:
Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (với a, b, c
∈
R và a
≠
0)
II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:
1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax
2
+ bx = 0:
ax
2
+ bx = 0
⇔
x.(ax+b)=0
⇔
0
0
0
x
x
b
ax b
x
a
=


=


⇔


+ =
= −


2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax
2
+ c = 0:
* Trường hợp c>0: phương trình vơ nghiệm (vì khi đó ax
2
+ c > 0
∀
x )
* Trường hợp c<0, ta có: ax
2
+ c = 0
⇔
2 2
ax
c
x
c
a
c x

a
c
x
a

= −


=− ⇔ = − ⇔

= − −


3. Dạng đầy đủ – Dạng ax
2
+ bx + c = 0 (với a, b, c
≠
0 :
- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c.
- Bước 2: Lập ∆ = b
2
- 4ac (hoặc ∆' = b'
2
– ac) rồi so sánh với 0
(Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính
∆
(hoặc tính
'∆
)
- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:

C«ng thøc nghiƯm tổng qt
C«ng thøc nghiƯm thu gän
∆ = b
2
- 4ac
-NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
;
a
b
x
2
2
∆−−
=
- NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp :

a
b
xx
2
21
−
==

- NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm
∆' = b'
2
- ac (víi b’ =
2
b
2b')
- NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt:
a
b
x
''
1
∆+−
=
;
a
b
x
''
2
∆−−
=
- NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp:

a
b
xx
'
21

−
==
- NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm
* Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
III/ Định lí Vi-ét:
1/ Vi-ét thuận: NÕu x
1
, x
2
lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) th×:
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c
P x x
a
−

= + =




= =



2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh:
x
2
- Sx + P = 0
(§iỊu kiƯn: S
2
- 4P ≥ 0)
3/ NhÈm nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0):
Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội
bộ
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
*/ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm: x
1
= 1 ; x
2
=
c
a
*/ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm: x
1
= -1 ; x
2
=
c
a
−
* Chú ý: NÕu x

1
, x
2
lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) th×:
ax
2
+ bx + c = a(x-x
1
)(x-x
2
)
IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai:
1/ Phương trình tích:
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x
B x
=

= ⇔

=

2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0)
- Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế

- Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2
- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm
3/ Phương trình trùng phương: ax
4
+ bx
2
+ c = 0 ( a
≠
0 )
+ Đặt : x
2
= y
≥
0 , ta có PT đã cho trở thành : ay
2
+ by + c = 0 (*)
+ Giải phương trình (*)
+ Chọn các giá trị y thỏa mãn y
≥
0 thay vào: x
2
= y
⇔
x=
y±
+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai:
+ Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu có.
+ Giải phương trình ẩn phụ.
+ Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giá trị ẩn ban đầu.

+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.
V/ Cách giải một số dạng tốn về phương trình bậc hai:
Bµi to¸n 1: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong ®ã
a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm.
 Cã hai kh¶ n¨ng ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 cã nghiƯm:
1. Hc a = 0 vµ b ≠ 0
2. Hc a ≠ 0 vµ ∆ ≥ 0 (∆' ≥ 0)
TËp hỵp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iỊu kiƯn 1 hc ®iỊu kiƯn 2.
Bµi to¸n 2: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c
phơ thc tham sè m ) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt.
 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ph©n biƯt



>∆
≠
0
0a
(hc



>∆
≠

0
0
'
a
)
Bµi to¸n 3: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 1 nghiƯm.
 §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:



≠
=
0
0
b
a
hc



=∆
≠
0
0a
(




=∆
≠
0
0
'
a
)
Bµi to¸n 4: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm kÐp.
 §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:



=∆
≠
0
0a
(hc



=∆
≠
0
0
'
a

)
Bµi to¸n 5: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) v« nghiƯm.
Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội
bộ
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
 §iỊu kiƯn v« nghiƯm:
a 0
b 0
c 0
=


=


≠

hc



<∆
≠
0
0a
(




<∆
≠
0
0
'
a
)
Bµi to¸n 6: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c
phơ thc tham sè m ) cã hai nghiƯm cïng dÊu.
 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu:






>=
≥∆
0
0
a
c
P
hc






>=
≥∆
0
0
'
a
c
P
Bµi to¸n 7 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a, b, c
phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm d¬ng.
 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm d¬ng:










>−=
>=
≥∆
0

0
0
a
b
S
a
c
P
hc









>−=
>=
≥∆
0
0
0
'
a
b
S
a
c

P
Bµi to¸n 8 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong
®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 2 nghiƯm ©m.
 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ©m:










<−=
>=
≥∆
0
0
0
a
b
S
a
c
P
hc










<−=
>=
≥∆
0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bµi to¸n 9 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c
phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu.
 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm tr¸i dÊu:
P < 0 (hc a.c<0).
Bµi to¸n 10: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (*) ( a,

b, c phơ thc tham sè m) cã mét nghiƯm x = x
1
. TÝnh nghiƯm x
2
?
 C¸ch gi¶i:
- Thay x = x
1
vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã: ax
1
2
+ bx
1
+ c = 0 → m
- Thay gi¸ trÞ cđa m vµo (*) → x
2
(hc x
2
= S - x
1
hc x
2
=
1
x
P
)
Bµi to¸n 11 : T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c

phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm x
1
, x
2
tho¶ m·n c¸c ®iỊu kiƯn:
a.
γβα
=+
21
xx
b.
kxx =+
2
2
2
1
 §iỊu kiƯn chung: ∆ ≥ 0 (hc ∆' ≥ 0) (*)
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:







==
=
−
=+
)2(.

)1(
21
21
P
a
c
xx
S
a
b
xx
a. Trêng hỵp:
γβα
=+
21
xx
Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội
bộ
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
Gi¶i hƯ





=+
−
=+
γβα
21

21
xx
a
b
xx
Thay x
1
, x
2
vµo (2) → m
Chän c¸c gi¸ trÞ cđa m tho¶ m·n (*)
b. Trêng hỵp:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x k (x x ) 2x x k+ = ⇔ + − =

Thay x
1
+ x
2
= S =
a
b−
vµ x
1
.x
2
= P =
a
c

vµo ta cã:
S
2
- 2P = k → T×m ®ỵc gi¸ trÞ cđa m tho¶ m·n (*)
B/ BÀI TẬP:
Dạng 1: Giải phương trình:
Bài 1: Giải phương trình
a) 2x
2
+ 5x = 0 b) x - 6x
2
= 0 c) 2x
2
+ 3 = 0 d) 4x
2
-1 = 0
e) 2x
2
+ 5x + 2 = 0 f) 6x
2
+ x + 5 = 0 g) 2x
2
+ 5x + 3 = 0 h)
2
25x 20x 4 0− + =
i)
2
3x 2 3x 2 0− − =
j)
( )

2
3x 3 2 x 2 0+ − − =
k)
( )
2
x 2 3 x 2 3 0− + + =
Bài 2: Giải phương trình
a) 3x
4
+ 2x
2
– 5 = 0 b) 2x
4
+ x
2
– 7 = 0 c)
4 2
3x 5x 2 0− − =
Bài 3: Giải phương trình
a) 16 x
3
– 5x
2
– x = 0 b)
( ) ( )
2 2
2 2
x 3x 5 2x 1 0+ − − − =
c)
−

+ = −
− +
3x 2 6x 5
x 5 x 5 4
d)
( ) ( )
2
x 3x 5 1
x 3
x 3 x 2
− +
=
−
− +
e)
7
16
2
1
2
1
=
−
−
+ xx
Bài 4: Giải phương trình
a) x – 7
x 1 0− =
b)
x 5 5 x 1 0+ − − =

c)
( ) ( )
2
2 2
2x x 13 2x x 12 0+ − + + =
d)
( ) ( )
2
2 2
8x 2x 11 2 8x 2x 11 3 0− + + − − + + − =
e) ( x – 6)
4
+ (x – 8)
4
= 16
f) (x
2
– 3x – 1 )
4
– 13x
2
(x
2
– 3x – 1)
2
+ 36x
4
= 0
Dạng 2: Khơng giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi biết trước
một nghiệm của PTBH:

Bài 1: Cho phương trình:
2
x 8x 15 0− + =
, khơng giải phương trình hãy tính:
a)
1 2
x x+
b)
1 2
.x x
c)
2 2
1 2
x x+
d)
( )
2
1 2
x x+
e)
1 2
1 1
x x
+
f)
1 2
2 1
x x
x x
+

Bài 2: Cho phương trình:
2
x 3x 15 0+ + =
, khơng giải phương trình hãy tính:
a)
1 2
x x+
b)
1 2
.x x
Bài 3: a) Cho phương trình:
2
x 2mx 5 0− + =
có một nghiệm bằng 2, hãy tìm m và tính nghiệm còn lại.
b)Cho phương trình:
2
x 5x q 0+ + =
có một nghiệm bằng 5, hãy tìm q và tính nghiệm còn lại.
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm:
Bài 1: Tìm hai số u và v biết:
a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u
2
+v
2
=61 và u.v=30
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
a)
1
8x =
và

2
3x =
b)
1
5x =
và
2
7x = −
c)
1
1 2x = +
và
2
1 2x = −
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai:
Bài 1: Cho phương trình:
2
x 2x m 1 0− + − =
, tìm m để phương trình:
Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội
bộ
x
1
, x
2
Tài liệu ôn tập thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Đại số
a) Có hai nghiệm phân biệt.
b) Có nghiệm kép.
c) Vơ nghiệm.
d) Có hai nghiệm trái dấu.

e)Có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
5x x+ =
Bài 2: Cho phương trình:
2
3x 2x m 1 0− − + =
, tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm .
b) Có hai nghiệm trái dấu.
c) Có hai nghiệm dương.
Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vơ
nghiệm) với mọi tham số:
Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình:
2 2
x 2x m 4 0− − − =
ln có hai nghiệm phân biệt
∀
m.
b) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2
x 2 m 1 x m 4 0− + + − =
ln có hai nghiệm phân biệt
∀
m.

c) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2
x 2 m 2 x 4m 12 0+ + − − =
ln có nghiệm
∀
m.
d) Chứng minh rằng phương trình:
( )
2 2 2 2 2 2
c x a b c x b 0+ − − + =
vơ nghiệm với a, b, c là độ dài ba
cạnh của một tam giác.
Dạng 6: Tốn tổng hợp:
Bài 1: Cho phương trình:
( )
2
x 2 m 1 x 4m 0− + + =
.
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn: x
1
= 2x
2

.
e)Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
5x x+ =
.
f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
sao cho A=
2 2
1 2 1 2
2 2 .x x x x+ −
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Trường T H C S Cát Nhơn Tài liệu lưu hành nội
bộ