Đường Thẳng trong Không gian

a
∆
r
∆
a
r
∆
d
d
a a
∆
=
r r
∆
[n ,n ]
α β
r r
n
α
r
n
β
r
α
β
a
r
•
M
∆
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12

Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A- KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa
a ( 0)≠
r r
làVTCP của ∆ ⇔ giá(
a
r
) //,
≡
∆

Lưu ý

i,j,k
r r r
lần luợt là VTCP của trục Ox, Oy, Oz.
 ∆ qua 2 điểm A, B thì ∆ có VTCP
AB
uuur
.

∆
// d ⇒ VTCP của d là VTCP của ∆.

∆

⊥
(

α
) ⇒ VTPT cuûa (α) laø VTCP cuûa ∆.
 ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β) thì
∆ có VTCP là:

a [n ,n ]
∆ α β
=
r r r
II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ
Định lý
Nếu ∆ qua M(x
o
; y
o
; z
o
) và có vectơ chỉ phương
a
r
= (a
1
; a
2
; a
3
) thì (∆) có phương trình tham số là:

o 1
o 2

o 3
x x a t
( ): y y a t , (t ).
z z a t

= +

∆ = + ∈


= +

¡

Lưu ý
•Mỗi giá trị t ∈ IR ứng với một điểm thuộc ∆ và
ngược lại.
•Mỗi đuờng thẳng ∆ có nhiều phương trình tham số
do tọa độ M và
a
r
quyết định.

( )
o 1 o 2 o 3
M M x a t!; y a t!; z a t
∈∆⇔ + + +

Đặc biệt
Ox :

x t
y 0
z 0

=

=


=

, Oy :
x 0
y t
z 0

=

=


=

, Oz :
x 0
y 0
z t

=


=


=

III. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC
Định lý
Nếu ∆ qua điểm M(x
o
; y
o
; z
o
) và có VTCP
a
r
= (a
1
; a
2
; a
3
) với a
1
a
2
a
3

≠

0 thì ∆ có phương trình chính
tắc là :
o o o
1 2 3
x x y y z z
( ) :
a a a
− − −
∆ = =
B- BÀI TẬP MINH HỌA:
PHƯƠNG PHÁP
 Tìm 1 điểm đi qua và VTCP
∆ :
= +


= +


= +

o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
, t ∈ IR
∆ :
− − −

= =
o o o
x x y y z z
a b c
, (abc
≠
0)
 Tìm 2 điểm đi qua
PHÂN DẠNG
• DẠNG 1: Qua 2 điểm
• DẠNG 2: Qua 1 điểm và vuông góc 1 mặt
phẳng.
• DẠNG 3: Qua 1 điểm và song song 1 đường
thẳng.
• DẠNG 4: Giao tuyến của hai mặt phẳng.
• DẠNG 5: Hình chiếu vuông góc của một đường
thẳng trên một mặt phẳng.
• DẠNG 6: Qua 1 điểm, cắt và vuông góc một
đường thẳng.
• DẠNG 7: Qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng
chéo nhau.
• DẠNG 8: Vuông góc 1 mặt phẳng và cắt 2
đường thẳng
• DẠNG 9: Qua 1 điểm, vuông góc 1 đường
thẳng và cắt 1 đường thẳng.
• DẠNG 10: Nằm trong 1 mặt phẳng, vuông góc
và cắt 1 đường thẳng.
• DẠNG 11: Nằm trong 1 mp và cắt 2 đường
thẳng.
• DẠNG 12: Đường vuông góc chung của 2

đường thẳng.
Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 1 Trường THPT Lưu Tấn Phát
∆
α
a n
∆ α
=
r r
∆
α
u n
∆ α
=
r r
M
•
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12
Bài 1: a) (TNPT-PB-CB-2006).Viết PTTS của đt d
đi qua 2 điểm A(– 1 ; 1 ; 2), B(0 ; 1 ; 1).
b) Viết phương trình chính tắc đường thẳng ∆
qua 2 điểm P(2 ; 3 ; – 1), Q(1 ; 2 ; 4).
HD:
a) d qua A(– 1 ; 1 ; 2) và có vectơ chỉ phương
( )
AB 1 ; 0 ;–1 =
uuur
nên có phương trình tham số là:
x 1 t
d : y 1
z 2 t


= − +

=


= −

b) ∆ qua P(2 ; 3 ; – 1) và có vectơ chỉ phương
( )
PQ –1 ;–1 ; 5=
uuur
nên có phương trình chính tắc:
∆ :
x 2 y 3 z 1
1 1 5
− − +
= =
− −
Bài 2: Cho A(1 ; 0 ; – 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 2 ; 0).
Gọi G là trong tâm tam giác ABC.Viết phương trình
đường thẳng OG.
HD:
G là trọng tâm tam giác ABC nên :
G
A B C
G
x x x
2
x

3 3
( )

+ +
= =




⇒ G(2/3 ; 4/3 ; 0)
OG qua O và có VTCP
OG
uuur
= ( )
Bài 3: Cho A(3; – 2 ; – 2) và mặt phẳng (P): 2x – 2y
+ z – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
A và vuông góc (P).
HD:
(P) có vectơ pháp tuyến
P
n
r
= (2 ; – 2 ; 1)
∆ qua A(3; – 2 ; – 2) và vuông góc (P) nên ∆ có vectơ
chỉ phương là:
u
∆
r
=
P

n
r
= (2 ; – 2 ; 1)
Phương trình ∆ là :
∆:
x 3 2t
y 2 2t
z 2 t

= +

= − −


= − +

( hay ∆ :
x 3 y 2 z 2
2 2 1
− + +
= =
−
)
Bài 4:Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có)
đường thẳng :
a) ∆ đi qua điểm M(4 ; 3 ; 1) và song song đường
thẳng: d :
x 1 2t
y 3t
z 3 2t


= +

= −


= +

( hay d :
x 1 y z 3
2 3 2
− −
= =
−
)
b) d qua A(2 ; – 1 ; 1) và song song trục Oy.
HD:
a) d có vectơ chỉ phương là:
d
u
r
= (2 ; – 3 ; 2)
∆ qua M(4 ; 3 ; 1) và song song d nên ∆ có vectơ chỉ
phương
u
∆
r
=
d
u

r
= (2 ; – 3 ; 2).
PTTS ∆ :
x 4 2t
y 3 3t
z 1 2t

= +

= −


= +

PTCT ∆ :
x 4 y 3 z 1
2 3 2
− − −
= =
−
b) d qua A(2 ; – 1 ; 1) và song song trục Oy nên d có
vectơ chỉ phương
j
r
= (0 ; 1; 0).
PTTS d :
x 2
y 1 t
z 1


=

= − +


=

. Không có PTCT.
Bài 5: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ là
giao tuyến của hai mặt phẳng :
(α) : x + 2y – z + 3 = 0
(β) : 2x – 3y + 5z – 1 = 0
HD:
Hệ tọa độ các điểm thuộc ∆ là :
x 2y z 3 0
2x 3y 5z 1 0

+ − + =

− + − =

C1: Cho x = 0 ⇒
2y z 3 0
3y 5z 1 0

− + =

− + − =

⇒

y 2
z 1

= −

= −

⇒ M(0 ; – 2 ; – 1) ∈ ∆
Cho y = 0 ⇒
x z 3 0
2x 5z 1 0

− + =

+ − =

⇒
x 2
z 1

= −

=

⇒ N(– 2 ; 0 ; 1) ∈ ∆
∆ qua M và có vectơ chỉ phương
MN
uuuur
= (…)
∆ :

{
x =
C2: Cho x = 0 ⇒
2y z 3 0
3y 5z 1 0

− + =

− + − =

⇒
y 2
z 1

= −

= −

⇒ M(0 ; – 2 ; – 1) ∈ ∆
(α) có VTPT
n
α
r
= (1 ; 2 ; – 1)
(β) có VTPT
n
β
r
= (2 ; – 3 ; 5)
∆ có VTCP

u
∆
r
= [
n
α
r
,
n
β
r
] = (…)
(…)
C3: Cho x = t ⇒
t 2y z 3 0
2t 3y 5z 1 0

+ − + =

− + − =

⇒
y 2 t
z 1 t

= − −

= − −

Vậy ∆ có phương trình tham số là :

Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 2 Trường THPT Lưu Tấn Phát
∆
d
u u
∆
=
r r
M
•
d
∆
α
u [n ,n ]
∆ α β
=
r r r
n
α
r
•
β
n
β
r
M
Coù 3 caùch
∆
α
'∆
•

P
?
•
•
•
Coù 2 caùch
A
∆
1
d
2
d
M
N
•
•
•
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12
∆ :
x t
y 2 t
z 1 t

=

= − −


= − −


Bài 6: Cho đường thẳng: ∆ :
x 1 t
y 2 t
z 1 3t

= +

= −


= − +


Viết phương trình hình chiếu ∆’ của ∆ trên mặt
phẳng (Oxy).
HD:
C1:
Cho: t = 0 ⇒ A(1 ; 2 ; – 1) ∈ ∆
t = 1 ⇒ B(2 ; 1 ; 2) ∈ ∆
Gọi A’, B’ là hình chiếu của A, B trên (Oxy).
Khi đó : A’(1 ; 2 ; 0), B’(2 ; 1 ; 0)
∆’ qua A’ và có vectơ chỉ phương
A'B'
uuuur
= (1 ; – 1 ; 0)
nên có phương trình :
∆’ :
x 1 t
y 2 t
z 0


= +

= −


=

C2: ∆ qua M(1 ; 2 ; – 1) vaø coù VTCP
u
∆
r
= (2 ;– 1; 3)
(Oxy) coù VTPT
k (0;0;1)=
r
Gọi (P) là mặt phẳng qua ∆ và vuông góc với mp(Oxy)
(P) qua M và có VTPT:
( )
P
n u ,k 1; 2;0
∆
 
= = − −
 
r uur r
Vậy (P) : -(x – 1) -2(y - 1) +0(z +1) = 0
⇔ x + 2y – 3 = 0
Gọi ∆’ là hình chiếu vuông góc của ∆ trên (Oxy)
thì ∆’ là giao tuyến giữa (P) và (Oxy). Hệ tọa độ

các điểm thuộc ∆’ là :
x 2y 3 0
z 0

+ − =

=

Cho : y = t ⇒
x 2t 3 0
z 0

+ − =

=

⇒
x 3 2t
z 0

= −

=

Vậy ∆’ có phương trình :
∆’ :
x 3 2t
y t
z 0


= −

=


=

Bài 7: (ĐH-B-2004).
Cho A(– 4 ; – 2 ; 4) và đường thẳng:
d :
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t

= − +

= −


= − +

Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt và
vuông góc d.
HD:
Gọi H(– 3 + 2t ; 1 – t ; – 1 + 4t) ∈ d là hình chiếu của
A trên d.
AH
uuur
= (1 + 2t ; 3 – t ; – 5 + 4t)
d

u
r
= (2 ; – 1 ; 4) là VTCP của d
Ta có :
AH
uuur
⊥
d
u
r
⇔ 2(1+2t )– 1(3 – t) + 4(–5+4t) = 0
⇔ 21t – 21 = 0 ⇔ t = 1
⇒ H(– 1 ; 0 ; 3)
∆ qua A(– 4 ; – 2 ; 4) và có VTCP
AH
uuur
= (3 ; 2 ; – 1)
nên có phương trình :
∆ :
x 4 y 2 z 4
3 2 1
+ + −
= =
−
Bài 8*:(NC) Cho hai đường thẳng:
d
1
:
x 1 y 1 z
2 1 2

− +
= =
−
, d
2
:
x 2 y 3 z 1
1 2 4
− + −
= =
−
a) Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua
A(– 1 ; 3 ; – 5) và cắt cả d
1
, d
2
.
HD:
b) Gọi M(1 + 2m ; – 1 – m ; 2m), N(2 + n ; – 3 – 2n ;
1 + 4n) lần luợt là giao điểm của ∆ với d
1
, d
2
.
AM

uuuur
= (2 + 2m ; – 4 – m ; 5 + 2m)
AN
uuur
= (3 + n ; – 6 – 2n ; 6 + 4n)
[
AM
uuuur
,
AN
uuur
] = (6m – 6n + 6 ; – 6m – 3n – 6mn + 3 ;
– 9m – 3mn )
Ta có
AM
uuuur
,
AN
uuur
cùng phương khi và chỉ khi :
[
AM
uuuur
,
AN
uuur
] =
0
r
⇔

6m 6n 6 0
6m 3n 6mn 3 0
9m 3mn 0

− + =

− − − + =


− − =

⇔ m = 1 ; n = 0
Vậy M(1 ; – 1 ; 0), N(3 ; – 5 ; 5)
∆ qua A(– 1 ; 3 ; – 5) và có VTCP
MN
uuuur
= (2 ; – 4 ; 5)
nên có phương trình tham số :
∆ :
x 1 2t
y 3 4t
z 5 5t

= − +

= −


= − +


, t ∈ IR
Bài 9*: (ĐH-A-2007).
Cho hai đường thẳng và mặt phẳng:
d
1
:
x y 1 z 2
2 1 1
− +
= =
−
d
2
:
x 1 2t
y 1 t
z 3

= − +

= +


=

(P) : 7x – y + 4z = 0
Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 3 Trường THPT Lưu Tấn Phát
∆
A
d

•
H
d
u
r
d
1
d
2
d
M
•
P
n
r
P
?
•
N
A
∆
1
d
2
d
B
•
1
u
r

•
?
d
A
P
n
r
P
?
•
∆
d
u
r
u
∆
r
1
d
A
P
?
•
∆
•
B
2
d
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc

với (P) và cắt d
1
, d
2
.
HD:
Gọi M(2m ; 1 – m ; – 2 + m) ∈ d
1
và
N(– 1 + 2n ; 1 + n ; 3) ∈ d
2
lần lượt là giao
điểm của d với d
1
, d
2
.
MN
uuuur
= (– 1 + 2n – 2m ; n +m ; 5 – m)
P
n
r
= (7 ; – 1 ; 4) là VTPT của (P)
Ta có:
MN
uuuur
,
P
n

r
cùng phương ⇔
1 2n 2m n m
7 1
1 2n 2m 5 m
7 4

− + − +
=


−

− + − −

=


⇔
5m 9n 1
m 8n 39

+ =

− = −

⇔
m 7
n 4


= −

=

Suy ra M(– 14 ; 8 ; – 9), N(7 ; 5 ; 3)
d qua M và có VTCP
MN
uuuur
= (21 ; – 3 ; 12) nên có
phương trình:
d :
x 14 y 8 z 9
21 3 12
+ − +
= =
−
Bài 10*: (ĐH-D-2006).
Cho điểm A(1 ; 2 ; 3) và hai đường thẳng :
d
1
:
x 2 y 2 z 3
2 1 1
− + −
= =
−
d
2
:
x 1 y 1 z 1

1 2 1
− − +
= =
−
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A,
vuông góc d
1
và cắt d
2
.
HD:
d
1
có VTCP
1
u
r
= (2 ; – 1 ; 1)
Gọi B(1 – t ; 1 + 2t ; – 1 + t) ∈ d
2
là giao điểm của
∆ và d
2
.
AB
uuur
= (– t ; – 1 + 2t ; – 4 + t) là VTCP của ∆
Ta có :
∆ ⊥ d
1

⇔
1
u
r
.
AB
uuur
= 0
⇔ 2(– t) – 1(– 1 + 2t) + 1(– 4 + t) = 0
⇔ – 3t – 3 = 0 ⇔ t = – 1
⇒ B(2 ; – 1 ; – 2)
∆ qua A(1 ; 2 ; 3) và có VTCP
AB
uuur
= (1 ; – 3 ; – 5)
Do đó ∆ có phương trình :
∆ :
x 1 y 2 z 3
1 3 5
− − −
= =
− −
Bài 11: (ĐH-A-2005).
Cho đường thẳng d :
x 1 y 3 z 3
1 2 1
− + −
= =
−
và mặt

phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0.
Tìm giao điểm A của d với (P). Viết phương
trình tham số đường thẳng ∆ nằm trong (P), qua A và
vuông góc d.

HD:
Tọa độ giao điểm A của d và (P) là nghiệm hệ :
x 1 y 3 z 3
1 2 1
2x y – 2z 9 0

− + −
= =

−


+ + =

⇔
2x y 1 0
x z 4 0
2x y – 2z 9 0

+ + =

+ − =


+ + =


⇔
x 0
y 1
z 4

=

= −


=

Vậy A(0 ; – 1 ; 4)
d có VTCP
d
u
r
= (– 1 ; 2 ; 1)
(P) có VTPT
P
n
r
= (2 ; 1 ; – 2)
Vì ∆ nằm trong (P) và vuông góc d nên ∆ có VTCP
u
∆
r
= [
d

u
r
,
P
n
r
] = (| |, | |, | |) = (– 5 ; 0 ; – 5)
Mặt khác ∆ qua A(0 ; – 1 ; 4) nên có phương trình
tham số :
d :
x 5t
y 1
z 4 5t

= −

= −


= −

Bài 12: (CĐKT CAO THẮNG 2007)
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt
phẳng (P) : y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng :
d
1
:
x 1 t
y t
z 4t


= −

=


=

d
2
:
x 2 t
y 4 2t
z 1

= −

= +


=

HD:
Gọi A,B là giao điểm của d
1
, d
2
với (P). Tọa độ A, B
là nghiệm các hệ (I) & (II):
x 1 t

y t
(I):
z 4t
y 2z 0

= −

=


=


+ =

⇔
x 1 t
y t
z 4t
9t 0

= −

=


=


=


⇔
x 1
y 0
z 0
t 0

=

=


=


=

⇒ A(1; 0 ; 0)
Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 4 Trường THPT Lưu Tấn Phát
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12
x 2 t
y 4 2t
(II):
z 1
y 2z 0

= −

= +



=


+ =

⇔
x 2 t
y 4 2t
z 1
6 2t 0

= −

= +


=


+ =

⇔
x 5
y 2
z 1
t 3

=


= −


=


= −

⇒ B(5 ; – 2 ; 1)
∆ qua A và có VTCP
AB
uuur
= (4 ; – 2 ; 1) nên có
phương trình :
∆ :
x 1 y z
4 2 1
−
= =
−
Bài 13: Cho hai đường thẳng :
d
1
:
x 1 y 1 z 2
1 3 3
+ − −
= =
−
, d

2
:
x 2 y 2 z
1 5 6
− +
= =
−
a) Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung
giữa d
1
và d
2
.
HD:
b) Gọi A(– 1 + a ; 1 + 3a ; 2 – 3a) ∈ d
1
và
B(2 + b ; – 2 + 5b ; – 6b) ∈ d
2
là giao điểm của ∆ với
d
1
, d
2
(hình).

 d
1
có VTCP
1
u
r
= (1 ; 3 ; – 3)
 d
2
có VTCP
2
u
r
= (1 ; 5 ; – 6)
 ∆ có VTCP
AB
uuur
= ( 3 + b – a ; – 3 + 5b – 3a ;
– 2 – 6b + 3a)
Ta có :
1
2
u AB
u AB

⊥


⊥



r uuur
r uuur
⇔
1(3 b a) 3( 3 5b 3a) 3( 2 6b 3a) 0
1(3 b a) 5( 3 5b 3a) 6( 2 6b 3a) 0

+ − + − + − − − − + =

+ − + − + − − − − + =

⇔
19a 34b 0
34a 42b 0

− + =

− + =

⇔
a 0
b 0

=

=

Vậy A(– 1 ; 1 ; 2), B(2 ; – 2 ; 0)
∆ qua A và có VTCP
AB

uuur
= (3 ; – 3 ; – 2 nên có
phương trình :
∆ :
x 1 3t
y 1 3t
z 2 2t

= − +

= −


= −

(hoặc ∆ :
x 1 y 1 z 2
3 3 2
+ − −
= =
− −
)
* Lưu ý : Có bài giải ra a, b lẻ
→
vẫn tiếp tục !
C- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 14: (TNPT-PB-CB-2007).
Cho (α) : x + 2y – 2z + 6 = 0 và E(1 ; 2 ; 3). Viết
phương trình tham số đường thẳng d qua E và vuông
góc (α).

Bài 15: (TNPT-PB-NC-2007).
Viết phương trình tham số đường thẳng d qua
điểm M(– 1 ; – 1 ; 0) và vuông góc mặt phẳng
(P) : x + y – 2z – 4 = 0.
Bài 16: (TNPT-KPB-2008).
Cho (α) : 2x – 3y +6z + 35 = 0 và M(1 ; 2 ; 3).
Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông
góc (α).
Bài 17: (ĐH-D-2007).
Cho A(1 ; 4 ; 2), B(– 1 ; 2 ; 4). Viết phương trình
đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G của tam giác
OAB và vuông góc mặt phẳng (OAB)
HD: Chỉ cần tìm VTPT của (OAB)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên :
O A B
G
x x x
x 0
3


+ +
= =




⇒ G(0 ; 2 ; 2)
OA
uuur

= (1 ; 4 ; 2),
OB
uuur
= (– 1 ; 2 ; 4)
(d) qua G và vuông góc (OAB) nên (d) có VTCP :
u
r
= [
OA
uuur
,
OB
uuur
] = (| |, | |, | |) = (12 ; – 6 ; 6)
= 6(2 ; – 1 ; 1)
(d) : (…)
Lưu ý : Nếu đề không yêu cầu dạng TS hay CT thì
viết dạng nào cũng được !
Bài 18: Viết phương trình giao tuyến giữa mặt phẳng
(P) : 2x – 3y + z – 1 = 0 và mặt phẳng (Oxy).
HD:
Hệ tọa độ các điểm thuộc giao tuyến ∆ là :
2x 3y z 1 0
z 0

− + − =

=

Cho y = t được : ( ) ⇔

1 3
x t
2 2
z 0

= +



=

Vậy phương trình tham số của ∆ là :
∆ :

= +



=


=



1 3
x t
2 2
y t
z 0

Bài 19: Cho đường thẳng: d:
x 1 y 3 4 z
2 1 1
+ − −
= =

Viết phương trình hình chiếu d’ của d trên mặt
phẳng (Oxz).
HD:
Trong phương trình của d cho :
 x = – 1 ⇒ y = 3, z = 4 ⇒ A(– 1 ; 3 ; 4) ∈ d
 x = 1 ⇒ y = 4, z = 3 ⇒ B(1 ; 4 ; 3) ∈ d
Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 5 Trường THPT Lưu Tấn Phát
1
d
A
?
•
∆
•
B
2
d
1
u
r
2
u
r
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12

Gọi A’, B’ là hình chiếu vuông góc của A, B trên (Oxz) thì
A’(– 1 ; 0 ; 4), B’(1 ; 0 ; 3)
d' qua A’ và có VTCP
A'B'
uuuur
= (2 ; 0 ; – 1) nên có phương
trình :
d’ :
x 1 2t
y 0
z 4 t

= − +

=


= −

Bài 20: Cho đường thẳng ∆:
x 1 y 1 z
2 1 2
− +
= =
−
và mặt
phẳng: (α) : x – 2y + z + 3 = 0
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của ∆
trên (α).
HD:

∆ qua M(1 ; – 1 ; 0) và có VTCP
u
∆
r
= (2 ; – 1 ; 2)
(α) có VTPT
n
α
r
= (1 ; – 2 ; 1)
Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ và vuông góc (α).
(P) qua M và có VTPT :
P
n
r
= [
u
∆
r
,
n
α
r
] = (| |, | |, | |) = (3 ; 0 ; – 3)
Vậy (P) : 3(x – 1) + 0(y + 1) – 3(z – 0) = 0
⇔ 3x – 3z – 3 = 0 ⇔ x – z – 1 = 0
Gọi ∆’ là hình chiếu vuông góc của ∆ trên (α) thì ∆’ là giao
tuyến giữa (P) và (α). Hệ tọa độ các điểm thuộc ∆’ là :
x z 1 0
x 2y z 3 0


− − =

− + + =

Cho : z = t ⇒
x t 1 0
x 2y t 3 0

− − =

− + + =

⇒
x 1 t
y 2 t 0

= +

= + =

Vậy ∆’ có phương trình :
∆’ :
x 1 t
y 2 t
z t

= +

= +



=

Bài 21: Cho tứ diện ABCD với A(1 ; – 2 ; 6),
B(2 ; – 1 ; 1), C(0 ; – 2 ; 1), D(4 ; 5 ; 11).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB trên mặt phẳng (BCD).
HD:
a) ( ) (BCD) : x – 2y + z – 5 = 0
b) (BCD) có VTPT
n
r
= (1 ; – 2 ; 1)
Gọi d là đường thẳng qua A(1 ; – 2 ; 6) và vuông góc
(BCD) thì d có VTCP là:
d
u
r
=
n
r
= (1 ; – 2 ; 1)
d :
x 1 t
y 2 2t
z 6 t

= +


= − −


= +

Tọa độ hình chiếu H của A trên (BCD) là nghiệm hệ :
x 1 t
y 2 2t
z 6 t
x 2y z 5 0

= +

= − −


= +


− + − =

⇔
x 1 t
y 2 2t
z 6 t
6t 6 0

= +


= − −


= +


+ =

⇔
x 0
y 0
z 5

=

=


=

⇒ H(0 ; 0 ; 5)
Hình chiếu vuông góc của AB trên (BCD) là đường thẳng BH.
BH qua B(2 ; – 1 ; 1), có VTCP
BH
uuur
= (– 2 ; 1 ; 4).
Do đó AH :
x 2 y 1 z 1
2 1 4
− + −

= =
−
Bài 22: Cho hai đường thẳng :
d :
x 1 y 2 z
1 2 3
− −
= =
−
, d’ :
x 1 t'
y 3 2t'
z 1

= +

= −


=

Viết PT đường vuông góc chung giữa d
1
và d
2
.
Bài 23: Cho tứ diện ABCD với A(2 ; 4 ; – 1),
B(1 ; 4 ; – 1), C(2 ; 4 ; 3), D(2 ; 2 ; – 1).
a) Chứng minh AB, AC, AD vuông góc với nhau
từng đôi một.

b) Viết phương trình đường vuông góc ∆ chung
của hai đường thẳng AB, CD.
HD:
b) Ta có:
AB AC
AB AC

⊥

⊥

⇒ AB ⊥ (ACD) ⇒ AB ⊥ CD
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên CD thì đường
thẳng AH là đường vuông góc chung của AB, CD.
CD
uuur
= (0 ; – 2 ; – 4)
AH qua A(2 ; 4 ; – 1) và có VTCP :
u
r
= [
AB
uuur
,
CD
uuur
] = (0; – 4 ; 2)
AH :
x 2
y 4 4t

z 1 2t
=


= −


= − +

Bài 24: (DB2-B-2006). Cho A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0)
mặt phẳng (P) : 2x + y – z + 5 = 0. Viết phương trình
hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt
phẳng (P).
Bài 25: (DB2-D-2006). Cho A(1 ; 2 ; 0), B(0 ; 4 ; 0),
C(0 ; 0 ; 3). Viết phương trình đường thẳng ∆ qua
gốc O và vuông góc mặt phẳng (ABC).
Bài 26: (DB1-D-2006). Cho mặt phẳng
(P) : 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng :
d
1
:
x y 3 z 1
1 2 3
− +
= =
−
, d
2
:
x 4 y z 3

1 1 2
− −
= =
Viết phương trình đt ∆ nằm trong (P) và cắt d
1
, d
2
.
Bài 27: (DB2-A-2007). Cho A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 0),
C(2 ; 4 ; 6) và đt d: x = t, y = 4, z = 6 – 3t.
Viết phương trình đường thẳng ∆ song song d và cắt
cả hai đường thằng AB và OC
Bài 28: (DB1-D-2007). Cho mặt phẳng
(P) : x + y + z + 2 = 0 và đường thẳng
d :
x 3 y 2 z 1
2 1 1
− + +
= =
−
a) Tìm tọa độ giao điểm M của d và (P).
b) Viết ptđt ∆ nằm trong (P), vuông góc d và cách
điểm M một khoảng bằng
42
.
Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 6 Trường THPT Lưu Tấn Phát
A
C
B
D

H
A
B
C
D
H
?
Ch : ng thng trong khụng gian Hỡnh hc 12
Bi 29: Cho ng thng :
x 1 y 2 z 1
2 4 1

= =
v
mt phng (P) : 2x + y + z 4 = 0.
Vit phng trỡnh hỡnh chiu song song ca trờn
(P) theo phong d :
x 3 y 1 z 2
4 1 3
+ +
= =
HD : Gi (Q) l mt phng cha v song song d thỡ
hỡnh chiu l giao tuyn ca (P) v (Q)
Bi 30: (HKII-2010-NC) Vit ptt nm trong mt
phng
( ):y 2z 0 + =
v ct c hai ng thng:
1 2
x 1 t x 2 t
d : y t & d : y 4 2t.

z 4t z 1

= =

= = +


= =

Bi 31: (HKII-2009-CB) Cho ng thng
x 3 y 2 z 2
d :
3 2 2

= =

v hai mt phng
( ):x 2y 2z 3 0, ( '):x 2y 2z 3 0. + = + + =
a) Vit ptts ca t d v tỡm giao im ca d vi
() v (').
b) Lp PT mt cu (S) cú tõm thuc d v tip xỳc
vi c hai mt phng () v (').
Bi 32: (HKII-2009-NC) Cho im M(-2; 3; 1) v
ng thng
x y 5 z 4
d : .
1 3 2

= =

a) Vit ptt

i qua M vuụng gúc vi d v ct d.
b) Vit pt mt cu (S) cú tõm A nm trờn d v cú
bỏn kớnh
AM 11.=

Ch : V TR TNG I GIA HAI
NG THNG TRONG KHễNG GIAN
1/ Theo chng trỡnh c bn:
Cho hai ng thng:
d qua M v cú VTCP
a
r
d qua M v cú VTCP
a'
r
Gi
n
r
= [
a
r
,
a'
r
]
Du hiu 1 (SGK-CB)
d, d chộo nhau
Heọ(d,d') nghieọm

a,a'





r r
voõ
khoõngcuứng phửụng
d, d ct nhau H (d,d) cú mt nghim
d, d song song
Heọ(d,d') nghieọm
a,a'





r r
voõ
cuứng phửụng

d, d trựng nhau H (d,d) vụ s nghim
Du hiu 2 (SBT-CB)
d, d chộo nhau
n.MM' 0
r uuuuur
d, d ct nhau
n 0
n.MM' 0

=


r r
r uuuur
d, d song song
n 0
M d'

=




r r
d, d trựng nhau
n 0
M d'

=




r r
Du hiu vuụng gúc

d d
a a'
r r
2/ Theo chng trỡnh nõng cao:
Cho hai ng thng:

1
qua M
1
v cú VTCP
1
u
r

2
qua M
2
v cú VTCP
2
u
r
Du hiu 1 (SGK-NC)

1
,
2
chộo nhau
1 2
1
2

[u ,u ].M M 0
r r uuuuur

1
,
2
ct nhau
1 2
1
2
1 2
[u ,u ].M M 0
[u ,u ] 0

=




r r uuuuur
r r r

1
,
2
song song
1 2
1
1
2

[u ,u ] 0
[u , M M ] 0

=





r r r
r uuuuur r

1
,
2
trựng nhau
1 2 1
1
2
[u ,u ] [u ,M M ] 0= =
r r r uuuuur r
Du hiu 2
(C hai ban u dựng c)
H (
1
,
2
) cú mt nghim:
1
,

2
ct nhau
1 2
1 2
Heọ( , ) nghieọm
u ,u






r r
voõ
cuứng phửụng
:
1
,
2
song song
1 2
1 2
Heọ( , ) nghieọm
u ,u

r r
voõ
khoõngcuứng phửụng
:
1
,
2
chộo nhau
Gv: Lờ Huy c Vừ Th Qunh Mai 7 Trng THPT Lu Tn Phỏt
1

2

1
M
2
M
1
u
r
2
u
r
caột nhau
1

2

1
M

2
M
1
u
r
2
u
r
cheựonhau
1

2

1
M
2
M
1
u
r
2
u
r
truứngnhau
1

2

1
M

2
M
1
u
r
2
u
r
songsong
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12
Hệ (∆
1
,∆
2
) có vô số nghiệm: ∆
1
, ∆
2
trùng nhau
* Trường hợp trùng nhau gần như không gặp !
∆
1
⊥ ∆
2
⇔
1 2
u u⊥
r r
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng
x 1 y 1 z 5

( ) :
2 3 1
- + -
= =D
lần lượt với các đường
thẳng sau:

1
2
3
4
x 3 y 2 z 6
d : ;
4 6 2
x 4 y 1 z 3
d : ;
6 9 3
x 3 y 2 z 6
d : ;
4 3 5
x 1 y 2 z 1
d : ;
3 2 2
- - -
= =
- - -
= =
- - -
= =
- + +

= =
Giải
Cách 1: (SGK-CB)
Đường thẳng
( )D
đi qua M(1 ; -1 ; 5) và có vectơ chỉ
phương
u (2;3;1)=
r
Đường thẳng
1
(d )
có vectơ chỉ phương
1
a (4;6;2)=
ur
Vì
1
1
u a
2
=
r ur
và
( )
1
M 1 ; 1 ; 5 (d )- Î
nên
1
( ) (d ).D º

Cách 2: (SBT-CB)
Đường thẳng
( )D
đi qua M(1 ; -1 ; 5) và có vectơ chỉ
phương
u (2;3;1)=
r
Đường thẳng
2
(d )
đi qua M’(4;1;3) và có vectơ chỉ
phương
2
a (6;9;3)=
uur
Suy ra:
( )
2
n u,a 0;0;0 0
é ù
= = =
ê ú
ë û
r r uur r
Và
( )
2
M 1 ; 1 ; 5 (d )- Ï
nên
1

( ) / / (d ).D
Cách 3: (SGK-NC)
Đường thẳng
( )D
đi qua M(1 ; -1 ; 5) và có vectơ chỉ
phương
u (2;3;1)=
r
Đường thẳng
3
(d )
đi qua M’(3;2;6) và có vectơ chỉ
phương
3
a (4;3;5)=
uur
Ta có:
( )
3
n u,a 12; 6; 6 0.
é ù
= = - - ¹
ê ú
ë û
r r uur r

MM ' (2;3;1). Suy ra : n.MM' 0.= =
uuuur uur uuuur
Vậy
( )D

cắt
3
(d )
.
Cách 4: Viết lại ptts của
( )D
và
4
(d )
lần lượt là:
4
x 1 2t x 1 3t '
( ) : y 1 3t (d ) : y 2 2t '
z 5 t z 1 2t '
ì ì
= + = +
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
=- + =- +D
í í
ï ï
ï ï
= + =- +
ï ï
ï ï
î î
Xét hệ pt:
1 2t 1 3t '

1 3t 2 2t '
5 t 1 2t '
ì
+ = +
ï
ï
ï
ï
- + =- +
í
ï
ï
+ = - +
ï
ï
î
3
t
5
2t 3t ' 0
2
3t 2t ' 1 t '
5
t 2t ' 6
t 2t ' 6
ì
ï
ï
=-
ï

ï
ì
ï
- =
ï
ï
ï
ï
ï
ï ï
- =- =Û Û
í í
ï ï
ï ï
- =-
ï ï
ï
î
ï
- =-
ï
ï
ï
ï
î
3
t
5
2
t '

5
3 4
6(vôlý)
5 5
ì
ï
ï
=-
ï
ï
ï
ï
ï
ï
=Û
í
ï
ï
ï
ï
ï
- - =-
ï
ï
ï
î
suy ra hệ pt vô nghiệm
Do đó
( )D
và

4
(d )
hoặc chéo nhau, hoặc song song
nhau.
Mặt khác:
( )D
có vectơ chỉ phương
u (2;3;1)=
r
Và
4
(d )
có vectơ chỉ phương
4
a (3;2;2)=
uur
Do
4
u ka , k"¹ Î
r uur
¡
nên
4
u và a
r uur
không cùng phương.
Vậy:
( )D
và
4

(d )
chéo nhau.
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng
x 1 y 1 z
(d) :
2 1 1
- +
= =
-
và
x 3 t
(d ') : y 2t
z 1 t
ì
= -
ï
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=- +
ï
ï
î
a) Xét vị trí tương đối giữa d và d’.
b) Tìm giao điểm của d và d’ (nếu có).
Giải

a) PTTS của d là:
x 1 2t '
y 1 t '
z t '
ì
= +
ï
ï
ï
ï
=- +
í
ï
ï
=-
ï
ï
î
Xét hệ pt:
3 t 1 2t ' t 2t ' 2
2t 1 t ' 2t t ' 1
1 t t ' t t' 1
ì ì
- = + + =
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
=- + - =-Û
í í

ï ï
ï ï
- + =- + =
ï ï
ï ï
î î
t 2t ' 2 t 0
t 0
2t t ' 1 t ' 1
t ' 1
t t' 1 t t' 1
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
ì
=
ï
ï ï
ï ï ï
- =- =Û Û Û
í í í
ï ï ï
=
ï
î
ï ï
+ = + =
ï ï
ï ï

î î
Vậy d và d’ cắt nhau.
b) Thay t = 0 vào ptts của d’ ta được giao điểm là
M(3;0; 1)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đương thẳng
sau đây:
a)
x 1 y 7 z 3 x 6 y 1 z 2
d : , d ':
2 1 4 3 2 1
- - - - + +
= = = =
-
Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 8 Trường THPT Lưu Tấn Phát
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12
b)
x 1 y 2 z x y 8 z 4
d : , d ':
2 1 2 1 2 3 1
- - + -
= = = =
- -
c)
x 2 y z 1 x 7 y 2 z
d : , d ':
4 6 8 6 9 12
- + - -
= = = =
- - -

d)
x 1 y 6 z 3 x 7 y 6 z 5
d : , d':
9 6 3 6 4 2
- - - - - -
= = = =
e)
x t x 9 2t '
d : y 1 t và d ': y 8 2t '
z 2 t z 10 2t '
ì ì
= = +
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
= + = +
í í
ï ï
ï ï
= - = -
ï ï
ï ï
î î
f)
x t x 0
d : y 3t và d ': y 9
z 1 2t z 5t '
ì ì
=- =

ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
= =
í í
ï ï
ï ï
=- - =
ï ï
ï ï
î î
g)
x 1 t
x 1 y 5 z 4
d : y 1 2t và d':
3 2 2
z 2 3t
ì
= +
ï
ï
- - -
ï
ï
= + = =
í
ï
ï
=- +

ï
ï
î
h)
x 9t
d : y 5t và d '
z 3 t
ì
=
ï
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=- +
ï
ï
î
là giao tuyến của hai mặt
phẳng:
( ): 2x 3y 3z 9 0 và ( ) : x 2y z 3 0 - - = - + + =a b
Bài 2: Chứng minh d và d’ chéo nhau, viết phương
trình đường vuông góc chung của d và d’:
a)
x 2 y 3 z 4 x 1 y 4 z 4
d : , d':
2 3 5 3 2 1

- - + - - -
= = = =
- - -
b)
x 2 t x 2 2t '
d : y 1 t và d ': y 3
z 2t z t'
ì ì
= + = -
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
= - =
í í
ï ï
ï ï
= =
ï ï
ï ï
î î
c)
x 1 t
x 1 y 2 z
d : y 3 2t và d ':
1 2 3
z 1
ì
= +
ï

ï
- -
ï
ï
= - = =
í
ï
-
ï
=
ï
ï
î
Chủ đề: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng d qua M và có VTCP
a
r
, và
mặt phẳng (α) có VTPT
n
r
.
Dấu hiệu 1 (SGK-CB-NC)
d,(α) cắt nhau ⇔ Hệ [d,(α)] một nghiệm
d,(α) song song ⇔ Hệ [d,(α)] vô nghiệm
d,(α) trùng nhau ⇔ Hệ [d,(α)] vô số nghiệm
Dấu hiệu 2 (SBT-CB)
d,(α) cắt nhau ⇔
a.n

r r

≠
0
d,(α) song song ⇔
a.n 0
M ( )

 =

∉ α


r r
d,(α) trùng nhau ⇔
a.n 0
M ( )

 =

∈ α


r r
Dấu hiệu vuông góc
∆ ⊥ (α) ⇔
a ,n
∆ α
r r
cùng phương

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đt
x 1 2t
: y 2 4t
z 3 t
= +


∆ = +


= +

với
mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a)
( ): x y z 2 0α + + + =
b)
( ): 4x 8y 2z 7 0α + + − =
c)
( ): x y 2z 5 0α − + + =
d)
( ): 2x 2y 4z 10 0α − + − =
Giải
C1: a) Xét hệ
x 1 2t x 1 2t
y 2 4t y 2 4t
z 3 t z 3 t
x y z 2 0 7t 8 0
= + = +
 

 
= + = +
 
⇔
 
= + = +
 
 
+ + + = + =
 

9
x
7
25
y
7
13
z
7
8
t
7

= −



= −


⇔


=



= −

Vậy d cắt (α) tại
9 25 13
M ; ; .
7 7 7
 
− −
 ÷
 
C2: b) đt
( )∆
đi qua M(1; 2; 3) và có VTCP
a (2;4;1)=
r
mp(α) có VTPT
=
r
n (4;8;2)
Ta có:
a.n 42 0= ≠
r r
nên

( )∆
cắt mp(α).
Câu c, d làm tương tự: c)
( ) / / ( ).∆ α
d)
( ).∆ ⊂ α
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Xét vị trí tương đối của đt (d) và mp(α) trong
các trường hợp sau:
a)
x t
d : y 1 2t và ( ) : x 2y z 3 0
z 1 t
=


= + α + + − =


= −

Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 9 Trường THPT Lưu Tấn Phát
d
α
songsong
α
M
•
d
caét nhau

α
naèm trong
d
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12
b)
x 2 t
d : y t và ( ) : x z 5 0
z 2 t
= −


= α + + =


= +

c)
x 3 t
d : y 2 t và ( ) : x y z 6 0
z 1 2t
= −


= − α + + − =


= +

d)
x 12 y 9 z 1

d : và ( ) : 3x 5y z 2 0
4 3 1
− − −
= = α + − − =
e)
x 1 y 3 z
d : và ( ):3x 3y 2z 5 0
2 4 3
+ −
= = α − + − =
f)
x 9 y 1 z 3
d : và ( ): x 2y 4z 1 0
8 2 3
− − −
= = α + − + =
g) d là giao tuyến của 2 mp(P): 3x + 5y + 7z + 16 = 0 và
(Q): 2x – y + z – 6 = 0.
( ):5x z 4 0.α − − =
Bài 2: Cho đường thẳng
x 1 y 1 z
d :
2 1 1
− +
= =
−
và mặt
phẳng
( ): x 2y z 1 0.α + + − =
Chứng minh d cắt (α) và tìm tọa độ giao điểm của

chúng.
Bài 3: Cho đường thẳng
x 3 y 1 z 1
d :
2 3 2
+ + +
= =
và
mặt phẳng
( ): 2x 2y z 3 0.α − + + =
a) Chứng minh: d // (α).
b) Tính khoảng cách giữa d và (α).
Bài 4: Cho hai đt
1
x 1 y 2 z 5
d :
2 3 4
− + −
= =
−
và
2
x 7 3t
d : y 2 2t
z 1 2t
= +


= +



= −

a) CM: d
1
và d
2
cùng nằm trong một mặt phẳng (α).
b) Viết phương trình của (α).
HD: a) Tìm VTCP
1 2
a và a
uur uur
của d
1
; d
2
.
Lấy
1 1 2 2
M d ;M d∈ ∈
Tính
1 2
n a ,a
 
=
 
r uur uur
;

1 2
n.M M 0=
r uuuuuur
suy ra d
1
; d
2
đồng phẳng
b) mp(α) đi qua M
1
và có VTPT là
n
r
, vậy pt của mp(α)
là: 2x – 16y – 13z + 31 = 0.
Chủ đề: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN
MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Cách 1 Cách 2
•Lập (α) qua M và vuông
góc ∆.
•Tìm giao điểm H giữa (α)
và ∆ .
•d(M,∆ ) = MH
 Chọn N ∈ ∆ và
a
r
là
VTCP của ∆.
 Tính
[MN,a]

uuuur r
 d(M,∆ ) =
|[MN,u |
| u|
uuuur r
r
Đặc biệt
 Khoảng cách từ M đến các trục tọa độ :
d(M, Ox) =
2 2
M M
y z+
, d(M, Oy) =
2 2
M M
x z+
•Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1 Cách 2
• Lập (α) chứa ∆’ và
song song ∆ .
•Chọn M ∈ d.
•d(∆, ∆’) = d[M,(α)]
•Chọn M ∈ ∆ ,
a
r
là VTCP
của ∆.
•Chọn M’∈ ∆’ ,
a'
r

là
•VTCP của ∆’
•d(∆
1
, ∆
2
) =

|[a,a'].MM'|
|[a,a']|
r r uuuur
r r
•Chú ý: CB hay dùng cách 1, NC hay dùng cách 2.
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm A đến đt ∆ trong
các trường hợp sau:
a)
x 2 t
A(1;2;1) và ( ) : y 1 2t
z 1 2t
= − +


∆ = +


= − −

b)
x 1 y z
A(1;0;1) và ( ) : .

2 2 1
−
∆ = =
Giải
a) C1: Gọi (α) là mp đi qua A và vuông góc với
∆
.
Ta có VTPT của (α) là
n (1;2; 2).= −
r
Phương trình của (α) là: x + 2y – 2z – 3 = 0.
Tọa độ giao điểm H của
∆
và (α) là nghiệm của hpt:
17
x
9
x 2 t
11
y
y 1 2t
9

z 1 2t 11
z
9
x 2y 2z 3 0
1
t
9


= −


= − +


=

= +


⇔ ⇔
 
= − −
 
= −
 
+ − − =



=


17 11 11
H ; ;
9 9 9
 
⇒ − −

 ÷
 
Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 10 Trường THPT Lưu Tấn Phát
d
1
d
2
M
1
M
2
M
•
?
α
H
∆
•
M
N
a
r
∆
?
M
•
∆
'∆
α
M

M'
a
r
a'
r
∆
'∆
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12
Khoảng cách từ A đến
∆
là:
5 5
d(A, ) AH .
3
∆ = =
b) C2: Đường thẳng
∆
đi qua điểm M(1; 0; 0) và có
VTCP là
a (2;2;1).=
r
Ta có:
MA (0;0;1), n a,MA (2; 2;0).
 
= = = −
 
uuuur r r uuuur
Vậy:
n
2 2

d(A, ) .
3
a
∆ = =
r
r
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đt ∆ trong
các trường hợp sau:
a)
x 2 t
M(2;3;1), : y 1 2t
z 1 2t
= − +


∆ = +


= − −


b)
x y 1 z 3
M(1;2;1) , :
3 4 1
− +
∆ = =
c)
x 2 y 1 z

M(1;0;0) , :
1 2 1
− −
∆ = =
d) M(2; 3; -1) , ∆ là giao tuyến của 2mp
( ): x y 2z 1 0và ( ): x 3y 2z 2 0.α + − − = β + + + =
Bài 2: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng
sau đây:
a)
1 2
x 1 t x 2 3t '
d : y 1 t d : y 2 3t '
z 1 z 3t '
= + = −
 
 
= − − = − +
 
 
= =
 
b)
1 2
x 1 y 3 z 4 x 2 y 1 z 1
d : , d :
2 1 2 4 2 4
− + − + − +
= = = =
− − −
c)

1 2
x 2 t
x 1 y 2 z 3
d : , d : y 1 t
1 2 3
z t
= −

− − −

= = = − +


=

d)
1
x 1 3t
d : y 2 t
z 1 2t
= +


= +


= − +

, d
2

là giao tuyến của hai mặt
phẳng (P): 2x + 3y – 4 = 0 và (Q): y + z – 4 = 0.
CÁC LOẠI GÓC
I. GÓC GIỮA HAI VECTƠ
=
r r
r r
r r
a.b
cos(a,b)
| a | .| b |

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
∆ ∆ =
r r
1 2
1 2
cos( , ) | cos(u ,u ) |

III.GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
α α =
r r
1 2
1 2
cos[( ),( )] | cos(n ,n )|

IV.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
∆ α =
r r
sin[ ,( )] | cos(u,n)|

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M qua
mp(α) trong các trường hợp sau:
a)
M(1; 1;2), ( ) : 2x y 2z 12 0− α − + + =
b)
M(2; 3;1), ( ): x 3y z 2 0− α + − + =
c)
M(2;3;5), ( ): 2x 3y 2z 6 0α + + − =
Bài 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M qua
đt(d) trong các trường hợp sau:
a)
x 1 2t
M(2; 1;1), d : y 1 t
z 2t
= +


− = − −


=

b)
x 2 y 2 z
M(4; 3;2), d :
3 2 1
+ +
− = =
−

c)
M(2; 1;1)−
, d là giao tuyến của 2mp
( ): y z 4 0 và ( ) : 2x y z 2 0.α + − = β − − + =
Bài 3: Trong kg Oxyz cho đt
x 1 2t
d : y 1 t
z 2 t
= +


= − +


= −

Gọi d’ là giao tuyến của 2mp (P): 3y – z – 7 = 0 và
(Q): 3x +3y – 2z – 17 = 0.
a) Chứng minh: d, d’ chéo nhau và vuông góc nhau.
b) Viết pt đường vuông góc chung của d và d’.
c) Viết pt mp(R) chứa d’ và vuông góc với d. Tìm tọa
độ giao điểm của d và (R).
Bài 4: Viết ptđt
∆
nằm trong mp
( ): y 2z 0α + =
và
cắt cả hai đường thẳng
1
x 1 t

d : y t
z 4t
= −


=


=


1
x 2 t '
d : y 4 2t '
z 4
= −


= +


=

Bài 5: Cho đường thẳng
x 3 y 1 z 1
:
2 3 2
+ + +
∆ = =
và

mp
( ): 2x 2y z 3 0.α − + + =
a) CM:
songsong( )∆ α
b) Tính khoảng cách giữa
và ( ).∆ α
Bài 6: Cho mp
( ): 2x y z 1 0α + + − =
và đường thẳng
x 1 y z 2
d : .
2 1 3
− +
= =
−
Gọi M là giao điểm của d và
( )α
, hãy viết pt của đt
∆
đi qua M vuông góc với d
và nằm trong
( ).α
Bài 5: Cho hai đường thẳng (d):
1 1 2
2 3 1
+ − −
= =
x y z

và (d’):

2 2
1 5 2
− +
= =
−
x y z
.
a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng
cách giữa chúng.
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của
chúng.
c)Tính góc giữa (d
1
) và (d
2
).
Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 11 Trường THPT Lưu Tấn Phát
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12
Bài 6:Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đt
d:
1 2 3
2 3 1
− + −
= =
x y z
a/ Trên mp(Oxy) b/ Trên mp(Oxz) c/ Trên mp(Oyz)
Bài 7: Trong kg Oxyz cho bốn điểm A(3;-1;0),
B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
a) CM: hai đường thẳng AB và CD chéo nhau.
b)Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với

mặt phẳng (BCD)
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;2;3) và
( )
α
:
2 2 6 0+ − + =x y z
.
a). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa
độ và tiếp xúc với
( )
α
.
b). Viết phương trình tham số của đường thẳng
( )
∆
đi
qua E và vuông góc
( )
α
.
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng :

( )
1
: 1 5
1 3
=


= − −



= − −

x t
d y t
z t

( )
2
1 3
: 2
2 1
− −
= − =
− −
x z
d y
a) Chứng minh
1 2
;d d
chéo nhau.
b) Viết pt mp(P) chứa
1
d
và song song với
2
d
.
Bài 10: Trong kg Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1),

B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1).
a) Viết phương trình đường thẳng BC.
b) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng
phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mc(S) tâm A, bán kính R = 6.
Chứng minh mc(S) cắt mp(BCD).
d) Xác định tâm và bán kính của đường tròn giao
tuyến của mc(S) với mp(BCD).
Bài 11: Cho
( )
: 2 5 17 0
α
+ + + =x y z
và đường thẳng
(d) là giao tuyến của hai mặt phẳng:
(P) : 3x – y + 4z – 27 0 và (Q):6x 3y – z 7=0.= + +

a/ Tìm giao điểm A của (d) và
( )
α
.
b/ Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua A,
vuông góc với (d) và nằm trong mp
( )
α
.
Bài 12: Trong kg Oxyz cho bốn điểm A(3;-2;-2) ;

B(3,2,0); C(0,2,1), D(-1,1,2).
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc
với (BCD).
b/ Viết phương trình mặt phẳng song song với (BCD)
và cách A một khoảng là 5.
Bài 13: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1;2;3)
và đường thẳng
y 1x 2 z
(d) :
1 2 1

= =
a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (d).
b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (d).
Bài 14: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2)
và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 1 = 0.
a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).
b/ Viết pt mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
Bài 15: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
(P):x 2y z 5 0+ - + =
và đt
( )
x 3
d : y 1 z 3
2
+
= + = −
a/ Hãy tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
b/ Viết pt hình chiếu vuông góc của (d) lên (P).
Bài 16: Trong không gian Oxyz cho

( )
: x 2y 2z 3 0α − − + =
và

y 1x 1 z 21
(d) :
1 2 3
−− +
= =
−

a/ Hãy tìm giao điểm A của (d) và
( )
α
b/ Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua A,
vuông góc với (d) và nằm trong mp
( )
α
.
Bài 17: Trong không gian Oxyz cho
( )
: 2x y z 2 0α − + + =
và
( )
: x y 2z 1 0β + + − =

a/ Hãy phương trình tham số giao tuyến của

( )
α

và
( )
β
b/ Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua
M(1,4,-1) biết
( )
∆
song song với hai mặt phẳng
( )
α

và
( )
β
Bài 18: Trong không gian Oxyz cho A(5,-1,0), B(2,-
1.6),C(-3,-1,-4)
a). Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện
tích tam giác ABC và độ dài đường cao AH của tam
giác ABC.
b). Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua tâm I
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông

góc với mặt phẳng (ABC).
Bài 19: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
( )
y 2x 1 z
d :
2 2 1
−−
= =
− −
và
( )
x 2t
d' : y 5 3t
z 4





= −
= − +
=

a. Chứng minh rằng (d) và (d’) là hai đường
thẳng chéo nhau.
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và
song song với (d’)
Bài 20: Trong kg Oxyz, cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và
đường thẳng
x 2 3t

(d) : y 2 2t
z t





= − +
= − +
= −
.
a) Viết phương trình mp( P) qua điểm M và chứa
đường thẳng (d).
b) Viết phương trình mp( Q ) qua M và vuông góc
đường thẳng (d).
c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M
lên đường thẳng (d).
Bài 21: Trong kg Oxyz, cho điểm A(−1 ; 2 ; 3) và
đường thẳng
y 1x 2 z
(d) :
1 2 1
−−
= =
.
a) Tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.
b)Viết pt của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
Bài 22: Trong kg Oxyz, cho đường thẳng
Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 12 Trường THPT Lưu Tấn Phát
Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12

yx 2 z 3
(d) :
1 2 2
+ +
= =
−
và mp
(P):2x y z 5 0.+ − − =

a) CMR: (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .
b) Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A , nằm
trong (P) và vuông góc với (d).
Bài 23: Trong kg Oxyz, cho đường thẳng
y 1x 3 z 3
(d) :
2 1 1
++ −
= =
và mp
(P):x 2y z 5 0.+ − + =
.
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và
mặt phẳng (P) .
b) Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình đường thẳng (
∆
) là hình chiếu
của đường thẳng (d) lên mp(P).

Bài 24: Trong kg Oxyz, cho 4 điểm: A(
−
2;1;
−
1),
B(0;2;
−
1), C(0;3;0), D(1;0;1) .
a) Viết phương trình đường thẳng BC .
b) Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng
phẳng .
c) Tính thể tích tứ diện ABCD.
d) Viết pt mặt cầu tâm B và tiếp xúc với mp(ACD).
Bài 25: Trong kg Oxyz, cho điểm M(1;
−
1;1), hai
đường thẳng
1
yx 1 z
( ):
1 1 4
−
∆ = =
−
,
2
x 2 t
( ) : y 4 2t
z 1






= −
∆ = +
=
và
mặt phẳng
(P): y 2z 0.+ =
a) Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M
lên đường thẳng (
2
∆
) .
b) Viết pt đt d cắt cả hai đường thẳng
1 2
( ) ,( )∆ ∆
và
nằm trong mặt phẳng (P).
Bài 26: Trong kg Oxyz, cho hai đường thẳng
1
y 2x 1 z
( ): và
2 2 1
−−
∆ = =
− −
2
x 2t

( ) : y 5 3t
z 4





= −
∆ = − +
=

a) CM:
1
( )∆
và
2
( )∆
chéo nhau.
b) Viết pr mp( P ) chứa
1
( )∆
và song song với
2
( )∆

c) Tính khoảng cách giữa hai đt
1
( )∆
và
2

( )∆
Bài 27: Trong kg Oxyz, cho điểm M(2;3;0), mặt
phẳng
(P):x y 2z 1 0+ + + =
và mặt cầu
2 2 2
(S): x y z 2x 4y 6z 8 0.+ + − + − + =
a) Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mp(P).
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với
(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 28: Trong kg Oxyz, cho hai đường thẳng
1
x 2 2t
(d ) : y 3
z t





= −
=
=
và
2
y 1x 2 z
(d ):
1 1 2
−−
= =

−
.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng
1 2
(d ),(d )
vuông
góc nhau nhưng không cắt nhau .
b) Viết pt đường vuông góc chung của
1 2
(d ),(d ).
Bài 29: Trong kg Oxyz, cho đường thẳng
x 1 2t
(d) : y 2t
z 1





= +
=
= −
và mặt phẳng
(P):2x y 2z 1 0.+ − − =
.
a)Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d),
bán kính bằng 3 và tiếp xúc với (P).
b) Viết pt đường thẳng (
∆
) qua M(0;1;0), nằm trong

(P) và vuông góc với đường thẳng (d).
Bài 30: Trong kg Oxyz, cho A(1;2;3) và đường
thẳng
(d) : .
y 1
x 1 z 1
2 1 2
+
− −
= =
.
a)Viết phương trình mặt phẳng
α
qua A và vuông
góc d.
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng
α
.
Bài 31: Trong Kg Oxyz, cho điểm A(2;0;1), mặt
phẳng
(P):2x y z 1 0− + + =
và đt
x 1 t
(d) : y 2t
z 2 t






= +
=
= +
.
a) Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông
góc và cắt đường thẳng (d).
Bài 32: Trong Kg Oxyz, cho điểm A(3;4;2), đường
thẳng
yx z 1
(d):
1 2 3
−
= =
và mp
(P):4x 2y z 1 0.+ + − =
.
a) Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt
phẳng (P) và cho biết toạ độ tiếp điểm.
b) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc
(d) và song song với mặt phẳng (P).
Bài 33: Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng
x 1 t
(d) : y 3 t
z 2 t






= +
= −
= +
và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z =0.
a) Chứng tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm đó
b) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho khoảng cách từ
M đến (P) bằng 2.Từ đó lập phương trình mặt cầu có
tâm M và tiếp xúc với (P).
Bài 34: Trong Kg Oxyz, cho điểm A(3; −2; −2) và
mp(P): 2x −2y + z −1 = 0.
a) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A
và vuông góc với (P).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình của mặt phẳng (Q) song song
với mp(P) và cách mp(P) một khoảng bằng khoảng
cách từ điểm A đến mp(P).
Bài 35: Cho đường thẳng
y 1x z 1
(d) :
2 1 2
− +
= =
và hai
mp(α): x+ y -2z +5 = 0 , (β) : 2x – y + z + 2 = 0.
Viết phương trình mặt cầu có tâm trên (d) và tiếp xúc
với hai mặt phẳng (α), (β).

Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 13 Trường THPT Lưu Tấn Phát