Chuyen de tam thuc bac hai

Chuyên đề tam thức bậc hai
I. Phơng trình bậc 2, định lý Viet:
1. Giải và biện luận các phơng trình sau:
a. m
2
x
2
m(5m + 1)x 5m - 2 = 0.
b. (m - 2)x
2
2(m + 1)x + m = 0.
c.
1x
a
+
ax
1
= 2.
2. Giải các phơng trình sau:
a. (1 -
2
)x
2
- 2(1 +
2
)x + 1 + 3
2
= 0.
b.
1
1

x
+
2
2
x
= 3(
6
2
+x
-
3
1
x
).
c. (a + b)
2
x
2
(a - b)(a
2
b
2
)x 2ab(a
2
+ b
2
) = 0, (a + b

0).
d. x

2
2sina.sinb.x + sin
2
a + sin
2
b 1 = 0.
3. CMR các phơng trình sau luôn có nghiệm a, b, c R:
a. (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0.
b. ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ca(x - c)(x - a) = 0.
4. Biện luận theo m số nghiệm của các phơng trình sau:
a. x
3
m(x - 1) - 1 = 0. b. x
3
m(x + 2) + 8 = 0.
5. Giả sử phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Hãy tính các biểu thức sau
theo a, b, c:
A = x
1
2
+ x
2

2
.
B =

x
1
3
+ x
2
3
.
C = x
1
4
+ x
2
4
.
D = x
1
6
+ x
2
6
.
E = x
2
x
1
3

+ x
1
x
2
3
.
F = | x
1
x
2
|.
G =
1
1
x
+
2
1
x
.
H =
2
1
1
x
+
2
2
1
x

.
6. Tìm m sao cho các phơng trình sau thoả mãn:
a. Pt: x
2
mx+m
2
m3 = 0 có nghiệm t/m: x
1
2
+ x
2
2
= 4.
b. Pt: x
2
(m+2)x+m
2
+1 = 0 có nghiệm t/m: x
1
2
+ x
2
2
= 3x
1
x
2
.
c. Pt: 3x
2

+4(m-1)x+m
2
4m+1 = 0 có nghiệm t/m:
1
1
x
+
2
1
x
=
2
1
(x
1
+x
2
).
d. Pt: x
2
+mx+1 = 0 có nghiệm t/m:
2
1
2
2
x
x
+
2
2

2
1
x
x
> 7.
e. Pt: x
2
(2m+1)x+m
2
+1 = 0 có nghiệm x
1
, x
2
t/m: x
1
= 2x
2
.
f. Pt: x
2
3,75x+m
2
= 0 có nghiệm x
1
, x
2
t/m: x
1
= x
2

2

.
g. Pt: mx
2
2(m-1)x+3(m-2) = 0 có nghiệm x
1
, x
2
t/m: x
1
+ 2x
2
= 1.
7. Cho phơng trình: (m 2)x
2
- 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm m để:
a. Phơng trình có 2 nghiệm là 2 số đối nhau.
b. Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu sao cho nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
c. Phơng trình có 2 nghiệm âm phân biệt.
d. Phơng trình chỉ có một nghiệm dơng.
8. Cho phơng trình: 2x
2
+ (2m - 1)x + m 1 = 0 (1)
a. Tìm m để (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
t/m: 3x
1

4x
2
= 11.
b. CMR phơng trình (1) không thể có 2 nghiệm dơng.
c. Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m.
1
2
II. Bất phơng trình bậc 2, định lý thuận:
9. Giải các bất phơng trình sau:
a. 2x
2
5x + 3 < 0.
b. x
2
- 4x 5 0.
c. x
2
+ 3x 4 0.
d. x
3
6x
2
+ 5x +12

0.
e. 4x
2
- 4x + 1

0.

f. x
2
(m + 2)x + m + 1

0.
g.
xx
>
+

2
3
13
4
h.
xa
ax
x
ax
<


+
12
22
10. Giải và biện luận các bất phơng trình sau:
a. ax
2
+ (a + 1)x + 1 >0
b. (m - 1)x

2
2(m + 1)x + m + 3 > 0
c. 4(m + 2)x
2
2(m - 1)x + m - 1 < 0
11. Giải các hệ bất phơng trình sau:
a.






>+
054
0352
2
2
xx
xx
b.





+
>++
06
0792

2
2
xx
xx
c.






+
)4(4
043
3
2
xx
xx
d.





+

0)473)(1(
09
2
2

xxx
x
12. Tìm m để:
a. (m
2
+ 2m)x
2
+ 2(m + 2)x 3 0, x R.
b. mx
2
+ 4x + m > 0, x R.
c. mx
2
- mx 5 < 0, x R.
d.
342)12(
52
2
2
+
+
mxxm
xx
> 0, x R.
13. Tìm m để các bất phơng trình sau vô nghiệm:
a. (m + 1)x
2
- 2mx m + 3 < 0.
b. (m + 1)x
2

2(m 1)x +3m - 3 < 0.
c. (m + 1)x
2
2(m 1)x +3m - 3 0.
14. Tìm a để hệ phơng trình sau vô nghiệm:
a.





>++
<++
01)1(
034
2
2
xaax
xx
b.





+>+
<+
xaxa
xx
)23(31

087
2
2
15.Cho hệ phơng trình:





++
+
0)1(
0232
22
2
axaax
xx

a. Tìm a để hệ bất phơng trình có nghiệm.
b. Tìm a để hệ bất phơng trình có nghiệm duy nhất.
16. CMR: a. x
2
+ 2xy + 3y
2
+2x + 6y + 3 0 x, y R.
b. x
2
y
4
4xy

3
+ 2(x
2
+ 2)y
2
+ 4xy + x
2
0 x, y R.
17. Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+ 10 = 0. Hãy tìm GTLN,
GTNN của S = x + y + 1.
18. Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: (x
2
- y
2
+1)
2
+ 4x
2
y
2
x
2
y
2
= 0. Hãy tìm GTLN,
GTNN của S = x

2
+ y
2
.
III. Định lý đảo:
19. So sánh số 2 với các nghiệm của các phơng trình bậc 2 sau:
a. 2x
2
9x 15 = 0.
b. x
2
+ (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
c. mx
2
+ (m-2)x 3m 4 = 0.
20. Cho phơng trình bậc 2: x
2
2(m + 1)x + 5m 1 = 0 (1). Hãy so sánh các nghiệm của
(1) với số 1 khi m thay đổi.
21. Cho phơng trình bậc 2: x
2
mx + 3m 8 = 0 (1). Hãy so sánh các nghiệm của (1) với số
4 khi m thay đổi.
22. Cho phơng trình: (3 m)x
2
+ 2mx + m + 2 = 0 (1). Tìm m để:
a. Tìm m để (1) có 2 nghiệm < 1.
b. Tìm m để (1) có 1 nghiệm (-1; 3) còn nghiệm kia > 3.
23. Tìm a để phơng trình: (a + 1)x
2

8(a + 1)x + 6a = 0 có đúng một nghiệm (0; 1).
24. Tìm m để phơng trình: (m-3)log
2
0,5
(x-4) (2m+1)log
0,5
(x-4) + m + 2 = 0 có 2 nghiệm x
1
,
x
2
t/m: 4 < x
1
< x
2
< 6.
25.Tìm m để phơng trình:
xSinxCox
xCosxSin
22
66

+
= mtg2x có nghiệm.
26.Tìm m để phơng trình:
xSin
2
3
+ 3tg
2

x + m(tgx + cotgx) 1 = 0 có nghiệm.
27. Cho phơng trình: x
2
(a + 2)x + 5a + 1 = 0. Tìm a sao cho:
a. Phơng trình có một nghiệm lớn hơn 1.
b. Phơng trình chỉ có một nghiệm lớn hơn 1.
c. Phơng trình có nghiệm (-1; 1).
28. Tìm m để: f(x) = x
2
(m+2)x + m
2
+1 > 0 x > 1.
29. Tìm m để: f(x) = (m-2)x
2
3(m-6)x m - 1 < 0 x (-1; 0).
30. Giải và biện luận các bất phơng trình sau:
a.
1
65
2

+
x
mxx
> 1.
b. 2x - m
1x
> m 1.
c. | x
2

2x m |

| x
2
3x m |
31. Biện luận số nghiệm của các phơng trình sau:
a. x
4
5x
2
+ 6 m = 0.
b. x
4
+ mx
3
+ x
2
+ mx + 1 = 0
c. x
2
= 2(m-1)
1
2
+x
- 5m.
d. (m-1)Sin
2
x2(m+1)Cosx+2m1=
0.
32.Tìm a để bất phơng trình:

xcos
4
+ 2(2a + 1)
xcos
2
+ 4a
2
3 < 0 đúng x.
33.Tìm a để bất phơng trình: Sin3x + mSin2x + 3Sinx 0 đúng x t/m: 0

x

2

.
IV. Hệ phơng trình bậc 2:
Giải các hệ phơng trình sau:
Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai:
42.



=
=
24
132
2
xyx
yx
43.

+=
=+
9)(3
0143
yxxy
yx
44.



=+++
=+
06
232
yxxy
yx
45.



=+
=+
052
4
2
yx
xxy

46.



=+
=+
023
532
22
yyx
yx
47.



=
=++
52
7
22
yx
yxyx
Hệ đối xứng loại 1:
48.



=+
=+
10

4
22
yx
yx
49.



=+
=
65
18)1)(1(
22
yx
yx
50.



=+
=++
5
5
22
yx
xyyx
51.

=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
52.



=+
=++
6
5
22
xyyx
xyyx
53.



=++
=++
17
5
3333
yxyx
xyyx
54.

=+++
=+++
9
11
5
11
22
22
yx
yx
yx
yx
55.







=++
=++
49)

1
1)((
5)
1
1)((
22
22
yx
yx
xy
yx
Hệ đẳng cấp bậc 2:
56.





=++
=++
222
932
22
22
yxyx
yxyx
57.

=+
=+
554
932
22
22
yxyx
yxyx
58.





=+
=+
1333
13
22
22
yxyx
yxyx
59.

=
=+
15395
38453
22
22
yxyx
yxyx
Hệ đối xứng loại 2:
60.





+=
+=
xyy
yxx
23
23
2
2
61.





+=

+=
xyxy
yxyx
22
22
22
22
62.





+=
+=
xyy
yxx
2
2
3
3
63.





=
=
1

1
2
2
mxy
myx
64.





+=
+=
mxyy
myxx
3
3
2
2
Các hệ phơng trình khác:
65.





=++
=+
=++
14

7
6
22
zyx
zxyzxy
zyx
66.



=++
=+++
72)1()1(
18
22
yyxx
yyxx
67.





=++
=++
=++
5
2
1
yzzy

xzzx
xyyx
68.





=++
=++
=++
xyzyxz
xzzyxy
yzzyxx
6)(
3)(
2)(
69.



=++
=++
1
1
222
zyx
zxyzxy
70.

+=
+=
+=
1
1
1
2
2
2
xz
zy
yx
Giải các phơng trình sau:
71.x
2
+
5+x
= 5
72.x
3
+ 1 = 2
3
12 −x
73.x
3
- 3

3
32 x+
=2
74.x
3
- 1 =
3
1+x