Bài 6: Hệ thức Viét

CHAỉO MệỉNG CAC TH Y C ễ ẹEN
THAM Dệẽ TIET D Y
GD & T
GiNG
RiNG

Giải các phương trình sau:
Giải:
KIỂM TRA BÀI CŨ
= b
2
– 4ac = (– 5)
2
- 4 .2.3
= 25 – 24 = 1 > 0
1∆⇒ =
Vậy pt có hai nghiệm phân
biệt là:
1
b ( 5) 1 3
x
2a 2.2 2
∆− + − − +
= = =
Ta có : a = 2 , b= -5 , c = 3
a) 2x
2
– 5x + 3 = 0 b) 3x
2
+ 7 x + 4 = 0

2
b ( 5) 1
x 1
2a 2.2
∆− − − − −
= = =
Ta có : a = 3 , b= 7 , c = 4
 = b
2
– 4ac = 7
2
- 4 .3.4
= 49 – 48 = 1 > 0
1∆⇒ =
Vậy pt có hai nghiệm phân
biệt là:
1
b 7 1
x 1
2a 2.3
∆− + − +
= = = −
2
b 7 1 4
x
2a 2.3 3
∆− − − −
= = = −

Tiết 56 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1. HÖ thøc vi- Ðt
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0
có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân
biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các
nghiệm đó dưới dạng:
1 2
b b
x , x
2a 2a
- + D - - D
= =
H·y tÝnh : x
1
+x
2
=
x
1
. x
2
=
?1

1 2
2 2
x
b b
a a

x
− + ∆ − − ∆
++ =
( )
2
2
2
b b
a
b
a
− + ∆ + − − ∆
=
−
= =
-
b
a
1 2
2
.
2
b b
x
a a
x
   
− + ∆ − − ∆
×
 ÷  ÷

 ÷  ÷
   
=
2 2 2
2 2
2
( 4 )
4 4
4
4
b b b ac
a a
ac
a
− ∆ − −
= =
= =
c
a
1. HÖ thøc vi- Ðt
Tiết 56 BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
§Þnh lÝ vi- Ðt
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng
tr×nh ax
2

+ bx + c = 0 (a≠0) th×
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
ì
ï
ï
+ =-
ï
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
?1
?1

1. Hệ thức vi ét
p dng:
Bit rng cỏc phng trỡnh sau cú

nghim, khụng gii phng trỡnh,
hóy tớnh tng v tớch ca chỳng:
a/ 2x
2
- 9x + 2 = 0
b/ -3x
2
+ 6x -1 = 0
Giải
a/
b/
áp dụng
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng
trình ax
2
+ bx + c = 0 (a0) thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x

a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
x
1
+ x
2
=
x
1
.x
2
=
( )
9
9
2 2

b
a


= =
2
1
2
c
a
= =
x
1
+ x
2
=
x
1
.x
2
=
6
2
3
b
a

= =

1 1

3 3
c
a

= =


1. Hệ thức vi ét
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng
trình ax
2
+ bx + c = 0 (a0) thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-

ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
Tr l i
áp dụng
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG

Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh tng
v tớch hai nghim ca phng trỡnh
x
2
6x + 5 = 0 v tớnh nhm nghim
ca phng trỡnh.
Vỡ = 9 5 = 4>0
x
1
+ x
2
=
x
1
.x
2
=

( )
6
6
1
b
a


= =
5
5
1
c
a
= =
Suy ra: 1 + 5 = 6
1 . 5 = 5
Vy hai nghim ca phng trỡnh l:
x
1
=1 ; x
2
=5

Hoạt Động nhóm
Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )
Cho ph ơng trình 2x
2
- 5x+3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.

b) Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của ph
ơng trình.
c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2.
.
Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3)
Cho ph ơng trình 3x
2
+7x+4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của ph ơng
trình v tính a-b+c
b) Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm của
ph ơng trình.
c) Tìm nghiệm x
2.
1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì
1 2

1 2
b
x x
a
c
x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
áp dụng
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
00:0000:1000:30
00:40
00:50
01:00
01:1001:2001:3001:4001:5002:0002:1002:2002:3002:4002:5003:00
03:10
03:2003:3003:4003:5004:0004:1004:2004:3004:40
04:50

05:0005:1005:2005:3005:4005:50
00:20
06:00
?2
?3

1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a0)
thì :
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù

ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
áp dụng
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì
ph ơng trình có môt nghiệm x
1
= 1, còn
nghiệm kia là
c
a
x
2
=
Hoạt Động nhóm
Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )
Tr li:
Phng trỡnh 2x
2
-5x + 3 = 0
a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3
a+b+c =2+(-5)+3=0

b/ Thay x
1
=1 vo phng trỡnh ta
c: 2. 1
2
+(-5) . 1 + 3 = 0
Vy x
1
=1 l mt nghim ca phng
trỡnh
c/ Ta cú
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
1 2 2 2
c 3 3
x .x = 1.x = = => x =
a 2 2


1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì
1 2
1 2

b
x x
a
c
x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
áp dụng
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì
ph ơng trình có môt nghiệm x
1
= 1, còn
nghiệm kia là

c
a
x
2
=
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c=0 (a0 ) có a b + c = 0 thì ph
ơng trình có một nghiệm x
1
= -1, còn
nghiệm kia là
x
2
=
c
a

Hoạt Động nhóm
Nhúm 3 v nhúm 4:
Phng trỡnh 3x
2
+7x + 4= 0
a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4
a b + c = 3 - 7 + 4 = 0
b/ Thay x
1
= -1 vo phng trỡnh ta
c: 3 (-1)

2
+ 7(-1) + 4 = 0
Vy x
1
= -1 l mt nghim ca phng
trỡnh
c/ Ta cú
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
1 2 2 2
c 4 4
x .x = -1.x = => x = -
a 3 3


1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì
1 2
1 2
b
x x
a
c

x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
áp dụng
Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình
a/ - 5x
2
+3x +2 =0;
b/ 2004x
2
+ 2005x+1=0
b/ 2004x
2
+2005x +1=0
có a = 2004 ,b = 2005 ,c = 1
=>a b + c = 2004 -2005 + 1=0

x
2
= -
1
2004
Vậy x
1
= -1,
a/ -5x
2
+ 3x + 2 = 0 có a =-5, b =3, c =2
=>a + b + c = -5+3+2= 0.
Vậy x
1
=1,
2
2 2
5 5
x

= =

Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph
ơng trình có môt nghiệm x
1
=1, còn
nghiệm kia là

c
a
x
2
=
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph ơng
trình có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm
kia là
x
2
=
c
a

Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Giải
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph
ơng trình có môt nghiệm x
1
=1, còn
nghiệm kia là
c

a
x
2
=
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph ơng
trình có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm
kia là
x
2
=
c
a

?4

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì

1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
H thc Vi-ột cho ta bit cỏch
tớnh tng v tớch ca hai nghim
phng trỡnh bc hai

Ngc li nu bit tng ca
hai s bng S v tớch ca chỳng
bng P thỡ hai s ú l nghim
ca phng trỡnh no?

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù
ù
ớ

ù
ù
=
ù
ù
ợ
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
+ Cho hai số có tổng l S và tích
bằng P. Gọi một số là x thì số kia là
x(S x) = P
Nếu = S
2
- 4P 0
thì ph ơng trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này
chính là hai số cần tìm.
áp dụng
Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng
bằng 27, tích của chúng bằng 180.

Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình.
x
2_
27x + 180 = 0
= 27
2
- 4.1.180 = 729 - 720 = 9 >0
1 2
27 3 27 3
x 15; x 12
2 2
+ -
= = = =
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
S -x .
Theo giả thiết ta có ph ơng trình
<=> x
2
- Sx + P= 0 (1)
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG

9
=
= 3

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x

2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c = 0(a0) thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
áp dụng
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng
1, tích của chúng bằng 5.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình
: x
2
- x + 5 = 0
= (-1)
2
4.1.5 = -19 < 0.
Ph ơng trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1
và tích bằng 5.
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của ph ơng
trình x
2
- 5x+6 = 0.

Giải.

= b
2
4ac = 25 - 24 = 1>0
Vì: 2+3 =5; 2.3 = 6,
nên x
1
= 2, x
2
= 3 là hai
nghiệm của ph ơng trình đã cho.
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
?5

Cung c
1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là
hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c = 0(a0) thì:
1 2
1 2
b

x x
a
c
x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết
tổng và tích của
chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x
2

Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Nếu ph ơng trình ax
2
+ bx+ c= 0 (a 0)
có a + b + c = 0 thì : x
1
=1,
c
a
x
2
=
x
2
=
c
a

H

t
h
c


Nếu ph ơng trình ax

2
+ bx + c = 0 (a 0 )
có a - b + c = 0 thì : x
1
=-1,

Tr l iả ờ
Vì ’= 9 – 5 = 4>0
Suy ra: 1 + 5 = 6
1 . 5 = 5
Vậy hai nghiệm của phương trình là:
x
1
=1 ; x
2
=5
Qua bài học hôm nay ta có thể nhẩm nghiệm của pt:
x
2
- 6x+5 = 0. mấy cách?
Ta cã: a + b + c =1+(-6) + 5 = 0
Nªn x
1
= 1; x
2
= =5

nªn lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh l : à
x
1

= 1, x
2
= 5
c 5
a 1
=
x
1
+ x
2
=
x
1
.x
2
=
( )
6
6
1
b
a
− −
−
= =
5
5
1
c
a

= =
C¸ch 2
C¸ch 1

Bài Tập: Tìm hai số biết:
a) Tổng là 11 và tích là 24 b) Tổng là 29 và tích là 78
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của ph
ơng trình : x
2
- 11x + 24 = 0
Ph ơng trình có 2 nghiệm.
= (-11)
2
4.1.24 = 25 > 0.
25 5ị D = =
1
b ( 11) 5
x 8
2a 2.1
- + D - - +
= = =
2
b ( 11) 5
x 3
2a 2.1
- - D - - -
= = =
Hai số cần tìm là nghiệm của ph
ơng trình : x

2
- 29x + 78 = 0
Ph ơng trình có 2 nghiệm.
= (-29)
2
4.1.78 = 529 > 0.
529 23ị D = =
1
b ( 29) 23
x 26
2a 2.1
- + D - - +
= = =
2
b ( 29) 23
x 3
2a 2.1
- - D - - -
= = =
Hóy nờu ý ngha
ca hai s va tỡm c
trong mi trng hp.
8 - 3
26-3

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x

2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
ỡ
ù
ù
+ =-
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ù
ợ
áp dụng

Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Hng dn t hc:
-Hc thuc nh lớ Vi-ột v cỏch tỡm
hai s bit tng v tớch.
-Nm vng cỏch nhm
nghim:
a+b+c=0; a-b+c=0

-Trng hp tng v tớch ca hai
nghim ( S v P) l nhng s nguyờn
cú giỏ tr tuyt i khụng quỏ ln.
Tit 56 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Bi Tp V Nh:
Bi Tp 25 sgk Tr 52
Bi Tp 26 sgk Tr 53
Bi Tp 27 sgk Tr 53
Bi Tp 28 sgk Tr 53

CẢM ƠN CÁC EM HỌC SINH ĐÃ THEO DÕI TIẾT
HỌC. CHÚC CÁC EM LUÔN NGOAN HỌC GIỎI !
GD & ĐT
GiỒNG RiỀNG

Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán
học- một luật sư và là một
nhà chính trị gia nổi tiếng
người Pháp (1540 - 1603).
Ông đã phát hiện ra mối liên
hệ giữa các nghiệm và các
hệ số của phương trình bậc
hai và ngày nay nó được
phát biểu thành một định lí
mang tên ông.
F.Viète
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a
ì
ï
ï
+ =-
ï
ï

ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán
học- một luật sư và là một
nhà chính trị gia nổi tiếng
người Pháp (1540 - 1603).
Ông đã phát hiện ra mối liên
hệ giữa các nghiệm và các
hệ số của phương trình bậc
hai và ngày nay nó được
phát biểu thành một định lí
mang tên ông.

Bài tập 25: Đối với mỗi ph ơng trình sau, kí hiệu x
1
và x
2
là hai nghiệm (nếu có).
Không giải ph ơng trình, hãy điền vào những chỗ trống ( ).
a/ 2x
2
- 17x+1= 0, = x
1

+x
2
= x
1
.x
2
=
c/ 8x
2
- x+1=0, = x
1
+x
2
= x
1
.x
2
=
281
17
2
1
2
-31
Khụng cú
Khụng cú
T ng t l m b, d
HNG DN BI TP V NH

a/ x

2
7x+12= 0
H ng d n
Tớnh = b
2
4ac
Dựng h thc Vi ột nhm nghim
Bài 27/ SGK.Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của
ph ơng trình.
b/ x
2
+7x+13=0
HNG DN BI TP V NH

HƯỚNG DẪN BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài: 28 Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a/ u +v = 32, uv = 231 b/ u +v= -8, u.v = -105 c/ u+v=2, u.v=9

Chú ý: u+v= S và uv= P

Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình:
x
2
– Sx + P=0 (· = S
2
- 4P ·0)