Bài. hàm số liên tục

Trường : ĐH Tiền Giang
Khoa: Sư Phạm
Lớp: ĐH Tóan 07A
Người soạn: Phan Anh Thư
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

I – Mục tiêu bài dạy:
1. Kiến thức
- Phân tích được định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.
- Phát biểu đựơc định nghĩa hàm số liên tục trên 1 khoảng, 1 đoạn.
- Phân tích được định lí giá trị trung gian.
2. Kỹ năng:
- Vận dụng được định nghĩa, định lí đã học để xét tính liên tục tại một
điểm của một hàm số đơn giản;
- Vận dụng định lí giá trị trung gian để chứng minh phương trình có
nghiệm;
3. Thái độ
- Tích cực hoạt động trả lời câu hỏi trong giờ học
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong tính toán và trình bày;
II – Phương tiện dạy học:
- Giáo án, SGK, SHD, thước kẻ, phấn màu;
III – Tiến trình dạy học và các hoạt động:
Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động
của học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Kiểm
tra bài cũ.
Cho hàm số


−
> −

=
+


+ ≤ −

2
1
, neáu x 1
( )
1
1 , neáu x 1
x
f x
x
x
Tìm
−
→1
lim ( )
x
f x
,
+
→1
lim ( )
x

f x
;
→1
lim ( )
x
f x
có tồn tại hay
không? Tại sao?
- HS làm bài,
nhận xét.
1 1
lim ( ) lim( 1)
x x
f x x
− −
→ →
= +
1 1 2= + =
2
1 1
1
lim ( ) lim
1
x x
x
f x
x
+ +
→ →
 

−
=
 ÷
−
 
1 1
( 1)( 1)
lim lim( 1)
1
x x
x x
x
x
+ +
→ →
− +
 
= = +
 ÷
−
 
=1+1=2
Do
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
− +
→ →
=

=2 nên tồn tại
1
lim ( )
x
f x
→
và
1
lim ( )
x
f x
→
=2
Hoạt động 2: Hàm số Cho hai hàm:
liên tục tại một điểm.
Phương pháp: đàm
thoại, giải bài tập.
thuyết trình.
- Nêu đề bài
+ Tính g(1) ta sử
dụng công thức nào để
tính?
+ Có thể tính
1
lim
x→
g(x)
trực tiếp được không?
Hay phải thông qua so
sánh giới hạn trái và

giới hạn phải của g(x)
khi
1x →
? Vậy
→
1
lim ( )
x
g x
tồn tại khi
nào?
- Giáo viên nhận xét
câu trả lời của học
sinh
- Dựa vào ví dụ trên
(cụ thể là hàm số f(x),
em nào thử định nghĩa
hàm số liên tục tại
một điểm x
0
?
- Giáo viên nhận xét
và nêu định nghĩ chính
xác.
- Giáo viên giải thích
tính chất gián đoạn tại
một điểm cho học sinh
hiểu rõ
-Dựa vào định nghĩa,
hãy phát biểu điều

kiện tiên quyết hàm số
có liên tục tại một
điểm x
0
?
- Giáo viên nhận xét,
kết luận.
- Suy nghĩ,
trả lời câu hỏi
của giáo viên.
- Làm và
nhận xét bài
làm của bạn.
- Chỉnh sửa
hoàn thiện.
- Suy nghĩ,
phát biểu
- Ghi nhận
- Học sinh
lắng nghe và
ghi nhận.
- Suy nghĩ,
trả lời:
→
=
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

a) f(x)=x
2


Tính giá trị của mỗi hàm số tại x=1
và so sánh với giới hạn ( nếu có)
của hàm số đó khi
1x →
;
Giải
a) f(1)=1
2
=1

2 2
1 1
lim ( ) lim 1 1
x x
f x x
→ →
= = =
Vậy
1
lim ( ) (1)
x
f x f
→
=
.
b) g(1)= 3

→ →
= = =
1 1
lim ( ) lim2 2.1 2
x x
g x x
Do
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
g x g x
+ −
→ →
≠
nên không
tồn tại
1
lim ( )
x
g x
→
.
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a;b) và x
0
∈
(a;b).
Hàm số y = f(x) được gọi là liên

tục tại x
0
nếu
→
=
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
Chú ý:
Hàm số y=f(x) không liên tục tại
x
0
được gọi là gián đoạn tại x
0
2
) ( )
3
x
b g x
≠

=

=

neáu x 1
neáu x 1
- Nêu ví dụ. Gọi học

sinh lên bảng làm bài
- Giáo viên nhận xét,
chỉnh sửa và kết luận.
- Qua ví dụ vừa nêu,
các em hãy nêu các
bước cần thực hiện khi
đề bài yêu cầu xét tính
liên tục của hàm số tại
điểm x
0
- Giáo viên nhận xét,
nêu chính xác các
bước cần thực hiện.
- Học sinh lên
bảng làm bài
theo yêu cầu
của giáo viên.
Các học sinh
còn lại làm
bài vào tập
- Nhận xét
- Ghi chép
- Suy nghĩ,
phát biểu
- Nhận xét
- Ghi nhận
- Ví dụ 1:
Xét tính liên tục của hàm số tại x
0
= 1


−
≠

=
−



2
1
,neáu x 1
( )
1
2 , neáu x=1
x
f x
x
Giải
b) TXĐ: D=R
x
0
=1
∈
D
2
1 1 1
1 ( 1)( 1)
lim ( ) lim lim
1 1

x x x
x x x
f x
x x
→ → →
− − +
= =
− −

=
1
lim( 1) 1 1 2
x
x
→
+ = + =
f(1)=2
Suy ra
1
lim ( ) (1)
x
f x f
→
=
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x
0
=1.
 Các bước xét tính liên tục của
hàm số tại một điểm x
0

+ Bước 1: Tìm f(x
0
)
+ Bước 2: Tính
0
lim ( )
→
x x
f x

+ Bước 3: So sánh
+ Bước 4: Kết luận
Hoạt động 3: Hàm số
liên tục trên một
khoảng.
Phương pháp: Đàm
thoại, giải bài tập.
- Hàm số liên tục trên
khoảng, đoạn được
định nghĩa dựa trên
định nghĩa hàm số liên
tục tại một điểm.
- Em nào thử định
nghĩa hàm số liên tục
trên một khoảng?
- Giáo viên nhận xét,
nêu định nghĩa chính
xác, giải thích thêm
cho học sinh hiểu.

- Suy nghĩ,
phát biểu
- Ghi nhận
Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên
khoảng J, trong đó J là một khoảng
hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói
rằng hàm số f liên tục trên khoảng J
nếu nó liên tục tại mọi điểm của
khoảng đó.
Hàm số f xác định trên đoạn
[a;b] được gọi là liên tục trên đoạn
[a;b] nếu nó liên tục trên khoảng
(a;b) và

lim ( ) , lim ( )
x a x b
f a f b
+ −
→ →
= =
.
* Khái niệm hàm số liên tục trên
nửa khoảng như (a;b], [a;
+∞
),…
được định nghĩa một cách tương tự.
Hoạt động 4: Định lí
giá trị trung gian của
hàm số liên tục

Phương pháp: thuyết
trình, đàm thoại, trực
quan, giải bài tập.
- Giáo viên vẽ hình
minh họa định lí, dựa
vào hình vẽ giải thích
ý nghĩa của định lí.
- Giáo viên nêu định
lí.
- Dựa vào hình vẽ hãy
chỉ ra những điểm là
nghiệm của phương
trình y=f(x). Tại đó
hàm số có giá trị là
bao nhiêu?
- Giáo viên nhận xét
và phát biểu định lí
dưới dạng khác.
- Học sinh
lắng nghe.
- Học sinh
ghi bài.
- Học sinh trả
lời.
- Học sinh
lắng nghe,
ghi bài.
Định lí:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ ]

;a b
và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít
nhất một điểm
( ; )c a b∈
sao cho
f(c)=0.
Có thể phát biểu dưới dạng khác
như sau:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
và f(a).f(b)<0 thì phương
- Giáo viên nhấn mạnh
tính quan trọng của
định lí.
- Nêu ví dụ, gợi ý
hướng giải.
- Gọi học sinh lên
bảng làm bài.
- Nhận xét, chỉnh sửa
hoàn thiện
- Làm theo
yêu cầu của
giáo viên.
- Ghi chép
trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm
nằm trong khoảng (a;b).
 Áp dụng định lí dạng 2 để chứng
minh phương trình có nghiệm trong
một khoảng.

- Ví dụ 2:
Chứng minh phương trình
3
2 5 0x x+ − =
có ít nhất một nghiệm.
Giải
Xét hàm số
3
( ) 2 5f x x x= + −
. Ta có:
f(0) = -5; f(2) = 7
Do đó: f(0).f(2)<0
Mặt khác, vì f(x) là hàm đa thức
nên liên tục trên TXĐ, do đó liên
tục trên [0;2]
Suy ra, phương trình f(x)=0 có ít
nhất một nghiệm thuộc [0;2]
IV- Củng cố, dặn dò:
- Yêu cầu học sinh nhắc lại các bước xét tính liên tục của hàm số tại một
điểm.
- Yêu cầu học sinh phát biểu lại định lí giá trị trung gian và ứng dụng của
nó trong việc giải bài tập.
- Yêu cầu học sinh làm bài tập 2, 3, 5 SGK.
- Xem trước bài học tiếp theo.