De thi HSG toan 7 + 8

Tổng kết Câu lạc bộ toán 8
Câu 1: Cho M =
82xx
63x4x2x2xx
2
2345
+
++
a) Tìm điều kiện của x để phân thức M xác định.
b) Rút gọn phân thức M.
c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức M bằng 0.
Câu 2: Chứng minh rằng:
a) 5(19
45
+ 19
30
)

20
b) 5n
3
+ 15 n
2
+ 10 n

30 ( Với mọi n Z).
Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhât) của biểu thực sau:
a) A = 11 - 11x - x
2
b) B =
1x

x
2
2
+
1
Câu 4: Giải các phơng trình sau:
a) x
2
+ 3x + 2 = 0.
b)
8
1
=
++
+
++
+
++
+
++ 3011xx
1
209xx
1
127xx
1
65xx
1
2222
Câu 5: Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h, đi đợc 45 phút thì gặp
một ô tô du lịch đi từ B đến với vận tốc 50 km/h. Ô tô du lịch đến A nghỉ lại

15 phút rồi trở về B và gặp ô tô tải tại một địa điểm cách B là 10 km. Tính
quãng đờng AB.
Câu 6: Chứng minh rằng với mọi a, b R:
a
4
+ b
4
ab
3
+ a
3
b.
Câu 7: Cho hình vuông ABCD, E là một điểm thuộc cạnh BC. Kẻ Ax vuông
góc với AE, cắt CD tại F.
a) Chứng minh rằng AE = AF.
b) Trung tuyến AI của AEF cắt CD tại K, đờng thẳng qua E và song song
với AB cắt AI tại G. Chứng minh rằng: Tứ giác KFGE là hình thoi.
c) Chứng minh: AF
2
= FK . FC.
d) Khi E thay đổi trên BC thì chu vi EKC không đổi.
Đề thi học sinh giỏi toán 7
Năm học 2008-2009 Đề 1
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: (5đ) Tìm x biết:
a)
1996
14
1997
13

2008
2
2009
1 +
+
+
=
+
+
+ xxxx

b)
2010131996 =++x
Câu 2 (4đ) Tìm ba phân số biết rằng tổng của chúng bằng
73
63
4
, các tử của chúng tỉ lệ
với 3; 4; 5 và các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Câu 3: (4đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC
ở D, kẻ DH vuông góc với BC tại H. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB, đ-
ờng thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng:
a) BA = BH
b) DKB = 45
0
Câu 4: (4đ) Tìm số tự nhiên n để phân số
32
87

n
n
có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu 5: (3đ) Chứng minh rằng tồn tại số gồm toàn chữ số 0 và 1 chia hết cho 7.
Đề thi học sinh giỏi toán 7
Năm học 2008-2009 Đề 2
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: (5đ) Tìm x, y, z biết:
a)
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++=
+
=
++
=
++ 321
b) 2x = 3y; 5y = 7z và 3x - 7y + 5z = 30
Câu 2 (4đ) Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của
nó Nếu xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1; 2; 3.
Câu 3: (5đ) Cho ABC, gúc B = 60
0
, AB = 7cm, BC = 14cm. Trờn BC ly im D sao
cho gúc BAD = 60
0

. Gi H l trung im ca BD.
a/ Tớnh di HD
b/ Chng minh rng DAC cõn .
c/ ABC l tam giỏc gỡ?
d/ Chng minh rng AB
2
+ CH
2
= AC
2
+ BH
2
Câu 4: (3đ) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
5
7


x
x
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá
trị nhỏ nhất đó?
Câu 5: (3đ) Chứng minh rằng tồn tại số gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 13.