kien thuc va bai tap vecto lop 10

Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Vectơ là đoạn thẳng có dònh hướng. Ký hiệu :
AB
uuur
;
CD
uuur
hoặc
a
r
;
b
r

• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Ký hiệu
0
r
• Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau
• Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng
• Hai vecto cùng hướng thì luôn cùng phương.
• Độ dài vecto
AB
uuur
chính là độ dài đoạn thẳng AB. Kí hiệu:
AB
uuur
= AB
• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Vậy:

, cung huong
a b
a b
a b
ì
ï
=
ï
ï
= Û
í
ï
ï
ï
ỵ
r
r
r
r
r
r
Các phương pháp chứng minh:
• Ba điểm A,B,C thẳng hàng
,AB ACÛ
uuur uuur
cùng phương.
• Chứng minh
AB DC= Û
uuur
uuur

ABCD là hình bình hành.
B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
Bài 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
a. Tìm các vecto khác
0
r
và cùng phương với
OA
uuur
b. Tìm các vecto bằng vecto
,AB OE
uuur
uuur
.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O:
a. bằng vectơ
AB
uuur
;
OB
uuur
b. Có độ dài bằng 
OB
uuur

Bài 4: Cho tam giác đều ABC . Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?
a.
AB BC=

uuur
uuur
b.
AB AC= -
uuur uuur
c.
AB AC=
uuur uuur
Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Cmr tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi
AB DC=
uuur
uuur
Bài 6: Cho tam giác ABC có D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Cm:
EF CD=
uuur uuur
.
Bài 7 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh :
MQNPQPMN == ;
.
Bài 8: Cho tứ giác ABCD, cmr nếu
AB DC=
uuur
uuur
thì
AD B C=
uuur
uuur
.
1

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi I là
giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN. Cm:
,AM NC DK NI= =
uuuur
uuur uuur uur
.
Bài 10 : Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ là điểm đối
xứng B qua O . Chứng minh :
CBAH '=
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD . Dựng
BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,,
.
Chứng minh
OAQ =
.
2
§2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
A: Tóm tắt lý thuyết :
Đònh nghóa: Cho
AB a=
uuur r
;
BC b=
uuur r
. Khi đó
AC a b= +
uuur r r

Tính chất : * Giao hoán :
a b+

r r
=
b a+
r r
* Kết hợp (
a b+
r r
) +
c
r
=
(a b+
r r
+
c
r
)
* Tín h chất vectơ –không
a
r
+
0
r
=
a
r
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,O tùy ý, ta có :
AB AO OB= +
uuur uuur
uuur

(phép cộng)
AB OB OA= -
uuur uuur
uuur
(phép trừ)
Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì
AC AB AD= +
uuur uuur uuur
Vecto đối: Vecto đối của vecto
a
r
là một vecto có cùng độ dài nhưng ngược hướng.
Kí hiệu:
a-
r
. Vậy
( ) 0a a+ - =
r
r r
.
Chú ý:
AB BA= -
uuur uuur
Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm:
I là trung điểm AB
0IA IBÛ + =
uur
uur
r
G là trọng tâm

ABCD
0GA GB GCÛ + + =
uuur
uuur uuur
r
B. NỘI DUNG BÀI TẬP
Bài 1: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)
a)
AB CD AD CB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b)
AB CD AC DB− = +
uuur uuur uuur uuur
c)
AB AD CB CD- = -
uuur uuur
uuur uuur
d)
0AB BC CD DA+ + + =
uuur uuur
uuur uuur
r
e)
AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
f.
AC DE DC CE CB AB+ - - + =
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý. Cm:

MA MC MB MD+ = +
uuur
uuur uuur uuur
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Cm:
a.
CO OB BA- =
uuur
uuur uuur
b.
AB BC DB- =
uuur
uuur uuur
c.
DA DB OD OC- = -
uuur
uuur uuur uuur
d.
0DA DB DC- + =
uuur
uuur uuur
r

Bài 4: Cho
ABCD
. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng
minh:
0RJ IQ PS+ + =
uuur uur uur
r
.

Bài 5: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a)
OA
uuur
+
OB
uuur
+
OC
uuur
+
OD
uuur
+
OE
uuur
+
OF
uuur
=
0
r
b)
OA
uuur
+
OC
uuur
+
OE

uuur
=
0
r
c)
AB
uuur
+
AO
uuur
+
AF
uuur
=
AD
uuur
d)
MA
uuuur
+
MC
uuur
+
ME
uuur
=
MB
uuur
+
MD

uuuur
+
MF
uuur
( M tùy ý )
Bài 6: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EA
uuur
=
CB
uuur
+
ED
uuur
3
b)
AD
uuur
+
BE
uuur
+
CF

uuur
=
AE
uuur
+
BF
uuur
+
CD
uuur
c)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EF
uur
+
GA
uuur
=
CB
uuur
+
ED
uuur
+
GF

uuur

d)
AB
uuur
-
AF
uuur
+
CD
uuur
-
CB
uuur
+
EF
uur
-
ED
uuur
=
0
r

Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm AB, AC, BC. Cmr với điểm O bất kì:
OA OB OC OM ON OP+ + = + +
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng
với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. Với một điểm O bất kỳ, cmr:

''' OCOBOAOCOBOA ++=++
Bài 9: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
a) Chứng minh rằng
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HD
uuur
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng
HA
uuur
+
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HH'
uuuur
Bài 10: Cmr
AB CD=
uuur
uuur
khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt
AO

uuur
=
a
r
;
BO
uuur
=
b
r
Tính
AB
uuur
;
BC
uuur
;
CD
uuur
;
DA
uuur
theo
a
r
và
b
r
Bài 12: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính 
BC

uuur
+
AB
uuur
 ; 
AB
uuur
-
AC
uuur
 theo a
Bài 13: Cho hình thoi ABCD có
·
0
60B AD =
và cạnh là a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo.
Tính:
a.
AB AD+
uuur uuur
b.
BA BC-
uuur
uuur
c.
OB DC-
uuur uuur
Bài 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo. Tính
a.
OA CB-

uuur
uuur
b.
AB DC+
uuur
uuur
c.
CD DA-
uuur
uuur
Bài 15: Cho hai điểm A và B phân biệt. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a.
MA MB BA- =
uuur uuur
uuur
b.
MA MB AB- =
uuur uuur
uuur
c.
0MA MB+ =
uuur
uuur
r
Bài 16: Cho tam giác ABC. Xác đònh điểm M sao cho
0MA MB MC- + =
uuur
uuur uuur
r
Bài 17: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : 

CA
uuur
+
CB
uuur
 = 
CA
uuur
-
CB
uuur

4
§3: TÍCH CUẢ VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Đònh nghóa:
• Cho số thực
0k ¹
,
a

0¹
r
. Tích của một số thực k và vecto
a
là 1 vectơ, kí hiệu:
ka
r
và
được xác đònh:

 Nếu k > 0 thì k
a
cùng hướng với
a
; k < 0 thì k
a
ngược hướng với
a
.
 Độ dài:
.ka
r
= k .
a

Tính chất :
a) k(m
a
) = (km)
a
b) (k + m)
a
= k
a
+ m
a
c) k(
a
+
b

) = k
a
+ k
b
d) k
a
=
0
r
⇔ k = 0 hoặc
a
=
0
r
•
b
r
cùng phương
a
r
(
a
r
≠
0
r
) khi và chỉ khi có số k thỏa
b
r
=k

a
r
• Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho
AB
uuur
=k
AC
uuur
• Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm:
 I trung điểm đoạn thẳng AB, với mọi điểm M bất kỳ:
2MA MB MI+ =
uuur
uuur uuur
 G là trọng tâm
ABCD
, với mọi điểm M bất kỳ:
3MA MB MC MG+ + =
uuur
uuur uuur uuur
• Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương:
 Cho
b
r
,
a
r
là hai vecto không cùng phương, với mọi
x
r
tùy ý, khi đó:

x
r
= m
a
r
+ n
b
r

( m, n duy nhất )

B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vecto.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Cmr:
2AB AC AD AC+ + =
uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Cm:
a.
2 0DA DB DC+ + =
uuur
uuur uuur
r
b.
2 4OA OB OC OD+ + =
uuur
uuur uuur uuur
( với O tùy ý)
Bài 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Cmr:
3MA MB MC MG+ + =
uuur

uuur uuur uuur
, với M bất kỳ.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm EF. Cmr:
a.
( )
1
2
EF AC BD= +
uuur
uuur uuur
b.
0OA OB OC OD+ + + =
uuur
uuur uuur uuur
r
c.
4MA MB MC MD MO+ + + =
uuur
uuur uuur uuur uuur
(M là điểm bất kỳ)
Bài 4: Gọi M,N là trung điểm AB và CD của tứ giác ABCD. Cmr:
2MN AC BD BC AD= + = +
uuur uuur
uuuur uuur uuur
Bài 5: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Cm:
0AM BN CP+ + =
uuuur
uuur uuur
r

.
5
Bài 6: Cmr nếu G và G
’
là trọng tâm của hai tam giác ABC và A
’
B
’
C
’
thì
' ' ' '
3AA BB CC GG+ + =
uuur uuur uuur uuur
. Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
0AM BN CP+ + =
uuuur
uuur uuur
r
Bài 8: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
G là trọng tâm tam giác ABC
0GA GB GCÛ + + =
uuur
uuur uuur
r

3MA MB MC MGÛ + + =
uuur
uuur uuur uuur

.
Bài 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối
xứng
của A qua O.
a. Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b. Chứng minh:
2HA HD HO+ =
uuur
uuur uuur
,
2HA HB HC HO+ + =
uuur
uuur uuur uuur
,
OA OB OC OH+ + =
uuur
uuur uuur uuur
.
c. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Cm:
3OH OG=
uuur uuur
. Từ đó có kết luận gì về 3 điểm O,H,G.
Bài 10: Cho tứ giác ABCD.
a. Gọi M,N là trung điểm AD, BC, chứng minh:
( )
1
2
MN AB DC= +
uuur
uuuur uuur

b. Gọi O là điểm nằm trên đoạn MN và OM = 2ON. Cm:
2 2 0OA OB OC OD- - + =
uuur
uuur uuur uuur
r
Bài 11: Cho tứ giác ABCD. Gọi I,J là trung điểm của AB và CD.
a. Cm:
2AC BD AD BC IJ+ = + =
uuur uuur
uuur uuur uur
b. Gọi G là trung điểm IJ. Cm:
0GA GB GC GD+ + + =
uuur
uuur uuur uuur
r
c. Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng AC và BD, M và N là trung điểm AD và BC. Cm ba đoạn
thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.
Bài 12: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE,
EF, FA. Cmr hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Bài 13: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA. Cmr hai tam giác
ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Dạng 2: Tìm một điểm thỏa một đẳng thức vecto cho trước.
Phương pháp tìm điểm M thỏa một đẳng thức vecto cho trước:
• B
1
: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng:
AM u=
uuuur
r
, trong đó A là điểm cố đònh,

u
r
cố đònh.
• B
2
: Dựng điểm M thỏa
AM u=
uuuur
r
.
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. tìm điểm K sao cho:
3 2 0KA KB+ =
uuur
uuur
r
.
Bài 2: Cho tam giác ABC.
a. Tìm điểm I sao cho
2 0IA IB+ =
uur
uur
r
b. Tìm điểm O sao cho
0OA OB OC+ + =
uuur
uuur uuur
r
c. Tìm điểm K sao cho
2KA KB CB+ =
uuur

uuur uuur
d. Tìm điểm M sao cho
2 0MA MB MC+ + =
uuur
uuur uuur
r
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho
0OA OB OC OD+ + + =
uuur
uuur uuur uuur
r
Bài 4: Cho tam giác ABC.
a. Tìm điểm I sao cho
2 3 0IB IC+ =
uur uur
r
6
b. Tìm điểm J sao cho
2 0J A J B J C- - =
uur
uur uur
r
c. Tìm điểm K sao cho
KA KB KC BC+ + =
uuur
uuur uuur uuur
d. Tìm điểm K sao cho
2KA KB KC BC+ + =
uuur
uuur uuur uuur

e. Tìm điểm L sao cho
3 2 0LA LB LC- + =
uur
uuur uuur
r
HD:
c. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó với mọi K ta có:
3KA KB KC KG+ + =
uuur
uuur uuur uuur
e.
3 2 ( ) 2( )LA LB LC LA LB LA LC- + = - + +
uur uur uur
uuur uuur uuur uuur
. Sau đó áp dụng quy tắc 3 điểm và hệ thức trung
điểm.
Dạng 3: Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương.
Phương pháp: p dụng các kiến thức:
Quy tắc 3 điểm:
AB AO OB= +
uuur uuur
uuur
(phép cộng)

AB OB OA= -
uuur uuur
uuur
(phép trừ)
Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì
AC AB AD= +

uuur uuur uuur
Tính chất trung điểm: I là trung điểm AB
0IA IBÛ + =
uur
uur
r

Û
2MA M B MI+ =
uuur
uuur uuur
(M bất kỳ)
Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm
ABCD
0GA GB GCÛ + + =
uuur
uuur uuur
r

Û
3MA MB MC MG+ + =
uuur
uuur uuur uuur
(M bất kỳ)
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC,
CA, AB. I là giao điểm AD và EF. Hãy phân tích các vecto
, , ,AI AG DE DC
uur uuur
uuur uuur
theo hai vecto

,AE AF
uuur uuur
.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho
3MB MC=
uuur uuur
. Hãy phân tích vecto
AM
uuuur

theo hai vecto
,AB AC
uuur uuur
.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích vecto
AM
uuuur

theo hai vecto
,AB AC
uuur uuur
.
Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vecto
, ,AB BC CA
uuur uur
uuur

theo hai vecto
,AK BM
uuur

uuur
.
Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG, K là điểm trên cạnh
AB sao cho
1
5
AK AB=
. Hãy phân tích
, , ,AI AK CI CK
uur uuur
uur uuur
theo
,CA CB
uur
uuur
.
Bài 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a.
a. Phân tích vecto
AD
uuur
theo hai vecto
,AB AF
uuur uuur
.
b. Tính độ dài
1 1
2 2
u AB BC= +
uuur
uuur

r
theo a.
Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích
AM
uuuur
theo hai vecto
,AB AC
uuur uuur
.
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC.
Gọi K là trung điểm MN. Phân tích vecto
AK
uuur
theo
,AB AC
uuur uuur
.
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA.
Gọi K là trung điểm MN.
a. Phân tích vecto
AK
uuur
theo
,AB AC
uuur uuur
.
7
b. Gọi D là trung điểm BC. Cm:
1 1
4 3

KD AB AC= +
uuur uuur
uuur
.
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm BC,CA,AB. Tính các vecto
, ,AB BC CA
uuur uur
uuur
theo
các vecto
,BN CP
uuur uuur
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm CD. Hãy phân tích
AE
uuur
theo hai vecto
,AD AB
uuur uuur
.
Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G.
a. Chứng minh:
2 1
3 3
AH AC AB= -
uuur uuur uuur

( )
1
3
B H AB AC= - +

uuur uuur
uuur
b. Gọi M là trung điểm BC, chứng minh:
1 5
6 6
MH AC AB= -
uuur uuur
uuuur
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. đặt
,AB a AD b= =
uuur uuur
r
r
. Hãy tính các vecto sau đây theo
,a b
r
r
.
a.
AI
uur
(I là trung điểm BO)
b.
B G
uuur
(G là trọng tâm tam giác OCD)
Ds:
3 1 1 5
4 4 2 6
AI a b B G a b= + = - +

uur
r uuur r
r r
Bài 14: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B
1
đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy biểu
diễn các véc tơ
AM
uuur
,
1 1 1
, , , ,AG BC CB AB MB
uuur uuur uuur uuur uuuur
qua hai véc tơ
,AB AC
uuur uuur
.
Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao
cho 5JB = 2JC.
a) Tính
,AI AJ
uur uur
theo hai véc tơ
,AB AC
uuur uuur
. Từ đó biểu diễn
,AB AC
uuur uuur
theo
,AI AJ

uur uur
.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính
AG
uuur
theo
,AI AJ
uur uur
.
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng
.AB kACÛ =
uuur uuur
Bài 1 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên
cạnh AC sao cho AK =
3
1
AC.
a. Phân tích vecto
,BK BI
uuur uur
theo hai vecto
,BA B C
uuur
uuur
b. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 2 : Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đònh bởi các hệ thức
OACNAABOMABC =−−=+ 3;
. Chứng minh MN // AC
8

§4 :TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ :
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
• Trục là đường thẳng trên đó xác đònh điểm O và 1 vectơ
i
r
có độ dài bằng 1.
Ký hiệu trục (O;
i
r
) hoắc x’Ox
9
• A,B nằm trên trục (O;
i
r
) thì
AB
=
AB
i
r
. Khi đó
AB
gọi là độ dài đại số của
AB

• Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục Ox ⊥ Oy. Ký hiệu Oxy hoặc (O;
i
r
;
j

r
)
• Đối với hệ trục (O;
i
r
;
j
r
), nếu
a
r
=x
i
r
+y
j
r
thì (x;y) là toạ độ của
a
r
. Ký hiệu
a
r
= (x;y)
• Cho
a
r
= (x;y) ;
b
r

= (x’;y’) ta có
a
r
±
b
r
= (x ± x’;y ± y’)
k
a
r
=(kx ; ky) ; ∀ k ∈ R
b
r
cùng phương
a
r
(
a
r
≠
0
r
) khi và chỉ khi có số k thỏa x’=kx và y’= ky
• Cho M(x
M
; y
M
) và N(x
N
; y

N
) ta có
P là trung điểm MN thì x
p
=
2
M N
x x+
và y
P
=
2
M N
y y+
MN
uuuur
= (x
M
– x
N
; y
M
– y
N
)
• Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì x
G
=
3
A B C

x x x+ +
và y
G
=
2
A B C
y y y+ +

B. NỘI DUNG BÀI TẬP :
B1 : BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho
a
r
=(1 ; 2) và
b
r
= (3 ; 4). Vec tơ
m
ur
= 2
a
r
+3
b
r
có toạ độ là
a)
m
ur
=( 10 ; 12) b)

m
ur
=( 11 ; 16) c)
m
ur
=( 12 ; 15) d)
m
ur
= ( 13 ; 14)
Câu 2: Cho tam giác ABC với A( -3 ; 6) ; B ( 9 ; -10) và G(
1
3
; 0) là trọng tâm . Tọa độ C là :
a) C( 5 ; -4) b) C( 5 ; 4) c) C( -5 ; 4) d) C( -5 ; -4)
Câu 3: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giá trò của m để A ; B ; C thẳng hàng
a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1
Câu 4: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D để ABDC là hbh
a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Câu 5 :Cho
a
r
=3
i
r
-4
j
r
và
b
r

=
i
r
-
j
r
. Tìm phát biểu sai :
a) 
a
r
 = 5 b) 
b
r
 = 0 c)
a
r
-
b
r
=( 2 ; -3) d) 
b
r
 =
2
10
Câu 6: Cho A(3 ; -2) ; B (-5 ; 4) và C(
1
3
; 0) . Ta có
AB

uuur
= x
AC
uuur
thì giá trò x là
a) x = 3 b) x = -3 c) x = 2 d) x = -4
Câu 7: Cho
a
r
=(4 ; -m) ;
b
r
=(2m+6 ; 1). Tìm tất cả các giá trò của m để 2 vectơ cùng phương
a) m=1 ∨ m = -1 b) m=2 ∨ m = -1 c) m=-2 ∨ m = -1 d) m=1 ∨ m = -2
Câu 8: Cho tam giác ABC có A(1 ; 2) ; B( 5 ; 2) và C(1 ; -3) có tâm đường tròn ngoại tiếp I là
a) I = (3 ;
1
2
−
) b)I = (3 ; -1) c) I = (-3 ;
1
2
−
) d) I = (3 ;
1
2
)
Câu 9:Cho
a
r

=( 1 ; 2) và
b
r
= (3 ; 4) ; cho
c
r
= 4
a
r
-
b
r
thì tọa độ của
c
r
là :
a)
c
r
=( -1 ; 4) b)
c
r
=( 4 ; 1) c)
c
r
=(1 ; 4) d)
c
r
=( -1 ; -4)
Câu 10:Cho tam giác ABC với A( -5 ; 6) ; B (-4 ; -1) và C(4 ; 3). Tìm D để ABCD là hình bình hành

a) D(3 ; 10) b) D(3 ; -10) c) D(-3 ; 10) d) D(-3 ; -10)
B2 :TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :29 đến 36 TRANG 30, 31 SGK nâng cao
Bài 2 : Cho tam giác ABC . Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh
BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
Bài 3 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 4 : Cho tam giác đều ABC cạnh a . Chọn hệ trục tọa độ (O;
i
;
j
), trong đó O là trung
điểm BC,
i
cùng hướng với
OC
,
j
cùng hướng
OA
.
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5 : Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ trục tọa độ (O;
i
;
j
), trong đó O là tâm lục giác đều ,

i

cùng hướng với
OD
,
j
cùng hướng
EC
.
Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 .
Bài 6:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a)
AD
uuur
– 2
BD
uuur
+ 3
CD
uuur
=
0
r
b)
AD
uuur
– 2
AB
uuur
= 2
BD
uuur

+
BC
uuur
c) ABCD hình bình hành
11
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
Bài 7 :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
Bài 8: Cho
a
r
=(2; 1) ;
b
r
=( 3 ; 4) và
c
r
=(7; 2)
a) Tìm tọa độ của vectơ
u
r
= 2
a
r
- 3
b
r
+

c
r
b) Tìm tọa độ của vectơ
x
r
thỏa
x
r
+
a
r
=
b
r
-
c
r
c) Tìm các số m ; n thỏa
c
r
= m
a
r
+ n
b
r

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao
Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?

a)
ACABACAB −=+
b) Vectơ
ACAB +
vuông góc với vectơ
CAAB +
Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a)
DCBCAC =−

b)
DADCmDB +=
Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác đònh các điểm A’ , B’ sao cho
CAkBBBCkAA == ','
. Tìm q tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA .
Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ
MCMBMAv 2−+=
không
phụ thuộc vào vò trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho
vCD =
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối
xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh :
12

OHOCOBOA
HOHCHBHA

HOHDHA
=++
=++
=+
2
2
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh
OGOH 3
=
. Từ đó kết luận gì về 3
điểm G, H, O.
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh :
a)
0''' =++ DDCCBB
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦAHAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
§1: GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0
0
đến 180
0
)
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
13
• Đònh nghóa : Trên nửa dường tròn đơn vò lấy điểm M thỏa góc xOM = α và M( x ; y)
*. sin góc α là y; ký hiệu sin α = y
*. cos góc α là x
0
; ký hiệu cos α = y
0

*. tang góc α là
y
x
( x

≠ 0); ký hiệu tan α =
y
x
*. cotang góc α là
x
y
( y ≠ 0); ký hiệu cot α =
x
y
• Bảng giá trò lượng giác của các góc đặc biệt
• Hai góc bù nhau:
Sin( 180
0
- ∝) = sin ∝
Cos ( 180
0
-∝) = - cos ∝
Tan (180
0
-∝) = - Tan ∝ (∝ ≠ 90
0
)
Cot ( 180
0

-∝) = - Cot ∝ ( 0 <∝< 180
0
)
B.VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trò lượng giác của góc
a. 45
0
b. 120
0
Giải:
α
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
Sin α 0
2
1
2
2
2
3
1
Cos α 1

2
3
2
2
2
1
0
tan α 0
3
3
1
3

Cot α

3
1
3
3
0
14
a. Sin 45
0
=
2
2
, cos 45
0
=
2

2
, tan 45
0
=1, cot 45
0
= 1
b. Sin 120
0
=
2
3
, cos 120
0
= -
2
1
, tan120
0
= -
3
, cot120
0
= -
3
3
Ví dụ 2: Tính giá trò biểu thức
A = Cos 20
0
+ cos 80
0

+ cos 100
0
+ cos160
0
Giải:
A = Cos 20
0
+ cos 80
0
+ (-cos 80
0
) + ( - cos 20
0
) = 0
C : BÀI TẬP
Bài 1: Tính giá trò biểu thức:
a. A=( 2sin 30
0
+ cos 135
0
– 3 tan 150
0
)( cos 180
0
-cot 60
0
)
b. B= sin
2
90

0
+ cos
2
120
0
- cos
2
0
0
- tan
2
60
0
+ cot
2
135
0
Bài 2: Đơn gianû các biểu thức:
a) A= Sin 100
0
+ sin 80
0
+ cos 16
0
+ cos 164
0
b) B= 2 Sin (180
0
- ∝) cot∝ - cos(180
0

- ∝) tan ∝ cot(180
0
- ∝) . (Với 0
0
< ∝<90
0
)
Bài 3 : a) Chứng minh rằng sin
2
x +cos
2
x = 1 ( 0
0
≤ x ≤ 180
0
)
b)Tính sinx khi cosx =
3
5
c) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx =
2
3
d) Chứng minh rằng 1 + tan
2
x =
2
1
cos x
( Với x ≠ 90
0

)
e) Chứng minh rằng 1 + cot
2
x =
2
1
sin x
( Với 0
0
< x < 1800
0
)
Bài 4 : Tính giá trò biểu thức:
A = cos 0
0
+ cos10
0
+ cos20
0
+ . . . . . . + cos 170
0
15
B= cos
2
120
0
- sin
2
150
0

+2 tan135
0

Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC
b) cos(A + C) + cos B = 0
c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0
Bài 6: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa
a)
AB
uur
và
AC
uur
b)
AB
uur
và
BC
uur
c)
AG
uuur
và
BC
uur
d)
GB
uur
và

GC
uur
c)
GA
uuur
và
AC
uur
§2: TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VÉCTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
• Cho
OA
uuur
=
a
r
và
OB
uur
=
b
r
. Khi đó góc AOB là góc giũa 2 vectơ
a
r
và
b
r
Ký hiệu (
a

r
;
b
r
)
Nếu
a
r
=
0
r
hoặc
b
r
=
0
r
thì góc (
a
r
;
b
r
) tùy ý
Nếu (
a
r
;
b
r

) = 90
0
ta ký hiệu
a
r
⊥
b
r
16
•
),cos(. bababa =
Bình phương vô hướng
a
r
2
= 
a
r

2
.
• Các quy tắc: Cho ∀
a
b
c
; ∀ k ∈R
a
.
b
=

b
.
a
( Tính giao hoán)
a
.
b
= 0 <=>
a
⊥
b
(k
a
,
b
= k (
a
b
)
a
(
b
±
c
) =
a
b
±
a
c

(Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )
• Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố đònh, Một đường thẳng  thay đổi,
luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B
Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu:
P
M/(O)
P
M/(O) = MO
2
– R
2
=
.MA MB
uuur uuur
Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì
P
M/(O) = MT
2

• Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho
→
a
= (x, y) ,
→
b
= (x', y') ; M(x
M
, y

M
), N(x
N
, y
N
); ta có

→
a
.
→
b
= x.x' + y.y'
|
→
a
| =
22
+ yx
Cos (
→
a
,
→
b
) =
2222
'+'.+
'+'
yxyx

yyxx
→
a
⊥
→
b
⇔ xx' + yy' = 0
MN = |
→
MN
| =
22
)_(+)_(
NMNM
yyxx
B : CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho
→
a
= (1, 2),
→
b
= (-1, m)
a) Tìm m để
→
a
,
→
b
vuông góc

b) Tính độ dài
→
a
,
→
b
; tìm m để |
→
a
| = |
→
b
|
Giải
a)
→
a
⊥
→
b
⇔ -1 + 2m = 0⇔ m =
2
1

17
b) |
→
a
| =
5=4+1

|
→
b
| =
2
m+1
|
→
a
| = |
→
b
| ⇔
2
+1=5 m
⇔ m =
2±
Ví dụ2: cho  đều ABC cạnh a và trọng tâm G; tính
AB
.
AC
;
AC
.
CB
;
AG
.
AB
;

GB
.
GC
;
BG
.
AG
;
GA
.
BC
Giải
AB
.
AC
= a.a cos 60
0
=
2
1
a
2
AC
.
CB
= a.a cos 120
0
= -
2
1

a
2
AG
.
AB
=
20
2
1
=30cos
3
3
aa
a
GB
GC
=
=120cos
3
3a
3
3a
0
6
a
2
-
BG
AG
=

6
=60
3
3
3
3
2
0
aaa
cos
GA
BC
=0 vì
GA
⊥
BC
Ví dụ 3: Trong Mp oxy cho 2 điểm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm trên trục ox điểm P cách đều 2 điểm M,N
b)Tính cos của góc MON
Giải
a) p ∈ ox => P( x
p,
0)
MP = NP <=> MP
2
= NP
2
<=> (x
p
+2)

2
+ 2
2
= ( x
p
-2)
2
+ 1
2
Vậy P (
4
3
,0)
b)
)1,4(=ON),2,2(=OM -
18
Cos MON = cos(
OM
,
ON
)=
17.8
1.2+4.2-
=
34
3
-
C. BÀI TẬP:
A. Trắc nghiệm :
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a ; BC = 2a

* Tính tích vô hướng
CA
uuur
.
CB
uuur
a) a
2
b) 3a
2
c) a
2
3
d)
1
2
a
2
* Tính tích vô hướng
BA
uuur
.
BC
uuur
a) a
2
b) a
2
3
c) - a

2
d)
1
2
a
2
Câu 2: Cho
a
r
=(3; -1) và
b
r
=(-1; 2). Khi đó góc giữa
a
r
và
b
r
là
a) 30
0
b) 45
0
c) 135
0
d) 90
0
Câu 3:Cho
a
r

=( 2 ; 5) và
b
r
= (3 ; -7). Khi đó góc giữa
a
r
và
b
r
là
a) 45
0
b) 30
0
c) 135
0
d) 120
0
Câu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giá trò của m để A ; B ; C thẳng hàng
a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1
Câu 5: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D để ABDC là hbh
a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4). Tam giác ABC là tam giác gì
a) Cân b)Vuông cân c) Vuông d)Đều
Câu 7: Cho
AB
uuur
=(2x - 5 ; 2) ;
AC
uuur

=(3 – x; -2). Đònh x để A , B , C thẳng hàng
a) x = 2 b) x = -2 c) x = 1 d) x = -1
Câu 8: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Phát biểu nào đúng
a)
AB
=
AC
b)
AG
=
3
2
AC
c)
AG
.
AB
=
AG
AC
d)
GA
2
+
GB
2
+
GC
2
=

0
2
Câu 9:Cho (O,5), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16
a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10 d) IO= 15
C âu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4). Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC:
a) I(2;5) b) I(
2
3
; 2) c)I(9; 10) d)I(3;4)
19
Câu 11:Đường tròn qua 3 điểm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) có tâm I là :
a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) d) I( 2; -0.5)
Câu 12: Phát biểu nào là sai
a) Nếu
AB
=
AC
thì |
AB
| =|
AC
| b) Nếu
a
b
=
a
.
c
thì
b

=
c
c)
AB
.
AC
=
BA
.
CA
d)
AB
-
CD
=
DC
-
BA
Câu 13: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng
a)
AB
=
AC
b) |
AB
+
AC
| = 2a c)
AB
.

AC
= a
2
d)
AG
.
BC
= 0
Câu 14: Cho hình vuông ABCD cạnh a .Kết quả nào đúng
a)
AB
.
AC
= a
2
b)
AB
.
AD
= a
2
c)
AC
.
BD
= 2a
2
d)
AB
.

CD
= 0
Câu 15:Cho (O,30), điểm I ở ngoài (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96
a) IO= 69 b) IO= 78 c) IO=84 d) IO=81
Câu 16:Chỉ ra công thức đúng
a)
a
2
=
a
b)
a
2
= ± |
a
| c)
a
2
= ±
a
d )
a
2
= |
a
|
Câu 17 : Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tích vô hướng
AB
.
BC

nhận kết quả nào
a) a
2

2
3
b) -
2
2
a
c)
2
2
a
d) a
2
Câu 18:Cho
AB
.
CD
= AB. CD thì phát biểu nào sau đây là đúng:
a)
AB
ngược hướng
CD
b) A, B, C, D thằng hàng
c)
AB
cùng hướng
CD

d)
AB
=
CD

Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vng tại C thì giá trị của m là :
a) m = 1 hay m = 6 b) m = 0 hay m = 7 c) m = 0 hay m = -7 d) m = 1 hay m = 7
Câu 20: Cho
a
r
=(m
2
-2m+2 ; 3m-5),
b
r
=(2;1) . Tìm giá trò của m để
a
r
⊥
b
r

a) m = 1 b)m = -
1
2
c)m = 1 hoặc m = -
1
2
d) Cả a ; b ; c đều đúng
Câu 21: Cho

a
r
=(4;3) và
b
r
=(1;7). Khi đó góc giữa 2 vec tơ (
a
r
,
b
r
) là :
a) 30
0
b) 45
0
c) 60
0
d) Kết quả khác
Câu 22: Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm:
*. Phương tích của G với đường tròn đường kính BC
a) -
2
a
6
b)
2
a
4
c) -

2
a
3
d) -
2
a
2
*. Phương tích của A với đường tròn đường kính BC
20
a)
2
a
2
b)
2
a
4
c) a
2
d)
2
3a
4
Câu 23: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a:
*. Phương tích của A với đường tròn đường kính CD
a) a b)a
2
c)2a
2
d)

a
2
*. Phương tích của A với đường tròn tâm C có bán kính = a
a)
2
a
2
b)
2
a
4
c) a
2
d) 2a
2
B.Tư luận
Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1).
a) Chứng minh rằng tam giác vuông
b) Xác đònh tâm đương tròn ngoại tiếp
c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 2: Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6)
a) Tìm M ∈ x’Ox để tam giác ABM cân tại M
b) Tìm N ∈ y’Oy để tam giác ABN vuông tại N
c) Xác đònh H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm
d) Xác đònh C thỏa 3
AC
uuur
- 4
BC
uuur

= 2
AB
uuur
e) Tìm G sao cho O là trọng tâm tam giác ABG
f) Xác đònh I ∈ x’Ox để |
IA
uur
+
IB
uur
+
IN
uur
| đạt giá trò nhỏ nhất
Bài 3: Cho A(-2;1) và B(4;5)
a) Tìm M ∈ x’Ox để tam giác ABM vuông tại M
b) Tìm C để OACB là hình bình hành
Bài 4: Cho
a
r
=(
1
2
; -5) và
b
r
=( k ; -4). Tìm k để:
a)
a
r

cùng phương
b
r
b)
a
r
vuông góc
b
r
c) |
a
r
| = |
b
r
|
Bài 5: Cho
a
r
=(-2; 3) ;
b
r
=( 4 ; 1)
a) Tính cosin góc hợp bởi
a
r
và
b
r
;

a
r
và
i
r
;
a
r
và
j
r
;
a
r
+
b
r
và
a
r
-
b
r

b) Tìm số m và n sao cho m
a
r
+n
b
r

vuông góc
a
r
+
b
r
c) Tìm
d
r
biết
a
r
.
d
r
= 4 và
b
r
.
d
r
= -2
Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2).
a) Tam giác ABC là tam giác gì . Tính diện tích tam giác
21
b) Gọi G , H , I là trọng tâm , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Tính G, H , I và CMR
GH
uuur
+2

GI
uur
=
0
r
Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2)
a) Chứng minh rằng A ; B ; C không thẳng hàng
b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
c) Tìm điểm M ∈ trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B
d) Tam giác ABC là tam giác gì ?
e)Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
Bài 8: Cho ∆ ABC có AB=7, AC=5, Â = 120
0
a) Tính
AB
.
AC
,
AB
.
BC
b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC)
Bài 9: Cho 4 điểm bất kỳ A,B,C.D: chứng minh rằng:

DA
BC
+
DB
CA
+

DC
AB
=0
Từ đó suy ra một cách chứng minh đònh lý “3 đường cao của một tam giác đồng quy”
Bài 10: Cho  ABC có 3 trung tuyến AD, BE,CF; CMR:
BC
AD
+
CA
BE
+
AB
CF
=0
Bài 11 : Cho  ABC có AC= b, AB= c, góc BAC = ∝ và AD là phân giác
của góc BAC ( D thuộc cạnh BC)
a) Hãy biểu thò
AD
qua
AB
,
AC
b) Tính độ dài đoạn AD
5) Cho 2 điểm M,N nằm trên đường tròn đường kính AB= 2 R, AM
∩
BN =I
a) Chứng minh:
AM
AI
=

AB
AI
BN
BI
=
BA
BI
b) Tính
AM
AI
+
BN
BI
theo R
Bài 11: Cho đoạn AB cố đònh, AB= 2a, k ∈ IR, Tìm tập hợp điểm M sao cho:
a)
MA
MB
= k
b) MA
2
- MB
2
= k
2

22
Bài 12: Từ điển M ở ngoài đt (0) vẽ các tuyến MAB với đt (0) (A,B ∈ (0) ; 2 tiếp tuyến tại A,B của
đường tròn (0) cắt nhau tại I, IO ∩ AB tại D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO tại H và lần
lượt cắt AB tại C; cắt đường tròn (0) tại E, F

Chứng minh :
a.
MD.MC=MB.MA
b. OF
2
=
OM.OH
c.
IH.IC=FI.IE

d. P
M/(ICD)
+ P
I/(MCH)
= IM
2
( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: ∆ : ICD, MCH)
Bài 13:. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D cùng
thuộc một đường tròn khi và chỉ khi
MD.MC=MB.MA
Bài 14:. Trong mặt phẳng toạ độ cho
→→→
j 5-i
2
1
=u
và
→→→
ik= j4-v
Tìm các giá trò của k để :

a.
→→
⊥vu
b.
→→
v=u
Bài 15:. Cho
→
a
= (-2, 3),
→
b
= (4,1)
a. Tim côsin của góc giữa mỗi cặp vectơ sau :
*
→
a
và
→
b
,
→
a
và
→
i
,
→
a
+

→
b
và
→
a
-
→
b
b. Tìm các số k và l sao cho
→
c
= k
→
a
+ l
→
b
Vuông góc với
→
a
+
→
b

c. Tìm vectơ
d
biết
.a d 4
b.d 2
=

= −





r r
r r
Bài 16:. Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ của
a. Điểm M ∈ ox sao cho ∆ MAB vuông tại M
b. Điểm N ∈ oy sao cho NA = NB
c. Điểm K ∈ oy sao cho3 điểm A,K,B thẳng hàng
d. Điểm C sao cho ∆ ABC vuông cân tại C
23
Bài 17:. Cho 3 điểm A (-1,1) B(3,1), C(2,4)
a. Tính chu vi và diện tích ∆ ABC
b. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm toạ độ A’
c. Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC; từ đó
chứng minh 3 điểm I,H,G thẳng hàng.
Bài 18:. Cho 4 điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một
đường tròn
Bài 19:. Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD; tìm toạ độ các đỉnh C và D.
Bài 20: Cho M cố đònh ngoài dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và 2 tiếp tuyến CT và CT’. Gọi
D là giao điểm của TT’ và AB. H và I lần lượt là trung điểm của của TT’ và AB
a) CMR :
MA
.
MB
=
MO

MH
=
MI
MD
b) Cho AB = 8 cm. Gọi (C
1
) là đường tròn tâm A, bán kính = 4 cm, (C
2
) là đường tròn tâm
B, bán kính = 3cm. Tìm tập hợp N thoả
P
N/(C
1
) +
P
N/(C
2
) = 15
Bài 21: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11. Qua I vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD
Cho IA = 12, tính IB
Cho CD = 1; tính IC ; ID
Bài 22: Điểm I nằm trong (O;R), qua I vẽ 2 dây AB và CD. Tính IC ; ID
a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
b) IA =12 ; IB = 18 ;
3
8
IC
ID
=
Bài 23: Cho (O;20) OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB . Cho AB = 5

a) Tính MT ; MA ; MB
b) Đường tròn ngoại tiếp ∆AOB cắt MO tại E. Tính OE
Bài 24: Cho (O;30); I ở ngoài đường tròn , vẽ 2 cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT. Đường thẳng
IO cắt đường tròn tại E và F . Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64. Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF
Bài 25: Cho tam giác ABC có 3 đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy tại H
CMR :
. 'HA HA
=
. 'HB HB
=
. 'HC HC

Bài 26:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. M là 1 điểm trên cạnh AB kéo dài. Qua M
lần lượt vẽ 2 tiếp tuyến MT, MT’, 2 cát tuyến MCD, MC’D’ đối với (O) và (O’)
CMR MT = MT’ và CDD’C’ nội tiếp
24
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy
điểm M ( không ở trên đường BC kéo dài). CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM)
Bài 28: tam giác ABC nội tiếp trong (O), M là trung điểm BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
AOM cắt đường thẳng BC tại 1 điểm thứ 2 là E và cắt (O) tại D. AD cắt BC tại F.Chứng minh rằng:
a)
.FB FC
=
.FE FM
b)
.EB EC
=
.EF EM
c) EA tiếp xúc với (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF
Bài 29: Cho P nằm ngoài (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A và B cắt nhau

M. Vẽ MH vuông góc với OP.
a) CMR : 5 điểm O , A , B, M , H ở trên 1 đường tròn
b) Tìm tập hợp M khi PAB quay quanh P
c)Gọi I là trung điểm AB, N là giao điểm của PAB và MH . CMR
.PA PB
=
.PI PN
Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm M ở ngoài (O)
sao cho MA =
3
2
R
. Từ M vẽ tiếp tuyến MT
a) Tính MT theo R
b) Gọi TH là đường cao trong ∆TMO. Chứng minh rằng :
.MH MO
=
.MA MB
c) Tính ℘
H/(O)
d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp
e) AD và BC cắt nhau tại N. CMR :
.AN AD
+
.BN BC
= 4R
2

Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) và (B,3). Tìm tập hợp M thỏa ℘
M/(A)

+℘
M/(B)
= 15
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . M, N là 2 điểm cùng phía trên tiếp tuyến kẻ từ B. AM
và AN cắt (O) tại M
1
và N
1
.
a) CMR tứ giác MNN
1
M
1
nội tiếp
b) Giả sử AB = BN = 10; BM = 5. Tính AM ; AM
1
; AN
1
; sin M
1
AN
1
, M
1
N
1

Bài 32: M là 1 diểm trên nửa đường tròn đường kính AB . H là hình chiếu của M xuống AB . Đường
tròn đườg kính MH cắt MA ; MB tại P,Q và cắt nửa đường tròn tại E
a) CMR tứ giác APQB nội tiếp

b) CMR 3 đường AB ; PQ ; ME đồng quy
Bài 33: Cho 3 điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự. AB = 5 ; BC = 7. Đường tròn di động qua A , B
có tâm là O. Vẽ 2 tiếp tuyến CT ; CT’. Gọi D là giao điểm TT’ với AB. Gọi H; I lần lượt là trung
điểm của đọan TT’, AB
a) Tìm tập hợp T; T’
b) CMR :
.CA CB
=
.CO CH
=
.CI CD
c) CMR : Điểm D cố đònh. Suy ra tập hợp H
25