Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng trong không gian

91

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:
1.
Véctơ
(
)
1 2 3
; ;
a a a a
=

là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (
∆
)
⇔
(
∆
) // giá của
a


2.
Nhận xét:
Nếu
a

là một VTCP của (

∆
) thì
ka

(
k

≠
0) cũng là VTCP của (
∆
)
tức là (
∆
) có vô số VTCP.
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.

Phương trình tham số:
Phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z

0
)
và có VTCP
(
)
1 2 3
; ;
a a a a
=

:
( )
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t
z z a t
= +



= + ∈


= +


»

2.

Phương trình chính tắc:
Phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
và có VTCP
(
)
1 2 3
; ;
a a a a
=

:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a

− − −
= =

3.

Phương trình tổng quát:
Phương trình đường thẳng (
∆
) tổng quát là giao
tuyến của hai mặt phẳng
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =



+ + + =


với
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠

4.

Phương trình đường thẳng (
∆
) đi qua 2 điểm M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
), M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
):
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
− − −

= =
− − −

5.
Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc:
Cho (
∆
):
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D

α + + + =


β + + + =


(
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠
)

⇒
VTPT của hai mặt phẳng là
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n A B C
n A B C

=


=





⇒
VTCP
1 2
,
a n n
=
 
 
  

Tìm điểm M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
∈
(
α
)
∩
(
β
)
⇒

0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
.

Đặt tỉ số này bằng
t
suy ra dạng tham số.
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

92

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
:

Cho (
∆
1
) đi qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) với VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a

=

,
(
∆
2
) đi qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) với VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=



Nếu
[
]
1 2

, 0
u v M M
⋅ ≠

 
thì
(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau.

Nếu
[
]
1 2
, 0
u v M M
⋅ =

 
và
1 2 3 1 2 3
: : : :
a a a b b b
≠
thì (

∆
1
), (
∆
2
) cắt nhau.

Nếu
[ ]
1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b

⋅ =



=


 
và hệ phương trình của
(
)
( )
1
2


∆


∆


vô nghiệm
thì (
∆
1
), (
∆
2
) song song nhau.

Nếu
[ ]
1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b

⋅ =



=



 
và hệ phương trình của
(
)
( )
1
2

∆


∆


có nghiệm
thì (
∆
1
), (
∆
2
) trùng nhau.
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho (
∆
) đi qua M
0
(

x
0
;
y
0
, z
0
) với VTCP
(
)
, ,
u a b c
=

và mp(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
với VTPT
(
)
, ,
n A B C
=



Nếu

0
n u
⋅ ≠
 
0
Aa Bb Cc
⇔ + + ≠
thì (
∆
) cắt (
α
).

Nếu
//
n u
 

: : : :
a b c A B C
⇔ =
thì (
∆
)
⊥
(
α
).

Nếu

( )
0
0
n u
M
⋅ =



∉ α


 

⇔

0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =



+ + + ≠


thì (
∆

) // (
α
).

Nếu
( )
0
0
n u
M
⋅ =



∈ α


 

⇔

0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =




+ + + =


thì (
∆
)
⊂
(
α
).
Phương trình đường thẳng trong không gian

93

IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc giữa 2 đường thẳng:

Cho (
∆
1
) đi qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1

) với VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=

,
(
∆
2
) đi qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) với VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=


Góc giữa
(
)
(
)
(
)
[
]
1 2
, 0,90
∆ ∆ = ϕ∈ °
xác định bởi:
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos
a b a b a b
u v
u v
a a a b b b
+ +
⋅
ϕ = =
⋅
+ + + +
 
 

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho (
∆
) đi qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0
) với VTCP
(
)
, ,
u a b c
=

và mp(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
với VTPT
(
)
, ,

n A B C
=


Góc giữa
(
)
( )
(
)
[
]
, 0,90
∆ α = ϕ∈ °
xác định bởi:
2 2 2 2 2 2
sin
u n aA bB cC
u n
a b c A B C
⋅ + +
ϕ = =
⋅
+ + + +
 
 

3. Góc giữa hai mặt phẳng:
Góc giữa 2 mặt phẳng (
α

1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
là
ϕ
(0
≤

ϕ

≤
90
°
) thỏa mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.

cos
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +
 
 
với
1 2
,
n n
 
là 2 VTPT của (
α
1
), (
α
2
).
V. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:

Cho (
∆
) đi qua M
0
(
x

0
;
y
0
, z
0
) với VTCP
(
)
, ,
u a b c
=

. Khoảng cách từ điểm
M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) đến đường thẳng (
∆
) là:
( )
( )
0 1

1
,
u M M
d M
u
 
⋅
 
∆ =




2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
Cho (
∆
1
) đi qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) với VTCP
(
)

1 2 3
, ,
u a a a
=

,
(
∆
2
) đi qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) với VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=


Giả sử
(

)
(
)
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau, khi đó
( )
[ ]
[ ]
1 2
1 2
,
( ),( )
,
u v M M
d
u v
⋅
∆ ∆ =

 
 

Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

94

3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ M

0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) đến mặt phẳng (
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
là:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +

VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:
Giải hệ PT tạo bởi
(
)
( )
1
2

∆


∆


;
( )
( )

∆


α


hoặc sử dụng dấu hiệu nhận
biết qua hệ thức của các véctơ
Bài 1.

Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau:
( ) ( )

1 2
9
2 3 3 9 0
: 5 :
2 3 0
3
x t
x y z
y t
x y z
z t
=

 − − − =



∆ = ∆


− + + =



= − +


;
( ) ( )
1 2

2 3 0 2 8 0
: :
2 3 0 8 0
x y y z
x y x z
− + = + − =
 
 
∆ ∆
 
+ = + − =
 
 

Bài 2.

Xác định giao điểm của đường thẳng
( )
( )
1 2
: 1
1
x t
y t t
z t
= +



∆ = − ∈



= +


»
với mặt
phẳng
(
)
: 2 2 0
x y z
α + − − =

Bài 3.

Xác định giao điểm của đường thẳng
( )
2 0
:
2 1 0
x y z
x y z
+ + − =


∆

+ − − =



với mặt
phẳng
(
)
: 2 1 0
x y z
α + + − =

Bài 4.

Cho 3 đường thẳng:
( ) ( )
( )
1 2 3
3
3 3 0
2
1
2
: 1 , : , :
1 4 3
2 1 0
5
x t
x y z
y
x
z
y t

x y z
z t
=

− + − =

+


−
−
∆ = − ∆ = = ∆


− + + =



= +


a.
Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau.
b.
Viết phương trình đường thẳng (
∆
) song song với (
∆
1
), cắt (

∆
2
) và (
∆
3
)
Phương trình đường thẳng trong không gian

95

2. Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng (
α
αα
α
)
Phương pháp:

Viết phương trình tham số của đường thẳng (
∆
) qua M và (
∆
)
⊥
(
α
)
Giao điểm H của (
∆
) và (
α

) là hình chiếu vuông góc của M lên (
α
)
Bài 1.
Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2;
−
3) lên
(
)
: 3 5 0
x y z
α + − + =

3. Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (
α
αα
α
)
Phương pháp:
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (
α
).
Giả sử M(x
1
, y
1
, z
1
), H(x
0

, y
0
, z
0
), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (
α
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 ,2
M x x y y z z
′
− − −

Bài 1.
Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (
α
):
x

+

y
– 3
z

+
5
=

0
4. Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng (
∆
∆∆
∆
)
Phương pháp 1:
Viết PT mặt phẳng (
α
) qua M và (
α
)
⊥
(
∆
).

Giao điểm H của (
∆
) và (
α
) là hình chiếu vuông góc của M lên (
∆
)
Phương pháp 2:
Viết PT tham số của (
∆
)
⇒
Tọa độ H theo tham số t.

MH u
⊥


là véctơ chỉ phương của (
∆
). GPT
0
MH u
⋅ =



⇒
tham số t
⇒
Tọa độ H
Bài 1.
Xác định hình chiếu vuông góc của M(
−
1;
−
1; 1) lên đường thẳng (
∆
):
{
}
1 ; 2 ; 3 3
x t y t z t
= + = + = − −

5. Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (
∆
∆∆
∆
)
Phương pháp:
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (
∆
)
Giả sử M(x
1
, y
1
, z
1
), H(x
0
, y
0
, z
0
), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (
∆
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 ,2
M x x y y z z

′
− − −

Bài 1.
Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2;
−
1) lên đường thẳng (
∆
):
{
}
1 ; 2 ; 3 3
x t y t z t
= + = + = −

6. Dạng 6:
Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng (
∆
∆∆
∆
) lên mặt phẳng (
α
αα
α
)
Phương pháp:

TH1: (
∆
)

⊥
(
α
)
⇒
Hình chiếu vuông góc của (
∆
) lên (
α
) là điểm H
≡
(
∆
)
∩
(
α
)
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

96

TH2: (
∆
)
⊂
(
α
)
⇒

Hình chiếu vuông góc của (
∆
) lên (
α
) là đường thẳng (
∆
)
TH3: (
∆
) không vuông góc với (
α
), (
∆
)
⊄
(
α
):
C1: Viết phương trình mặt phẳng (
β
) chứa (
∆
) và (
β
)
⊥
(
α
).
Hình chiếu vuông góc của (

∆
) lên (
α
) là đường thẳng (
∆
’)
=
(
β
)
∩
(
α
).
C2: Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc (
∆
).
Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên (
α
) là H
1
, H
2
.
Hình chiếu vuông góc của (
∆
) lên (
α
) là đường thẳng (
∆

’)
≡
H
1
H
2

C3: Nếu (
∆
) cắt (
α
): Xác định A
≡
(
∆
)
∩
(
α
). Lấy M bất kì
∉
(
∆
) và M
≠
A.
Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên (
α
).
Hình chiếu vuông góc của (

∆
) lên (
α
) là (
∆
’)
≡
AH
Bài 1.
Xác định hình chiếu vuông góc của (
∆
):
5 4 2 5 0
2 2 0
x y z
x z
− − − =



+ − =



lên mặt phẳng (
α
): 2
x
–
y

+

z
– 1
=
0
7. Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng (
∆
∆∆
∆
1
) lên (
α
αα
α
)
theo phương (
∆
∆∆
∆
2
) cắt (
α
αα
α
)
Phương pháp:

TH1: (

∆
1
) // (
∆
2
)
⇒
Hình chiếu song song của (
∆
1
) lên (
α
) theo phương (
∆
2
) là
điểm H
≡
(
∆
1
)
∩
(
α
)
TH2: (
∆
1
) và (

∆
2
) không song song:
Viết phương trình mặt phẳng (
β
) chứa (
∆
1
) và // (
∆
2
)
Hình chiếu song song của (
∆
1
) lên (
α
) theo phương (
∆
2
) là (
∆
)
=
(
β
)
∩
(
α

)
Bài 1.
Xác định hình chiếu song song của đt (
∆
1
):
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =



+ + + =


lên (
α
):
2 2 3 0
x y z
− + − =
theo phương (
∆
2
):
1
1
2

2 1 3
y
x
z
+
−
+
= =

8. Dạng 8: VPT đường thẳng (
∆
∆∆
∆
) qua M và cắt (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
) với (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆

∆∆
∆
2
) chéo
nhau và không đi qua M
Phương pháp 1:
Viết phương trình mặt phẳng (
α
) qua M chứa (
∆
1
)
Nếu cho (
∆
1
) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình (
α
) dưới dạng chùm
Nếu (
∆
1
) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B
∈
(
∆
1
)
Phương trình đường thẳng trong không gian

97

⇒
Phương trình (
α
) qua 3 điểm A, B, M.

Nếu (
α
) // (
∆
2
) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (
α
) cắt (
∆
2
) thì tìm N
=
(
∆
2
)
∩
(
α
)
Nếu MN // (
∆
1
) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt (

∆
1
) suy ra đường thẳng
cần tìm là (
∆
)
≡
MN.
Phương pháp 2:
Viết phương trình mặt phẳng (
α
) qua M chứa (
∆
1
),
mặt phẳng (
β
) qua M chứa (
∆
2
)

Xét (
∆
)
=
(
α
)
∩

(
β
). Nếu (
∆
) cắt (
∆
1
) và (
∆
2
) thì đường thẳng (
∆
) là đường
thẳng cần tìm. Nếu (
∆
) // (
∆
1
) hoặc (
∆
2
) thì bài toán vô nghiệm.
Bài 1.
VPT ĐT (
∆
) qua M(1; 3; 0) và (
∆
) cắt (
∆
1

):
2 0
2 5 0
y
x z
− =



− − =


,
(
∆
2
):
{
}
1 2 , 3 , 4
x t y t z t
= + = − = +

9. Dạng 9: VPT đường thẳng (
∆
∆∆
∆
) cắt (
∆
∆∆

∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
) và song song với (
∆
∆∆
∆
3
)
Phương pháp 1:
Viết phương trình mặt phẳng (
α
) chứa (
∆
1
) và // (
∆
3
),
mặt phẳng (
β
) chứa (
∆
2
) và // (
∆

3
)
Nếu (
α
) // (
β
) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (
α
) cắt (
β
) thì xét (
∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
).
Nếu (
∆
) cắt (
∆
1
) và (
∆
2
) thì đường thẳng (

∆
) là đường thẳng cần tìm.
Nếu (
∆
) // (
∆
1
) hoặc (
∆
2
) thì bài toán vô nghiệm.
Phương pháp 2:
Viết phương trình tham số của (
∆
1
) theo t
1
, của (
∆
2
) theo t
2
.
Lấy M
∉
(
∆
1
), N
∉

(
∆
2
)
⇒
Tọa độ M, N theo t
1
, t
2
.
⇒

MN

theo t
1
, t
2
.
Xác định t
1
, t
2
sao cho MN // (
∆
3
)
⇒
Đường thẳng (
∆

) cắt (
∆
1
), (
∆
2
) và song
song với (
∆
3
) là (
∆
)
≡
MN
Phương pháp 3:
Gọi M(x
0
, y
0
, z
0
) là giao điểm của (
∆
) và (
∆
1
).
(
∆

) nhận VTCP của (
∆
3
) làm VTCP
⇒
Phương trình tham số của (
∆
) theo x
0
, y
0
, z
0
.
(
∆
) cắt (
∆
2
) suy ra hệ
( )
( )
2

∆


∆



có nghiệm
⇒
x
0
, y
0
, z
0
.
⇒
Phương trình (
∆
)
Bài 1.
VPT đường thẳng (
∆
) cắt (
∆
1
):
2 0
2 5 0
y
x z
− =



− − =



, (
∆
2
):
{
}
1 2 , 3 , 4
x t y t z t
= + = − = +
và // với trục O
z
.
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

98

Bài 2.
VPT ĐT (
∆
) cắt (
∆
1
):
2
2
1
3 4 1
y
x

z
+
−
−
= =
, (
∆
2
):
3
7 9
1 2 1
y
x z
−
− −
= =

và // (
∆
3
):
3
1
2
3 2 1
y
x
z
+

+
−
= =
−

10. Dạng 10: VPT đường thẳng (
∆
∆∆
∆
) qua M và vuông góc (
∆
∆∆
∆
1
), cắt (
∆
∆∆
∆
2
) trong
đó M
∉
∉∉
∉
(
∆
∆∆
∆
1
), (

∆
∆∆
∆
2
)
Phương pháp:
Viết phương trình mặt phẳng (
α
) qua M và
⊥
(
∆
1
), mặt phẳng
(
β
) qua M chứa (
∆
2
)
Nếu (
α
) // (
β
) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (
α
) cắt (
β
) thì xét (
∆

)
=
(
α
)
∩
(
β
).
Nếu (
∆
) cắt (
∆
2
) thì đường thẳng (
∆
) là đường thẳng cần tìm.
Nếu (
∆
) // (
∆
2
) thì bài toán vô nghiệm.
Bài 1.
VPT đường thẳng (
∆
) qua M(1; 2; 0) và
⊥
(
∆

1
):
1
1
2
2 2 1
y
x
z
+
−
+
= =
,
cắt (
∆
2
):
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =



+ + + =



11. Dạng 11: VPT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
)
chéo nhau
a. TH đặc biệt: (
∆
∆∆
∆
1
)
⊥
⊥⊥
⊥
(
∆
∆∆
∆
2
):

Viết phương trình mặt phẳng (
α

) chứa (
∆
1
) và (
α
)
⊥
(
∆
2
)
Tìm
(
)
(
)
2
M
= ∆ α
∩
, H là hình chiếu vuông góc của M lên (
∆
1
)
⇒
MH là đường vuông góc chung của (
∆
1
), (
∆

2
)
b. Phương pháp 1:
Viết phương trình (
∆
1
), (
∆
2
) dưới dạng tham số
Lấy M
∈
(
∆
1
), N
∈
(
∆
2
)
⇒
Tọa độ M, N theo
1 2
,
t t

⇒

MN


theo
1 2
,
t t
.
MN là đường vuông góc chung của (
∆
1
), (
∆
2
)
⇒

(
)
(
)
1 2
,MN MN
⊥ ∆ ⊥ ∆

⇒

1 2
,
t t

⇒

MN.
c. Phương pháp 2:
Gọi
1 2
,
a a
 
là VTCP của (
∆
1
) và (
∆
2
)
⇒
Đường vuông góc chung (
∆
) có VTCP
1 2
,
a a a
=
 
 
  

Viết phương trình mặt phẳng (
α
) chứa (
∆

1
) và // (
∆
), mặt phẳng (
β
) chứa (
∆
2
)
và // (
∆
)
⇒
(
∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
).
Phương trình đường thẳng trong không gian

99

Bài 1.
Cho A(6; 3; 0), B(

−
2; 9; 1), S(0; 5; 8).
Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA.
Bài 2.
Viết phương trình đường vuông góc chung của
( )
1
3 0
:
1 0
x y z
y z
+ + − =

∆

+ − =

và
( )
2
2 2 9 0
:
1 0
x y z
y z
− − + =

∆


− + =


Bài 3.
Viết phương trình đường vuông góc chung của
( )
1
1 1
1
1 2
: 2
3 3
x t
y t
z t
= +


∆ = +


= − +

và
( )
2
2 2
2
2
: 3 2

1 3
x t
y t
z t
= +


∆ = − +


= +


Bài 4.
VPT đường vuông góc chung của
( )
1
3 2 8 0
:
5 2 12 0
x y
x z
− − =

∆

+ − =

và
(

)
{
}
2
: 1 3 ; 3 2 ; 2
x t y t z t
∆ = − + = − − = −

Bài 5.
Cho
( )
1
2
: 1
2
x t
y t
z t
= +


∆ = −


=

và
( )
2
2 2 0

:
3 0
x z
y
+ − =

∆

− =

.
Viết phương trình mặt phẳng cách đều (
∆
1
) và (
∆
2
).
12. Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách
12.1. Tính khoảng cách:
Bài 1.

Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến
( )
1
1
1
:
2 1 3
y

x
z
+
−
−
∆ = =

Bài 2.

Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;
−
1; 1). Tính khoảng cách từ A đến BC.
Bài 3.

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

( ) ( )
{ }
1 2
0
: : 1 3 ; ; 2
4 0
x y
x t y t z t
x y z
+ =

∆ ∆ = + = − = +

− + − =



Bài 4.

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

( ) ( )
1 2
2 0
2
1 3
: , :
1 2 3
2 3 5 0
x y z
y
x z
x y z
+ − =

−
− −
∆ = = ∆

− + − =


Bài 5.

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

( ) ( )
1 2
8 23 0 2 3 0
: , :
4 10 0 2 2 0
x z x z
y z y z
+ + = − − =
 
∆ ∆
 
− + = + + =
 

Bài 6.

Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (
α
): 2
x

+

y

+

z
– 1

=
0
và (
β
):2
x

+

y

+

z

+
10
=
0.
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

100

Bài 7.

Cho A(5; 7;
−
2), B(3;1;1), C(9; 4;
−
4).

Tính khoảng cách từ D(
−
1; 5; 0) đến (ABC)
12.2. Tìm điểm biết khoảng cách cho trước:
Bài 1.

Cho (
α
):
x

+
2
y
– 2
z
– 2
=
0.
Tìm M
∈
O
y
sao cho khoảng cách từ M đến (
α
) bằng 4.
Bài 2.

Cho A(1;
−

2; 0). Tìm M
∈
O
z
sao cho khoảng cách từ M đến
(
α
): 3
x
– 2
y

+
6
z

+
9
=
0 bằng MA.
Bài 3.

Cho (
α
):
x

+

y

+

z

+
5
=
0.
Tìm M
∈
(
∆
):
2 1 0
2 3 0
x y z
x y z
+ + − =


+ + + =

sao cho
( )
(
)
, 3
d M α =
.

Bài 4.

Cho (
α
): 12
x
– 16
y

+
15
z

+
1
=
0 và (
β
): 2
x

+
2
y
–
z
– 1
=
0.
Tìm M

∈
O
x
cách đều (
α
) và (
β
)
12.3. Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất:
a. Dạng 1:
Cho 2 điểm
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,
A x y z B x y z
.
Tìm M
∈
(P):
0
ax by cz d
+ + + =
để (MA
+
MB) min.
Phương pháp:
Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng

cách tính các đại lượng:
1 1 1 2 2 2
;
A B
t ax by cz d t ax by cz d
= + + + = + + +


Nếu
0
A B
t t
<

⇔
A, B khác phía đối với (P). Gọi M
0

≡
(AB)
∩
(P), khi đó
MA
+
MB
≥
AB
=
M
0

A
+
M
0
B.

Nếu
0
A B
t t
>

⇔
A, B cùng phía đối với (P). Lấy A
1
đối xứng A qua (P).
Gọi M
0

≡
(A
1
B)
∩
(P). Khi đó MA
+
MB
=
MA
1

+
MB
≥
A
1
B
=
M
0
A
1

+
M
0
B.
b. Dạng 2:
Cho 2 điểm
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,
A x y z B x y z
.
Tìm M
∈
(P):

0
ax by cz d
+ + + =
để |MA – MB| max.
Phương pháp:
Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng
cách tính các đại lượng:
1 1 1 2 2 2
;
A B
t ax by cz d t ax by cz d
= + + + = + + +


Nếu
0
A B
t t
>

⇔
A, B cùng phía đối với (P). Gọi M
0

≡
(AB)
∩
(P), khi đó
|MA – MB|
≤

AB
=
| M
0
A – M
0
B|.

Nếu
0
A B
t t
<

⇔
A, B khác phía đối với (P) Lấy A
1
đối xứng A qua (P).
Gọi M
0

≡
(A
1
B)
∩
(P).Khi đó |MA – MB|
=
|MA
1

– MB|
≤
A
1
B
=
| M
0
A
1
– M
0
B|
Phương trình đường thẳng trong không gian

101

b. Dạng 3:
Cho 2 điểm
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,
A x y z B x y z
.
Tìm M
∈
(

∆
) cho trước sao cho (MA
+
MB) min.
Phương pháp:
Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của
các điểm A, B lên (
∆
). Gọi M
0
là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số
0
0
'
'
'
'
M A
AA
k
M B
BB
= = −




. Ta chứng minh MA
+
MB

≥
M
0
A
+
M
0
B
Thật vậy, gọi A
1
∈
(P)
=
((
∆
), B) sao cho A
1
khác phía B so với (
∆
) và thỏa mãn
( )
1
1
' '
'
A A AA
A A
=




⊥ ∆



⇒

0
1
1 0
M A
A A
B B M B
′
′
=
′ ′


 

⇒
A
1
, M
0
,B thẳng hàng
⇒
MA
+

MB
=
MA
1

+
MB
≥
A
1
B
=
M
0
A
1

+
M
0
B
=
M
0
A
+
M
0
B
Bài 1.

Cho A(
−
7; 4; 4), B(
−
6; 2; 3).
Tìm M
∈
(P): 3
x
– y – 2
z

+
19
=
0 để (MA
+
MB) min;|MA – MB| max.
Bài 2.

Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5).
Tìm M
∈
mặt phẳng O
xy
sao cho: (MA
+
MB) min; |MA – MB| max.
Bài 3.

Cho A(1; 0; 2), B(2;
−
1; 3).
Tìm M
∈
(
)
: 2 4 0
P x y z
− + − =
để (MA
+
MB) min; |MA – MB| max.
Bài 4.

Cho A(1; 3;
−
2), B(13; 7;
−
4).
Tìm M
∈
(
)
: 2 2 9 0
P x y z
− + − =
để (MA
+

MB) min; |MA – MB| max.
Bài 5.

Cho A(1; 2;
−
1),
(
)
2 2; 2; 3
B
− −
.
Tìm M
∈
( )
3 0
:
5 0
x y z
y z
+ + − =

∆

+ − =

sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 6.

Cho A(1; 1; 0), B(3;
−
1; 4).
Tìm M
∈
( )
1
1
2
:
1 1 2
y
x
z
−
+
+
∆ = =
−
sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 7.

Cho
(
)
( )
1;2; 1

7; 2;3
A
B

−


−


Tìm M
∈
( )
2
1
2
:
3 2 2
y
x
z
−
+
−
∆ = =
−
sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 8.

Cho A(2; 3; 0) và
(
)
0; 2; 0
B −
.
Tìm M
∈
( )
2 0
:
2 0
x y z
x y z
+ + − =

∆

− + − =

sao cho (MA
+
MB) min.
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

102

13. Dạng 13: Các bài toán về góc
Bài 1.

Xác định góc giữa 2 mặt phẳng
(
)
(
)
1 2
: 2 4 0, : 2 1 0
P x y z P x y z
+ + + = + + + =

Bài 2.

Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(
−
1; 0;
−
2), D(
−
2; 1; 1).
Tính góc của mỗi cặp cạnh đối của ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)).
Bài 3.

Cho
(
)
1
: 3 2 0
P x y z
− − + =

,
(
)
2
: 2 3 0
P x y z
+ + − =
,
(
)
3
: 3 2 1 0
P x y z
− + − + =
. Gọi (
∆
) là giao tuyến của (P
1
) và (P
2
).
Tính góc giữa (
∆
) với giao tuyến của (P
1
), (P
3
) và với mặt phẳng (P
3
).

Bài 4.

Cho
( )
1
3 1 0
:
3 5 0
x y
z y
− − =

∆

− − =

và
( )
2
2
: 1
1
x t
y
z mt
= +


∆ = −



= +

. Tìm
m
để:
a.
Góc giữa (
∆
1
) và (
∆
2
) bằng 45
°

b.
Góc giữa (
∆
1
) và (
∆
2
) bằng 60
°
.
Khi đó tính góc giữa (P) với (
∆
2
) biết rằng (P)

⊥
(
∆
1
).
Bài 5.

Cho A(0;
−
2;
−
2), B(
−
1;
−
1; 0), C(
−
2;
−
2; 0),
(
)
1
D ; 1; 0
2
− −
.
a.
Tính góc giữa ((ABC); (ABD))
b.

Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC).
14. Bài mẫu.
Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(
−
1; 2; 4) và
( )
2
1
:
1 1 2
y
x
z
d
+
−
= =
−

1.
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (
d
) sao cho:
a)
MA MB
+
 
nhỏ nhất; b)
2 2
MA MB

+
nhỏ nhất;
c)
MA MB
+
nhỏ nhất d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất
2.
VPT mặt phẳng (P) chứa (
d
) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
3.
VPT mặt phẳng (Q) chứa (
d
) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.
4.
VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (
d
) và tạo với trục Oy góc lớn nhất.
5.
Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (
d
), viết phương
trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất?
Giải
1.
(
)
1 ; 2 ; 2
M t t t d
− − + ∈

⇒

( ) ( )
; 6 ; 2 2 , 2 ;4 ; 4 2
MA t t t MB t t t
= − − = − + − −
 

a.

( )
2 2 ; 10 2 ; 6 4
MA MB t t t
+ = − + − −
 
. Suy ra
( )
2
24 2 44
MA MB t+ = − +
 

Do đó
MA MB
+
 
nhỏ nhất khi
t

=
2 và lúc đó
(
)
1; 0; 4
M −

Phương trình đường thẳng trong không gian

103

b.
Ta có
2 2
MA MB
+ =
( )
2
2
12 48 76 12 2 28
t t t
− + = − +

Vậy
2 2
MA MB
+
nhỏ nhất khi
2
t

=
và khi đó
(
)
1; 0; 4
M −

c.
Ta sẽ xác định hình chiếu
1 1
,
A B
của hai điểm A, B lên đường thẳng (
d
)
( )
(
)
2 2
1
5 10
2 1
2 3 10 20 min ; ;
3 3 3 3
MA t t t M A= − + ⇔ = ⇔ ≡ − −
với
(
)
1
AA d

⊥

( )
(
)
2 2
1
7
4 1 14
2 3 14 18 min ; ;
3 3 3 3
MB t t t M B= − + ⇔ = ⇔ ≡ −
với
(
)
1
BB d
⊥

1 1
1 1
210 ; 30
3 3
AA BB= =
. Điểm M cần tìm là điểm chia đoạn
1 1
A B
theo tỉ
số
1

1
7
AA
k
BB
= − = −
nên tọa độ của M là
(
)
( ) ( )
2 1 2 7
10 14 7
1
; ;
3
3 1 7 3 1 7
 
− +
−
−
 
 
+ +
 

d.

( ) ( ) ( )
; 6 ; 2 2 ; 2; 2; 2 ; ; 6 16; 2 4; 4 12
AM t t t AB AM AB t t t

 
− − + − + − − = − − + −
 
   

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1
; 6 16 2 4 4 12 56 304 416
2 2 2
AMB
S AM AB t t t t t
 
= = − + − + + − = − +
 
 
Dễ thấy
AMB
S
nhỏ nhất khi
304 19
112 7
t
= =
, khi đó
(
)
5 38
12

; ;
7 7 7
M −
.
2.
PT tổng quát của (
d
) là
1 0
2 4 0
x y
y z
+ + =



− + =


. Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
(
d
) nên (P) có phương trình
(
)
(
)
1 2 4 0
a x y b y z
+ + + − + =

với
2 2
0
a b
+ ≠

•
Nếu
0
a
=
thì (P):
2 4 0
y z
− + =
. Khi đó
( )
( )
( )
2
2
2.4 2 4
10
; 2 5
5
2 1
d A P
− +
= = =
+ −

•
Nếu
0
a
≠
thì có thể giả sử
1
a
=
. Khi đó
(
)
(
)
: 1 2 1 4 0
P x b y bz b
+ + − + + =
.
Suy ra
( )
( )
2
2 5 3
;
5 4 2
b
d A P
b b
+

=
+ +
. Xét hàm số
( )
( )
2
2
5 3
5 4 2
b
f b
b b
+
=
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
50 10 24 3
4
0
5 5
5 4 2
b b
f b b b
b b

− + +
′
= = ⇔ = ∨ = −
+ +

Do
(
)
(
)
( )
35 3
4
; 0 ; lim 5
5 6 5
b
f f f b
→∞
= − = =
nên
( )
(
)
;
d A P
lớn nhất bằng
35
2
6
.

Kết luận:
So sánh hai trường hợp ta có
( )
( )
35
Max ; 2
6
d A P =
khi
4
5
b
=
, lúc đó
phương trình (P) có dạng
13
4 21
0
5 5 5
x y z
+ − + =
, hay
(
)
: 5 13 4 21 0
P x y z
+ − + =

3.
Do (Q) chứa (

d
) nên PT (Q):
(
)
(
)
1 2 4 0
a x y b y z
+ + + − + =
với
2 2
0
a b
+ ≠
.
Mặt phẳng (xOy) có phương trình
0
z
=

Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

104

•
Nếu
0
a
=
thì (Q):

2 4 0
y z
− + =
và khi đó
1
cos
5
α =
.
•
Nếu
0
a
≠
ta có thể giả sử
1
a
=
. Khi đó (Q):
(
)
1 2 1 4 0
x b y bz b
+ + − + + =
.
Từ đó
2
cos
5 4 2
b

b b
α =
+ +
. Xét hàm số
( )
2
2
2
cos
5 4 2
b
g b
b b
= = α
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
4 4
0 0 1
5 4 2
b b
g b b b
b b
+
′

= = ⇔ = ∨ = −
+ +

Do
( )
( )
( )
1 1
0 0; 1 ; lim
3 5
b
g g g b
→∞
= − = =
nên
cos
α
lớn nhất bằng
1
3
khi
1
b
= −

Kết luận:
So sánh hai trường hợp trên ta thấy
cos
α
lớn nhất hay (Q) tạo với

mặt phẳng (xOy) góc nhỏ nhất khi
1
b
= −
. Lúc đó (Q)
3 0
x y z
− + − =

4.
PT (R):
(
)
(
)
1 2 4 0
a x y b y z
+ + + − + =
. Trục Oz có VTCP là
( )
0; 1; 0
v


Nếu
0
a
=
thì (R):
2 4 0

y z
− + =
thì
β
= ((Q), Oy) thỏa mãn
2
sin
5
β =
.
Nếu
0
a
≠

ta có thể giả sử
1
a
=
. Khi đó (R):
(
)
1 2 1 4 0
x b y bz b
+ + − + + =

Khi đó
2
1 2
sin

5 4 2
b
b b
+
β =
+ +
. Xét hàm số
( )
2
2
2
4 4 1
sin
5 4 2
b b
h b
b b
+ +
= = β
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
4 6 4
1
0 2

2
5 4 2
b b
h b b b
b b
− + +
′
= = ⇔ = ∨ = −
+ +
.
Do
( )
(
)
( )
5
1 4
2 ; 0 ; lim
6 2 5
b
h h h b
→±∞
= − = =
nên
sin
β
lớn nhất bằng
5
6
, khi

2
b
=
.
Kết luận:
So sánh hai trường hợp ta thấy
sin
β
lớn nhất khi
2
b
=
. Khi đó mặt
phẳng (R) có phương trình
5 2 9 0
x y z
+ − + =
.
5.
Giả sử
2
d
là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt
d
tại
(
)
1 ; 2 ; 2
M t t t
− − +

.
Khi đó
( )
2
2
2
2
2
;
56 304 416
28 152 208
;
3 10 20
6 20 40
AM AB
t t
t t
d B d
t t
AM
t t
 
 
− +
− +
= = =
− +
− +
 


Xét
( )
2
2
28 152 208
3 10 20
t t
u t
t t
− +
=
− +
. Ta có
( )
(
)
( )
2
2
2
16 11 8 60
0 2
3 10 20
t t
u t t
t t
− −
′
= = ⇔ = −

− +
;
30
11
t =
.
Do
( )
(
)
( )
30 28
4
2 48; ; lim
11 35 3
b
u u u t
→∞
− = = =
nên khoảng cách từ B đến
2
d
lớn
nhất bằng 48 khi
2
t
= −
và nhỏ nhất bằng
4
35

khi
30
11
t =
. Khi đó
2
d
tương ứng
có phương trình là
2
4
1
2
:
1 4 3
y
x
z
d
−
−
−
= =
− −
và
2
4
1
2
:

15 18 19
y
x
z
d
−
−
−
= =
−