Phương trình mặt cầu-PP Tọa độ-PP véctow

Bài tập về Mặt cầu
I. Phng trình ca mt cu:
•

Một số bài toán cơ bản.
1. Lập phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2, 2, - 3) và bán kính R =3.
2. Lập phương trình mặt cầu (S) biết đường kính là AB với A(6, 2, - 5); B( -4; 0; 7)
3. Lập phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(1, 2, - 1); đi qua điểm A(3; 1; -1)
4. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1, 1, 2); tiếp xúc với mp (P): x + 2y + 2z - 3 = 0.
5. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(1, 4, 0); B( - 4; 0; 0); C( - 2; -2; 0); D( 1; 1; 6)
6. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 2 điểm A(3; 1; 0), B(5, 5, 0) và tâm thuộc 0x.
7. * Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(6, 3, -4) và tiếp xúc với 0y.
8. * Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2, 3, -1) và cắt đường thẳng (d):



=−+−
=
+
+
−
0843
020345
zyx
zyx
tại 2 điểm A; B sao cho AB = 16.
9. *[ ĐHAN - A- 98]: Cho đường thẳng (d):



=++−

=
+
+
+
01
01
zyx
zyx
và 2 mặt phẳng: (P
1
): x + 2y +
2z +3 = 0; (P
2
): x + 2y + 2z + 7 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d) và tiếp
xúc với (P
1
); (P
2
).
10. *( Chùm mặt cầu ): Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua giao tuyến của mặt cầu
(S
1
):
01
222
=−++ zyx
và mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0 trong các trường hợp:
a. (S
1
) đi qua điểm A(2, 1, -1)

b. (S
1
) có tâm thuộc mặt phẳng (Q): x + y + 2z + 2 = 0
c. Tiếp xúc với mặt phẳng (Q): x + 1 = 0.
11. *( Chùm mặt cầu ): Cho 2 mặt cầu:
(S
1
):
0142
222
=+−−++ zxzyx
và (S
2
):
032
222
=−−++ xzyx

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua giao tuyến của (S
1
); (S
2
) và đi qua điểm A(2, 1, -1)
• Luyện tập.
12. [ĐHBK- 96]: Cho tứ diện ABCD với A(3, 2, 6); B( 3; -1; 0); C( 0; -7; 3); D( -2; 1; -1)
a. CM tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc nhau.
b. Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (ACD)
c. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
13. [ĐHQG- 96]: Cho điểm I(2, 3, -1) và đường thẳng (d):




=−+−
=
+
+
−
0843
020345
zyx
zyx

a. Lập phương trình mặt phẳng qua I và vuông góc với (d).
b. Tính khoảng cách từ I đến (d), suy ra phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho(S) cắt (d)
tại 2 điểm A; B sao cho AB = 40.
14. [CĐSPHN- 97]: Cho mặt cầu (S):
0442
222
=−−−++ zyxzyx

a. Xác định tâm và tính bán kính của (S).
b. Gọi A; B; C lần lượt là giao điểm( khác gốc toạ độ 0) của (S) và các trục 0x; 0y; 0z, viết
phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm cầu đến mphẳng (ABC). Xác định toạ độ H
15. [ĐHSPHN]: Cho 3 điểm A(a, 0, 0); B( 0; b; 0); C(0; 0; c) với a; b; c > 0
a. CMR Tam giác ABC có các góc A; B; C nhọn.
b. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
c. Tìm toạ độ điểm O
1
đối xứng với O qua (ABC).

16. [ĐHGTVT – 99]: Cho mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0
a. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp (P).
b. Tìm toạ độ tiếp điểm H của (P) và mặt cầu (S).
c. Tìm điểm đối xứng của 0 qua (P).
17. Cho 2 đường thẳng (d
1
):





=
−=
+
=
4
3
4
z
ty
tx
; (d
2
):






=
+=
=
/
/
21
2
tz
ty
x
tìm phương trình mặt cầu

nhận
đoạn vuông góc chung của (d
1
); (d
2
) làm đườ
ng kính.
II. V trí tng đi gia đim; đng thng; mt phng; mt cu và mt
cu:
• Một số bài toán cơ bản.
18.
Cho

m
ặ
t c
ầ
u (S):

0442
222
=−−−++ zyxzyx
, xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a
đ
i
ể
m M
đố
i v
ớ
i
m
ặ
t c
ầ
u (S) trong các tr
ườ
ng h
ợ
p:
a. M(1, 1, 0) b. M(1, 1, 2) c. M(3, 5, 0)

19.

Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và m
ặ
t c
ầ
u (S) trong các tr
ườ
ng h
ợ
p:
a. (d):





+−=

=
−
=
tz
ty
tx
21
2
1
và (S):
012
222
=−−++ yzyx
,
b. (d):



=−−
=
+
−
093
0334
zx
yx
và (S):
05242
222
=+−−−++ zyxzyx

,
20.
CMR m
ặ
t c
ầ
u (S):
032
222
=−−++ xzyx
c
ắ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x – 2 = 0 theo giao tuy
ế
n là
m
ộ
t
đườ
ng tròn (C). Xác
đị
nh tâm và tính bán kính c
ủ
a (C).
21.
Xét v

ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a 2 m
ặ
t c
ầ
u:
(S
1
):
015462
222
=−+−+++ zyxzyx
(S
2
):
032
222
=−−++ xzyx

• Luyện tập.

22.
[
Đ

HTL- 2000]: Cho m
ặ
t c
ầ
u (S): 4
222
=++ zyx và m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x + z = 2.
a. CMR m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) c
ắ
t m
ặ
t c
ầ
u (S). Xác
đị
nh tâm và tính bán kính c
ủ
a (C) là giao c
ủ
a (P) và
(S).
b*. Vi

ế
t ph
ươ
ng trình (C
1
) là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (C) trên m
ặ
t ph
ẳ
ng 0xy.
23.
[
Đ
HQG – 1999]: Trong không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ

độ
vuông góc 0xyz cho
đườ
ng

tròn(C) xác
đị
nh b
ở
i ph
ươ
ng trình:





=++−
=+++−++
0122
017664
222
zyx
zyxzyx

a. Tìm to
ạ

độ
tâm và tính bán kính c
ủ
a (C).
b. L
ậ
p ph

ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) ch
ứ
a (C) và có tâm thu
ộ
c mp(Q): x + y + z +3 = 0.
24.
[
Đ
HSPV – 1999]: Cho
đ
i
ể
m I(1; 2; -2) và mp (P): 2x + 2y + z + 5 = 0
a.

L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I sao cho giao c
ủ

a (P) và (S) là
đườ
ng tròn có chu vi b
ằ
ng
8
π
.
b.

CMR m
ặ
t c
ầ
u (S) ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): 2x – 2 = y + 3 = z.
c.

L
ậ
p ph
ươ
ng trình m

ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và ti
ế
p xúc v
ớ
i (S).
25.
[
Đ
HBK- A- 2000]: Cho chóp S.ABC v
ớ
i S(3,1,-2); A(5; 3; -1); B(2; 3;-4); C(1; 2; 0)
a. CMR SABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u và 3 m
ặ
t bên là các tam giác vuông cân. các c
ặ
p
c

ạ
nh
đố
i vuông góc nhau.
b. Tìm to
ạ

độ
di
ể
m D
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m C qua
đườ
ng th
ẳ
ng AB. M là
đ
i
ể
m b
ấ

t k
ỳ
thu
ộ
c m
ặ
t c
ầ
u
tâm D bán kính R =
18
(
đ
i
ể
m M không thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC). Xét tam giác có
độ
dài các
c
ạ
nh b
ằ
ng
độ

dài các
đ
o
ạ
n MA; MB và bán kính m
ặ
t c
ầ
u. H
ỏ
i tam giác
đ
ó có
đặ
c
đ
i
ể
m gì ?
III. Tip tuyn; tip din ca mt cu:
• Một số bài toán cơ bản.
26.
Cho m
ặ
t c
ầ
u (S):
05624
222
=+−−−++ zyxzyx

. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(S) t
ạ
i
đ
i
ể
m A(0; 0; 5) và bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n:
a.

Có vtcp
→
a
(1; 2; 2)

b.

Vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng: (P): 3x - 2y + 2z + 3 = 0.
27.
Cho m
ặ
t c
ầ
u (S):
05642
222
=+−−+++ zyxzyx
.Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p di
ệ
n c
ủ
a (S):
a.

T
ạ
i
đ
i
ể
m A( 0; 0; 1)
b.
Đ
i qua
đ
i
ể
m M( 1; 1; 1)
c. Ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d):



=−
=
−
−
01

012
z
yx

d. Vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng(d):
2
2
1
1
2
3
−
−
=
+
=
−
zyx

28.
[
Đ
HGT- 98]: Vi
ế

t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ti
ế
p xúc m
ặ
t c
ầ
u (S) có ph
ươ
ng trình:

02642
222
=−−−+++ zyxzyx
và song song v
ớ
i (P): 4x + 3y -12 z + 1 = 0.
• Luyện tập.
29.
[
Đề
69]: Vi
ế
t ph.tr m.p ti
ế

p xúc m
ặ
t c
ầ
u (S):
011326210
222
=−++−++ zyxzyx

và song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d
1
):
2
13
3
1
2
5
+
=
−
−
=
+

zyx
và
(d
2
):
0
8
2
1
3
7
−
=
−
+
=
+
zyx

30.
[
Đề
99-
Đ
HNT – 99]: L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ

t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d):




=−−
=
−
+
−
02
0308118
zyx
zyx
và ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t c
ầ

u (S):
015462
222
=−+−+++ zyxzyx

31.
[
Đ
Hm
ỏ

đị
a ch
ấ
t – 99]: Trong không gian v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
tr
ự
c chu
ẩ
n 0xyz, cho m
ặ
t c
ầ

u (S),
đườ
ng th
ẳ
ng (d) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) l
ầ
n l
ượ
t có ph
ươ
ng trình:
(S):
067642
222
=−−−−++ zyxzyx
; (d):



=+−
=
−
+
−
032
0823

yx
zyx
(Q): 5x + 2y + 2z -
7 = 0.
a.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình t
ấ
t c
ả
các m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a (d) và ti
ế
p xúc m
ặ
t c
ầ
u (S)
b*. Vi
ế
t ph

ươ
ng trình hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d) lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q).


Một số bài toán hình học không gian, giải bằng phương pháp toạ độ

1.
Cho hình l
ă
ng tr
ụ
tam giác
đề
u ABC. A
/
B
/
C

/
c
ạ
nh
đ
áy b
ằ
ng a, chi
ề
u cao b
ằ
ng 2a.
a. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AC và m
ặ
t ph
ẳ
ng ( BA
/
C
/
).
b. Xác

đị
nh góc gi
ữ
a BB
/
và m
ặ
t ph
ẳ
ng (BA
/
C
/
).
c. Tính góc gi
ữ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (BA
/
C
/
) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABB
/

A
/
).
2.
Trong hai m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc (P) và (Q) cho hai tam giác cân ACD và BCD có chung
đ
áy CD =
2x, và các c
ạ
nh khác có
độ
dài b
ằ
ng a. G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung

đ
i
ể
m c
ủ

a AB và CD.
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng MN là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a AB và CD.
b. Tính theo a và x
độ
dài
đ
o
ạ
n AB và MN.
c. Xác
đị
nh x
để
nh
ị
di
ệ
n (C; AB; D) là nh
ị
di
ệ
n vuông. Trong tr

ườ
ng h
ợ
p
đ
ó tính
độ
dài
đ
o
ạ
n
AB.
3.
Tìm t
ậ
p h
ợ
p nh
ữ
ng
đ
i
ể
m M trong không gian mà t
ổ
ng các bình ph
ươ
ng c
ủ

a hai kho
ả
ng cách
đế
n hai
đ
i
ể
m A, B cho tr
ướ
c m
ộ
t giá tr
ị
d
ươ
ng cho tr
ướ
c k
2
.
4.
Cho hình h
ộ
p
đứ
ng ABCD.A
/
B
/

C
/
D
/
có
đ
áy là hình thoi.Bi
ế
t AC = 2; BD = 4;AA
/
= 4
a.Xác
đị
nh góc và kho
ả
ng cách gi
ữ
a AD
/
và BD.
b.
Đ
i
ể
m M thu
ộ
c c
ạ
nh AA
/

sao cho góc BMD = 1V khi
đ
ó M chia AA
/
theo t
ỷ
s
ố
nào ?
5.
Cho t
ứ
di
ệ
n SABC có m
ặ
t ABC là tam giác vuông t
ạ
i A c
ạ
nh SB vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng (ABC); c
ạ
nh SB = AC = 4; c

ạ
nh AB = 2; M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SC
a. Xác
đị
nh góc gi
ữ
a SC và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABM).
b. Xác
đị
nh giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a SA và BC v

ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABM)
6.
Cho hình chóp t
ứ
giác S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh bên SA vuông góc
v
ớ
i
đ
áy.
Đ
i
ể
m M thu
ộ
c c
ạ
nh SD sao cho MD : MS =1:2.Góc gi
ữ
a SC và AD b
ằ

ng 60
0
,

kho
ả
ng cách t
ừ
S
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng ( AMC) b
ằ
ng 2. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a tam giác AMC.
7.
Cho hình chóp t
ứ
giác S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi có hai
đườ
ng chéo AC = 2, BD = 4; hình
chi

ế
u c
ủ
a S trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) trùng v
ớ
i giao
đ
i
ể
m O c
ủ
a AC và
BD.
Đườ
ng cao c
ủ
a hình chóp b
ằ
ng 2. G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là tr
ọ

ng tâm c
ủ
a hai m
ặ
t bên (SAB) và
(SAD).
a. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (MNO) // v
ớ
i SC
b. G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua trung
đ
i
ể
m I c

ủ
a SO và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (MNO)
Xác
đị
nh giao
đ
i
ể
m c
ủ
a d v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD).
8.
Cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ

t ABCD. A’B’C’D’ có c
ạ
nh A
/
D
/
= 4; A’B’=AA
/
= 3.
a.
Đ
i
ể
m M
∈
AA
/
, m
ặ
t ph
ẳ
ng (BMD
/
) c
ắ
t hình h
ộ
p ch
ữ
nh

ậ
t theo thi
ế
t di
ệ
n là hình gì ?
b. Trong tr
ườ
ng h
ợ
p nào thi
ế
t di
ệ
n là hình ch
ữ
nh
ậ
t.
c. Tìm v
ị
trí c
ủ
a M
để
thi
ế
t di
ệ
n là bé nh

ấ
t.
9.
(
Bài 5 trang 60 SGK HH 12
): Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có c
ạ
nh b
ằ
ng a. Trên B
/
C
/
và
CD l
ấ
y các
đ

i
ể
m M và N sao cho B
/
M = CN = x ( 0
≤
x
≤
a ).
Ch
ứ
ng minh AM
⊥
CN.
10.
(
Bài 6 trang 60 SGK HH 12
): Cho hình h
ộ
p ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có c
ạ
nh b

ằ
ng a. G
ọ
i
M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD và DD
/
; G,

G
/
l
ầ
n l
ượ
t là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a các t
ứ

di
ệ
n A
/
D
/
MN
và BCC
/
D
/
. Ch
ứ
ng minh
đườ
ng th
ẳ
ng GG
/
song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABB
/
A
/
).

11
. (
Bài 7 trang 60 SGK HH 12
): Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD; P và Q l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a AB và CD; Hai
đ
i
ể
m M; N l
ầ
n l
ượ
t chia 2
đ
o
ạ

n th
ẳ
ng BC và AD theo cùng t
ỷ
s
ố
k. Ch
ứ
ng
minh b
ố
n
đ
i
ể
m P, Q, M, N cùng thu
ộ
c m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng.
12
:(
Bài 9 trang 106 SGK HH 12
): Cho t
ứ
di

ệ
n OABC có các tam giác OAB;OBC; OAC là các tam
giác vuông t
ạ
i
đỉ
nh 0; G
ọ
i
α
,
β
,
γ
là các góc l
ầ
n l
ượ
t h
ợ
p b
ở
i các m
ặ
t
ph
ẳ
ng (OBC); (OCA); (OAB) v
ớ
i m

ặ
t ph
ẳ
ng (ABC). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a. Tam giác ABC có 3 góc nh
ọ
n.
b. cos
2
α
+ cos
2
β
+ cos
2
γ
= 1
13
:(
Bài 6 trang 112 SGK HH 12
): ho hình l
ậ
p ph
ươ
ng: ABCD.A
/

B
/
C
/
D
/
có c
ạ
nh b
ằ
ng a.
a. CMR
đườ
ng chéo A
/
C vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng ( AB
/
D
/
).
b. CMR giao
đ
i
ể

m c
ủ
a
đườ
ng chéo A
/
C và m
ặ
t ph
ẳ
ng ( AB
/
D
/
) là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam
giác AB
/
D
/
.
c. Tìm kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai m
ặ

t ph
ẳ
ng ( AB
/
C
/
) và ( C
/
BD )
d. Tìm cosin c
ủ
a góc t
ạ
o b
ở
i hai m
ặ
t ph
ẳ
ng ( DA
/
C
/
) và ( ABB
/
A ).
14
:(
Bài 7 trang 112 SGK HH 12
): Cho hình l

ậ
p ph
ươ
ng ABCD A
/
B
/
C
/
D
/
c
ạ
nh a. Các

đ
i
ể
m M thu
ộ
c AD
/
và N thu
ộ
c DB sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a
2
).
a. Tìm k
để
MN ng

ắ
n nh
ấ
t.
b. CMR MN luôn song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng ( A
/
D
/
CB ) khi k bi
ế
n thiên.
c. Khi MN ng
ắ
n nh
ấ
t, CMR MN là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a AD
/
và DB, và MN
song song v
ớ

i A
/
C.
15
: Cho hình l
ă
ng tr
ụ
tam giác
đề
u ABC.A
1
B
1
C
1
có các c
ạ
nh
đề
u b
ằ
ng a. Trên AB
1
và
BC
1
l
ấ
y hai

đ
i
ể
m M và N sao cho MN
⊥
AB và MN =
3
a
. Tìm t
ỉ
s
ố
M chia
đ
o
ạ
n
th
ẳ
ng AB
1
và t
ỉ
s
ố
N chia
đ
o
ạ
n th

ẳ
ng BC
1
.
17
: C
ạ
nh c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
b
ằ
ng a. M
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng

đ
i qua D
1
song
v
ớ
i DA
1
và AB
1
, c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng BC
1
t
ạ
i M. Tính
độ
dài D
1
M.
18
: Cho hình l
ậ
p ph
ươ

ng ABCD A
/
B
/
C
/
D
/
c
ạ
nh a.trên
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng BD và AD
/
l
ầ
n l
ượ
t l
ấ
y
2
đ
i
ể
m thay

đổ
i M và N, sao cho DM = AN = x ( 0
≤
x
≤
a
2 ). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng MN
luôn song song v
ớ
i m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ố

đị
nh.
19
: Cho l
ă
ng tr
ụ

đứ
ng ABC.A’B’C’ có
đ
áy ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i A. G
ọ
i M và
N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC và CC’, góc gi
ữ
a AB và m
ặ
t ph
ẳ
ng (AMN) b
ằ
ng 30
0
;
Kho

ả
ng cách t
ừ
A
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (AMN) là 2. Tính th
ể
tích c
ủ
a l
ă
ng tr
ụ
.
20:
Cho hình h
ộ
p ch
ữ
nh
ậ
t ABCD.A’B’C’D’ c
ạ
nh AB = AD = 2 ; AA’ = 3.
G
ọ

i M ; N ; K l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m các c
ạ
nh AA’; AD; AB.
Đ
i
ể
m P thu
ộ
c BB’ sao
cho BP = 1.
a. Xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (MNK) và m
ặ
t ph
ẳ

ng (A’DP) .
b. Hình chi
ế
u c
ủ
a D’P trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (MNK) c
ắ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) t
ạ
i I, tính
kho
ả
ng cách t
ừ
I
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (A’DP) .
21

: Cho m
ặ
t ph
ẳ
ng ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, AD = 2, AA’ = 3 , E là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a AA’. Tìm hai
đ
i
ể
m M, N thu
ộ
c hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB’và AD sao cho AMN là
m
ộ
t tam giác cân và b
ố
n
đ
i
ể

m M , N , C , E cùng thu
ộ
c m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng.
22
: Cho hình chóp tam giác S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a g
ọ
i O là tâm

đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC, H là tr
ự
c tâm tam giác SBC. Ch
ứ
ng minh OH

vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC).
23
: T
ứ
di
ệ
n S.ABC , ABC là tam giác vuông cân
đỉ
nh B, AB = a, SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(ABC). G
ọ
i (Q) là m
ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c

ủ
a SB, O là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, (d) là
đườ
ng
th
ẳ
ng
đ
i qua O và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC). D
ự
ng giao di
ệ
n
đ
i
ể
m K c
ủ

a (d)
và m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q). Tính 0K.

24
: Cho hình chóp t
ứ
giác S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a. C
ạ
nh bên
SA = a và vuông góc v
ớ
i
đ
áy ABCD. D
ự
ng
đườ
ng vuông góc chung và tính kho
ả
ng
cách gi
ữ

a AB và SC.
25
:(
Đ
HC
Đ
- A- 2002): Cho hình chóp tam giác
đề
u S.ABC
đỉ
nh S, có
độ
dài c
ạ
nh b
ằ
ng a.
G
ọ
i M và N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m các c
ạ
nh SB và SC. Tính theo a di

ệ
n tích tam giác
AMN, bi
ế
t r
ằ
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (AMN) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBC).
26
:(
Đ
HC
Đ
- B- 2002): Cho hình l
ậ
p ph
ươ
ng ABCD.A
1
B
1

C
1
D
1
có c
ạ
nh b
ằ
ng a.
a. Tính theo a kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng A
1
B và B
1
D.
b. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ

i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh A
1
B; CD; A
1
D
1
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng
th
ẳ
ng MP và C
1
N.

27
:(
Đ
HC
Đ
- B- 2003): Cho hình l
ă

ng tr
ụ

đứ
ng ABCD. A
/
B
/
C
/
D
/
có
đ
áy ABCD là m
ộ
t hình
thoi c
ạ
nh a, góc BAD = 60
0
. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c

ạ
nh AA
/
và N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
c
ạ
nh CC
/
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng 4
đ
i
ể
m B
/
, M, D, N cùng thu
ộ
c m
ộ
t m
ặ

t ph
ẳ
ng. Hãy tính
độ

dài c
ạ
nh AA
/
theo a
để
t
ứ
giác B
/
MDN là hình vuông.
……………………