Công thức nghiệm pt bậc 2

KIỂM TRA BÀI CŨ
Giải phương trình
2
2 8 6 0x x− + =
Hướng dẫn
2
2 8 6 0x x− + =
2
4 3 0x x− + =
⇔
2
4 3x x− = −
2
4 4 3 4x x− + = − +
( )
2
2 1x − =
( )
2 1x − = ±
2 1
2 1
x
x
− =


− = −

3

1
x
x
=


=

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Vậy phương trình có hai nghiệm
1 2
1, 3x x= =

Liệu có cách nào khác để
giải phương trình bậc
hai một ẩn nhanh hơn
hay không?

Tiết52:
Đ
4
Công thức nghiệm của
phương trình bậc hai
44

§4 C«ng thøc nghiÖm cña
ph ¬ng tr×nh
bËc hai
Tiết:52
1. Công thức nghiệm.
Xét phương trình
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
4 4
4
(1)
2 4
ax bx c o ax bx c
b c b b c b
x x x x
a a a a a a
b b ac
x
a a
+ + = ⇔ + = −
⇔ + = − ⇔ + + = − +
−
 
⇔ + =
 ÷
 

2
0( 0)ax bx c a+ + = ≠

Đặt:
2
4b ac∆ = −
Khi đó:
( )
2
2
1 (2)
2 4
b
x
a a
∆
 
⇔ + =
 ÷
 
Nếu thì từ PT(2) suy ra:……………
0∆ >
Nếu thì từ PT(2) suy ra:………………
0∆ =
Nếu thì từ PT(2) suy ra:……………….
0∆ <
2 2
b
x
a a

∆
+ = ±
PT(1) có hai nghiệm:
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
PT(1) có nghiệm kép:
1 2
2
b
x x
a
= = −
0
2
b
x
a
+ =
Vô nghiệm

2
0( 0)ax bx c a+ + = ≠
2
4b ac∆ = −

0∆ >
0∆ =
0∆ <
Phương trình
có hai
nghiệm phân
biệt
Phương
trình có
nghiệm
kép
Phương
trình vô
nghiệm
1
2
2
2
b
x
a
b
x
a
− + ∆
=
− − ∆
=
1 2
2

b
x x
a
= = −

Hoá ra công thức giải
phương trình bậc hai
là vậy!

2. áp dụng.
Ví dụ: Giải phương trình:
2
3 5 1 0x x+ − =
Giải
Phương trình có hệ số là: a = 3, b = 5, c = -1
Tính:
2
4b ac∆ = −
( )
2
5 4.3. 1 25 12 37∆ = − − = + =
Do
0∆ >
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
5 37 5 37
;
6 6
x x
− + − −

= =

CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bước 2: Tính biệt số
∆
Bước 3: Xét biệt số
Từ đó xác định
nghiệm
∆
của phương trình theo công thức
và kết luận.

Bài toán: Giải các phương trình sau
2
2
2
,5 2 0
, 3 5 0
, 4 4 1 0
a x x
b x x
c x x
− + =
− + + =
− + =
Giải
2
5 2 0x x− + =

a, Xét phương trình
có:
( )
2
1 4.5.2 1 40 39 0∆ = − − = − = − <
Vậy phương trình vô nghiệm

b, Xét phương trình:
2
3 5 0x x− + + =
có
( )
2
1 4. 3 .5 1 60 61 0∆ = − − = + = >
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
1 61 1 61 1 61 1 61
;
6 6 6 6
x x
− + − − − +
= = = =
− −
c, Xét phương trình:
2
4 4 1 0x x− + =
có
( )
2
4 4.4.1 16 16 0∆ = − − = − =

Vậy phương trình có nghiệm kép
1 2
4 1
2.4 2
x x
−
= = − =

Chú ý
Nếu phương
trình
2
0( 0)ax bx c a+ + = ≠
có a và c trái dấu tức là ac < 0 thì
2
4 0b ac∆ = − >
Khi đó phương trình có hai nghiệm
phân biệt

Bài tập: Cho phương trình
Xác định m để phương trình có hai nghiệm
phân biệt, nghiệm kép, vô nghiệm
2
2 1 0x x m+ + − =
Giải
Xét phương trình:
2
2 1 0x x m+ + − =
có
( )

2
2 4.1. 1 8 4m m∆ = − − = −
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
0 8 4 0 4 8 2m m m∆ > ⇔ − > ⇔ < ⇔ <
Phương trình có nghiệm kép khi
0 8 4 0 2m m∆ = ⇔ − = ⇔ =
Phương trình vô nghiệm khi
0 8 4 0 4 8 2m m m∆ < ⇔ − < ⇔ > ⇔ >