ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

GIAỈ TÍCH NC LỚP 12
Tiết 61:
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ðỂ TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (tiết 2)
( GV soạn: Nguyễn ðình Hoàng
−
−−
−
Xuctu.com )
I.Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Giúp học sinh :
Hiểu các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñồ thị hàm số và hai ñường thẳng vuông góc với
trục hoành.
+ Về kĩ năng: Giúp học sinh
- Vẽ ñược ñồ thị các hàm số
- Ghi nhớ vận dụng ñược các công thức trong bài vào việc giải các bài toán cụ thể.

+ Về tư duy và thái ñộ:
- Biết vận dụng các phương pháp tính tích phân ñể tính diện tích.
- Biết nhiều cách giải về bài toán diện tích.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên: Giáo án, bài dạy trên chương trình Sketchpad phiếu học tập
+ Học sinh: ðọc trước sgk , ñồ dùng ñể học theo nhóm…
III. Phương pháp dạy học:
Trực quan, phân tích ñi lên.
IV. Bài học:

Hoạt ñộng 1: Kiểm tra kiến thức cũ:
tg Hoạt ñộng của GV Hoạt ñộng của HS Ghi bài

5'

1/ Nêu công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] , trục hoành và hai
ñường thẳng x = a , x = b.

2/ Áp dụng: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm
số: y = 4 − x
2
; trục hoành ; trục tung và ñường thẳng x = 3.


∫
=
b
a
dx)x(fS

3
23
dxx4S
3
0
2
=−=
∫


ðặt vấn ñề: Trong tiết trước ta ñã học cách tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] ,
trục hoành và hai ñường thẳng x = a , x = b. Bây giờ nếu thay trục hoành bằng một ñường cong y = g(x) thì ta có thể tính diện tích S
bằng công thức nào? ðây là nội dung của bài học hôm nay.

II. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ðỒ THỊ HÀM SỐ:

Hoạt ñộng 2: Công thức tính:
Tg

Hoạt ñộng của GV Hoạt ñộng của HS Ghi bài







10'

+ Cho hàm số: y= f(x) và y= g(x) liên tục trên [a,b]

H1: Giả sử f(x) ≥ 0 ; g(x) ≥ 0 và f(x) > g(x) trên [a;b]
Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị
y = f(x) , y= g(x) và 2 ñường thẳng x=a , x=b.
GV minh họa trên màn hình

H2: Giả sử f(x) ≥ 0 ; g(x) ≤ 0 trên [a;b]
Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị
y = f(x) , y= g(x) và 2 ñường thẳng x=a , x=b.
GV minh họa trên màn hình
Giới thiệu công thức tổng quát ñể tính diện tích.

a/

[ ]
∫
∫∫
−=
−=
b
a
b
a
b
a
dx)x(g)x(f
dx)x(gdx)x(fS

b/

[ ]
∫
∫∫
∫∫
−=
−=
+=
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx)x(g)x(f
dx)x(gdx)x(f
dx|)x(g|dx)x(fS




1/ Công thức tính:

Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi ñồ thị các hàm số: y = f(x)
y= g(x) liên tục trên [a;b] và 2
ñường thẳng x=a , x=b là:

∫
−=
b
a
dx)x(g)x(fS


g(x)
f(x)
x
y
(C2)
(C1)
O
a
b

Hoạt ñộng 3: Ví dụ

10'


Ví dụ 1:
H1: Hình phẳng cần tìm chưa thoả mãn các ñiều kiện
của công thức tính. Cần phải tìm thêm các yếu tố nào ?




H2: Cách tìm các cận của tích phân ?






H3: Vẽ (P1) và (P2).




H4: Diện tích cần tính ñược giới hạn bởi các ñường
nào

+ Cận của tích phân



+ Phương trình hoành ñộ giao ñiểm
của hai parabol.

x
2
−4 = −x
2
− 2x ⇔ 2x
2
+2x − 4 = 0
⇔ x = 1 , x = −2.



2/ Ví dụ: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bở
i hai parabol
y= x
2
−4 (P1)
và y= −x
2
− 2x (P2)

Giải:
Phương trình hoành ñộ giao
ñiểm của (P1) và (P2) là:
x
2
−4 = −x
2
− 2x
⇔ 2x
2
+2x − 4 = 0
⇔ x = 1 , x = −2.
Nên diện tích hình phẳng cần
tìm là:



H5: Nêu công thức tính




Chú ý: Ta có thể dựa vào hình vẽ ñể viết công thức
tính diện tích mà không cần dấu giá trị tuyệt ñối.
P2
y
x

1
-1 2
S - 4
I
-2
O




[ ]
9dx)4x()x2x(S
1
2
22
=−−−−=
∫
−


9dx)x2x24(
dx|4x2x2|S
1
2
2
1
2
2
=−−=
−+=

∫
∫
−
−

























15'

Ví dụ 2: Hoạt ñộng nhóm (4 nhóm)

Diện tích hình phẳng ñược xác ñịnh bởi 3 ñồ thị hàm
số nên ñể ñưa về 2 công thức ñã học ta phải vẽ ñồ thị
các hàm số ñã cho

Cho HS vẽ hình theo nhóm

GV kiểm tra hình vẽ nhận xét và cho các nhóm tính
diện tích hình phẳng theo yêu cầu.


Nhận xét cách tính của từng nhóm.






x
y
1
3
y = -
x
2
+
3

2
y = x
3
-1
2
1
-1
2
D
B
A
O
C


Ví dụ 2:

Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi ñồ thị hàm số:
y = x
3
(C) , ñường thẳng :

2
3
2
x
y +−=
(∆) và trục Ox.

Phương trình hoành ñộ giao
ñiểm của (C) và ñường thẳng
∆ là:
0
2
3
2
x
x
3
=−+
⇔ x = 1.
Dựa vào hình vẽ ,diện tích cần

tìm là:


Hướng dẫn HS tính theo 2 cách:

C1: Diện tích cần tính là tổng diện tích của hình thang
cong OCA và của ∆ABC.

Minh hoạ trên màn hình


C2: Diện tích cần tính là hiệu của diện tích tam giác
ODB và hình thang cong ODA.


Minh hoạ trên màn hình.

H1: Ngoài hai cách tính trên em nào có cách tính
khác


Gợi ý bằng cách minh hoạ trên màn hình: Xoay hình
vẽ 1 góc 90
0
và hỏi:






Diện tích hình phẳng cần tìm ñược giới hạn bởi các
ñường nào?




4
5
1.2.
2
1

4
x
SxS
1
0
4
ABC
1
0
3
=+=+=
∆
∫








4
5
1
4
9
dx)x
2
3
2

x
(SS
1
0
2
ODC
=−=
−+−−=
∫
∆

y
1
x
3
2
B
D
C
1
A
O


+ ðường thẳng ∆ , ñường cong (C)
và hai ñường thẳng y=0 , y= 1
+
3
3
yxxy =⇔=

4
5
dx)
2
3
2
x
(dxxS
3
1
1
0
3
=
+−+=
∫∫



NHẬN XÉT:

1/ ðể tính diện tích các hình
phẳng phức tạp (trên 3 ñồ thị
hàm số) , ta vẽ hình và chia
hình ñã cho thành một số hình
ñơn giản mà ta ñã có công
thức tính diện tích.

2/ Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi các ñường cong
x=g(y) , x=h(y) (g,h liên tục
trên [c;d] và hai ñường thẳng
y=c , y=d là:
H2: Viết lại ñường cong (C) và ñường thẳng (∆) là
hàm số theo biến y .



H3: Công thức tính thể tích?
+
y23x
2
3
2

x
y −=⇔+−=



( )
4
5
)y
4
3
yy3(
dyyy23S
1
0
3
42
1
0
3
=−−=
−−=⇒
∫



∫
−=
d
c

dy)y(h)y(gS



V. Củng cố và bài tập về nhà: (5')

A. Củng cố:
1/ Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] , trục hoành và hai ñường thẳng x = a , x = b
là:
∫
=
b
a
dx)x(fS

2/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị các hàm số: y = f(x) y= g(x) liên tục trên [a;b] và 2 ñường thẳng x=a , x=b là:

∫
−=
b
a
dx)x(g)x(fS

B. Bài tập về nhà:
Phần 1: Các bài tập 26,27,28 sách giáo khoa nâng cao trang 167
Phần 2: Các bài tập SGK cơ bản:
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
a. y = | lnx | và y = 1.
b. y = x
2

+1 (P) , tiếp tuyến với (P) tại M(2;5) và trục Oy.
c. y =
2
x12 −
và y = 2(1 −x)
2/ Parabol y =
2
x
2
chia hình tròn có tâm là gốc toạ ñộ và bán kính là
22
thành hai phần. Tính tỷ số thể tích hai phần ñó







Huế ,ngày 16 tháng 11 năm 2009
GV soạn: Nguyễn ðình Hoàng −
−−
− Trường THPT Nguyễn Huệ