Đề Toán 11 KT HK II số 1

Đề thi học kỳ 2
Môn : Toán
Thời gian : 90 phút
A . Phần chung (6 điểm) :
Câu 1(1,5 điểm) : Tìm các giới hạn của các hàm số sau :
a)
2
2
5 6
lim
2 4
x
x x
x
+
→
+ −
−
b)
2
1
2 3
lim
1
x
x
x
→
− +
−
c)

2
lim ( 4 5 2 2 )
x
x x x
→+∞
− − −
Câu 2 (1,5 điểm) : Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a)
3
4
4
5 6 2
3
x
y x x= − + −
b)
2 1
1
x
y
x
+
=
−
c)
3
sin (3 5)y x= +
Câu 3 (1 diểm) :
Chứng minh rằng phương trình sau
4 2

4 2 2 0x x x
+ − − =
có ít nhất 2 nghiệm
Câu 4 (2 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông , SA
⊥
(ABCD) .
a) Chứng minh (SAC)
⊥
(SBD)
b) Chứng minh AD
⊥
SB
B . Phần riêng (dành cho cơ bản ) (4 điểm ) :
Câu 1(2 điểm ) :
Cho hàm số
3 2
( ) 2 6 1y f x x x= = + −
có đồ thị (C)
a) Tìm x để
,
3
y
> 6
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có
hoành độ bằng -1
Câu 2 (1 điểm):
Cho hàm số :

2

( )
6 8
2
3 4
f x
x x
x
a


=



− +
−
+

Tìm a để hàm số liên tục tại x=2
Câu 3 (1 điểm) :
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bằng a , có góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng
60
o
. Tính độ dài đường cao của hình chóp .
Đáp án
Câu 1 : Tìm các giới hạn sau :
a)
2
2

5 6
lim
2 4
x
x x
x
+
→
+ −
= +∞
−
vì
2
2
lim( 5 6) 8
x
x x
+
→
+ − =

2
lim(2 4) 0
x
x
+
→
− =
2x-4>0
x∀

>2
b)
2
1
2 3
lim
1
x
x
x
→
− +
−
2
1
(2 3)(2 3)
lim
( 1)(2 3)
1
lim
( 1)(2 3)
1
8
x
x
x x
x x
x x
→
→∞

− + + +
=
− + +
−
=
− + +
−
=
c)
2
lim ( 4 5 2 2 )
x
x x x
→+∞
− − −
2 2
2
2
( 4 5 2 2 )( 4 5 2 2 )
lim
4 5 2 2
5 2
lim
4 5 2 2
5
4
x
x
x x x x x x
x x x

x
x x x
→+∞
→+∞
− − − − − +
=
− − +
− −
=
− − +
−
=
Câu 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3
4
4
5 6 2
3
x
y x x= − + −
' 4 2
20 4 3y x x x= − +
b)
2 1
1
x
y
x
+

=
−
' '
'
(2 1) 1 (2 1)( 1 )
1
2 5
2 1 (1 )
x x x x
y
x
x
x x
+ − − + −
=
−
− +
=
− −
c)
3
sin (3 5)y x= +
[ ]
'
' 2
2
3sin (3 5) sin(3 5)
9sin (3 5) os(3x+5)
y x x
x c

= + +
= +
Câu 3:
Đặt f(x)=
4 2
4 2 2x x x
+ − −
là hàm số liên tục trên R
Ta có f(-1) = 5
f (0) = - 2
f (1) = 3
suy ra f(-1) .f (0) < 0
f (0) . f (1) < 0
Vậy phương trình trên có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng ( -1; 1)
Câu 4 :
a)Ta có :
BD
⊥
AC (BD,AC là 2 đường chéo hv ABCD)
BD
⊥
SA (SA
⊥
(ABCD))
Mà AC, SA
⊂
(SAC)
Suy ra BD
⊥
(SAC)

Vậy (SAC)
⊥
(SBD)
c) Ta có AD
⊥
AB
AD
⊥
SA
Mà AB,SA
⊂
(SAB)
Suy ra AD
⊥
(SAB)
Vậy AD
⊥
SB
B. Phần riêng :
Câu 1 :
a)
, 2
,
2
6
1
6 12
6 2 4 6 0
3
x

x
y x x
y
x x
<−
>
= +
> ⇔ + − >

⇔

Vậy nghiệm của bất phương trình là x<-6 hoặc x>1
b) Ta có
0
0
,
1
3
( 1) 6
x
y
y
= −
=
− = −
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại x= -1là y = -6x-3
Câu 2 :
Ta có
2
2 2

6 8
lim ( ) lim 2
2
(2) 3 4
x x
x x
f x
x
f a
→ →
− +
= = −
−
= +
Để hàm số liên tục tại x=2 thì
A
S
B
C
D
2
lim ( ) (2)
2 3 4
2
x
f x f
a
a
→
=

⇔ − = +
⇔ = −
Vậy với a=-2 thì hàm số liên tục tại x=2