Đề Toán 11 KT HK II số 2

KIỂM TRA HỌC KÌ II
MÔN: TOÁN 11(Thời gian 90 phút)
ĐỀ II
I. PHẦN CHUNG(6 điểm):
Câu 1. (1,5đ):Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)
1
2 2 3 1
lim
1
x
x x
x
→
+ − +
−
; b)
5
2 4
lim
5
x
x
x
+
→
+
−
; c)
2
lim ( 2 4 )

x
x x x
→+∞
+ + −

Câu 2. (1,5đ)Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
10
8 2 3 os3xy x x c= − −
; b)
1x
y
x
+
=
; c)
10
os (3 4)y c x= −
.
Câu 3.(1đ): Chứng minh phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
3 2
4 2 0x x+ − =
Câu 4.(2đ): Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), ABCD là hình vuông.Chứng
minh rằng: a. AB
⊥
SD; b. (SAC)
⊥
(SBD).

II. PHẦN RIÊNG (4 điểm):
A. Dành cho ban cơ bản :
Câu 1. (1đ): Cho hàm số
3
6 2y x x= − +
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số trên tại điểm có hoành độ 3.
Câu 2. (1đ): Cho hàm số
3 2
1
4 3 5
3
y x x x= − + +
. Giải bất phương trình
' 12y <
.
Câu 3. (1đ): Cho h àm s ố:
2
7 10
i x 2
( )
2
4 khi x =2
x x
kh
f x
x
a

− +

≠

=
−


−

Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2.
Câu 4. (1đ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy
là 60
0
, AB = a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
B. Dành cho ban khoa học tự nhiên:
Câu 1.(1 đ)Cho hàm số
4
5 4y x x= − +
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng
9 2y x= − +
Câu 2. (1đ)Tìm đạo hàm cấp n của y = sin (2x + 4)
Câu 3. (1 đ) Cho hàm số.
3
2
8
2
2 2
20 8 2
5 52 2
x

khi x
x
y x khi x
a a khi x

−
>

+ −


= + <


− + =



. Tìm a để hàm số liên tục trên R
Câu 4. (1 đ) Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), SA = a. ABCD là hình vuông cạnh
2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB
Hết
(Học sinh không được sử dụng tài liệu
Đáp án
I. PHẦN CHUNG(6 điểm):
Câu 1.(1,5đ): Tính các giới hạn sau:
( )
( )

( )
1 1
1
1
2 2 3 1 1 1
a)lim lim lim
1 4
2 2 3 1
1 2 2 3 1
x x
x
x
x x
x
x x
x x x
→ →
→
− −
+ − + − −
= = =
−
+ + +
− + + +
( ) ( )
5 5 5
2 4
) lim . lim 2 4 10 4 14 0; lim 5 0.
5
5 0 5;

x x x
x
b A x x
x
x x A
+ + +
→ → →
+
= + = + = > − =
−
− > ∀ > = +∞


2 2
2
2
2
2
( 2 4 )( 2 4 )
) lim ( 2 4 ) lim
( 2 4 )
4
2
2 4 2
lim lim 1
2
2 4
2 4
1 1
x x

x x
x x x x x x
c x x x
x x x
x
x
x x x
x x
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
+ + − + + +
+ + − =
+ + +
+
+
= = = =
+ + +
+ + +

Câu 2.(1,5đ): Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
10
' 9
) 8 2 3 os3x
1
y 80 9sin3x
2
a y x x c
x
x
= − −

= − +

' '
'
2
2
2
1 ( 1) ( 1) ( )
) ;
1
1
-x-2
2 1
= =
2x 1
x x x x x
b y y
x x
x x
x
x
x
+ + − +
= =
− +
+
+


10

' 9
) os (3 4)
30 os (3 4)sin(3 4)
c y c x
y c x x
= −
= − − −
Câu 3. (1đ):
Đặt
3 2
( ) 4 2f x x x= + −
TXĐ D =
¡
f(x) liên tục trên
¡
nên liên tục trên các đoạn [-1;0] và [0;1]
Ngoài ra f(-1) f(0) < 1.(-2) = -2 < 0 và f(0) f(1) < - 2.3 = - 6 < 0 do đó pt
3 2
4 2 0x x+ − =
có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1;0) và có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0 ; 1)
Vậy pt đã cho có ít nhất 2 nghiệm.
Câu 4(2đ):
A
D
B
C
S

a) ta có: AB
⊥

SA (SA
⊥
(ABCD))
và AB
⊥
AD (ABCD là hình vuông) nên AB
⊥
(SAD) mà SD
⊂
(SAD)
vậy AB
⊥
SD
b)Ta có : BD
⊥
AC (ABCD là hình vuông)
và BD
⊥
SA (SA
⊥
(ABCD))
nên BD
⊥
(SAC). mà BD
⊂
(SBD)
Từ đó suy ra (SBD)
⊥
(SAC).
II. PHẦN RIÊNG(4 điểm):

A. Dành cho ban KHTN:
Câu 1.(1 đ)Cho hàm số
4
5 4y x x= − +
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng
9 2y x= − +
3
' 4 5y x= −
3 3
0 0 0
4 5 9 4 4 1x x x− = − ⇔ = − ⇔ = −
( )
0 0
1 10
: 9 1 10 9 1
x y
pttt y x y x
= − ⇒ =
= − + + ⇔ = − +
Câu 2. (1 đ)
( )
2 .sin 2 4
2
n
n
y x n
π
 
= + +

 ÷
 
Câu 3. (1 đ)
TH1: x > 2
3
8
2 2
x
Y
x
−
=
+ −
Hàm số xác định trên
( )
2;+∞
nên hàm số liên tục trên
( )
2;+∞
TH2: x < 2
20 8Y x= +
Hàm số xác đinh trên
( )
;2−∞
nên hàm số liên tục trên
( )
;2−∞
TH3: Tại x = 2.
Ta có f(2) = a
2

– 5a + 52.
( )
( )
( ) ( )
3
2
2
2 2
2 2
8
lim lim lim 2 4 ( 2 2) 48
2 2
lim lim 20 8 48
x
x x
x x
x
f x x x x
x
f x x
+ +
− −
→ +
→ →
→ →
−
= = + + + + =
+ −
= + =
Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số

liên tục tại x =2
2
5 52 48 1 4a a a a⇔ − + = ⇔ = ∨ =
Câu 4. (1 đ)
Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), ABCD là hình vuông. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC và SB
D
C
B
S
A
E
N
H
6
( , ) ( ,( )) ( ,( ))
3
d AC SB d AC SEB d A SEB AH a= = = =
B. Dành cho ban cơ bản:
Câu 1. (1đ):
Cho hàm số
3
6 2y x x= − +
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ 3
2
' 3 6y x= −
0 0
3 11, '(3) 21x y f= ⇒ = =

PTTT:
21( 3) 11
21 52
y x
y x
= − +
⇔ = −
Câu 2. (1đ):
Cho hàm số
3 2
1
4 3 5
3
y x x x= − + +
2 2
2
' 8 3. ' 12 8 3 12
8 9 0
1 9
y x x y x x
x x
x
= − + < ⇔ − + <
⇔ − − <
⇔ − < <
Câu 3. (1đ):

2
7 10
i x 2

( )
2
4 khi x =2
x x
kh
f x
x
a

− +
≠

=
−


−

TXD D =R.
Ta có f(2) = 4 – a.
( )( )
( )
( )
2
2 2 2
2 5
7 10
lim lim lim 5 3
2 2
x x x

x x
x x
x
x x
→ → →
− −
− +
= = − =−
− −
Hàm số liên tục tại x =2
4 3 7a a
⇔ − = − ⇔ =
Câu 4. (1đ):
O
A
C
B
S
N

Hết
Ta có góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy là 60
0

nên:
¼
0
60SAO =
d(S,(ABC)) = SO = AO.tan60
0

0
2 2 3
tan 60 . 3
3 3 2
AN a a= = =