ly thuyet 3 duong tiem can

Gv: Traàn Quoác Nghóa 1
Bài 3. Phương trình đường thẳng
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình của đường thẳng.
• Phương trình tham số của đường thẳng :
 Đường thẳng
∆
đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và có vectơ chỉ phương
=
1 2 3
( ; ; )a a a a
r
, có phương trình tham số là :
= +


= + ∈ + + ≠


= +

0 1
2 2 2
0 2 1 2 3
0 3

( ), ( 0 )
x x a t
y y a t t R a a a
z z a t
 Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị tương ứng là tọa độ
của một điểm M thuộc đường thẳng.
• Phương trình chính tắc của đường thẳng :
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính
tắc của đường thẳng
∆
là:
− − −
= = ≠
0 0 0
1 2 3
1 2 3
( . . 0 )
x x y y z z
a a a
a a a
• Đường thẳng
∆
là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (
β
) :
(α): A
1
x + B
1
y + C

1
z + D
1
= 0 có vtpt
=
1 1 1 1
( ; ; )n A B C
r
(
β
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0 có vtpt
=
2 2 2 2
( ; ; )n A B C
r
 Điểm M (x ; y ; z)
∈

∆

⇔
Tọa độ M thỏa hệ phương trình :

+ + + =

≠

+ + + =

1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
0
(1) ( : : : : )
0
A x B y C z D
A B C A B C
A x B y C z D
 Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên
∆
.
 Khi đó
∆
có một vectơ chỉ phương là:
[ ]
 
= =
 ÷
 
1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2
, ; ;

B C C A A B
a n n
B C C A A B
r r r
 Thường kí hiệu đường thẳng
∆
:
+ + + =


+ + + =

1 1 1 1
2 2 2 2
0
:
0
A x B y C z D
A x B y C z D
∆
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng:
∆
1
đi qua A và có vectơ chỉ phương
a
r
.
∆
2

đi qua B và có vectơ chỉ phương
b
r
.
Ta có các trường hợp sau:
Hình học 12 – Hình giải tích 2
•
∆
1
và
∆
2
cùng nằm trong một mp
⇔
[
a
r
,
b
r
].
AB
uuur
= 0
•
∆
1
và
∆
2

cắt nhau
⇔


 
=
 

 
≠

 

, . 0
, 0
a b AB
a b
uuur
r
r
r
r
r
•
∆
1
và
∆
2
song song với nhau

⇔


 
≠

 

 
=

 

, 0
, 0
a AB
a b
uuur
r
r
r
r
r
•
∆
1
và
∆
2
trùng nhau

⇔


 
=

 

 
=

 

, 0
, 0
a AB
a b
uuur
r
r
r
r
r
•
∆
1
và
∆
2
chéo nhau

⇔
[
a
r
,
b
r
].
AB
uuur
≠ 0
• Nếu
= +


= +


= +

1 1 1
1 1 2 1
1 3 1
:
x x a t
y y a t
z z a t
∆
và
= +



= +


= +

2 1 2
2 2 2 2
2 3 2
:
x x b t
y y b t
z z b t
∆
thì số giao điểm của
hai đường thẳng trên là số nghiệm của hệ :
+ = +


+ = +


+ = +

1 1 1 2 1 2
1 2 1 2 2 2
1 3 1 2 3 2
x a t x b t
y a t y b t

z a t z b t
 Hệ vô nghiệm
⇔

∆
1
và
∆
2
song song với nhau hoặc chéo nhau.
 Hệ có một nghiệm
⇔

∆
1
và
∆
2
cắt nhau
 Hệ có vô số nghiệm
⇔

∆
1
và
∆
2
trùng nhau
Gv: Traàn Quoác Nghóa 3
3. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

• Cho hai đường thẳng
= +


= +


= +

1 1 1
1 1 2 1
1 3 1
:
x x a t
y y a t
z z a t
∆
và
= +


= +


= +

2 1 2
2 2 2 2
2 3 2
:

x x b t
y y b t
z z b t
∆
thì :
có vectơ chỉ phương lần lượt là :
=
1 2 3
( ; ; )a a a a
r
và
=
1 2 3
( ; ; )b b b b
r
:
( )
( )
+ +
= = =
+ + + +
1 1 2 2 3 3
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos ; cos ;
.
.
a b

a b a b a b
a b
a b
a a a b b b
∆ ∆
r
r
r
r
r
r
Chú ý:
• Cho đường thẳng
= +


= +


= +

0
0
0
:
x x at
y y bt
z z ct
∆
có vectơ chỉ phương

= ( ; ; )u a b c
r

và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có vtpt
= ( ; ; )n A B C
r
:
( ) ( )
+ +
= = =
+ + + +
2 2 2 2 2 2
.
sin ;( ) sin ;
.
.
u n Aa Bb Cc
u n
u n
a b c A B C
∆ α
r r
r r
r r
4. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau.
• Cho đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0

(x
0
; y
0
; z
0
), có vectơ chỉ phương
1
∆
A
B
r
a
r
b
2
∆
A
B
r
a
r
b
1
∆
2
∆
A
B
r

a
r
b
1
∆
2
∆
A
B
r
a
r
b
1
∆
2
∆
1 2
( )
∆ ∆
≡
1 2
( // )
∆ ∆
1 2
( )
∆ ∆
cheùo
1 2
( )

∆ ∆
caét
≤ ≤
0 0
1 2
0 ( ; ) 90
∆ ∆
Hình học 12 – Hình giải tích 4
=
1 2 3
( ; ; )a a a a
r
và điểm M
1
(x
1
; y
1
; z
1
). Khi đó :
( )
=
1 0
1
,
;
M M a
d M
a

∆
uuuuuur
r
r
• Cho hai đường thẳng
= +


= +


= +

1 1 1
1 1 2 1
1 3 1
:
x x a t
y y a t
z z a t
∆
và
= +


= +


= +


2 1 2
2 2 2 2
2 3 2
:
x x b t
y y b t
z z b t
∆
thì :
Trong đó
∆
1
đi qua M
1
và có vectơ chỉ phương
=
1 2 3
( ; ; )a a a a
r
và
∆
2
đi qua M
2
và có vectơ chỉ phương
=
1 2 3
( ; ; )b b b b
r
:

( )
 
 
=
 
 
1 0
1 2
, .
;
,
a b M M
d
a b
∆ ∆
uuuuuur
r
r
r
r
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. –Viết phương trình đường thẳng-
3.1 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp
sau:
a) Qua M(1 ; 2; 3) và có VTCP
r
a
= (1 ; – 4 ; – 5).
b) Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0).
c) Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – x + 5 = 0.

d) Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d:
1 2
3 3
4
= +


= − +


=

x t
y t
z t
.
Đs: a)
1
2 4
3 5
= +


= −


= −

x t
y t

z t
b)
1 2
2 2
3 3
= +


= − +


= −

x t
y t
z t
c)
2
1
3
= +


= − +


= −

x t
y t

z t
d)
2 2
3
3 4
= +


=


= − +

x t
y t
z t
3.2 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc
của d:
2
3 2
1 3
= +


= − +


= +

x t

y t
z t
lần lượt trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz).
Đs: a)
2
3 2
0
= +


= − +


=

x t
y t
z
b)
0
3 2
1 3
=


= − +


= +


x
y t
z t
c)
2
0
1 3
= +


=


= +

x t
y
z t

Gv: Traàn Quoác Nghóa 5
3.3 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song
với đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – 7 =0
và (β): x + 3y – 2z + 3 = 0.
Đs:
1 1 2
:
2 4 5
∆
− − −
= =

−
x y z
3.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba
điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của
đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α).
Đs:
:( 1 ; 2; 2 )
∆
= + = =x t y z
3.5 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song
với các mp (α): 6x + 2y + 2x + 3 = 0 và (β): 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
Đs:
1 4 2
:
1 3 6
∆
− − +
= =
−
x y z
3.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d:
1 1 2
2 1 3
+ − −
= =
x y x
và
mp (P): x – y – z – 1 = 0. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
∆ đi qua điểm A(1; 1; – 2), song song với (P) và vuông góc với d.
Đs:

1 1 2
:
2 5 3
∆
− − +
= =
− −
x y z
3.7 Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1),
B(–1; 2; 0) và C(2; –3; 2).
Đs:
1 3 6
:
3 1 7
∆
− + +
= =
− −
x y z
3.8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến
của hai mặt phẳng (α): 2x +y + z + 1 = 0, ( β): x +y + z + 2 = 0 và mặt
phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc
của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P).
Đs:
1 3
' :
4 5 6
∆
− +
= =

− −
x y z
3.9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường
thẳng d:
3 2
1
1 4
= − +


= −


= − +

x t
y t
z t
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt
và vuông góc với đường thẳng d.
Đs:
4 2 4
:
3 2 1
∆
+ + −
= =
−
x y z
Dạng 2. –Vị trí tương đối.

Hình học 12 – Hình giải tích 6
3.10 Xét vị trí tương đối của các của các cặp đường thẳng sau:
a) d:
12 4
9 3
1
= +


= +


= +

x t
y t
z t
và d′:
5 '
1 4 '
20 '
= +


= − −


= +

x t

y t
z t
Đs: d cắt d
′
b) d:
1
2
3
= +


= +


= −

x t
y t
z t
và d′:
1 2 '
1 2 '
2 2 '
= +


= − +


= −


x t
y t
z t
Đs: d // d
′
c) d:
1
2 2
3
= −


= +


=

x t
y t
z t
và d′:
1 '
3 2 '
1
= +


= −



=

x t
y t
z
Đs:d chéo d
′
d) d:
3
4
5 2
= −


= +


= −

x t
y t
z t
và d′:
2 3 '
5 3 '
3 6 '
= −



= +


= −

x t
y t
z t
Đs: d
≡
d
′
3.11 Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau:
a) d:
1
1 2
= +


=


= − +

x mt
y t
z t
và d′:
1 '
2 2 '

3 '
= −


= +


= −

x t
y t
z t
Đs: m = 0
b) d:
7 1 3
2 4 1
− − −
= =
−
x y z
m
và d′:
4 2
4 3 2
− +
= =
−
x y z
Đs:
103

13
=m
3.12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆:
1 2
4 3 1
− +
= =
x y z
và mặt
phẳng (α): mx + 3y – 5z + 1 = 0. Xác định m để ∆ cắt (α).
Đs: m ≠ –1
3.13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp(P): 2x – y + 2 = 0 và
đường thẳng d
m
là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α), (β) với:
(α): (2m + 1)x + (1–m)y + m – 1 = 0, (β): mx + (2m+1)z + 4m + 2 = 0
Định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
Đs:
1
2
= −m
3.14 Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 6y – 4z + 13 = 0 và đường thẳng d

đi qua A(2; 1; 0) và có vectơ chì phương
r
a
= (1; m; –2). Biện luận theo
m số giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng d.
Đs:
5 15
2 2
< ∨ >m m
: d không cắt (S).
5 15
2 2
= ∨ =m m
: d tiếp xúc (S).
5 15
2 2
< <m
: d cắt (S) tại 2 điểm.
Gv: Traàn Quoác Nghóa 7
3.15 Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình:
d
1
:
1 1 3
3 2 2
+ − −

= =
−
x y z
và d
2
:
1 3
1 1 2
− +
= =
x y z
a) Chứng minh d
1
và d
2
cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng.
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d
1
và d
2
.
Đs: a) M(2; 3; 1) b) 6x – 8y + z + 11 = 0
3.16 Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình:
d
1
:

5 2
1
5
= +


= −


= −

x t
y t
z t
và d
2
:
3 2 '
3 '
1 '
= +


= − −


= −

x t
y t

z t
a) Chứng minh d
1
và d
2
song song với nhau.
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d
1
và d
2
.
Đs: b) y – z + 4 = 0
3.17 Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình:
d
1
:
1 1 3
3 2 2
+ − −
= =
−
x y z
và d
2
:
1 3

1 1 2
− +
= =
x y z
c) Chứng minh d
1
và d
2
cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng.
d) Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa d
1
và d
2
.
Đs: a) M(2; 3; 1) b) 6x – 8y + z + 11 = 0
3.18 Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d
1
, d
2
:
d
1
:
3 1
1 2 3
− +
= =
−
x y z
và d

2
:
4 3
1 1 2
− −
= =
x y z
a) Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆ ⊂ (P) đồng thời cắt cả d
1
và d
2
.
Đs:
3 1 1
:
5 8 4
∆
− + −
= =
− −
x y z
3.19 Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d
1
, d
2

có phương trình:
d
1
:
1 2
3 1 1
− +
= =
x y z
và d
2
:
1
1
= −


= − +


=

x
y t
z t
Lập phương trình đ.thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.

Đs:
1 1
:
1 1 2
∆
− −
= =
−
x y z