Đề Toán 10 KT HK II số 14

KIỂM TRA HỌC KÌ II (2010-2011)
LỚP 10 NÂNG CAO
Thời gian: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (4 điểm)
Câu 1: Bất phương trình :
0
23
>++ xxx
có tập nghiệm là:
A. R B. (0; + ∞) C. (- ∞ ; 0) D. ∅
Câu 2: Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng ?
A.
1
1
1
<⇒



<
<
xy
y
x
B.
1
1
1
<⇒




<
<
y
x
y
x
C.
1
1
10
<⇒



<
<<
xy
y
x
D.
1
1
1
<−⇒




<
<
yx
y
x
Câu 3: Bất phương trình
12
2
+
−
x
x
≥ 0 có tập nghiệm là:
A. (
2
1−
; 2) B. [
2
1−
; 2] C. [
2
1−
; 2) D. (
2
1−
; 2]
Câu 4: Tập nghiệm của hệ bất phương trình






>+−
>+−
086
034
2
2
xx
xx
là:
A. (-∞;1) ∪ (3;+ ∞) B. (-∞;1) ∪ (4;+∞)
C. (-∞; 2) ∪ (3;+ ∞) D. (1;4)
Câu 5: Khi độ chênh lệch giữa các số liệu trong mẫu số liệu quá lớn thì đại lượng nào
thích hợp đại diện cho các số liệu trong mẫu ?
A. Số trung bình B. Số trung vị C. Mốt D. Độ lệch chuẩn
Câu 6: Điểm kiểm tra môn Toán của 41 học sinh lớp 10
1
được ghi trong bảng sau:
Điểm số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tần số 2 3 2 5 4 7 6 5 4 3
Số trung vị của dãy điểm Toán là:
A. M
e
= 6 B. M
e
= 7 C. M
e
= 5,95 D. M
e

= 5
Câu 7: Khi điều tra số hộ vay vốn(đơn vị triệu đồng) để xây nhà, người cán bộ tín dụng
thu được bảng số liệu sau đây:
Số tiền vay Tần suất (%)
[25;30)
[30;35)
[35;40)
[40;45)
30
10
40
20
100%
Hãy tìm số trung bình của số tiền (triệu đồng) mà các hộ trên đã vay ?
A. 32,5 B. 35 C. 37,5 D. Không xác định được
Câu 8: Trên đường tròn lượng giác, số các điểm xác định bởi
Ζ∈+ kk ,
56
ππ
là:
A. 5 B. 6 C.9 D. 10
1

Câu 9: Biết cosα < 0 và tanα < 0, hãy tính giá trị của biểu thức: P =
)sin(
)sin(2
πα
πα
+
+

.
A. -3 B. -2 C. -1 D. 2
Câu 10: Tính giá trị của biểu thức sau:
0000
00
40cos.10sin10cos.40sin
80cos20cos
+
−

A. 1 B.
2
3
C. -1 D. -
2
3
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a. Đường trung tuyến BM có độ
dài là:
A.
2
3a
B.
2
2a
C.
2
3a
D.
2
5a

Câu 12: Một tam giác có ba cạnh là 13, 14, 15. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?
A. 84 B.
84
C. 42 D.
168
Câu 13: Cho tam giác ABC thoả mãn : b
2
+ c
2
– a
2
=
bc3
. Khi đó, góc A của tam giác
ABC bằng
A. 30
0
B. 45
0
C. 60
0
D. 75
0
Câu 14: Cho hai điểm A(-3;4), B(1;-2). Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
A.
3 2 1 0x y− + =
B.
3 2 1 0x y+ + =
C.
3 2 17 0x y− + =

D.
3 2 17 0x y+ + =
.
Câu 15: Cho đường tròn (C) :
2
1
22
=+ yx
và đường thẳng (△) : x + y – 1 = 0. Chọn
khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. (△) không cắt (C) B. (△) tiếp xúc với (C)
C. (△) đi qua tâm của đường tròn (C) D. (△) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Câu 16: Phương trình chính tắc của elip có tâm sai e =
5
4
, độ dài trục nhỏ bằng 12 là:
A.
1
3625
22
=+
yx
B.
1
3664
22
=+
yx
C.
1

36100
22
=+
yx
D.
1
2536
22
=+
yx
PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm)
Câu 1 (0,75đ): Giải bất phương trình :
2103
2
−<−− xxx
Câu 2 (0,75đ): Tìm m để bất phương trình :
072)1(2
22
<−+−− mxmx
vô nghiệm.
Câu 3 (1đ): Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức:
cosA + cosB = sinAcosB + sinBcosA.
Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông.
Câu 4 (1đ): Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng :
cbacba ++
≥++
9111
.
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm: A(3;-1), B(-4;0), C(4;0)
và đường thẳng d có phương trình : 2x – 3y + 1 = 0.

a) (0,5đ) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường
thẳng d.
b) (1đ) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) (1đ) Cho điểm M ( tùy ý trong mặt phẳng Oxy) sao cho chu vi tam giác MBC
bằng 18. Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một elip cố định. Hãy viết phương
trình chính tắc của elip đó.
2

ĐÁP ÁN
I. PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (4 điểm)
Đúng mỗi câu được 0,25 điểm. Câu nào sai không tính điểm.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
B D D B B A B D B A D A A B B C
II. PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm)
Câu Ý Đáp án Điểm
1
(0,75đ)
2103
2
−<−− xxx
145
14
2
5
2
)2(103
02
0103
22
2

<≤⇔









<
>



≥
−≤
⇔





−<−−
>−
≥−−
⇔
x
x
x

x
x
xxx
x
xx
0,25
0,25
0,25
2
(0,75đ)
072)1(2
22
<−+−− mxmx
vô nghiệm
2 2
2
' ( 1) 1(2 7) 0
2 8 0
4
2
m m
m m
m
m
⇔ ∆ = − − − ≤
⇔ − − + ≤
≤ −

⇔


≥

0,25
0,25
0,25
3
(1 đ)
cosA + cosB = sinAcosB + sinBcosA




=
=
⇔



+=
+=
⇔



=−−
=+−
⇔
=
−−+−
−⇔

=−
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
+=
−+
⇔
0
0
90
90
0
0
0)
2
sin()
2
sin(2
0
2
cos)
2

cos(
2
cos)
2
cos(
2
cos
2
sin2)
2
cos(
2
sin2
sin)
2
cos(
2
sin2
)sin()
2
cos()
2
cos(2
A
B
CBA
CAB
CBA
CBA
CBACBA

CBA
CBA
CCBAC
C
BAC
BA
BABA

Vậy tam giác ABC vuông tại đỉnh A hoặc vuông tại đỉnh B.
0,25
0,25
0,25
0,25
3

Câu Ý Đáp án Điểm
4
(1 đ)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
cbacba
cba
cba
abccba
abccba
++
≥++⇒
≥++++⇒
≥++
≥++
9111

9)
111
)((
1
3
111
3
3
3
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(2,5 đ)
A(3;-1), B(-4;0), C(4;0)
d : 2x – 3y + 1 = 0.
5a
(0,5đ)
Đường thẳng △ vuông góc với đường thẳng d nên đường
thẳng △ có phương trình dạng: 3x + 2y + C = 0.
Mặt khác đường thẳng △ đi qua điểm A(3;-1) nên ta có:
3.3 + 2.(-1) + C =0
hay C = -7.
Vậy phương trình đường thẳng △ là: 3x + 2y – 7 = 0.
0,25
0,25
5b
(1 đ)
Cách 1: Gỉa sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có

phương trình dạng: x
2
+ y
2
+ 2mx + 2ny + p = 0.
Đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có hệ phương
trình sau:





−=
−=
=
⇔





=++
=+−
=+−+
16
3
0
0816
0816
02610

p
n
m
pm
pm
pnm
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
x
2
+ y
2
- 6y - 16 = 0.
0,25
0,5
0,25
5b Cách 2: (C) : (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
đi qua ba điểm A,B,C nên
ta có hệ phương trình:





=
=

=
⇔





=−−+−
=
=−+−
⇔





=−+−
=−+−−
=−−+−
25
3
0
)1()3(
08
06214
)0()4(
)0()4(
)1()3(
2222222
222

222
R
b
a
Rba
a
ba
Rba
Rba
Rba
Vậy (C): x
2
+ (y – 3)
2
= 25.
0,75
0,25
Câu Ý Đáp án Điểm
4

5b Cách 3: Gỉa sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có
tâm I(a;b) và bán kính bằng R.
Ta có: R = IA = IB = IC nên






=

=
⇔



=+
=+−
⇔



−=++−
+=++−
⇔





−+−=−−+−
−+−−=−−+−
⇔





==
==
3

0
622
6214
8162169
8162169
)0()4()1()3(
)0()4()1()3(
2222
2222
222
222
b
a
ba
ba
aba
aba
baba
baba
ICIAR
IBIAR
Suy ra: R
2
= 25.
Vậy (C): x
2
+ (y – 3)
2
= 25.
0,25

0,25
0,25
0,25
5c
(1 đ)
Ta có: BC = 8.
Chu vi tam giác MBC bằng 18 nên : MB + MC + BC = 18
Suy ra: MB + MC = 10.
Do đó, hai điểm B, C cố định và điểm M thay đổi trong
mặt phẳng tọa độ Oxy (là mặt phẳng) chứa hai điểm B và C
sao cho MB + MC =10 không đổi và MB + MC > BC = 8.
Vậy điểm M nằm trên một elip (E) cố định.
Tìm phương trình chính tắc elip (E):
Elip (E) có phương trình chính tắc dạng:
)(1
222
2
2
2
2
cab
b
y
a
x
−==+
MB + MC =10 nên 2a = 10 hay a = 5.
Elip (E) nhận hai điểm B và C làm các tiêu điểm nên c = 4.
Do đó, b
2

= a
2
– c
2
= 25 – 16 = 9.
Vậy điểm M nằm trên một elip (E) cố định có phương
trình chính tắc là:
1
925
22
=+
yx
.
0,25
0,25
0,25
0,25
5