Lời giảng đề thi học sinh giỏi quốc gia môn toán năm 2013

LỜI GIẢI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2013
Bài 1(5,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 20
sin cos
sin cos
1 1 20
sin cos
sin cos
y
x y
x y
x y
x
y x
x y
y x







   


   

Cách 1:
Cách 2:
Bài 2(5,0 điểm):
Cho dãy số xác định như sau:
1
1
1
2
3 , 1
2
n
n
a
n
a
a
a n








   
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3(5,0 điểm):
Cho tam giác không cân ABC. Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam
giác ABC và D,E,F là các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB. Đường thẳng qua E vuông
góc BI cắt (I) tại K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) tại L khác F. Gọi J là
trung điểm KL.
a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng
b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi sao cho tỷ số ABAC=k không đổi. Gọi M,N tương ứng
là các giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F). MN cắt IB,IC tại P,Q. Chứng minh
đường trung trực PQ luôn qua 1 điểm cố định
Giải:
a)
b)
Bài 4(5,0 điểm):
Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các
bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số
kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi
cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao
nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Các số cho trước là: 1 và 1000?
b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải
Giải:
a) Ta chỉ cần quan tâm đến các số ≤2013, tức là các số đầu mỗi hàng, còn các
số >2013 không cần quan tâm:
Đầu tiên ta viết 1 1000
Sau bước đầu là 1 1001 1000
Sau bước 2 là 1 1002 1001 2001 1000
Sau bước 3 là 1 1003 1002 2003
Sau bước 4 là 1 1004 1003 2005 1002
Sau bước 5 là 1 1005 1004 2007 1003
Sau bước 6 là 1 1006 1005 2009

Sau bước 7 là 1 1007 1006 2011
Sau bước 8 là 1 1008 1007 2013
Lúc này đã xuất hiện 1 số 2013, ta làm tiếp đến bước 1013 dãy sẽ trở thành:
1 2013 2012 4023
Sau đó toàn bộ số hạng xuất hiện tr0ng dãy sẽ > 2013 và không còn 1 số 2013 nào được
xuất hiện thêm nữa !
Vậy chỉ có 2 lần xuất hiện
b)
Xét cặp số bất kì n và n + 1. Khi đó thực hiện thao tác ta sẽ có số 2n + 1. Số này chỉ có thể
tiếp tục thao tác với n hoặc n+1. Do đó các số tạo ra bằng thao tác sẽ có dạng
an + b(n + 1) hay là x
n
.n + y
n
, x
n
, y
n
∈N*,x
n
− 1 ≥ y
n
.
Khi đó, số số 2013 xuất hiện trên đường thẳng là tổng số các nghiệm (x
n
,y
n
) của pt
x
n

.n + y
n
= 2013 với n chạy từ 1 đến 999. Vì mỗi giá trị của x
n
thoả mãn điều kiện trên
tương ứng với 1 giá trị của y
n
nên ta chỉ cần tìm số giá trị có thể nhận được của x
n
.
Xét pt x
n
.n + y
n
= 2013 . Ta
có