dau cua tam thuc bac 2- thao giang

( ) ( 1)(2 3)f x x x= − −
Giải
Ta có:
1 0 1x x− = ⇔ =
3
2 3 0
2
x x− = ⇔ =
* Bảng xét dấu:
3
( ) 0 1
2
f x x< ⇔ < <
KLuận:
3
( ) 0 1
2
f x x x> ⇔ < ∨ >
2
2 5 3x x= − +
+ 0 - 0 + f(x)
- - 0 + 2x - 3
- 0 + +
x - 1
-∞ 1 3\2 +∞
x
Câu hỏi: Xét dấu biểu thức:
I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI:
1. Tam thức bậc hai:

Định nghĩa: Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng
f(x) = ax
2
+ bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số và a ≠ 0.
- Nghiệm của phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 cũng
được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c.
- Các biểu thức ∆ = b
2
– 4ac (∆’ = b’
2
– ac) được gọi là biệt
thức (biệt thức thu gọn) của tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx
+ c.
Vd1: Những biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Xác
định các hệ số a, b, c.
2
. ( ) ( 1) 2 1c h x m x mx= − − +
Trả lời:
a. f(x) là tam thức bậc hai có a = 1, b = -5, c = 6.
2
. ( ) 5 6a f x x x= − +
2
. ( ) 2b g x x= − −
b. g(x) là tam thức bậc hai có a = -1, b = 0, c = -2.

c. h(x) không phải là tam thức bậc hai.
Ta có bảng dấu của f(x)
Ta có bảng dấu của f(x)
?
?
Cho đồ thị hàm số y=
Cho đồ thị hàm số y=
f(x)
f(x)
= x
= x
2
2
– 2x – 3. Dựa vào đồ thị
– 2x – 3. Dựa vào đồ thị
hãy cho biết dấu của f(x) khi x nhận giá trị trên các
hãy cho biết dấu của f(x) khi x nhận giá trị trên các
khoảng
khoảng
(-
(-
∞
∞
; -1)
; -1)
,
,
(-1 ; 3)
(-1 ; 3)
,

,
(3; +
(3; +
∞
∞
)
)
.
.
x -∞ -1 3 +∞
f(x) + 0 - 0 +
0
1
3-1
-4
x
y
Trong các hình vẽ sau đây là đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = ax
2

+ bx + c (a ≠ 0) ứng với các trường hợp ∆ < 0, ∆ = 0 và ∆ > 0.
Hãy quan sát để đưa ra nhận định, sau đó điền dấu của hệ số a và
f(x) vào bảng. Từ đó, rút ra mối liên hệ về dấu giữa a và f(x)
trong mỗi trường hợp ∆.
TH1: ∆ < 0
Hình 1b
O
x
y
a

Hình 1a
O
x
y
x -∞ + ∞
f(x)
a
x -∞ + ∞
f(x)
. ( ) 0 Ra f x x
> ∀ ∈
−
+
+
−
Trong các hình vẽ sau đây là đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0)
ứng với các trường hợp ∆ < 0, ∆ = 0 và ∆ > 0. Hãy quan sát để đưa ra nhận định,
sau đó điền dấu của hệ số a và f(x) vào bảng. Từ đó, rút ra mối liên hệ về dấu
giữa a và f(x) trong mỗi trường hợp ∆.
TH2: ∆ = 0
a
x -∞ + ∞
f(x) 0
a
. ( ) 0
2
b
a f x x

a
> ∀ ≠ −
Hình 2a
O
x
y
2
b
a
−
Hình 2b
y
O
x
2
b
a
−
2
b
a
−
x -∞ + ∞
f(x) 0
2
b
a
−
−
−−

+
+ +
Trong các hình vẽ sau đây là đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0)
ứng với các trường hợp ∆ < 0, ∆ = 0 và ∆ > 0. Hãy quan sát để đưa ra nhận định,
sau đó điền dấu của hệ số a và f(x) vào bảng. Từ đó, rút ra mối liên hệ về dấu
giữa a và f(x) trong mỗi trường hợp ∆.
TH3: ∆ > 0
a
x -∞ x
1
x
2
+ ∞
f(x) 0 0
a
1 2
1 2
. ( ) 0 ( ; ) ( ; )
. ( ) 0 ( ; )
a f x x x x
a f x x x x
> ∀ ∈ −∞ ∪ +∞
< ∀ ∈
x
1
x
2
O

x
y
Hình 3a
x
1
x
2
O
x
y
Hình 3b
x -∞ x
1
x
2
+∞
f(x) 0 0
+
+ +
+
−
−
−
−
O
x
y
O
x
y

x
1
x
2
O
x
y
x
1
x
2
O
x
y
VËy ta cã thể tổng hợp các kÕt qu¶ trên như sau:
TH1:
∆ < 0
TH2:
∆ = 0
TH3:
∆ > 0
. ( ) 0
2
b
a f x x
a
> ∀ ≠ −
. ( ) 0 Ra f x x> ∀ ∈
1 2
1 2

. ( ) 0 ( ; ) ( ; )
. ( ) 0 ( ; )
a f x x x x
a f x x x x
> ∀ ∈ −∞ ∪ +∞
< ∀ ∈
•
Nội dung trên chính là nội dung của định lí về dấu của tam
thức bậc hai.thể tổng hợp
O
x
y
2
b
a
−
y
O
x
2
b
a
−
2. Dấu của tam thức bậc hai:
Định Lí:
Rx ∈∀
Nếu < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với
∆
Nếu = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = -b/2a
∆

Nếu > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x
1
hoặc x > x
2
,
trái dấu với hệ số a khi x
1
< x < x
2
trong đó x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) là hai
nghiệm của f(x).
∆
Cho f(x) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0), ∆ = b
2
– 4ac.
Chú ý: Trong định lí trên, có thể thay biệt thức ∆ = b
2
– 4ac bởi biệt
thức thu gọn ∆’ = b’
2

– ac.
VD2 Hãy điền thêm vào chỗ trống để được một phát biểu đúng:
a.Tam thức f(x) = x
2
+ 3x + 3 có
∆
= ……0 và hệ số a =
……… 0 nên f(x) ….…
b. Tam thức f(x) = -x
2
+ 6 x – 9 có
∆
=…… và hệ số a =……… 0
nên f(x) ….…
c. Tam thức f(x) = - 2x
2
+ 4x + 6 có
∆
’ = …… 0, tam thức có
hai nghiệm x
1
= …. , x
2
= … và có hệ số a = …… 0, nên f(x)
………
?
?
Nêu các bước xét dấu một tam thức bậc hai
-3 <
1 >

-2 <
- 1 <
16 >
-1
3
x - ∞ -1

3 +∞
f(x) - 0 + 0 -
0 Rx> ∀ ∈
0
0 3x< ∀ ≠
3. Áp dụng:
a. Xét dấu tam thức bậc hai:
C¸c bíc xÐt dÊu tam thøc bËc 2
Bước 1. Xét dấu hệ số a, tính ∆, dấu của ∆ và tìm nghiệm (nếu có)
Bước 2. Dựa vào định lí để kết luận
Vd3: Xét dấu các tam thức bậc hai:
2
. ( ) 2 5a f x x x= + +
2
. ( ) 4 5b f x x x= − − +
Giải
a. f(x) có ∆’ = - 4 < 0 và a = 1 > 0 nên f(x) > 0, với mọi x.
b. f(x) có hai nghiệm phân biệt x
1
= -5 và x
2
= 1, hệ số a = -1 < 0.
Ta có bảng xét dấu:

x
-∞ -5 1 +∞


f(x) - 0 + 0 -
3. Áp dụng:
b. Xét dấu tích, thương của các tam thức bậc hai:
Vd4: Xét dấu biểu thức:
2 2
2
( 2 3)( 1)
( )
2 8 8
x x x
f x
x x
− − − −
=
− +
Giải
Bảng xét dấu:
Ta có:
2
2 3 0 1 3x x x x− − = ⇔ = − ∨ =
2
1x− −
có ∆ = - 4 < 0 và a = -1 < 0
2
2 8 8 0 2x x x− + = ⇔ =
x –∞ +∞

x
2
– 2x – 3
– x
2
– 1
2x
2
– 8x + 8
f(x)
–1 2 3
0
00
0
0
+ +
– – – –
– –
+ + + +
– + + –
Kết luận:
( ) 0 ( 1;3) \{2}f x x> ⇔ ∈ −
( ) 0 ( ; 1) (3: )f x x< ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Hđ nhóm
Bảng xét dấu tam thức f(x) =ax
2
+ bx + c (a ≠ 0), ∆ = b
2
– 4ac.
* TH1: < 0 thì tam thức bậc hai f(x) vô nghiệm

∆
x - +
f(x)
∞
∞
∆
* TH2: = 0 thì tam thức bậc hai f(x) có nghiệm kép x
1
= x
2
= -b/2a
x - +
f(x)
∞
∞
∆
* TH3: > 0 thì tam thức bậc hai f(x) có 2 nghiệm pb x
1
, x
2
(x
1
< x
2
)
x - +
f(x)
∞
∞
cùng dấu với hệ số a

cùng dấu với hệ số a cùng dấu với hệ số a
cùng dấu a
cùng dấu a trái dấu a
-b/2a
0
0
0
x
1
x
2
- Nắm vững định lí về dấu tam thức bậc hai
- Làm các bài tập 1, 2 SGK trang 105.
- Xem trước mục II.
Bài tập làm thêm
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN
QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM!
Gợi ý:
H2. Từ định lí hãy cho biết khi nào dấu của tam
thức bậc hai luôn dương với mọi x ?



<∆
>
0
0a




<∆
<
0
0a
0<∆
H1. Từ định lí hãy cho biết khi nào dấu của
tam thức bậc hai không đổi với mọi x ?
H3. Từ định lí hãy cho biết khi nào dấu của tam
thức bậc hai luôn âm với mọi x ?
Hđ nhóm
Bài tập: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương:
2
( ) ( 2) 2( 3) 1f x m x m x m= − − − + −
Bài tập: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương:
2
( ) ( 2) 2( 3) 1f x m x m x m= − − − + −
Củng cố
* Với m = 2 thì biểu thức trở thành
1
( ) 2 1 0
2
f x x x= + > ⇔ > −
Nên m = 2 không thỏa mãn.
* Với m ≠ 2 thì f(x) là tam thức bậc hai
Nên 0
( ) 0 R
' 0
a
f x x
>


> ∀ ∈ ⇔

∆ <

2
7
7
3
3
m
m
m
>


⇔ ⇔ >

>


Vậy giá trị m cần tìm là: m > 7/3
Giải