Chuyên đề Rút gọn biểu thức(moi- chitiet)

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
(Dùng Cho dạy và học ôn thi vào THPT)
Các kiến thức cần nhớ
1) Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A+B)
2
= A
2
+2AB+B
2
(A-B)
2
= A
2
-2AB+B
2
A
2
-B
2
= (A-B)(A+B)
(A+B)
3
=A
3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3

(A-B)
3
=A
3
-3A
2
B+3AB
2
-B
3
A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
-AB+B
2
)
A
3
-B
3
=(A-B)(A
2
+AB+B
2
)
2) Các công thức biến đổi căn thức:
2

A A=
.A B A B=
(Với A0; B0)
A A
B
B
=
(Với A0; B>0)
2
A B A B=
(Với B0)
2
A B A B=
(Với A0; B0)
2
A B A B= -
(Với A<0; B0)
1A
A B
B B
=
(Với A.B0; B0)
A A B
B
B
=
(Với B>0)
2
( )C A B
C

A B
A B
=
-

m
(Với A0; A
2
B)
( )C A B
C
A B
A B
=
-

m
(Với A0; B0 và AB)
1
Bài tập
Bài 1 Cho biểu thức:
1 1
1 1
a a a a
A
a a
ổ ửổ ử
+ -
ữ ữ
ỗ ỗ

= + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
+ -
a) Tìm các giá trị của a để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm a để A=-5; A=0; A=6
d) Tìm a để A
3
= A
e) Với giá trị nào của a thì
A A=
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1
2 2 2 2 1
x
Q
x x x
= + +
- + -
a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa
b/ Rút gọn Q
c/ Tính giá trị của Q khi
4
9
x =

d/ Tìm x để
1
2
Q = -
e/ Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của Q nguyên.
Bài 3 Cho biểu thức:
2 1
1
x x
P
x x x
-
= -
- -
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tìm x để P>0
d) Tìm x để
P P=
e) Giải phơng trình
2P x= -
f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị của P nguyên
Bài 4 Cho biểu thức:
1 1 1
4
1 1
a a
A a a
a a a
ổ ửổ ử

+ +
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
- -
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
2
b) Tính giá trị của A khi
5 2 6 5 2 6
5 2 6 5 2 6
a
+ -
= +
- +
c) Tìm các giá trị của a để
A A>
d) Tìm a để A=4; A=-16
e) Giải phơng trình: A=a
2
+3
Bài 5 Cho biểu thức:
1
2 2 1 1
a a a a a

M
a a a
ổ ửổ ử
- +
ữ ữ
ỗ ỗ
= - -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
+ -
với a>0; a1
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M=-4
c) Tính giá trị của M khi
6 2 5 6 2 5a = - + +
d) Chứng minh rằng M0 với a>0; a1
Bài 6 Cho biểu thức:
( )
2
1 1
1 : 1
1 1
a a a a
K a a a
a a
ộ ự

ổ ửổ ử
- +
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
= - + - +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứố ứ
- +
ở ỷ
với a>0; a1
a) Rút gọn K
b) Tính giá trị của K khi a=9
c) Với giá trị nào của a thì
K K=
d) Tìm a để K=1
e) Tím các giá trị tự nhiên của a để giá trị của K là số tự nhiên
Bài 7 Cho biểu thức:
3
1 1 1
x x x
Q
x x x
-
= + +

- + -
với x0; x1
a/ Rút gọn Q
b/ Chứng minh rằng Q<0 với

x

0; x1
c/ Tính giá trị của Q khi
20001 19999 20001 19999
20001 19999 20001 19999
x
- +
= +
+ -
Bài 8 Cho biểu thức:
9 3 1 1
:
3 9 3
x x x
T
x x x x x
ổ ử ổ ử
+ +
ữ ữ
ỗ ỗ
= + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ

ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ - -
với x>0; x9
a/ Rút gọn T
3
b/ Tinh giá trị của T khi
7 5 7 5
7 5 7 5
x
+ -
= +
- +
c/ Tìm x để T=2
d/ Với giá trị nào của x thì T<0
e/ Tìm x

Z để T

Z
Bài 9 Cho biểu thức:
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
L
x x x x
- - +
= - -
+ - - +

với x0; x1
a) Rút gọn L
b) Tính giá trị của L khi
2 3 2 3
2 3 2 3
x
+ -
= +
- +
c) Tìm giá trị lớn nhất của L
Bài 10 Cho biểu thức:
1 3 6
2 3 5 6
x
A
x x x x
+
= + -
- - - +
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm x để A=1; A=-2
d) Tìm x để
A A=
e) Tìm x

Z để T

Z
f) Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 11: Cho
2 3 6
2 3 6 2 3 6
x y xy
K
xy x y xy x y
+
=
+ + + +
a) Rút gọn K
b) CMR: Nếu
81
81
y
K
y
+
=

thì
y
x
là số nguyên chia hết cho 3
c) Tìm số nguyên x để K là số nguyên lớn hơn 5
Bài 12:Cho biểu thức
3 2 1 1
:
1
( 2)( 1) 1 1
a a a a

P
a
a a a a

+ + +

= +

ữ

+ +


1/Rút gọn biểu thức P.
2/Tìm a để
1 1
1
8
a
P
+

4
Bài 13: Cho
a b a b
N
ab b ab a ab
+
= +
+

a) Rút gọn N
b) Tính N khi
4 2 3; 4 2 3a b
= + =
c) CMR: Nếu
1
5
a a
b b
+
=
+
thì N có giá trị không đổi

Bài 14:Cho biểu thức
2
2
(2 3)( 1) 4(2 3)
( 1) ( 3)
x x x
A
x x

=
+
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 3
Bài 15:Cho
3
1 1

1 1 1
x x
A
x x x x x

= + +
+
a) Rút gọn rồi tính số trị của A khi x =
53
9 2 7
b) Tìm x để A > 0
Bài 16: Cho biểu thức A =
2 3
1
2 2
x x
x x x

+

a/ Rút gon A
b/ Tính giá trị của A khi x = 841
Bài 17: Cho
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
P
x x x x
+ +
=

+
d) Rút gọn P
e) Tìm x để P < 1
f) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Bài 18: Cho
1 2
1 :
1
1 1
x x
K
x
x x x x x

= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+

a) Rút gọn K
b) Tính giá trị của K khi
4 2 3x = +
c) Tìm giá trị của x để K >1
Bài 19: Cho biểu thức
2
2
1 1 1
.
1 1 1

x
K
x x x x


=
ữ
+ +

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức K xác định.
b) Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt giá trị lớn nhất
Bài 20: Cho biểu thức: A =
a
aab
a
b
2


.
1/. Tìm điều kiện đối với
ba ,
để biểu thức A đợc xác định.
2/. Rút gọn biểu thức A.

Bài 21: Cho biểu thức
2
2
1 1 4 1 2003
.

1 1 1
x x x x x
K
x x x x

+ +
= +
ữ
+

5
a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định
b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên?
Bài 22:Cho
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
P
x
x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < -1/2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 23: Cho biểu thức
3
2 2( 1) 10 3
1 1
1
x x x
M
x x x
x
+ +
= + +
+ +

1. Với giá trị nào cỉu x thì biểu thức có nghĩa
2. Rút gọn biểu thức
3. Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất
Bài 24: Cho biêủ thức A =
a(2 a 1)
a 4 a 2
A
8 2 a a a 2 4 a
+
+ +
= +
+ +
1) Rút gọn A

2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên
Bài 25: Cho biểu thức:
2
3 3 1
1 1
x x x x x x
A
x x x x x

+ +
= ì
ữ
ữ
+ +

.
a) Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A đợc xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
Bài 26: Cho biểu thức:
2 10 2 1
6 3 2
x x x
Q
x x x x
+
=

Với x 0 và x 1
1) Rút gọn biểu thức Q
2) Tìm giá trị của x để

1
3
Q =
Bài 27: Cho biểu thức : P =
( )
3 1 4 4
a > 0 ; a 4
4
2 2
a a a
a
a a
+
+

+
a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với a = 9 .
Bài 28: Cho biểu thức
A =
3 1 1 1 8
:
1 1
1 1 1
m m m m m
m m
m m m

+

ữ ữ
ữ ữ

+

a) Rút gọn A.
b) So sánh A với 1
Bài 29: Cho biểu thức

+ +
= + +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

3 1 2
:
2 2
2 2 1 1
x x x x
P
x
x x x x x
a) Rút gọn P
6
b) Chứng minh rằng P > 1
c) Tính giá trị của P, biết
2 3x x+ =
d) Tìm các giá trị của x để :

( ) ( )( )
4222522
+=++
xxpx

Bài 30: Cho biểu thức


+
=
ữ
ữ
ữ

+ +


x 2 x 4 x
P x :
1 x
x 1 x 1
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 1 ;
c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 31: Cho biểu thức : A =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
a a
a a a a a
+ +

+ +
+ + + +
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a
Bài 32: Cho M =
6
3
a a
a
+
+
a) Rút gọn M.
b) Tìm a để / M /

1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 33: Cho biểu thức
C =
3 3 4 5 4 2
:
9
3 3 3 3
x x x x
x
x x x x x

+ +

ữ ữ
ữ ữ

+

a) Rút gọn C
b) Tìm giá trị của C để / C / > - C
c) Tìm giá trị của C để C
2
= 40C.
Bài 34: Cho biểu thức
A =
2 1 2
1
1
1 2 1
x x x x x x x x
x
x x x

+ +
+
ữ
ữ



a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A =
6 6
5

c) Chứng tỏ A
2
3

là bất đẳng thức sai
7
Bài 35: Cho biểu thức
4 1 3
: 1
2 3 3 2
x x x x
P
x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ


a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 0 ;
c/ Tìm x để P < 1
Bài 36: Cho biểu thức
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
P

x
x x x x x x



=
ữ
ữ
ữ

+ +


a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 1 ;
c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 37: Cho biểu thức
2 3 2
: 2
5 6 2 3 1
x x x x
P
x x x x x

+ + +
=
ữ ữ
ữ ữ
+ +

a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
2
5
1

P
Bài 38: Cho biểu thức :
A =
1 1 2
:
2
a a a a a
a
a a a a

+ +

ữ
ữ

+

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên
Bài 39: Cho biểu thức
M =
25 25 5 2
1 :

25
3 10 2 5
a a a a a
a
a a a a

+

ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M < 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 40: Cho biểu thức
P =
2 1
.
1
1 2 1 2 1
x x x x x x x x
x
x x x x x

+ +
+
ữ
ữ

+

a) Rút gọn P
8
b) Tìm giá trị lớn nhất của A =
5 3
.
x
P
x x

+
c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có:
( )
( )
. 1 3 1P x x m x x+ + > +
Bài 41: Cho biểu thức
4 3 2 4
:
2 2 2
x x x x
P
x x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tính giá trị nhỏ nhất của
P
d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn:
( )
4123
=
xmpxm

Bài 26: Cho biểu thức
( )



+
= +

ữ ữ
ữ ữ
+ +



2
1
1 1
: .
1 1 1

x x
x x x x
P x x
x x x
a) Rút gọn P
b) Xác định giá trị của x để (x + 1)P = x -1
c) Biết Q =
1 3x
P
x
+

Tìm x để Q max.
Bài 43: Cho biểu thức :
1 1 1 1 1
A= :
1- x 1 1 1 1x x x x

+ +
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x =
7 4 3+
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 44: Cho
1 1 2
:
1 1 1

x x
P x
x x x x x

+ +
= + +
ữ
ữ
+ +

(Với
0; 1x x
)
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P = 7
Bài 45: Cho biểu thức:











+
+
+

+
+
= 1
x1
1
x
2x
2x
1x
2xx
3)x3(x
P
9
a/ Rút gọn P
b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ;
c/ Tìm các giá trị của x để
xP =
Bài 46: Cho biểu thức
P =
( )
( )
( )
2 2
2
1 3 2 1
2
1 1
3 1
a a

a a a
a a

+

+
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với biểu thức Q =
2 1
1
a
a


Bài 47: Cho biểu thức
2 2
2 2
1 :
xy x xy y
xy xy
P
x y x xy y xy

+
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

a) Rút gọn P

b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x, y thoả mãn
6x y+ =
Bài 48: Cho biểu thức:
1x
2x
2x
3x
2xx
3)x3(x
P



+
+
+
+
+
=
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
4
15
P <
Bài 49: Cho biểu thức :
2
2
2
1
2

1
.)
1
1
1
1
( x
x
xx
A

+
+

=
1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
2) Rút gọn biểu thức A .
3) Giải phơng trình theo x khi A = -2 .
Bài 50: Cho biểu thức :
2 1 2
:
1 1 1
x x x
A
x x x x x

+ +
=
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của
A
khi
324 +=x
10
Bài 51: Cho biểu thức:


















+

=
2x
x
x
2x
:
x2
3
x2x
4x
P
a/ Rút gọn P ;
b/ Tìm x để
x3 - 3xP =
c/ Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn :
ax1)xP( +>+
Dạng : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
a)
( )
1
: :
a b b a a ab b
A a a b b
ab a b a b
ổ ử
+ + +
ữ
ỗ

ữ
= - -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
- +
ố ứ
với a>0; b>0; ab
b)
2
( ) 4x y y x x y xy
B
xy x y
- + -
= -
-
với x>0; y>0; xy
c)
3
2 2 1
2 1 1
a a a a a
C
a a a a
ổ ử
ổ ử
+ - + - -

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
= -
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
ỗ
ữ+ + -
ỗ
ữ
ố ứ
với a>0; a1
d)
2 5 1 10
3 2 4 3 5 6
x x x
D
x x x x x x
+ +
= + +

+ + + + + +
với x0
e)
( )
2
:
a a b b b
E ab a b
a b a b
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
= - - +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
+ +
ố ứ
với a>0; b>0; ab
f)
1 1 1 1 1
1 1
a a a a a a
F a
a a a a a a a

ổ ửổ ử
- + + -
ữ ữ
ỗ ỗ
= + - - +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
- + - +
với a>0; a1
g)
3 3 3
2
3
3 3
x x x
x
x
x x

+ +

ữ ữ
ữ ữ

+

(với
0x
và
3x
).
11