BÀI TẬP HÀM SỐ MŨ FULL

Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú
BÀI TẬP RÚT GỌN
HÀM LŨY THỪA
Nhóm công thức cơ bản hàm số mũ
Nhóm 1: Công thức cơ bản

( )
0 .
1
1; 1 1; ; ;
n
n
ma m m m n n
m
m
a a a a a a
a
−
= = = = =

Nhóm 2: Công thức cùng cơ số

. ;
m
m n m n m n
n
a
a a a a
a
+ −
= =

Nhóm 3: Công thức khác cơ số

( )
. ; ;
m m m
m
m
m m
m
a a a b
a b ab
b b b a
−
     
= = =
 ÷  ÷  ÷
     
Bài tập 1: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)
a.
( )
( )
( )
( )
1
2 2
3
4 3 3 4
1
2 2 1

3
:
2
y x y
x x y xy y
D x y x y
x xy y x x y
−
−
−
 
−
+ + +
 
= + + +
+ + −
 
 
b.
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
B
a a a a
− −
− −

 
− − +
 
= +
 
− −
 
Bài tập 2: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)
a.
( )
0;
n n n n
n n n n
a b a b
A ab a b
a b a b
− − − −
− − − −
+ −
= − ≠ ≠ ±
− +
b.
( )
1 1 1 1
1 -1
1 1 1 1
1
ax
4
a x a x

B xa
a x a x
− − − −
−
− − − −
 
− +
= − +
 ÷
+ −
 
Bài tập 3: Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau:
a.
2
1 1
2 2
1 2 :
a a
a b
b b
 
 
− + −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
b.
1 9 1 3

4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
−
−
− −
−
− +

Bài tập 4: Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau:
a.
( )
2 2
3 3 3
3 3
a b a b ab
 
+ + −
 ÷
 
b.
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
a b
b a

 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Bài tập 5: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)
a.
3
2
1 1
3
2
4 4
3
3
:
a b a
A a b
b a
a b
 
   
 
 
= + +
 ÷  ÷
 ÷

 ÷  ÷
 
 
   
 
 
b.
2
2
2
4
4
4
2
a
B
a
a
a
+
=
 
−
+
 ÷
 
Bài tập 6: Tính giá trị các biểu thức sau:
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
1
Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú

a.
( )
1
2 2
2
2 2
1 1
2 5 2
2 2
x x x x
A x
x x x x
−
 
+ + − +
= + − −
 ÷
+ −
 
với
3,92x =
b.
5
3
3
5
2
2 2
10
5

2 27
3 32 2 .3
2 3
y
B y
y
−
 
 
+
 
 ÷
= + −
 
 ÷
+
 ÷
 
 
 
với
1, 2y =

Bài tập 7: Rút gọn biểu thức sau:
a.
4 1
1
2
3 3
3

3
2 2
3
3 3
8
. 1 2
2 4
a a b b
A a
a
a ab b
−
 
−
= − −
 ÷
 ÷
 
+ +

b.
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
8 2
6
2 4 2
b a a b a b
B

a b a a b b
− − − − −
 
− −
 ÷
= +
 ÷
 ÷
− + +
 
Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau:
a.
1
5 1
3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
A= 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3
−
 
   
   
 
   
 
 ÷  ÷
   
    
   
 

b.
( ) ( )
1
1
2
4 3
0,25
1
0,5 625 2 19. 3
4
B
−
− −
 
= − − + −
 ÷
 
Bài tập 9: Rút gọn biểu thức sau:
a.
1 1
1
1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a b
A a b
a a b a b

−
 
 
− −
 
= − −
 ÷
 
 
+ +
 
 
b.
3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2
a b a b
B ab
a b
 
  
− +
 ÷
 ÷ ÷
  
 ÷
= −
 ÷
−

 ÷
 ÷
 
Bài tập 10: a. Rút gọn biểu thức:
( )
3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
1 1
2 2
ax
x a x a
C
x a
x a
  
− −
  
= +
  
−
−
  
  
b. Chứng minh:
(
)
3
3 3 3 32 4 2 2 4 2 2 2

a a b b b a a b+ + + = +
Bài tập 11:
a. Không dùng máy tính và bảng số hãy tính
3 3
847 847
6 6
27 27
+ + −
b. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
8
48
4
8
8
1
3 2 3 2 3 2
3 2
= − + +
+
Bài tập 12: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:
a.
5
3
2 2 2A =
b.
( )
11
16
: 0B a a a a a a= >

c.
( )
2
4
3
0C x x x= >
d.
( )
5
3
0
b a
D ab
a b
= >
Bài tập 13: Đơn giản biểu thức
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
2
Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú
a.
2 1
2
1
.a
a
−
 
 ÷
 

b.
2 4
4
. :a a a
π π
c.
( )
3
3
a
d.
3
2. 1,3 3 2
. :a a a
Bài tập 14: Đơn giản biểu thức
a.
( )
2 2 2 3
2
2 3
1
a b
a b
−
+
−
b.
( ) ( )
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3

1a a a a
a a
− + +
−
c.
5 7
2 5 3 7 2 7
3 3 3 3
a b
a a b b
−
+ +
d.
( )
1
2
4a b ab
π
π π
π
 
 ÷
 ÷
 
+ −
SO SÁNH CÁC SỐ MŨ
Kiến thức cần nhớ:
1. Nếu
1:
m n

a a a m n> > ⇔ >
2. Nếu
0 1:
m n
a a a m n< < > ⇔ <
3. Nếu
0 : 0
m m
a b a b m< < < ⇔ >
4. Nếu
0 : 0
m m
a b a b m< < > ⇔ <
» Nếu so sánh hai căn số không cùng chỉ số, ta đưa hai số về cùng chỉ số rồi so sánh.
» Trong một vài trường hợp khó, ta có thể dung bất đẳng thức Cauchy (cô si).

Bài tập 1: So sánh các cặp số sau:
a.
3 5
30 20∨
b.
3
4
5 7∨
c.
3
17 28∨
d.
5
4

13 23∨
e.
3 2
1 1
3 3
   
∨
 ÷  ÷
   
f.
5 7
4 4∨
Bài tập 2: So sánh các cặp số sau:
a.
1,7 0,8
2 2∨
b.
1,7 0,8
1 1
2 2
   
∨
 ÷  ÷
   
c.
1,2 2
3 3
2 2
   
∨

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
d.
5
2
5
1
7
−
 
∨
 ÷
 
e.
2,5
12
1
2
2
−
 
∨
 ÷
 
f.
5 1
6 3
0,7 0,7∨
Bài tập 3: Chứng minh:

20
30
2 3 2+ >
Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:
a.
3
x x
y
− +
=
b.
( )
2
sin
0,5
x
y =
c.
2 2
x x
y = +
d.
1 3
2 2
x x
y
− −
= +
e.
2 2

sin os
5 5
x c x
y = +
f.
2
1
x
x
y e
+
=

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
3
Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú
Khảo sát hàm số
x
y a=

1. Tập xác định hàm số
D = ¡

2. Đạo hàm:
> ⇒

= ⇒

< ⇒


x
y' 0 nÕu a > 1 hµm sè t¨ng
y' a lna
y' 0 nÕu 0 < a < 1 hµm sè gi¶m

3. Giới hạn:
→−∞

=

+∞

0 nÕu a >1
lim
nÕu 0 < a <1
x
x
a

→+∞
+∞

=


nÕu a >1
lim
0 nÕu 0 < a <1
x

x
a

⇒ = 0y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
4. Bảng biến thiên
5. Giá trị đặc biệt: Cho
0 1x y= ⇒ =
; cho
1x y a= ⇒ =

6. Đồ thị
Nhận xét: Hàm số
x
y a=
tăng khi
1a
>
, giảm khi
0 1a
< <
.
Hàm số
x
y a=
luôn dương với mọi
x
.
Bài tập 1: Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một đồ thị:
a.

1
4
4
y x y x= ∨ =
b.
5 5
y x y x
−
= ∨ =
c.
1
2
2
y x y x= ∨ =
Bài tập 2: Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu:
2 2
2
x x
y
−
−
=
Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Bài tập 3: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
a.
3
x
y
π
 

=
 ÷
 
b.
2
x
y
e
 
=
 ÷
 
c.
3
3 2
x
y
 
=
 ÷
+
 
d.
1
3
3 2
x
x
y
−

 
=
 ÷
−
 
BÀI TẬP LOGARIT
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
4
x

−∞

+∞

'y

y

+

0

+∞

x

−∞

+∞

'y

y

−

0

+∞

Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú
Định nghĩa: Hàm số
log
a
y x=
xác định khi
0
0 1
x
a
>


< ≠



= ⇔ =
§
log

N
b
a
x b x a
(
b
được gọi là logarit cơ số a của
x
)
Chú ý: Khi cơ số
2,7a e= ≈
thì
log ln
a
x x=
(đọc là log nê be
x
) logarit tự nhiên.
Khi cơ số
10a =
thì
log lg
a
x x=
(đọc là log
x
) logarit thập phân.
Nhóm công thức cơ bản hàm số logarit
Nhóm 1: Công thức cơ bản

1
log 1 0; log 1; log log ; log log ; log log
β β
α α
α
α
β β
= = = = =
a a a a a a
a a
a x x x x x x

Nhóm 2: Công thức tích thành tổng (Qui tắc tính)

( ) ( )
1 2 1 2
log log log TQ: log log log log
log log log
a a a a n a a a n
a a a
xy x y x x x x x x
x
x y
y
= + ⇒ = + + +
= −
c«ng thøc

Nhóm 3: Công thức đổi cơ số

log
1
log log .log log ; log
log log
a
c a c a a
a x
x
x hay c x x x
c a
= = =
Nhóm 4: Công thức liên hệ giữa hàm số mũ và logarit
log
a
x
xa =
Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a.
1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
b.

2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 
+
=
 ÷
+
 
c.
2
3
log
1
x
y
x
−
=
+
d.
2
1 2
2

1
log log 6
1
x
y x x
x
−
= − − −
+
e.
( )
2
2
1
lg 3 4
6
y x x
x x
= − + + +
− −
f.
2
0,3 3
2
log log
5
x
y
x
 

+
=
 ÷
+
 
g.
1
log
2 3
x
y
x
−
=
−

Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
81 25 .49
−
 
+
 ÷
 

b.
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+
+
+
c.
7 7
5
1
log 9 log 6
log 4
2
72 49 5
−
−
 
+
 ÷
 
d.
6 9
log 5 log 36
1 lg2
36 10 3

−
+ −
Bài tập 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9 9 9
log 15 log 18 log 10A = + −
b.
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B = − +
c.
36 1
6
1
log 2 log 3
2
C = −
d.
( )
1 3 2
4
log log 4.log 3D =
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
5
Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú
Bài tập 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :

a.
2 2
log 2sin log os
12 12
A c
π π
 
= +
 ÷
 
b.
( ) ( )
3
3 3 3 3
4 4
log 7 3 log 49 21 9B = − + + +
c.
10 10
log tan 4 log cot 4+
d. D
4 4 4 4
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
x= = − +
Bài tập 5: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
( )
2 3 4 2011
1 1 1 1

2011!
log log log log
A x
x x x x
= + + + + =
b. Chứng minh:
1.
( )
ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
2.
( )
2
1
1 1 1

log log log 2log
k
a a
a a

k k
x x x x
+
+ + + =
Bài tập 6: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
3
5
log
a
A a a a=
b.
2
3
5
log
a
B a a a a=
c.
5 3
3 2
1
4
log
a
a a a
a a
d.
0 0 0 0
lg tan1 lg tan 2 lg tan 3 lg tan89A = + + + +

e.
3 4 5 15 16
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15B =
Bài tập 7: Chứng minh rằng
a. Nếu
2 2 2
; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b+ = > > > ± ≠
thì
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
b. Nếu 0<N
1≠
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân (
theo thứ tự đó ) là :
( )
log log log
, , 1
log log log
a a b
c b c
N N N
a b c
N N N
−
= ≠
−
c. Nếu

log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
( )
2log .log
log 0 , , , , , 1
log log
a c
b
a c
x z
y x y z a b c
x z
= < ≠
+
d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn :
2 2
7a b ab+ =
. Chứng minh :
ln ln
ln
3 2
a b a b+ +
=
Bài tập 8: Tính theo
, , ,a b c x
các logarit được chỉ ra:
a. .
6

log 16A =
. Biết :
12
log 27 x=
b.
125
log 30B =
. Biết :
log3 ;log 2a b= =
c.
3
log 135C =
. Biết:
2 2
log 5 ;log 3a b= =

d.
6
log 35D =
. Biết :
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3a b c= = =
e. Tính :
49
log 32
. Biết :
2
log 14 a=
Bài tập 9: Rút gọn biểu thức sau:
a.

( ) ( )
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a= + + − −
b.
( )
( )
2
log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x
x
B x x x x
+
= + +
c.
( )
log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p= + + −
Bài tập 10: Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính
log
a
x
, biết
log 3;log 2

a a
b c= = −
:
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
6
Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú
a.
3 2
x a b c=
b.
4
3
3
a b
x
c
=
c.
2 2
4
4
3
a bc
x
ab c
=
Bài tập 11: Chứng minh
a.
( ) ( )
1

log 3 log 2 log log
2
a b a b− − = +
với:
2 2
3 0; 9 10a b a b ab> > + =
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có:
1.
2 2
log log
a a
b c
c b
=

log .log .log 1
a b c
b c a =
2. Trong ba số:
2 2 2
log ;log ;log
a b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1

BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Để so sánh hai số logarit, ta có 2 phương pháp cơ bản sau:
Phương pháp 1: Trường hợp 2 số có cùng cơ số, ta áp dụng qui tắc sau:

1. Nếu
1:log log
a a
a x y x y> > ⇔ >

2. Nếu
0 1:log log
a a
a x y x y< < > ⇔ <

Phương pháp 2: Trường hợp 2 số khác cơ số, ta so sánh với số trung gian, suy ra kết luận.
• Ví dụ 1: so sánh hai số :
3 4
1
log 4 log
3
∨
. Ta có :
3 3 4 4 3 4
1 1
log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log
3 3
> = < = ⇒ >

• Ví dụ 2. So sánh :
6 6
log 1,1 log 0,99
3 7∨
. Ta có :
6 6 6 6 6 6

log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
3 3 1; 7 7 1 3 7> = < = ⇒ >
Bài tập 1: Không dùng bảng số và máy tính. Hãy so sánh:
a.
0,4 0,2
log 2 log 0,34∨
b.
5 3
3 4
3 2
log log
4 5
∨
c.
5
5
1
log
log 3
2
2 3∨
d.
3 2
log 2 log 3∨
e.
2 3
log 3 log 11∨
f.
2 1
2

2log 5 log 9
2 8
+
∨

g.
2 4
5
log 3 log
11
4 18
+
∨
h.
3 1
9
8
log 2 log
9
9 5
+
∨
k.
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1

18
6
−
 
∨
 ÷
 
Bài tập 2: Không dùng bảng số và máy tính. Hãy so sánh:
a.
2 5
log 10 log 30∨
b.
3 7
log 5 log 4∨
c.
3
1
2ln 8 lne
e
∨ −
Bài tập 3: Hãy chứng minh:
a.
1 3
2
1
log 3 log 2
2
+ < −
b.
5 5

log 7 log 4
4 7=
c.
3 7
log 7 log 3 2+ >
d.
2 2
log 5 log 3
3 5=
e.
1
log3 log19 log 2
2
+ ∨ −
f.
5 7 log5 log 7
log
2 2
+ +
∨
Bài tập 4: Hãy so sánh:
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
7
Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú
a.
3 3
6 5
log log
5 6
∨

b.
1 1
3 3
log 9 log 17∨
c.
1 1
2 2
log loge
π
∨
d.
2 2
5 3
log log
2 2
∨
ĐẠO HÀM
HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
Một số công thức cơ bản

( ) ( )
' ln ' ln . '
x x u u
a a a a a a u= ⇒ =

( ) ( )
' ' . '
x x u u
e e e e u= ⇒ =

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
'
1 1
ln ' ln ' . ' ln '
f x
x u u f x
x u f x
= ⇒ = ⇒ =
( ) ( )
1 '
log ' log '
ln ln
a a
u
x u
x a u a
= ⇒ =

Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a.
( )
2
2 2
x
y x x e= − +
b.

( )
2
sinx-cosx
x
y e=
c.
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
d.
( )
2
ln 1y x= +
e.
ln x
y
x
=
f.
( )
1 ln lny x x= +
Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a.

(
)
2 2
ln 1y x x= +
b.
( )
2
2
log 1x x− +
c.
3 2
lny x=
d.
2
4
log
4
x
y
x
−
 
=
 ÷
+
 
e.
2
3
9

log
5
x
y
x
 
−
=
 ÷
+
 
f.
1
log
2
x
y
x
 
−
=
 ÷
 ÷
 
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
log
a
y x=

1. Tập xác định
( )
0;D = +∞

2. Đạo hàm
>

= ⇒

<

y' 0 nÕu a>1
1
y'
x lna y' 0 nÕu 0<a<1

3. Giới hạn
→
−∞

=

+∞

0
nÕu a>1
lim log
nÕu 0<a<1
a
x

x

→+∞
+∞

=

−∞

nÕu a>1
lim log
nÕu 0<a<1
a
x
x
4. Bảng biến thiên
Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
8
x

y

'y

0

+∞

−∞

+∞

+

−∞

y

+∞

'y

−

x

0

+∞

Bài tập: Hàm số mũ - logarit GV: Trần Thanh Tú
5. Điểm đặc biệt Cho
= ⇒ =1x a y
, cho
= ⇒ =1 0x y

6. Vẽ đồ thị
Bài tập 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a.
=

2
logy x
b.
3
logy x=

c.
1
2
logy x=

d.
ln 2y x=

Bài tập 2: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a.
2
2
logy x=
b.
lny x=

c.
ln
1
x
y
x
=
+

d.
( )
2
log 1y x= +

Nguồn: Sưu tầm và tổng hợp
9