chương 3 vectơ trong không gian quan hệ vuông góc

Chương 3: Véc tơ trong khơng gian. Quan hệ vng góc
§1: VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VÉC TƠ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa và các phép tốn
• Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong khơng gian được xây dựng hồn tồn tương tự
như trong mặt phẳng.
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
, ta có:
' 'AB AD AA AC+ + =
uuur uuur uuur uuuur
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có:
0IA IB+ =
uur uur
r
;
2OA OB OI+ =

uuur uuur uur
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
0; 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
r
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( 0) ! :a và b cùng phương a k R b ka≠ ⇔∃ ∈ =
r r r
r r r
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có:
;
1
OA kOB
MA k MB OM
k
−
= =
−
uuur uuur
uuur uuur uuuur
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
, ,a b c
r
r r

, trong đó
a và b
r
r
khơng cùng phương.
Khi đó:
, ,a b c
r
r r
đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R:
c ma nb= +
r
r r
• Cho ba vectơ
, ,a b c
r
r r
khơng đồng phẳng,
x
r
tuỳ ý.
Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R:
x ma nb pc= + +
r
r r r
3. Tích vơ hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong khơng gian:
· ·
0 0
, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC= = ⇒ = ≤ ≤

uuur uuur
r r r r
• Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian:
+ Cho
, 0u v ≠
r
r r
. Khi đó:
. . .cos( , )u v u v u v=
r r r r r r
+ Với
0 0u hoặc v= =
r r
r r
. Qui ước:
. 0u v =
r r
+
. 0u v u v
⊥ ⇔ =
r r r r
B. CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Sử dụng các phép tốn về véc tơ và các tính chất
Cần nhớ:
 Quy tắc 3 điểm
 Hệ thức véc tơ đối với trung điểm
 Điều kiện 3 điểm thẳng hàng
 Các cơng thức tích vơ hướng
1
Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
1
IJ ( )
2
AC AD AB= + -
ur uuur uuur uuur
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Đường chéo AC’ cắt mp(A’BD) tại G
1
. Chứng minh rằng G
1
là
trọng tâm của tam giác A’BD.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. E, F là những điểm xác định bởi
BE k BC=
uur uuur
;
AF k AD=
uuur uuur
. Chứng minh
rằng trung điểm của các đoạn AB, CD, EF thẳng hàng.
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB=2a; CD=2b; I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và IJ=2c. M là
một điểm bất kì. Chứng minh rằng:
a)
2 2 2 2
2 2MA MB MI a+ = +
b)
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2( )MA MB MC MD MG a b c+ + + = + + +
, với G là trọng tâm của tứ diện. Suy ra vị
trí của M để

2 2 2 2
MA MB MC MD+ + +
đạt GTNN.
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có B’C’ =CD. M, N là hai điểm di động lần lượt trên hai cạnh
B’C’ và CD sao cho B’M=CN. E là giao điểm hai đường chéo của mặt BCC’B’ và I là trung điểm của của
MN. Hãy biểu thị véc tơ
EI
uur
theo hai véc tơ
' ',B C CD
uuuur uuur
. Suy ra rằng điểm I di động trên một đường thẳng
cố định.
Dạng 2: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. M, N lần lượt là trung điểm của AD và C’D’. Chứng minh rằng
ba véc tơ
, ', 'MN AC DD
uuur uuur uuuur
đồng phẳng.
Ví dụ 2: Cho 4 véc tơ
, , ,a b c d
r r r ur
thỏa mãn
2 3 2 0
2 5 7 7 0
a b c d
a b c d
ì
ï
+ + + =

ï
ï
í
ï
- - + =
ï
ï
î
r r r ur r
r r r ur r
. Chứng minh rằng ba véc tơ
, ,b c d
r r ur

đồng phẳng.
Ví dụ 3: cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau. M, N là hai điểm di động lần lượt trên trên Ax, By ;
E, I lần lượt là trung điểm của AB và MN. Chứng minh rằng điểm I nằm trong một mặt phẳng cố định.
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N định bởi:
2 3 ,AM AB AC DN DB xDC= - = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) Các điểm M, N thuộc các mặt phẳng nào của tứ diện
b) Định x để các đường thẳng AD, BC, MN cùng song song với một mặt phẳng.
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh rằng
' ' ' ' 4 'AA BB CC DD GG+ + + =
uuur uuur uuur uuuur uuur
. Suy ra điều kiện để hai tứ diện trên có cùng trọng tâm.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn điều kiện:
MA MB MC MD AB AC+ + + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và O là trung điểm của AG.
a) Chứng minh:
3 0OA OB OC OD+ + + =
uur uuur uuur uuur r
b) M là một điểm bất kì, Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 6 3MA MB MC MD MO OA OB OC OD+ + + = + + + +
. Suy ra vị trí của M để biểu
thức
2 2 2 2
3MA MB MC MD+ + +
đạt GTNN.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, tâm là O. I là trung điểm của SO và điểm
E thỏa mãn
SE xSC=
uur uur
. Định x để 3 điểm A, E, I thẳng hàng.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. P, Q là các điểm định bởi
,BP kBC AQ k AD= =
uur uuur uuur uuur
. Chứng minh rằng ba véc tơ
, ,MN MP MQ
uuur uuur uuur
đồng phẳng.
2
Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. M, N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G, G’ lần lượt là
trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng GG’ song song với mp(ABB’A’).
§2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
A. LÝ THUYẾT

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
0a ≠
r
r
là VTCP của d nếu giá của
a
r
song song hoặc trùng với d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
• a′//a, b′//b ⇒
¶
( )
·
( )
, ', 'a b a b=
• Giả sử
u
r
là VTCP của a,
v
r
là VTCP của b,
( , )u v =
r r
α
.
Khi đó:
¶
( )
0 0

0 0 0
0 180
,
180 90 180
neáu
a b
neáu


≤ ≤
=

− < ≤


α α
α α
• Nếu a//b hoặc a ≡ b thì
¶
( )
0
, 0a b =
Chú ý:
¶
( )
0 0
0 , 90a b≤ ≤
3. Hai đường thẳng vuông góc:
• a ⊥ b ⇔
¶

( )
0
, 90a b =
• Giả sử
u
r
là VTCP của a,
v
r
là VTCP của b. Khi đó
. 0a b u v⊥ ⇔ =
r r
.
• Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
B. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=CD; E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD. Chứng minh rằng
·
·
( , ) ( , )AB EF CD EF=
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB=5 cm, AC=7 cm; BD=
57
cm; CD=9 cm. Chứng minh rằng hai
đường thẳng BC và AD vuông góc.
Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, G là tâm tam giác BCD.
a) Chứng minh rằng AG vuông góc với CD
b) M là trung điểm của CD, tính góc giữa hai đường thẳng AC và BM.
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của CD, tính góc giữa hai đường thẳng AC và
BM
Bài 2. Cho tư diện ABCD có

,AB CD AC BD^ ^
. Chứng minh rằng:
AD BC^
Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a và
·
·
' ' 60
o
B BA B BC= =
.
Chứng minh rằng: AB vuông góc với B’C.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có
·
· · ·
; 60 ; 90
o o
AB AC AD a BAC BAD CAD CBD= = = = = = =
. Tính góc giữa
hai đường thẳng AB và DM ( M là trung điểm của BC)
Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Tính góc tạo bởi DM và
BN.
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có
, , AB CD a AC BD b AD BC c= = = = = =
. Tính góc tạo bởi hai đường AB
và CD.
§3: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT:
3
Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
1. Định nghĩa

d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
, ( ),
( )
,
a b P a b O
d P
d a d b

⊂ ∩ =
⇒ ⊥

⊥ ⊥

3. Tính chất
•
( )
( )
a b
P b
P a

⁄⁄
⇒ ⊥

⊥

•
( ), ( )
a b

a b
a P b P

≠
⇒ ⁄⁄

⊥ ⊥

•
( ) ( )
( )
( )
P Q
a Q
a P

⁄⁄
⇒ ⊥

⊥

•
( ) ( )
( ) )
( ) ,( )
P Q
P Q
P a Q a

≠

⇒ ⁄⁄(

⊥ ⊥

•
( )
( )
a P
b a
b P

⁄⁄
⇒ ⊥

⊥

•
( )
)
,( )
a P
a P
a b P b

⊄
⇒ ⁄⁄(

⊥ ⊥

4. Định lí ba đường vuông góc

Cho
( ), ( )a P b P⊥ ⊂
, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Nếu d ⊥ (P) thì
·
( )
,( )d P
= 90
0
.
• Nếu
( )d P⊥
thì
·
( )
,( )d P
=
·
( )
, 'd d
với d′ là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0
0
≤
·
( )
,( )d P
≤ 90
0

.
6. Mặt phẳng trung trực:
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của
nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
7. Trục của đường tròn:
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi có tâm O và SA=SC; SB=SD. Chứng minh rằng SO
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và AC vuông góc với mp(SBD).
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có
;AB CD AC BD⊥ ⊥
. Chứng minh rằng chân đường vuông góc vẽ từ A
xuống mặt phẳng (BCD) là trực tâm của tam giác BCD.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là các tam giác đều cạnh bằng a,
6
2
a
AD =
. Chứng minh:
AI vuông góc với mp(BCD), với I là trung điểm của BC.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông. SA vuông góc với (ABCD).
a) Chứng minh rằng BD vuông góc với SC
b) AH là đường cao của tam giác SAB, chứng minh rằng AH vuông với BC
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mp(BCD). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác
BCD và ACD. Chứng minh rằng HK vuông góc với CD.
Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.

a) Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn
4
Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
b) Vẽ OH vuông góc với mp(ABC), (H thuộc mp(ABC)). Chứng minh:
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
Dạng 3: Sử dụng định lí 3 đường vuông góc
( Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc)
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mp(ABCD). Chứng
minh: tam giác SBC và tam giác SOD là những tam giác vuông (O là tâm của hình vuông )
Ví dụ 2: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một tạo với nhau một góc
bằng 60
0
. A thuộc Oz và OA=a.
a) Chứng minh: hình chiếu của Oz xuống mp(Oxy) là phân giác của góc xOy
b) A’ là hình chiếu của A xuống mp(Oxy), tính đoạn AA’.
Dạng 4: Tính góc giữa đường thẳng d và mp(P)
Phương pháp:
Ví dụ 1: Cho tứ diện S.ABC, có đáy ABC vuông tại B,
( )SA ABC⊥
a)
1 2
,
α α
lần lượt là góc tạo bởi SB, SC với mp(ABC). Xác định
1 2
,
α α

b)
β
là góc giữa SC và (SAB). Xác định
β
c)
γ
là góc giữa SB và (SAC). Xác định
γ
d) Gọi
ϕ
là góc giữa hai mp (SBC) và (SAC). Xác đinh
ϕ
( bài 1 thuộc quyển 4)
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB vuông góc với mp(BCD) và AB=2a. Gọi
M, I lần lượt là trung điểm của của AD, BD.
a) Tính góc giữa đường thẳng CM với mặt phẳng (BCD)
b) Tính góc giữa đường thẳng AI với mặt phẳng (ABC)
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, I là trung điểm của AB và
( )SI ABCD⊥
; SAB là tam giác đều.
a) Chứng minh: SC và SD tạo với mp(SAB) hai góc bằng nhau
b) Gọi M là trung điểm của SD. Tính góc giữa đường thẳng CM với mp(SAB)
Dạng 5: Xác định thiết diện của mp(P) với một hình chóp ( hay một lăng trụ), trong đó (P) vuông góc
với đường thẳng d
Phương pháp: Tìm một đường thẳng a thuộc một mặt và a vuông góc với d, khi đó a song song với (P)
và giao tuyến của (P) với mặt này là một đường song song với a.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a, AB vuông góc với (BCD) và AB=b. G
và O lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. (P) là mặt phẳng qua G và vuông góc với BO.
Xác định thiết diện của (P) và tứ diện và tính diện tích của thiết diện này.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông cân (AB=AC=a); AA’ vuông góc với

(ABC) và AA’=a. (P) là mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc với AB’. Xác định thiết diện
của (P) và hình lăng trụ. Tính diện tích của thiết diện này.
Dạng 6: Định tâm và bán kính mặt cầu qua các đỉnh hình chóp
Phương pháp:
Cách 1: CM các đỉnh hình chóp nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông
Cách 2: Giả sử O là tâm mặt cầu qua các đỉnh của hình chóp S.ABCD, ta có OA=OB=OC=OD.
Suy ra O thuộc trục d của đường tròn ngoại tiếp ABCD. OA=OS, suy ra O thuộc mp trung trực
(P) của AS do đó O là giao điểm của d và (P).
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật (AB=a, AD=2a) ; SA vuông góc với
(ABCD) và SA=b. Định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
5
Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, I là trung điểm của AB, SI
vuông góc với (ABCD) và SAB là tam giác đều. Định tâm và tính bán kính của mặt cầu qua 5 đỉnh S, A,
B, C, D.
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B (AB=BC=a; AD=2a); SA
vuông góc với (ABCD). Chứng minh: CD vuông góc với (SAC)
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB=AC; DB=DC. I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh:
( )BC AID⊥
b) AH là đường cao của tam giác AID. Chứng minh: AH vuông góc với BD
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; tam giác SBC vuông tại B và tam giác
SCD vuông tại D. Chứng minh: SA vuông góc với mp(ABCD).
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mp(BCD); BCD là tam giác vuông tại C và BC=a;
CD=2a. H là điểm trên cạnh BD với BH=x. Định x để AD vuông góc với CH.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với (ABCD) và SA=a.
a) Tính góc giữa đường thẳng SB với mp(SAC)
b) Tính góc giữa đường thẳng CA với mp(SCD) và góc giữa đường thẳng DB với mp(SDC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D (AB=AD=a; BC=2a); SD

vuông góc với (ABCD). Từ trung điểm E của CD, vẽ EK vuông góc với SC ( K thuộc SC)
a) Chứng minh: SC vuông góc với mp(EBK)
b) Chứng minh: 6 điểm S, A, B, D, E, K nằm trên một mặt cầu.
Bài 7 (*): Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng (AB=a;
2AD a=
) và hai đường chéo AC, BF vuông góc với nhau.
a) Tính đoạn CE
b) M là trung điểm của BE, (P) là mp đi qua M và vuông góc với A. Xác định thiết diện của (P) với
hình lăng trụ ADF.BCE
Bài 8(*): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA vuông góc với (ABCD); BC=a; SC
tạo với (SAB) một góc
α
và SC tạo với (ABCD) một góc
β
. Chứng minh:
cos( ).cos( )
sin
a
AB
α β α β
α
+ −
=
Bài 9: Trong mp(P) cho nửa đường tròn (C) đường kính AC=a. B là một điểm thuộc (C) và BC=x. Trên
tia At vuông góc với (P) lấy điểm S sao cho AS=a. Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc vẽ từ A
xuống SB, SC.
a) Chứng minh: các tam giác SBC và AHK là tam giác vuông
b) Chứng minh: tứ giác BCKH nội tiếp được. Tính độ dài HK theo a và x
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc với ABCD và
SA=a. I thuộc SC và 4SI=SC. (P) là mp qua I và vuông góc với AC. Xác định thiết diện của (P) và hình

chóp. Tính diện tích của thiết diện.
§4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. LÝ THUYẾT:
1. Góc giữa hai mặt phẳng
a) Định nghĩa:
·
( )
¶
( )
( )
( ),( ) ,
( )
a P
P Q a b
b Q

⊥
⇒ =

⊥

b) Cách xác định: Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng
( ),
( ),
a P a c
b Q b c

⊂ ⊥

⊂ ⊥


⇒
·
( )
¶
( )
( ),( ) ,P Q a b=
Chú ý:
·
( )
0 0
0 ( ),( ) 90P Q≤ ≤
6
Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ =
·
( )
( ),( )P Q
. Khi đó: S′ = S.cosϕ
3. Hai mặt phẳng vuông góc
• (P) ⊥ (Q) ⇔
·
( )
0
( ),( ) 90P Q =
• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
( )
( ) ( )
( )

P a
P Q
a Q

⊃
⇒ ⊥

⊥

4. Tính chất
•
( ) ( ),( ) ( )
( )
( ),
P Q P Q c
a Q
a P a c

⊥ ∩ =
⇒ ⊥

⊂ ⊥

•
( ) ( )
( ) ( )
, ( )
P Q
A P a P
a A a Q


⊥

∈ ⇒ ⊂


∋ ⊥

•
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R

∩ =

⊥ ⇒ ⊥


⊥

5. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
6. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Phương pháp:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA vuông góc với (ABCD)
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc

b) Vẽ AH, AK lần lượt là đường cao của các tam giác SAB, SAD. Chứng minh: hai mặt phẳng (AHK)
và (SAC) vuông góc
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Chứng minh: hai mp (ACC’A’) và
(CB’D’) vuông góc với nhau. ( 2 cách)
Dạng 2: Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng
( Trường hợp đã có hai mp vuông góc, ta chứng minh đường thẳng này nằm trong một mp và vuông với
giao tuyến)
Ví dụ 1: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh bằng a, nằm trong hai mp vuông góc. Tính DE và
chứng minh rằng DE vuông góc với AC và BF.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SAB là tam giác đều và mp chứa
tam giác SAB vuông góc với mp chứa hình vuông ABCD.
a) Xác định và tính đường cao SH của hình chóp này
b) (P) là mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC cắt hình chóp theo một thiết
diện. Xác định và tính diện tích của thiết diện này.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, đường cao của hình chóp
bằng
2a
; I là trung điểm của BC; hai mặt phẳng (SBD) và (SAI) cùng vuông góc với (ABCD). Gọi
,
α β
lần lượt là các góc của SB, SD với (ABCD). Chứng minh:
cot cot 1
α β
+ =
Dạng 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
Phương pháp:
 Sử dụng định nghĩa
 Sử dụng cách xác định góc giữa hai mp
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
α

; góc giữa cạnh bên
và mặt đáy bằng bằng
β
. Tìm một hệ thức giữa hai góc này.
7
Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với đáy; (SBC) tạo với đáy một góc
α
và SC =a tạo với mặt (SAB) một góc
β
. Tính đường cao của
hình chóp.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có
( )SA ABCD⊥
và SA=a; ABCD là hình vuông cạnh a. Tính góc giữa
hai mp(SBC) và (SCD) ( 2 cách)
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với
BA BC a
= =
;
( ),SA ABC SA a⊥ =
.
Gọi E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC
a) Tính góc giữa hai mp (ACS) và (BCS)
b) Tính góc giữa hai mp (SEF) và (SBC)
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có
( )SA ABCD⊥
và
2SA a=

, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D với AB=2a, AD=DC=a
a) Tính số đo góc tạo bởi mp(SBC) và mp(ABC)
b) Tính số đo góc tạo bởi mp(ASB) và mp(CSB)
c) Tính số đo góc tạo bởi mp(SBC) và mp(SCD)
Ví dụ 6. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc.
, ,OA a OB b OC c= = =
. Xét tam giác
ABC có các góc A,B,C
a) Chứng minh: Tam giác ABC có 3 góc nhọn
b) Kẻ
OK AB⊥
; chứng minh
CK AB⊥
c) Kẻ
OH CK⊥
; Chứng minh:
( )OH ABC⊥
và H là trực tâm tam giác ABC
d) Chứng minh:
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
. Tính OH theo a,b,c
e) Các mp (OAB), (OBC), (OCA) lần lượt tạo với mp(ABC) các góc
, ,
α β γ
. Xác định
, ,

α β γ
f) Chứng minh:
cos
HAB
OAB
S
S
α
=
V
V
g) Chứng minh:
2 2 2
cos cos cos 1
α β γ
+ + =
h) Chứng minh:
2 2 2 2
OAB OBC OCA ABC
S S S S+ + =
V V V V
i) Chứng minh:
2 2 2
tan tan tana A b B c C= =
Ví dụ 7. Cho tam giác đều ABC cạnh a chứa trong mp
( )
α
. Trên các đường thẳng vuông góc với
( )
α

vẽ
từ B và C lấy các đoạn
2
; 2
2
a
BD CE a= =
nằm cùng một phía với
( )
α
a) Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích của tam giác này
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng này
Dạng 4: Tính diện tích của một đa giác hay góc giữa hai mặt phẳng - Sử dụng công thức diện tích
hình chiếu
Ví dụ 1: Cho tram giác ABC đều cạnh 2a. Trên CB kéo dài, lấy điểm E sao cho BE=2a. Các tia Bx, Cy
cùng vuông góc với mp(ABC); lấy điểm B’ trên Bx sao cho BB’=a. EB’ cắt Cy tại C’.
a) Tính góc giữa hai mp (ABC) và (AB’C’)
b) Tính diện tích tam giác AB’C’
Ví dụ 2: (*) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a. Trên các cạnh AA’, BB’, CC’
lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho diện tích tam giác MNP bằng
2
2a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và (MNP).
Ví dụ 3: (*) Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. (P) là mp qua trung
điểm I của BC và vuông góc với AB’.
a) Xác định thiết diện của (P) và lăng trụ
b) Tính diện tích của thiết diện này
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
8

Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm không nằm trong mặt phẳng (ABCD) sao cho các góc AMB
và AMD vuông. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (MAC) và (ABCD) vuông góc với nhau.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật; SH, SK là đường cao của các tam giác SAB và
SCD (H thuộc AB, K thuộc CD ). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SHK) và (ABCD) vuông góc với nhau.
Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a; đường cao của hình chóp bằng x.
a) O là tâm của đáy, vẽ OH vuông góc với SC (H thuộc SC). Chứng minh rằng (SAC) và (HBD)
vuông góc.
b) Định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc bằng
0
120
(góc nhị diện)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC); hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) vuông góc với
nhau. Chứng minh hai tam giác ABC và SBC là tam giác vuông.
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Trên các đoạn AB’ và A’C’ lần lượt lấy các
điểm M và N sao cho
' 2 (0 )AM C N x x a= = < <
.
a) Tính đoạn MN theo a và x. Định x để đoạn MN nhỏ nhất
b) Khi đoạn MN nhỏ nhất, chứng minh rằng MN vuông góc với AB’ và A’C’.
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a.
a) Sử dụng định lí ba đường vuông góc, chứng minh: AC’ vuông góc với BA’ và BD
b) (P) là mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc với AC’. Xác định thiết diện của (P) với
hình lập phương. Chứng minh thiết diện này qua tâm O của hình lập phương và tính diện tích của
thiết diện.
Bài 7: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. M, N, P lần lượt nằm
trên AA’, BB’, CC’. Tính diện tích của tam giác MNP biết rằng:
a) (MNP) tạo với mp(ABC) một góc bằng 60
0
b) (MNP) vuông góc với AB’.

Bài 8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Lấy M,N,P lần lượt trên các cạnh AB, CC’,
A’D’ sao cho
3
'
4
a
AM CN D P= = =
a) Chứng minh: tam giác MNP đều
b) Tính góc giữa hai mp(ABCD), (MNP)
§5: KHOẢNG CÁCH
A. LÝ THUYẾT
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

( , )
( ,( ))
d M a MH
d M P MH
=
=
trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
d(a,(P)) = d(M,(P)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
d((P),(Q)) = d(M,(Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a,
b.
• Nếu ∆ cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
• Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng
đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
9
Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và BC=a; AC=2a; SA vuông góc với (ABC)
và SA=a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
b) (*) D là điểm sao cho ACBD là hình thang (AC song song với BD và BD=3a). Tính khoảng cách
từ D đến (SBC) và khoảng cách từ C đến (SBD).
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A; AB=a, AC=2a; cạnh bên AA’
=2a.
a) Tính khoảng cách giữa BC’ và AA’
b) (*) Gọi E, F là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC’, nêu cách dựng E, F.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA=a; M,
N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AB và SC. Tính
khoảng cách giữa AB và SC.
Ví dụ 4: (*) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a; cạnh bên bằng
4 3
3
a
. (P) là mặt phẳng
chứa AB và khoảng cách giữa CD và (P) bằng a.
a) Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD)
b) Xác định thiết diện của (P) và hình chóp. Tính diện tích của thiết diện này.
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD và tính khoảng cách
giữa AB và CD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a; SA vuông góc với đáy và SA=3a.
a) Tính khoảng cách từ C đến (SBD)

b) G là trọng tâm tam giác SAB và (P) là mp qua G và song song với (SBD). Tính khoảng cách giữa
hai mặt phẳng (P) và (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a, O là tâm hình vuông ABCD.
a) Tính khoảng cách giữa AB và SC.
b) (*) Gọi EF là đoạn vuông góc chung của AB và SC, xác định rõ vị trí của E, F.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AD và BC (AB=a, BC=b; AD=c). Góc giữa AD và BC
bằng 60
o
.
a) Tính các cạnh chưa biết của tứ diện và khoảng cách giữa AB và CD
b) (*) Gọi EF là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Xác định các điểm E,F.
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh AB=a, cạnh bên SA vuông với đáy
(ABCD) và SA=a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD
b) Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BD.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AM
Bài 6: Cho lăng tru tam giác đều ABC.A’B’C’ (AA’//BB’//CC’), biết AB=a, BB’=b. Tính khoảng cách từ
đường thẳng AB’ đến đường thẳng BC’
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB=AD=AA’=a và
·
·
·
' ' 60
o
BAD BAA A AD= = =
. Tính khoảng
cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC và B’D’
b) BD và AC’
c) AB’ và BC’

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và
2SA a=
, đáy ABC là tam giác vuông
tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng SI vuông với (ABCD) và
3
2
a
IS =
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn
vuông góc chung của các cặp đường thẳng
a) NP và AC
10
Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
b) MN và AP
11