Khóa luận tốt nghiệp toán Phép đẳng cự với bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • • KHOA TOÁN
PHÙNG THỊ NGA
PHÉP ĐẲNG Cự VỚI BÀI
TOÁN CHỨNG MINH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • •
•
Chuyên ngành: Hình học
Ngưòi hướng dẫn khoa học GY. ĐINH VĂN THỦY
Hà Nôi-2014
Em xin chân thảnh cảm ơn các thầy cô trong nhà trường,
các thày côtrong tổ bộ môn hình học đã giúp đỡ em trong quá
trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận này. Đặc biệt em xin
chân thành cảm ơn thầy ĐỈNH VĂN THỦY đã hướng dẫn cho em chọn đề tài và chỉ bảo tận tình để
em hoàn thành tốt khóa luận này. Đồng thời em xin cảm ơn tới các bạn sinh viên đã giúp đỡ
em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn ỉ
Hà Nộỉ,tháng5 năm 2014 Sinh viên
Phùng Thị Nga
Khóa luận này được hoàn thảnh là quá trình tích lũy kiến thức, tìm tòi nghiên cứu của
bản thân và sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thày ĐINH VĂN THỦY.
Em xin cam đoan đề tài “PHÉP ĐẲNG CỰ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH” là công trình nghiên cứu của
riêng em không trùng với đề tài nào trước đó.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên
Phùng Thị Nga
LỜI CAM ĐOAN
MUC LUC
•
•
• MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐÈ TÀI

• Hình học là một bộ phận quan trọng của Toán học và các
kiến thức của nó là một phần kiến thức khó đối với học sinh, bởi hình học
là môn học có tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượng cao hơn so với các
môn học khác.
• Trong trường phổ thông hiện nay có đưa ra một công cụ
mới cho học sinh giải bài toán hình học đó là sử dụng phép biến hình.
Tuy nhiên để giải được bài toán bằng sử dụng phép biến hình không hề
đơn giản đối với học sinh, do phép biến hình là mảng kiến thức khó và
học sinh lại tiếp xúc ít về vấn đề này. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài “PHÉP
ĐẲNG CỰ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH” nhằm cung cấp thêm cho người đọc hiểu rõ hơn
về một phép biến hình và ứng dụng của nó trong việc giải quyết bài toán
chứng minh trong hình học.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN cứu
• Nghiên cứu những kiến thức cơ bản về phép đẳng cự và làm
rõ những ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán chứng minh.
3. NHIỆM yụ NGHIÊN cứu
• Nghiên cứu những kiến thức về phép đẳng cự, ứng dụng của
nó trong việc giải bài toán hình học.
• Đưa ra một hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập luyện tập
thể hiện phương pháp sử dụng phép đẳng cự để giải lóp bài toán chứng
minh.
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN cứu
• Phép đẳng
cự Bài toán chứng
minh
4
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu
• Nghiên cứu sách giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu
tham khảo có liên quan tới đề tài này.
• NÔI DUNG CHƯƠNG 1: Cơ SỞ LÝ THUYẾT

• §1: ĐỊNH HƯỚNG
1.1. Định hướng trong mặtphẳng
• Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay,
nếu ta chọn một chiều là chiều dương và chiều còn lại là chiều âm thì ta
nói rằng đã định hướng được mặt phẳng.
• Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kim
đồng hồ là chiều dương còn ngược lại là chiều âm.
1.2. Góc định hướng giữa hai tia
1.2.1. Định nghĩa
• Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc O: Qx,Ọy. Góc
định hướng có tia đầu là OX, tia cuối là OY.
• Kí hiệu: (OX,OYJ là góc thu được khi ta quay tia đâu OX tới trùng với
tia cuối OY.
•
• Nhận xét: Giá tri của góc định hướng không phải là duy nhất, ta
quy ước giá tn đó âm hay dương là tùy theo chiều quay là âm hay chiều
dương của mặt phẳng.
•
• y
5
• Ta gọi A là một giá tri đầu của góc định hướng, đó là giá trị thu
được khi quay quanh OX tới trùng OY theo góc hình học nhỏ nhất.
• Nếu a là một giá trị góc định hướng giữa hai tia OX và OY thì:
• (UA, ) — u, + k2ĩr,(k E z .
6
• Trong hình a ta có: (ua,u)) - a.
• Trong hình b ta có:
1.2.2. Hê thức Sa lơ
• Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia chung gốc OX, OY, OZ. Hệ
thức Sa lơ:

• ♦♦♦ Mở rộng cho n tia
• Trong mặt phẳng định hướng, chọn n tia chung gốc OAJ,OA
2
, ,OA„. Hệ
thức Sa lơ:
• ịỡAi,OA2 j-ryOA2,ỠA3 J T yOÁn-i,OÁn j — yOAi,OAnj-rk2,7ĩ,ị^KG/Ei
1.3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng
1.3.1. Định nghĩa
•
• Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng ta xét hai đường thẳng A
• và B.
• + Nếu AVÀB cắt nhau tại O thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia
và ta định nghĩa: góc định hướng giữa hai đường thẳng AYẦBỈẦ góc định
hướng giữa hai tia ai và BỊ (ỉ' = 1,2).
• Góc định hướng đó được kí hiệu 1 ẦỊA,BỴ Trong đó A
gọi là đường thẳng đàu, B gọi là đường thẳng cuối
của góc. số đo của góc là dương hay
•
Hình a Hình b
• âm tùy theo chiều quay của A xung quanh O đến trùng với B theo chiều
dương hay âm của mặt phẳng.
• Ta gọi A là góc giữa hai đường thẳng, đó là giá trị thu được khi
quay quanh đường thẳng A tới trùng với đường thẳng B theo góc hình học nhỏ
nhất.
• + nếu AỈỈB hoặc A = B thì ỊA,B) = KĨT,(K e z .
• Ví du:
• •
• a = b
•_____________________ b_
• H ì n h d

• Hình c
• Trong hình a thì ỊA,BỲ = A Trong hình b thì ỊA,B} = —Ị3
• Trong hình c và d =K7T,{K T-TL hay Ơ
3
,18Ơ\
• Nhận xét: Nếu a là một giá trị góc định hướng giữa đường thẳng a\ầb
thXỊA,B} = A+K7T,ỊK<=
R
L .
1.3.2. Hê thức
Sa lơ ■
• Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đường thẳng
AJ,A
2
,. ,A
N
cắt nhau tại o. Khi đó hệ thức Sa lơ:
•
8
• (ứ
1
,ữ
2
) + («
2
,^) + +^íZpớ
S
^+K7Ĩ,(K,G’Z§2.PHÉP BIEN HÌNH TRONG
MẶT PHẲNG
2.1. Định nghĩa

• Mỗi song ánh / : P —»Ptừ tập các điểm của mặt phẳng P lên chính nó
gọi là phép biến hình của mặt phẳng.
• Ví dụ: phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến
2.2. Định lý
• Tập họp các phép biến hình trong mặt phẳng lập thành một nhóm đối
với phép nhân ánh xạ.
• Chứng minh:
• Thật yậy: Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp, ánh xạ ngược của một
phép biến hình cũng là một phép biến hình của mặt phẳng và cuối cùng ánh
xạ đồng nhất đóng vai trò đơn vị của nhóm nhân này.
2.3. Phép biến hình afin:
• Địnhnghĩa: Phép biến hình trong mặt phẳng biến đường thẳng thành
đường thẳng gọi là phép biến hình afin, gọi tắt là phép afin.
• Sự xác định của phép biến hình afin
• Trong mặt phẳng phép biến hhình afin được xác định bởi một cặp tam
giác tương ứng.
• Trong mặt phẳng, hai tam giác ABC và A'B'C' được gọi là cùng chiều
(ngược chiều) nếu trên đường tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay từ A đến
c qua B cùng chiều (ngược chiều) quay từ Ả' đến C' qua B'.
• Phân loại
• Phép afin trong mặt phẳng được gọi là phép afin loại 1 nếu hai tam
giác xác định nó cùng chiều, ngược lại là phép afin loại 2.
2.4. Một số định nghĩa cơ bản
2.4.1. Điểm bất động. Hình kép. Hình bất động
9
•Cho phép biến hình /: P —>P. Ta có:
• Điểm M thuộc P được gọi là điểm bất động của phép biến hình/ nếu
= Như vậy điểm M là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối
• với phép biến hình/nếu điểm M đó biến thành chính nó qua/
• Hình H được gọi là hình kép hay bất động đối với phép biến hình/

nếu =
• Hình H được gọi là hình bất động hoàn toàn đối với phép biến
hình /nếu mọi điểm của H đều bất động.
2.4.2. Phép
biến hình
tích Định
nghĩa.
•Cho F, G là hai phép biến hình của mặt phẳng, khi đó G.F là một song
ánh từ mặt phẳng vào mặt phẳng. Ta gọi phép biến hình đó là phép biến
hình tích.
• Kí hiệu:f.g, ta có: =gịf (m)) .
2.4.3. Phép biến hình đảo ngược
•Trong mặt phẳng cho phép biến hình/biến điểm M thành điểm M'.
Khi đó phép biến hình biến điểm M' thành M gọi là phép biến hình đảo
ngược của phép biến hình/đã cho.
•Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược của/ là/
-1
và có: /
_1
(m
1
) = M
•Mỗi phép biến hình /có duy nhất một phép biến hình đảo ngược /
_1
và ta có F.F~
L
=F~
L
.F=E (phép đồng nhất).
• §3. PHÉP BIÉN HÌNH ĐẲNG cự TRONG MẶT PHẲNG

3.1. Định nghĩa.
1
0
• Phép biến hình của mặt phẳng bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất
kỳ trong mặt phẳng gọi là phép biến hình đẳng cự (hay gọi là phép dời hình).
• Nghĩa là, với bất kỳ hai điểm M, N thuộc mặt phẳng P\ F:P^>P là phép
đẳng cựN' =/(n) thì ta đều có: MN=M'N'.
• Nhận xét:
• + Tích của hai phép biến hình đẳng cự là phép biến hình đẳng cự.
• + Phép đồng nhất là một phép biến hình đẳng cự.
• + Đảo ngược của phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng
cự, nghĩa là nếu / là phép biến hình đẳng cự thì /
_1
cũng là phép biến hình
đẳng cự.
3.2. Tỉnh chất
• Phép biến hình đẳng cự biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm
giữaA và c thành ba điểmA',B',C' thẳng hàng và B' nằm giữa A',C' (tức là
phép biến hình đẳng cự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó).
• Phép đẳng cự biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một
tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.
• Phép biến hình đẳng cự biến một tam giác thành một tam giác bằng
nó.
• Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc.
• Phép đẳng cự biến đường ừòn thành đường ừòn bằng nó với tâm
đường tròn này thảnh tâm đường tròn kia.
3.3. Sự xác định phép đẳng cự
• Trong mặt phẳng một phép đẳng cự hoàn toàn xác định bởi hai tam
giác bằng nhau.

3.4. Phân loai
1
1
• Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1.
Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép afin loại 2.
❖ Chú ý: Một phép dời hình hay phản chiếu đều biến một đường thẳng
thành một đường thẳng, một tia thành một tia, một đoạn thẳng thành
một đoạn thẳng bằng nó, một góc bằng với góc đã cho (cùng hướng
nếu là phép dời hình, ngược hướng nếu là phản chiếu).
3.5. Định lý và định
nghĩa □Định lý:
• Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.
• Tích của hai phép phản chiếu là một phép dời hình.
• Tích của phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là mộtphép
phản chiếu.
• Đảo ngược của phép dời hình (phản chiếu) là một phép dời hình (phản
chiếu).
• □.Định nghĩa
• Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình gọi là hai hình bằng nhau.
• Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối
xứng.
3.6. Các phép đẳng cự đặc biệt trong
mặtphẳng Phép tịnh tiến
• Phép đối xứng tâm
Phép đối xứng trục
Phép quay
• CHƯƠNG 2. PHÉP ĐẲNG cư VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH
• Bài toán chứng minh: ❖ Bài toán chúng minh là bài toán chúa đựng
trong hầu hết các bài toán hình học như: Bài toán tính toán, bài toán quỹ tích,
bài toán dựng hình

1
2
• Đó là bài toán cần chỉ ra mệnh đề"A =>5"là đúng, trong đó A là giả
thiết, B là kết luận.
• Để giải bài toán chứng minh thông thường ngưòi ta xuất phát từ giả
thiết A và những mệnh đề đúng bằng những lập luận chặt chẽ và suy luận
logic, dựa trên các định nghĩa, tính chất của các đối tượng toán học để đi đến
kết luận B.
• Sử dụng phép biến hình giải bài toán chứng minh❖
• Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho
trong giả thiết A với các điểm, các đường trong kết luận B thông qua một
phép biến hình hay một tích các phép biến hình nào đó để nhờ những tính
chất được bảo toàn qua các phép biến hình ta có thể nhận được các kết quả
về: tính đồng quy, thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, liên
thuộc, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác bằng nhau giúp ta suy ra điều
cần chứng minh.
• Dựng các hình phụ làm sao cho những điều kiện đã cho của bài toán
và những hình có liên quan đến việc chứng minh vốn rời rạc nhau làm cho
chúng có mối liên hệ với nhau nhờ phép biến hình nào đó để việc chứng minh
trở lên dễ dàng hơn.
• Giải một bài toán hình học phẳng nhờ sử dụng phép biến hình nói
chung bao gồm ba thao tác chính:
• Lựa chọn phép biến
hình Thực hiện phép biến
hình Rút ra kết luận bài
toán.
❖ Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình
• Từ việc sử dụng phép biến hình vào giải bài toán chứng minh ta có thể
nêu ra một số phương pháp đề xuất một bài toán mới từmột bài toán đã cho
như sau:

1
3
•Từ bài toán ban đầu (SR) có thể biểu diễn dưới dạng mệnh đề là
A=>z?. Qua một phép biến hình/mệnh đề trên tương ứng thành A' =>B'. Cho
bài toán với giả thiết A' và kết luận B'.
• Lợi dụng tính 1-1 của phép biến hình và cách suy luận khi chứng minh,
ta có thể xem xét mệnh đề đảo Z?=>A xem có đúng không? Nếu đúng ta có
thể ra bài toán với cả điều kiện cần và đủ.
• Thay đổi đi một vài điều kiện của giả thiết, hoặc xem xét các trường
họp đặc biệt, tương tự, tổng quát (nếu có) của bài toán ta cũng có thể có bài
toán mới.
• Sau đây là các ví dụ cụ thể khi sử dụng phép đẳng
cự vào bài toán chứng minh trong hình học phang.
• 81. PHÉP TỊNH TIẾN
1.1. Định nghĩa
• Trong mặt phẳng p cho vectơ V, phép biến hình:
• 71 P^P
• MB
• sao cho MM = V thì phép biến hình trên được gọi là phép tịnh tiến theo
vectơ V, V đươc goi là vectơ tinh tiến. Ta có 71 M) = M'.
• V \ /
• Cho hình (H ) thuộc mặt phẳng p, tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc (H)
trong phép biến đổi T lập thành một hình (H') thuộc p gọi là ảnh của
• (H) qua phép tịnh tiến T .
• Kí hiệu: T-
1.2. Tỉnh chất
• Phép tịnh tiến là một phép đẳng cự nên nó có đầy đủ các tính chất của
phép biến hình đẳng cự.
1
4

• Nếu phép tịnh tiến theo vecto V ^0 biến điểm M thành điểm M' thì ta
cũng có phép tịnh tiến biến M' thành điểm M với vectơ tịnh tiến là
• —V. Như vây ta có (T T , ta suy ra (ĩ- -
(là phép đồng
• \ V / -V \ V / -V
• nhất).
• V # u thì T là phép biến hình không có điểm bất động.
• •
T
Ĩ
T
V
T
v
T
v
• Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định khi biết vectơ tịnh tiến V .
1
5
1.3. Phép tịnh tiến trong hệ tọa độ Đe-các
• Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc OXY cho véctơ VỊA,B^Z, với mỗi điểm
MỊX,Y), phép tịnh tiến7^ M—>M' ,M'{X',Y'Ỵ Ta có:
• x-x'-a \x'- x-a y-y- = b [ y'=y = b
• được gọi là biểu ứiức tọa độ của phép tịnh tiến T trong mặt phẳng tọa
độ.
1.4. ửng dụng của phép biến hình vào bài toán chứng minh
• Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = CD. Chứng minh rằng các đường
thẳng AB, CD tạo ra các góc có độ lớn bằng nhau với đường thẳng nối trung
điểm cạnh AD và BC.
• Giải

• Gọ
i M, N lần lượt là trung
R
• điểm của AD, BC. Ta cần chứng
minh:
• (MN,AB)={MN,CD)
• Ta sẽ dời hai cạnh AB, CD
A
'
đến vị trí mói là hai cạnh tam giác cân.
• Khi này ta chỉ cần dời MN đến yị trí là trung tuyến, hoặc phân giác,
hoặc đường cao thuộc đỉnh của tam giác cân đó.
• Thật vậy, xét phép tịnh tiến:
• T- A^A
• BC
• =>AB //A'C
1
6
MM' = V«»
• TỊÓ
N
^
c
•
2
• MB (trung điểm
của A'D)
• =^>MN// CM'.
• Mặt khác ta lại có CA'=CD => ACA'D cân tại c.
• => Đường trung tuyến CM' cũng là đường phân giác của AA'CD.

• => (MN,AB)=(CM',A'C)=(CM',CD)=(MN,CD)
• Vậy (.MN,AB) = (MN,CD)
• Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đường caoA4', từ chân đường cao
dựng hai đường vuông góc với AB và AC. Hai đường thẳng này lần lượt cắt
hai đường vuông góc vói cạnh BC TẠI B \Ầ c Ở M \Ầ N. Chứng minh rằng đường
thẳng đi MN đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
• Giải
•
• Đặt M'=CHnBM N'=BHnCN
K=M'N'n AA' Ta có: MM'I/A'H(cùng
_L BC) HM'I /A'M (cùng ± AB)
MA'HM
1
là hình bình hành.
• MM' = HA' = AW'(Do /M'MV'la hình bình hành)
MM'/ỈNN'
1
7
•
• MNN'M' là hình bình hành.
• >1111 —in iH —/1 JI
— const
• ■T ■
• KN
• Kh->H
• N\-+N'
• MàM',K,N' thẳng hàng =ỲM,H,NCŨNG thẳng hàng.
• Vậy đường thẳng MN đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
• Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC, CD, DA. Giả sử MP+NQ=P (p là nửa chu vi tam giác). Chứng

minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.
• Giải
•
• => Tứ giác BCED là hình bình hành.
• Do P là trung điểm của CD^>B, P, E thẳng hàng
• Xét ABAE có MP là đường trung bình => MP - —AE
• AADE: có AE < AD+DE
1
8
•
• Xét phép tịnh tiến 7—> I—>
• ÌIL.
• => MP=-(AD+BC)=-[AD+BC)
• Dấu “=” xảy ra <=>A,D,E thẳng hàng <=> ADIIBC.
• Tương tự ta có: NQ<— [AB + CD}
• Dấu “=” xảy ra khi Afl // CD
• Từ (1) và (2) ta có: MP +
J
/VÔ^-(^5+5C+AD + CĐ) = /7
•
• AD//BC
• tứ giác ABCD là hình bình hành.
• AB//CD
• Ví dụ 4: Cho hai điểm B, c cố định trên đường tròn (ơ,/?)và một điểm
A
• thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm tam giác
ABC nằm ưên một đường tròn cố định.
• Giải
• Nếu BC là đường kính thì trực tâm H của
tam giác ABC chính là A. Vậy H nằm trên đường

tròn cố định {P,R}.
• Nếu BC không phải là đường kính, vẽ
đường kính BB' của đường ưòn.
• Nếu H là trực tâm của tam giác
• ABC thÌAH-B'C (Do AHCB' là hình bình hành)
• Xét phép tịnh tiến 7— I
—>
• => Khi A thay đổi trên
thì trực tâm H luôn nằm trên đường tròn cố
• định là ảnh của đường ữòn {P,R} qua phép tịnh tiến trên.
1
9
(1
)
(2
)
Dấu “=” xảy ra -o
<
• Ví dụ 5: Cho hình thang ABCD (AD/Ỉ BC) VỚIA<D.
Chứng minh rằng: AC>BD
• Giải
•
• Xét phép tịnh tiến:
•
T
BC • ^
• D\-^D'
• ^AA'=BC=DĐ'-, ACỈ/AB, A'C=AB; ƠC//BD, ƯC=BD( 1) Gọi I là
trung điểm của A'D ,khi đó tam giác CAD cóID' = IA
• So sánh hai tam giác ICD và ICA' có/2 /1 So

sánh hai tam giác CLƠVẦ ICA có CD' < CA Kết hợp
vói (1) ta suy ra: AC > BD
• §2. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
2.1. Định nghĩa
• Cho О thuộc mặt phẳng p, phép biến hình
ĐỎ. P^P MhM'
• sao cho: 1ЛН — -WIH thì phép biến hình trên gọi là phép đối xứng
tâm với tâm đối xứng là O.
• Điểm О gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm biến
hình H thành chính nó, tức là Đ
0
= H.
2.2. Tính chất
2
0
• B c
•
• Phép đối xứng tâm là phép biến hình đẳng cự nên nó có đày đủ các
tính chất của phép biến hình đẳng cự.
• Nếu A' và B' lần lượt là ảnh của hai điểm Ả, В trong phép đối
• xứng tâm Đ
0
thì nu — —nu.
• Phép đối xứng tâm Đ
0
có điểm bất động duy nhất là tâmỡ. Nghĩa
lầĐo(0) = 0.
• Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm О thì M lại là ảnh của M'
qua phép đối xứng đó. Ta suy ra tích của một phép đối xứng tâm với
chính nó là phép đồng nhất.

• Tích của hai phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến: Đ
0
>.Đ
0
=T
2
ÕÕĨ
• Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt là một
phép đối xứng tâm.
• Phép đối xứng tâm biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
• hàng.
• Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó, biến
một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với
đường thẳng đó, biến một vecto thành một vectơ đối của nó.
• Phép đối xứng tâm hoàn toàn được xác định nếu biết tâm đối xứng của
nó.
❖ Hệ quả: Phép đối xứng Đo biến:
• Đường thẳng thành đường thẳng D' và D II D' hoặc D=D'.
• Tia SX thành tia S'X' ngược chiều nhau.
• Đoạn MN thành đoạn M'N' và MN=M'N'.
• GócjtỌy thành góc x'0'y'vầx0y—x'0'y'.
• Đường tròn (/,/?) thành đường tròn Ị/',/?).
2.3. Phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Để-các
• Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm L{A,BỴ Nếu phép đối xứng tâm
2
1
•_______{V
1
—— 0/1 y
• goi là biểu

• y' = 2b-y
• thức tọa độ của phép đối xứng tâm ĐJ.
2.4. ửng dụng của phép đối xứng tâm trong bài toán chứng minh
• Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm trên các cạnh BC, CA, AB ta lấy lần lượt
các cặp điểm AJ và A
2
,BJ và B
2
, CJ và C
2
sao cho 6 điểm đó cùng nằm trên một
đường tròn. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đi qua AJ và vuông góc
với BC, qua B
2
và vuông góc với CA, qua CJ và vuông góc với AB đồng quy thì
các đường thẳng đi qua A
2
và vuông góc với BC, qua B
2
và vuông góc với CA,
qua C
2
và vuông góc với AB cũng đồng quy.
• Giải
• Gọi A là đường thẳng đi qua Ai và vuông góc với BC, là đường tròn đi
qua 6 điểm đã cho của bài toán, O là tâm của ỊỴJ.
2
2
• Gọi A\ là giao điểm thứ hai của đường thẳng a với đường tròn^) thì
A\A

2
là đường kính của^) .
• X
• •
•
• Tương tự Đ
0
: Y I—> Y'(Y là đường ứiẳng đi qua Bi và vuông
góc vói CA) =>y đi QUAB
2
và Y' ±BC.
• Đ
0
: Z\—>Z' (Z là đường thẳng đi qua C] và vuông góc với AB)
=>z'đi qua c
2
và Z' -LAB.
• Theo giả thiết thì S là điểm chung của X, _y, z thì ảnh S' của S trong
phép biến đổi £)
0
cũng là điểm chung của X',Y',Z'.
• Ví dụ 2: Điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt
là trung điểm của AB, AC, BC. Thực hiện phép đối xứng tâm ĐF biến M thành
A',Đ
E
biếnMthành B',Đ
D
biếnMthành C'
2
3

• A
•
•
Xét phép đối xứng tâm£>0 : A\H^A
2
x\-^x'
• Chứng minh:
a) Tứ giác AB'A'B là hình bình hành
b) C'là ảnh của c, B'là ảnh của B, A' là ảnh của A trong phép đối
xứng tâm nào đó.
• Giải
• A B'
•
a) Vì Đ
f
: MA' ^MF = FA'
•
•
• Từ (3) và (4) ta có : ACH=AC\
• Vậy 0AC'A'C là hình bình hành nên O' là giao điểm của hai đường
chéo cũng là tâm đối xứng.
• Л ь» Л'
(5)
• Vậy 0ABA'B' là hình bình hành
• ^>Đ
0
:A\-^A'
• (vởi 0=АА'глВВ')
(6)
• Từ (5) và (6 )=>ớ=ơ'.

• Vậy Aß,С lần lượt là ảnh của A',B',C' qua phép đối xứng tâm О và
ngược lại.
• Ví dụ 3: Cho 4 điểm А, B, C, D theo tứ tự nằm ưên một đường thẳng và
thỏa mãn điều kiện AB = CD.
2
4
•
• Chứng minh rằng : MA + MD>MB + MC.
• Giải
• Gọi О là trung điểm của BC.
• Xét phép đối xứng tâm:
• Đo ". MI—у
• ->MA=M'D MD = M'A
• 5
• Từ đó ta có:
• MA+MD=M'D+MD>CM'+CM=MD+MC.
• Dấu “=” xảy ra <^>B=A,C = D
• Ví dụ 4: Cho tam giác ABC và hai trung tuyến AF và CE. Giả sử
• ÆAF=ВСЕ—30°. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
• Giải
• Do Z?AF=ВСЕ=30°=> 0ACFE là tứ giác nội tiếp.
2
5