SKKN Phát triển một bài toán dẫn học sinh đến với một định lý

A.ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong chương trình SGK hiện nay để đáp ứng yêu cầu giảm lý
thuyết hàn lâm, tăng nội dung của chương trình với nhiều kiến thức
mới được đưa vào chương trình THCS nhưng thời lượng lại giảm
( Từ 5 tiết/ tuần xuống 4 tiết / tuần) Nên nhiều kiến thức không đựơc
đưa vào trực tiếp thành bài giảng mà lại được đưa ra dưới dạng bài
tập hay câu đố .Nhằm kích thích học sinh tìm tòi và tiếp cận kiến thức
khoa học thông qua việc tìm đáp án cho các bài tập dạng này . Đó là
cách làm rất hay giúp học sinh tiếp thu được nhiều kiến thức hơn
trong thời gian ngắn hơn.
Tuy nhiên trong thực tế nhiều lúc ,do nhiều lý do khác nhau mà
người dạy chưa phát hiện ra được ý tưởng xây dựng của phần kiến
thức nằm khuất sau bài tập đó. Dẩn đến phần kiến thức này không
được xây dựng và khắc sâu. gây ra nhiệu khó khăn cho việc tiếp cận
phần tiếp theo của chương trình.
Vì vậy việc phát hiện ý tưởng của những bài tập dạng này và phát
triển nó thành hệ thống kiến thức cơ bản là vấn đề hết sức quan trọng.
Với suy nghĩ đó tôi chọn đề tài: “Phát triển một bài toán dẫn học sinh
đến với một định lý”.
Trong kinh nghiệm này tôi chỉ xin đề cập đến một bài tập có
nhiều ý tưởng. Đó là bài tập 19 trang 49 – SGK toán 9 tập 2.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh
I . NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ CÁCH GIẢI.
1. Nội dung :
Đố: Tại sao phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0( a> 0) vô nghiệm
thì:
ax
2

+ bx + c >0 với mọi x.
2. Cách giải:
Ta có : ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
-
a
acb
4
4
2
−
= a(x +
a
b
2
)
2
-
a4
∆
Do : a >0 => a(x +
a
b
2

)
2

≥
0
Phương trình vô nghiệm =>
∆
< 0 => -
a4
∆
> 0
=> a(x +
a
b
2
)
2
-
a4
∆
> 0 với mọi x
hay ax
2
+ bx + c > 0 với mọi x.
II . Ý TƯỞNG ĐẶT RA :
1. Vậy phải chăng dấu của tam thức ax
2
+ bx + c ( a
≠
0)

phụ thuộc vào a và
∆
?
2. Nếu phương trình vẫn vô nghiệm mà a <0 thì sao?
3. Nếu phương trình đó không vô nghiệm mà có nghiệm thì thế
nào?
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh
III . KHAI THÁC Ý TƯỞNG VÀ VẬN DỤNG.
Với những câu hỏi đặt ra ở trên ta có thể có các bài tập sau đây.
1 . Bài tập 19.1:
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0( a< 0) vô nghiệm. Hãy so
sánh tam thức ax
2
+ bx + c với 0 ?
a. Lời giải:
Tương tự cách biến đổi trên ta có:
ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
-
a
acb
4

4
2
−
= a(x +
a
b
2
)
2
-
a4
∆
Do : a <0 => a(x +
a
b
2
)
2

≤
0
Phương trình vô nghiệm =>
∆
< 0 => -
a4
∆
< 0
=> a(x +
a
b

2
)
2
-
a4
∆
< 0 với mọi x
hay ax
2
+ bx + c < 0 với mọi x.
b . Nhận xét:
Từ bài tập ban đầu và bài tập này ta thấy:
Nếu phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm thì tam thức bậc hai tương ứng luôn cùng
dấu với a
hay a(ax
2
+ bx + c ) > 0 với mọi x.
c . Bài tập vận dụng:
Chứng minh rằng: a./. 2x
2
+5x + 10 > 0
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh
b./. – 2x
2
+x – 1 < 0 với mọi x.
2 . Bài tập 19.2 :
Cho phương trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0 có nghiệm kép. Chứng
minh rằng:
a./. Nếu thì ax
2
+ bx + c > 0 với mọi x
≠
a
b
2
−
và là bình phương của
một nhị thức bậc nhất.
b./. Nếu a< 0 thì ax
2
+ bx + c
≤
0 với mọi x.
a . Lời giải:
a./. ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
-
a
acb

4
4
2
−
= a(x +
a
b
2
)
2
-
a4
∆
Do : a >0 => a(x +
a
b
2
)
2

≥
0
Phương trình có nghiệm kép =>
∆
= 0 => -
a4
∆
= 0
=> ax
2

+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
>0
với mọi x
≠
a
b
2
−
.
Và ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
= (
a
b
xa
2
+
)
2

= (mx + n)
2

( với m =
a
và n =
a
b
2
).
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh
b./. a <0 => a(x +
a
b
2
)
2

≤
0
Do phương trình nghiệm có nghiệm kép =>
∆
= 0 => -
a4
∆
= 0
=> a(x +
a
b
2

)
2
-
a4
∆
≤
0 với mọi x
hay ax
2
+ bx + c
≤
0 với mọi x.
b . Nhận xét:
*Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a > 0) có nghiệm kép
thì a(ax
2
+ bx + c ) >0 với mọi x
≠
a
b
2
−
.
Và ax
2
+ bx + c có dạng
±
(mx +n)

2
*Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a < 0) có nghiệm kép
thì a(ax
2
+ bx + c )
≤
0 với mọi x.
c . Bài tập vận dụng:
Đem các đa thức sau về dạng bình phương để chứng minh;
a./. x
2
+ 2x +1
≥
0
b./. 2x
2
+ x +
8
1

≥
0
c./. -
2
1
x
2
+ 2x – 2 <0 với mọi x

≠
2.
3 . Bài tập 19.3 :
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
a./. Nếu a >0 hãy tìm giá trị của x để ax
2
+ bx + c >0
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh
b./. Nếu a >0 hãy tìm giá trị của x để ax
2
+ bx + c
≤
0
c./. Nếu a < 0 hãy kiểm tra các điều kiện trên.
a . Bài giải :
Ta có : ax
2
+ bx + c = a(x +
a
b
2
)
2
-
a4
∆

= a[(x +

a
b
2
)
2
-
2
4a
∆
] = a[(x +
a
b
2
)
2
-
2
)
2
(
a
∆
] (*)
a./. Do a> 0 và phương trình có hai nghiệm (
∆
> 0)
nên ax
2
+ bx + c >0 <=> ( x +
a

b
2
)
2
>
2
)
2
(
a
∆
<=> | x +
a
b
2
| > |
a2
∆
|
<=> x +
a
b
2
>
a2
∆
hoặc x +
a
b
2

<-
a2
∆

<=> x > -
a
b
2
+
a2
∆
hoặc x < -
a
b
2
-
a2
∆
<=> x >
a
b
2
∆+−
hoặc x <
a
b
2
∆−−
<=> x > x
1

hoặc x < x
2

b./. ax
2
+ bx + c
≤
0 <=> a[(x +
a
b
2
)
2
-
2
)
2
(
a
∆
]
≤
0
( x +
a
b
2
)
2

≤
2
)
2
(
a
∆
<=> | x +
a
b
2
|
≤
|
a2
∆
|
<=> -
a2
∆

≤
x +
a
b
2

≤
a2
∆

<=> -
a
b
2
-
a2
∆

≤
x
≤
-
a
b
2
+
a2
∆
<=>
a
b
2
∆−−

≤
x
≤

a

b
2
∆+−
<=> x
1

≤
x
≤
x
2
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh
c./. Với a < 0 ta nhân hai vế với – 1 rồi tính toán tương tự ta có
ax
2
+ bx + c
≥
0 <=> x
1

≤
x
≤
x
2

ax
2
+ bx + c < 0 <=> x < x
1

hoặc x > x
2

b . Nhận xét :
Trong trường hợp này
*Với x < x
1
hoặc x > x
2
thì ax
2
+ bx + c >0 nếu a > 0
và ax
2
+ bx + c < 0 nếu a < 0
hay a(ax
2
+ bx + c) > 0
*Với x
1

≤
x
≤
x
2
thì ax
2
+ bx + c
≥

0 nếu a <0
và ax
2
+ bx + c
≤
0 nếu a > 0
hay a(ax
2
+ bx + c) < 0
c . Bài tập áp dụng:
a./. Tìm x để các biểu thúc sau nhận giá trị âm
* x
2
+ 2x – 3
* - x
2
+ 5x + 6
b./. Tìm x để các biểu thúc sau nhận giá trị không âm
* x
2
– 5x – 6
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh
* - 2x
2
– 5x + 7
IV . TỔNG KẾT VẤN ĐỀ ĐÃ TRIỂN KHAI.
1 . Tổng quát hóa:
Một đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c ( a

≠
0) với phương trình bậc hai
tương ứng là
ax
2
+ bx + c = 0 .
Nếu
∆
< 0 ( phương trình vô nghiệm ) thì f(x) > 0 nếu a> 0
và f(x) < 0 nếu a < 0
hay af(x) > 0 với mọi x.
Nếu
∆
= 0 ( phương trình có nghiệm kép) thì af(x) >0 với mọi x
≠
-
a
b
2

Nếu
∆
> 0 (phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
< x
2
)
Thì af(x) > 0 nếu x < x
1
hoặc x> x

2

và af(x) < 0 nếu x
1
< x < x
2

Đó chính là kiến thức khởi đầu của định lý về dấu của tam thức bậc
hai.
2 . Vận dụng:
Hãy giải các phương trình bậc hai tương ứng rồi rút ra kết luận về
nghiệm của các bất phương trình sau:
a./ 2x
2
+ x + 8 >0
b./ x
2
+ 2x + 1 > 0
c./ - x
2
+ 2x – 1 >0
d./ x
2
– 5x + 6 < 0
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh
e./ -2x
2
- 5x + 7 > 0
C. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ÁP DỤNG
Tôi đã áp dụng cách làm này cho học sinh trong nhửng năm gần đây

và thu được kết quả khả quan:
- Có 70% HS lớp 9giải thành thạo bất phương trình bậc hai
- 75% HS có thể biến đổi thành thạo để khai thác tốt cách tìm giá
trị lớn nhất nhỏ nhất của tam thức bậc hai.
- 90% HS thấy đươc vai trò của
∆
trong các bài toán về giải bất
phương trình bậc hai
- 100% HS cho rằng cách làm này giúp HS dể tiếp cậnvới định lý
về dấu của tam thức bậc hai
D.LỜI KẾT:
Trên đây là một số suy nghĩ và tìm tòi của GV khi giảng dạy HS về
phần này và đả thu nhận được kết quả rất khả quan. Gây được hứng
thú cho HS đang học lớp 9 và nhận đươc những phản ứng tích cựccủa
những HS đả học xong.
Tuy nhiên do điều kiện về năng lực và thời gian nên vấn đề đưa ra
chă có chổ còn hạn chế.
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh
Mong đươc sự quan tâm đọc góp ý và vận dụng của các bạn đồng
nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn
Sáng kiến kinh nghiệm- Phan Văn Thái-THCS Ân Giang-Hà Tĩnh