Dạy học bài tập toán chủ đề vectơ lớp 10 THPT theo phương pháp dạy học tích cực

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN MINH NGÂN

DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN
CHỦ ĐỀ “VECTƠ” LỚP 10 THPT THEO
PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN VĂN HÀ

Hà Nội - 2014


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Bản khoá luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên tôi làm quen với việc
nghiên cứu khoa học.
Trong q trình nghiên cứu và hồn thành khố luận tốt nghiệp, tôi đã
nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu của các đơn vị và cá nhân. Qua đây, tôi
xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới:
Các thầy cơ trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
những người đã trực tiếp giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm q

báu để tơi hồn thành khố học.
Các thầy cô trong tổ Phương pháp dạy học, khoa Tốn đã tạo điều kiện
thuận lợi để tơi học tập và hồn thành việc nghiên cứu của mình.
Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo – Thạc sĩ
Nguyễn Văn Hà – người đã trực tiếp dạy dỗ, hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt
quá trình học tập cũng như trong thời gian tơi thực hiện khố luận này.
Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân, bạn bè
đã luôn giúp đỡ, động viên và khích lệ để tơi hồn thành khoá luận này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Minh Ngân

Nguyễn Minh Ngân

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những nội dung mà tơi trình bày trong khố luận này
là kết quả nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận
tình của thầy giáo – Nguyễn Văn Hà.
Tơi xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của cá nhân mình trong
khố luận này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Minh Ngân

Nguyễn Minh Ngân

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU ............................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu....................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận.............................................................................. 2
PHẦN 2: NỘI DUNG ........................................................................... 3
Chương 1: Cơ sở lí luận ........................................................................ 3
1. Phương pháp dạy học tích cực đối với mơn Tốn. .............................. 3
1.1. Phương pháp dạy học mơn Tốn.................................................... 3
1.1.1. Khái niệm chung về phương pháp. ......................................... 3
1.1.2. Đặc điểm chung về phương pháp. ........................................... 3
1.1.3. Phương pháp dạy học. ............................................................ 3
1.1.4. Đặc điểm chung của phương pháp dạy học. ............................ 4
1.1.5. Hệ thống phân loại các phương pháp dạy học. ........................ 4
1.2. Phương pháp dạy học tích cực mơn Tốn. ..................................... 5
1.2.1. Thế nào là tính tích cực học tập. ............................................. 5

1.2.2. Phương pháp dạy học tích cực. ............................................... 7
1.2.3. Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực. ........................ 7
1.2.4. Một số phương pháp dạy học tích cực mơn Tốn ở THPT. ... 10
1.2.5. Phương pháp dạy học tích cực với các tình huống điển
hình mơn Tốn ............................................................................... 11
2. Bài tốn và bài tập toán học. ............................................................. 13
2.1. Khái niệm về bài toán và bài tập toán học.................................... 13

Nguyễn Minh Ngân

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

2.2. Vai trị, ý nghĩa của bài tập tốn học. ........................................... 13
2.2.1. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh. .......................... 13
2.2.2. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh. ........................ 13
2.2.3. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho
học sinh. ......................................................................................... 14
2.2.4. Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh. ....................... 14
2.3. Phân loại bài toán. ....................................................................... 15
2.4. Phương pháp giải một bài toán. ................................................... 15
Chương 2: Ứng dụng dạy học ............................................................. 18
I. Kiến thức cơ bản ............................................................................... 18
1. Vectơ ............................................................................................... 18
1.1. Các định nghĩa ............................................................................. 18
1.1.1. Vectơ ? ................................................................................. 18

1.1.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng. ................................... 18
1.1.3. Độ dài của vectơ ................................................................... 19
1.1.4. Hai vectơ bằng nhau ............................................................. 19
1.1.5. Góc giữa hai vectơ ................................................................ 20
1.2. Bài tập ......................................................................................... 20
2. Các phép toán vectơ ......................................................................... 24
2.1. Tổng của hai vectơ ...................................................................... 24
2.1.1. Định nghĩa tổng của hai vectơ .............................................. 24
2.1.2. Các tính chất tổng của hai vectơ ........................................... 24
2.1.3. Các quy tắc cần nhớ .............................................................. 24
2.1.4. Bài tập .................................................................................. 25
2.2. Hiệu của hai vectơ ....................................................................... 28
2.2.1. Vectơ đối của một vectơ ....................................................... 28
2.2.2. Hiệu của hai vectơ ................................................................ 29

Nguyễn Minh Ngân

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

2.2.3. Bài tập .................................................................................. 29
2.3. Tích của một vectơ với một số ..................................................... 33
2.3.1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số. ............................ 33
2.3.2. Tính chất tích của một vectơ với một số. .............................. 34
2.3.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. .................................... 34
2.3.4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. ......... 34

2.3.5. Bài tập .................................................................................. 34
3. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ ............................................................ 39
3.1. Các định nghĩa ............................................................................ 39
3.1.1. Trục tọa độ ........................................................................... 39
3.1.2. Hệ trục tọa độ ....................................................................... 40
3.1.3. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ ................................ 40
3.1.4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. ............................ 41
3.1.5. Tọa độ điểm.......................................................................... 41
3.1.6. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm
tam giác .......................................................................................... 41
3.2. Bài tập ......................................................................................... 41
B. Bài tập luyện tập. ............................................................................. 45
PHẦN 3: KẾT LUẬN......................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 52

Nguyễn Minh Ngân

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang bước vào giai đoạn Cơng nghiệp hóa - Hiện đại hóa
đất nước với mục tiêu 2020 Việt Nam sẽ từ một nước Nông nghiệp về cơ bản
trở thành nước Công nghiệp, hội nhập với Cộng đồng quốc tế. Việc đổi mới
Giáo dục và Đào tạo theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh là một

nhu cầu tất yếu của thời đại, đồng thời là yêu cầu cấp bách cho sự nghiệp phát
triển kinh tế, xã hội của nước ta. Chính vì vậy, ở các trường phổ thơng hiện
nay ln địi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học và tích
cực sử dụng phương pháp mới trong dạy học nói chung và dạy Tốn nói riêng.
Phương pháp dạy học mới lấy học sinh làm trung tâm, chuyển từ việc truyền
đạt tri thức thụ động sang hướng dẫn người học tư duy trong quá trình tiếp cận
tri thức, phát huy tối đa các hoạt động tư duy của học sinh, dạy cho người học
phương pháp tự học, phát triển năng lực của mỗi cá nhân, tăng cường tính chủ
động của học sinh trong q trình tự học. Phương pháp dạy học mới phù hợp
với yêu cầu đặt ra đó chính là phương pháp dạy học tích cực.
Hình học là một lĩnh vực khó của Tốn học, nó có tính hệ thống, tính
lơgic chặt chẽ và tính trừu tượng hóa cao độ, đặc biệt là hình học phẳng. Vậy
nên để giải được một bài tốn hình học phẳng, học sinh phải có kiến thức thật
vững chắc.
Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tịi,
nghiên cứu sâu hơn về hình học phẳng, với mong muốn có được kiến thức
vững hơn về hình học phẳng để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trường,
cùng với sự hướng dẫn, động viên, khích lệ của thầy giáo Nguyễn Văn Hà, tơi
đã chọn Dạy học bài tập Toán chủ đề “Vectơ” lớp 10 THPT theo phương
pháp dạy học tích cực làm đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc dạy học bài tập phần vectơ trong hình học phẳng của
chương trình Tốn lớp 10 phổ thơng theo phương pháp dạy học tích cực nhằm
nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học mơn Tốn trong trường phổ thơng.

Nguyễn Minh Ngân

1

K36B-SP Tốn

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận chung: Phương pháp dạy học tích cực trong mơn
Tốn.
Tìm hiểu nội dung bài tập chương trình chương 1 của sách Hình học
nâng cao lớp 10.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Bài tập phần vectơ trong hình học phẳng.
Phạm vi nghiên cứu: Chương 1 sách Hình học nâng cao lớp 10.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận.
Phương pháp điều tra quan sát.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Ứng dụng dạy học

Nguyễn Minh Ngân

2

K36B-SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

PHẦN 2: NỘI DUNG
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC ĐỐI VỚI MƠN TỐN
1.1. Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn
1.1.1. Khái niệm chung về phương pháp
Phương pháp được hiểu là con đường, cách thức thực hiện một nhiệm
vụ nào đó nhằm đạt được những mục đích nhất định đã đề ra.
1.1.2. Đặc điểm chung của phương pháp
 Phương pháp có tính khái qt
Phương pháp là con đường, cách thức thực hiện một nhiệm vụ nào đó
nhằm đạt được những mục đích nhất định đã đề ra. Như vậy, con đường, cách
thức ở đây được hiểu là một tập hợp các hoạt động, các thao tác cần thiết có
tính chất chung nhất, khái qt nhất mà mọi người khác nhau cần phải hiểu và
hoạt động như thế để đạt được mục đích đề ra.
 Phương pháp có chức năng phương tiện tư tưởng
Phương pháp là con đường, là cách thức để đạt được những mục đích
nhất định. Đó chính là phương tiện tư tưởng để đạt tới mục đích đã định.
1.1.3. Phương pháp dạy học (PPDH)
PPDH là những cách thức hoạt động và giao lưu của người giáo viên
gây nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của học sinh trong quá trình
dạy học nhằm đạt được các mục đích dạy học.
Theo quan điểm hoạt động thì PPDH bao gồm hai mặt hoạt động: hoạt
động dạy học của giáo viên giữ vai trò chủ đạo, tổ chức và điểu khiển tồn bộ
q trình dạy học; hoạt động học tập của học sinh giữ vai trò chủ động, tích
cực và sáng tạo.

Nguyễn Minh Ngân

3

K36B-SP Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

1.1.4. Đặc điểm chung của phương pháp dạy học
 PPDH có tính khoa học
Tính khoa học của PPDH chính là tính khoa học của các quy luật xã
hội, chúng phát huy tác dụng thơng qua các hoạt động hướng đích và tự giác
của con người.
 PPDH có tính nghệ thuật
Tính nghệ thuật của PPDH chính là sự ứng xử của người giáo viên bao
gồm tư thế, tác phong, lời nói, cử chỉ, hành động và đặc biệt là sự xử lí các
tình huống sư phạm như: đánh giá, nhận xét, bình luận... của người giáo viên
trước học sinh trong quá trình tổ chức dạy học. Do vậy có thể cùng nội dung
dạy học, cùng cách tổ chức dạy học giống nhau, cùng điều kiện như nhau
nhưng hiệu quả của quá trình dạy học khơng giống nhau, hiệu quả đó cịn phụ
thuộc vào tài năng sư phạm của từng người giáo viên cụ thể.
 PPDH có tính chất khái qt
PPDH thực chất là sự khái qt hóa các hình ảnh về cách thức hoạt
động và giao lưu cần thiết của học trị trong q trình dạy học.
1.1.5. Hệ thống phân loại các phương pháp dạy học
PPDH có tính nhiều chiều, nên hiện nay việc hình thành một hệ thống

phân loại các PPDH chưa hồn chỉnh và chưa có sự thống nhất trên phạm vi
quốc tế. Về mặt logic, việc thống nhất các PPDH rất khó có thể đạt được bởi
PPDH liên quan tới hoạt động của người giáo viên, mà hoạt động của người
giáo viên mang tính nghệ thuật cao, mang đặc thù của cá nhân người giáo
viên. Tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới những phương
diện khác nhau, từ đó đưa ra các PPDH thành một tổng thể theo các phương
diện khác nhau:
PPDH với các chức năng điều hành quá trình tổ chức dạy học:
-

PPDH với việc gợi động cơ, tạo tiền đề xuất phát

-

PPDH với truyền thụ ti thức mới: PPDH định nghĩa khái niệm,
PPDH định lí tốn học, PPDH bài tập tốn học

Nguyễn Minh Ngân

4

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

-

PPDH với hoạt động củng cố: PPDH củng cố

-

PPDH với hướng dẫn học ở nhà: PPDH hướng dẫn học ở nhà

PPDH truyền thống với cách truyền thông tin tới học sinh bằng hoạt
động bên ngồi:
-

PPDH thuyết trình

-

PPDH giảng giải minh họa

-

PPDH gợi mở - vấn đáp

-

PPDH trực quan

PPDH với tình huống điển hình trong q trình dạy học:
-

Mơn Tốn: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH quy tắc và phương

pháp toán học, PPDH bài tập tốn học.

-

Mơn Vật lí: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định luật vật lí,

PPDH bài tập vật lí, PPDH thực hành thí nghiệm,...
-

Mơn Văn: PPDH kể chuyện văn học, PPDH thơ ca, PPDH phân tích

tác phẩm văn học,...
PPDH với việc phát triển tư duy học sinh:
-

PPDH gợi mở - vấn đáp

-

PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề

-

PPDH thực hành – luyện tập

PPDH với các hình thức tổ chức dạy học:
-

Dạy học theo lớp

-

Dạy học theo nhóm

-

Dạy học theo cấp học

1.2. PPDH tích cực mơn tốn
1.2.1. Tính tích cực học tập
Tính tích cực là một phẩm chất vốn có của con người trong đời sống xã
hội bởi lẽ để tồn tại và phát triển con người ln phải chủ động tích cực cải
biến mơi trường tự nhiên, cải tạo xã hội. Vì vậy, hình thành và phát triển tính
tích cực xã hội là một trong những nhiệm vụ chủ yếu của giáo dục.

Nguyễn Minh Ngân

5

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tính tích cực học tập thực chất là tính tích cực nhận thức, bởi học tập là
trường hợp riêng của nhận thức. Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạt động
nhận thức của học sinh đặc trưng ở khát vọng hiểu biết, có trí lực và có nghị lực
cao trong q trình chiếm lĩnh tri thức. Tính tích cực nhận thức trong hoạt động
học tập liên quan trước hết với động cơ học tập. Động cơ đúng tạo ra hứng thú.
Hứng thú là tiền đề của tự giác. Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lí tạo nên

tính tích cực. Tính tích cực sản sinh ra tư duy độc lập. Suy nghĩ độc lập là mầm
mống của sáng tạo. Ngược lại, phong cách học tập tích cực, độc lập, sáng tạo sẽ
phát triển tính tự giác, hứng thú, ni dưỡng động cơ học tập.
Tính tích cực trong học tập biểu hiện quan trọng ở hoạt động trí tuệ,
thường được biểu hiện ở học sinh là chủ thể của quá trình nhận thức như: Học
sinh hăng hái trả lới các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn,
thích được phát biểu ý kiến của mình về các vấn đề được nêu ra; thường nêu
thắc mắc hay đề nghị giáo viên giải thích cặn kẽ những vấn đề chưa đủ rõ; chủ
động vận dụng linh hoạt các kiến thức, kĩ năng đã học để nhận thức các vấn đề
mới; mong muốn đóng góp với thầy cô và bạn bè các thông tin mới lấy từ các
nguồn khác nhau; tập trung chú ý vào các vấn đề đang học, kiên trì thực hiện
các bài tập, khơng chán nản trước những khó khăn.
Tính tích cực của học sinh thể hiện ở các mức độ:
- Sao chép - bắt chước: Học sinh chăm chú quan sát, kiên trì làm theo các
động tác của giáo viên. Học sinh tích cực luyện tập dưới sự hướng dẫn của
giáo viên hoặc bạn bè.
- Tìm tịi - độc lập: Học sinh không muốn làm theo cách giải quyết vấn
đề của giáo viên hoặc của bạn mà thích tự tìm tịi cách giải quyết khác hợp lý
hơn, ngắn gọn hơn các vấn đề đặt ra mà khơng cần có sự hướng dẫn của giáo
viên.
- Sáng tạo: Học sinh tự mình đề xuất ý tưởng mới, tìm ra cách giải quyết
vấn đề một cách mới mẻ, độc đáo, hữu hiệu khác với cách giải quyết các vấn
đề đã có.

Nguyễn Minh Ngân

6

K36B-SP Tốn

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

1.2.2. Phương pháp dạy học tích cực
Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là những phương pháp
giáo dục, dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học.
PPDH tích cực cịn có thể được hiểu là PPDH hướng tới hoạt động học
tập chủ động, tập trung vào phát huy tính tích cực của người học, chống lại
thói quen học tập thụ động, chứ khơng phải là tập trung vào phát huy tính tích
cực của người dạy. Tuy nhiên để dạy học theo phương pháp tích cực thì giáo
viên phải nỗ lực nhiều so với dạy theo phương pháp thụ động trước đây.
1.2.3. Đặc trưng của PPDH tích cực
 Dạy học phải kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của học sinh
PPDH tích cực chú trọng đến sự quan tâm và hứng thú học tập của học
sinh nhằm phát huy cao độ tính tích cực, tự lực, rèn luyện cho học sinh cách
làm việc độc lập, phát triển tư duy sáng tạo. Dưới sự hướng dẫn của giáo viên,
học sinh được chủ động lựa chọn vấn đề mà mình quan tâm, ham thích, tự tìm
tịi cách giải quyết vấn đề và trình bày kết quả.
Để kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của học sinh, giáo viên cần
thiết kế các tình huống học tập sao cho kích thích, lơi cuốn được sự tham gia
tích cực, chủ động của người học và đảm bảo nguyên tắc phân hóa trong dạy
học. Trong tổ chức hoạt động, giáo viên khó có thể làm cho tất cả học sinh đều
hứng thú với nội dung của bài học. Như vậy, giáo viên cần phải có sự linh
hoạt và nghệ thuật sư phạm. Cần khuyến khích, động viên và hỗ trợ kịp thời
để đảm bảo cho tất cả học sinh đều chủ động tham gia một cách tích cực.
Vì vậy, việc làm cần thiết và đầu tiên của người giáo viên trong dạy học
theo phương pháp tích cực là phải làm cho học sinh có nhu cầu học tập và bị
cuốn hút vào nhiệm vụ học tập.

 Dạy học thông qua các hoạt động học tập của học sinh
Một trong những yêu cầu của PPDH tích cực chính là khuyến khích
người học tự lực khám phá những điều chưa biết trên cơ sở những điều đã
biết. Trong PPDH tích cực, người học - đối tượng của hoạt động "dạy", đồng

Nguyễn Minh Ngân

7

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

thời là chủ thể của hoạt động "học" - được cuốn hút vào các hoạt động học tập
do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thơng qua đó tự lực khám phá những điều
mình chưa rõ chứ khơng phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được giáo
viên sắp đặt.Tham gia vào các hoạt động học tập, người học được đặt vào các
tình huống của thực tế, người học được trực tiếp quan sát, thảo luận, trao đổi,
làm thí nghiệm, được khuyến khích đưa ra các giải pháp giải quyết vấn đề đặt
ra theo cách suy nghĩ của mình, được động viên trình bày quan điểm riêng của
cá nhân. Qua đó, người học vừa chiếm lĩnh được kiến thức và kĩ năng mới,
vừa làm chủ được cách thức xây dựng kiến thức. Từ đó người học được bộc
lộ, rèn luyện và phát huy tối đa tính tự chủ và sáng tạo của mình.
 Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học
PPDH tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh là
một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học đồng thời là một mục tiêu dạy học.
Trong dạy học, cần rèn cho học sinh phương pháp tự học, rèn luyện cho học

sinh có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự chiếm lĩnh tri thức: biết
tự lực phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn,
biết linh hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống mới, từ đó
tạo cho học sinh lòng say mê học tập, ham hiểu biết, khơi dậy nội lực vốn có
trong mỗi học sinh và kết quả học tập sẽ tăng lên.
PPDH tích cực tập trung trọng tâm vào hoạt động học, tạo ra sự chuyển
biến tự việc học tập thụ động sang tự học tập chủ động, rèn luyện phương
pháp tự học, tự nghiên cứu, phát triển năng lực học tập cho học sinh.
 Tăng cường hoạt động học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác
Trong một lớp học, trình độ kiến thức, tư duy của học sinh không thể
đồng đều tuyệt đối. Vậy nên trong dạy và học tích cực, giáo viên cần quan tâm
đến sự phân hóa về trình độ nhận thức, cường độ, tiến độ hoàn thành các
nhiệm vụ học tập của mỗi học sinh. Tùy theo năng lực và nhu cầu của từng
học sinh mà giáo viên đưa ra các nhiệm vụ phù hợp với khả năng của mỗi cá
nhân nhằm phát huy khả năng tối đa của người học.

Nguyễn Minh Ngân

8

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình
thành hồn tồn bằng con đường độc lập cá nhân. Để người học có điều kiện
bộc lộ, phát triển khả năng của mình, cần đặt họ vào môi trường học tập hợp

tác trong các mối quan hệ thầy – trò, trò – trò. Trong mối quan hệ tương tác
đó, thơng qua việc thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân
được bộc lộ, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới.
Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức là hoạt
động hợp tác trong nhóm nhỏ. Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất
là phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc thực sự xuất hiện nhu cầu phối
hợp giữa các cá nhân để hoàn thiện nhiệm vụ chung. Tuy nhiên, để học tập
hợp tác có hiệu quả, giáo viên cần hình thành cho người học thói quen học tập
tự giác, tơn trọng, giúp đỡ lẫn nhau. Nhiệm vụ được giao phải rõ ràng, cụ thể,
mỗi thành viên trong nhóm đều được phân cơng, xác định rõ nhiệm vụ, trách
nhiệm của mình, qua đó tính cách của mỗi thành viên được bộc lộ, uốn nắn,
phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ, tránh tình trạng dựa
dẫm, ỷ lại, phá rối gây mất thời gian, hoạt động hợp tác kém hiệu quả.
 Kết hợp sự đánh giá của giáo viên với sự đánh giá của học sinh
Trong dạy học, việc đánh giá học sinh khơng chỉ nhằm mục đích nhận
định thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn tạo điều kiện nhận
định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của giáo viên.
Trong PPDH tích cực, giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh phát triển
kĩ năng tự đánh giá kiến thức của mình để tự điều chỉnh cách học tập, giáo
viên cũng phải tạo điều kiện để các em học sinh tham gia vào việc đánh giá
lẫn nhau. Từ đó giúp học sinh biết tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời các
hoạt động học tập của mình. Đó chính là năng lực rất cần thiết cho sự thành
đạt trong cuộc sống mà nhà trường cần trang bị cho các em học sinh. Kiểm tra
– đánh giá giúp giáo viên thu được thông tin phản hồi để kịp thời điều chỉnh
hoạt động dạy, chỉ đạo hoạt động học.

Nguyễn Minh Ngân

9

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

1.2.4. Một số phương pháp dạy học tích cực mơn Toán ở THPT
 Phương pháp gợi mở, vấn đáp
Giáo viên đưa ra một hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi mở và yêu
cầu học sinh trả lời lần lượt từng câu hỏi một, dần dần từng bước dẫn tới kiến
thức toán học cần thiết cho học sinh.
Hệ thống câu hỏi gợi mở mà giáo viên đưa ra trong tổ chức dạy học cần
đảm bảo yêu cầu:
- Các câu hỏi đưa ra phải phù hợp với các loại đối tượng học sinh trong
lớp học: giỏi, khá, trung bình, yếu.
- Mỗi câu hỏi phải có nội dung chính xác, gọn gàng, rõ ràng và khơng
gây ra sự nhập nhằng khó hiểu cho học sinh.
- Giáo viên có thể đặt nhiều câu hỏi khác nhau cho cùng một nội dung
dạy học, giúp cho học sinh thấy được tính chất đa dạng, phong phú của kiến
thức.
- Các câu hỏi phải gợi ra nhiều vấn đề để học sinh phải suy nghĩ, hạn
chế sử dụng các câu hỏi mà câu trả lời chỉ là có hoặc khơng, trong trường hợp
bắt buộc sử dụng phải kèm theo u cầu tại sao có, tại sao khơng hoặc đúng tại
sao, sai tại sao.
- Đối với một số các câu hỏi khó giáo viên nên dự kiến câu trả lời và
chuẩn bị câu hỏi phụ để có thể nhanh chóng trợ giúp học sinh khi cần thiết.
- Sử dụng các câu hỏi gợi mở trong dạy học toán: giáo viên nêu ra câu
hỏi cho cả lớp suy nghĩ, sau đó gọi học sinh trả lời, rồi gọi học sinh khác nhận
xét về câu trả lời đó.

- Trong tổ chức dạy học trên lớp giáo viên có thể khuyến khích học
sinh tự đặt câu hỏi để các học sinh khác trả lời.
 Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề và đặt học sinh vào trong
các tình huống đó, để học sinh trực tiếp tham gia vào việc phát hiện vấn đề và
tìm cách giải quyết vấn đề đó một cách chủ động, tự giác, tích cực và sáng tạo,

Nguyễn Minh Ngân

10

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

thơng qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục
tiêu học tập khác.
Tình huống gợi vấn đề mà giáo viên tạo ra phải đảm bảo được ba yêu
cầu sau đây:
- Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa yêu cầu
thực tiễn với trình độ nhận thức của học sinh. Từ đó học sinh phải nhận thức
được một khó khăn nhất định trong tư duy hoặc trong hành động mà vốn hiểu
biết sẵn có của bản thân mình chưa đủ vượt qua. Nói cách khác, học sinh chưa
đủ để vượt qua, học sinh chưa giải đáp được và cũng chưa có quy tắc nào có
tính chất thuật tốn để giải đáp câu hỏi nảy sinh trong tình huống đó.
- Gợi nhu cầu nhận thức: Tình huống phải làm bộc lộ sự khiếm khuyết
về kiến thức và kĩ năng của học sinh để học sinh tự cảm thấy cần thiết phải bổ

sung, điều chỉnh, hoàn thiện tri thức và kĩ năng bằng cách tham gia giải quyết
vấn đề đó.
- Gây dậy niềm tin ở khả năng bản thân: Tình huống cần phải khơi dậy
cho học sinh thấy rõ được rằng tuy họ chưa có ngay lời giải nhưng đã có một
số kiến thức, kỹ năng liên quan gần gũi đến vấn đề đặt ra và nếu tích cực suy
nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết được vấn đề đó.
1.2.5. Phương pháp dạy học tích cực với các tình huống điển hình mơn tốn
Trong chương trình mơn tốn, ở những thời điểm khác nhau, có những
tình huống được lặp đi, lặp lại nhiều lần, điển hình nhất là các tình huống như
sau: dạy học khái niệm toán học, dạy học định lí tốn học, dạy học giải bài tập
tốn học.
 Dạy học khái niệm
- PPDH thụ động ( PPDH ít tích cực):
+ Cơng bố định nghĩa khái niệm tốn học.
+ Hoạt động luyện tập củng cố khái niệm toán học.
- PPDH tích cực:
+ Phân tích tìm các dấu hiệu đặc trưng của khái niệm toán học.

Nguyễn Minh Ngân

11

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

+ Hình thành định nghĩa khái niệm tốn học.

+ Nêu định nghĩa khái niệm toán học.
+ Hoạt động luyện tập củng cố.
 Dạy học định lí tốn học
- PPDH thụ động (PPDH ít tích cực):
+ Nêu nội dung định lí tốn học
+ Hoạt động chứng minh định lí tốn học.
+ Hoạt động luyện tập, củng cố định lí.
- PPDH tích cực:
+ Gợi động cơ học tập định lí
+ Dự đốn hoặc suy diễn dẫn tới định lí. Phát biểu định lí.
+ Phân tích tìm đường lối chứng minh định lí tốn học. Chứng minh
định lí.
+ Vận dụng định lí.
+ Củng cố định lí.
 Dạy học bài tập tốn học
- PPDH thụ động (ít tích cực):
+ Tóm tắt nội dung bài tốn.
+ Hoạt động chứng minh tốn học.
- PPDH tích cực:
+ Tìm hiểu nội dung đề bài.
+ Phân tích tìm đường lối chứng minh toán học.
+ Hoạt động chứng minh toán học.
+ Kiểm tra, nghiên cứu sâu và khai thác bài tốn.
 Kết luận:
Đối với mơn Tốn, do đặc thù của môn học, tôi nhận thấy rằng tư tưởng
cốt lõi và trọng tâm nhất của việc dạy học toán theo phương pháp tích cực
chính là tổ chức cho học sinh chủ động xây dựng định nghĩa khái niệm toán
học, chủ động tìm đường lối chứng minh tốn học.

Nguyễn Minh Ngân

12

K36B-SP Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

2. BÀI TOÁN VÀ BÀI TẬP TOÁN HỌC
2.1. Khái niệm về bài toán và bài tập toán học
Theo G.POLYA: Bài tốn là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích xác định, nhiều
khi trơng thấy rõ ràng, nhưng khơng thể đạt được ngay.
Bài tập tốn học là bài tốn trong đó có những u cầu đặt ra cho người
học nhằm đạt được mục đích dạy học nào đó.
2.2. Vai trị, ý nghĩa của bài tập toán học
2.2.1. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh
Trong thực tế, một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các kết luận tốn học. Khi giải một bài tốn địi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện của bài tốn, huy động tất cả các kiến thức đã cho trong đề toán
và các kiến thức đã biết khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra
kiến thức mới nữa... Cuối cùng, chúng ta đi đến được lời giải của bài tốn.
Như vậy, khi giải một bài tốn, khơng chỉ các kiến thức đã có trong bài
tốn mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng
cố qua lại nhiều hơn.
2.2.2. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của mơn Tốn là một mơn khoa học suy diễn, được xây
dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy nên lời giải của bài toán là một hệ thống

hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ ràng.
Vì vậy, việc giải một bài toán sẽ trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử
dụng các phép suy luận hợp lôgic: suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo
quy tắc suy diễn.
Chúng ta biết rằng sẽ khơng có một phương pháp chung nào để giải
được mọi bài toán. Mỗi bài tốn có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm
được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đốn
kết quả, kiểm tra kết quả, biết cách liên hệ với các vấn đề tương tự gần giống
nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái qt hóa...

Nguyễn Minh Ngân

13

K36B-SP Tốn


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Như vậy, qua việc giải bài toán, năng lực tư duy sáng tạo được rèn
luyện và phát triển.
2.2.3. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ
bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ mơn khoa
học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, nghĩa là giải quyết được các
bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy tốn thì bài tốn lại tham gia vào trong mọi tình
huống của q trình dạy học mơn Tốn.

Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức
gây tình huống để dẫn dắt học sinh đi đến định nghĩa khái niệm. Bài toán được
sử dụng đã nêu ra làm các ví dụ và phản ví dụ minh họa cho khái niệm. Bài
toán được sử dụng để luyện tập, củng cố và vận dụng khái niệm.
Trong giảng dạy định lí tốn học: Bài tốn được sử dụng để tổ chức gây
tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lí, đặc biệt là việc tổ
chức hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một chương nào đó của mơn
học.
Trong luyện tập toán học: Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết
luyện tập tốn học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ
thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau nhằm mục đích giúp học sinh
củng cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó.
2.2.4. Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh
Một đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động
đều có mục đích rất rõ ràng. Khi giảng một bài tốn ta ln có định hướng
mục đích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài tốn sẽ góp phần tích cực vào việc rèn
luyện năng lực hoạt động của con người.
Để giải một bài toán nhất là đối với các bài tốn khó, ta phải vượt qua
rất nhiều khó khăn, cần phải kiên trì nhẫn nại và nhiều khi ta phải có quyết
tâm rất lớn mới có thể giải được bài tốn đó. Như vậy, ta nhận thấy rằng hoạt

Nguyễn Minh Ngân

14

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

động giải bài tốn chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát
triển nhân cách của con người.
2.3. Phân loại bài tốn
 Phân loại theo hình thức bài toán
- Bài toán chứng minh: là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra
một cách rõ ràng trong đề bài của bài toán.
- Bài toán tìm tịi: là bài tốn mà trong đó kết luận của nó chưa thể hiện
rõ trong đề bài của bài toán.
 Phân loại theo phương pháp giải toán
- Bài toán có angơrit giải: là bài tốn mà phương pháp giải của nó theo
một angơrit nào đó hoặc mang tính chất angơrit nào đó.
- Bài tốn khơng có angơrit giải: là bài tốn mà phương pháp giải của
nó khơng theo một angơrit nào đó hoặc khơng mang tính chất angơrit nào đó.
 Phân loại theo nội dung bài tốn
- Bài tốn số học
- Bài tốn đại số
- Bài tốn hình học
 Phân loại theo ý nghĩa giải toán
- Bài toán củng cố kỹ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau
khi học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó.
- Bài tốn phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc địi hỏi phải có một khả năng tư duy
phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
2.4. Phƣơng pháp giải một bài tốn
Phương pháp tìm lời giải của bài tốn: dựa theo 4 bước của G.POLYA
2.4.1. Bước 1: Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài tốn ta phải phân tích đề bài của bài tốn, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:

- Những cái đã biết? Cái gì chưa biết của bài tốn?

Nguyễn Minh Ngân

15

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

- Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố
thay đổi, biến thiên của bài toán?
- Xác định ẩn và giá trị hằng của bài tốn.
- Dữ kiện của bài tốn có đủ để xác định cái cần tìm hay khơng?
2.4.2. Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Chúng ta có thể tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương
pháp sau:
- Phương pháp đi xi:
Xuất phát từ những điều đã cho (giả thiết của bài tốn) bằng suy luận
hợp lơgic, từng bước ta rút ra kết luận hợp lơgic cho đến khi tìm được kết luận
trùng với kết luận của bài tốn (tìm được cái cần tìm).
- Phương pháp đi ngược:
Xuất phát từ kết luận của bài tốn và bằng suy luận của hợp lơgic, từng
bước đi ngược lên để tìm ra các tiền đề lơgic của chúng, cho đến khi tìm được
những tiền đề lơgic trùng với giả thiết thì dừng.
2.4.3. Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta

dùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh
đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
2.4.4. Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm
được của bài tốn, khuyến khích học sinh tìm các cách giải khác nếu có của
bài tốn, nghiên cứu các bài tốn có lien quan với bài toán đã cho: bài toán
ngược, bài toán khái quát hóa, bài tốn tương tự.
Ví dụ: Phân tích q trình tìm lời giải bài tốn sau:
Tính các tổng sau:
𝑆1 =

1
1
1
+
+⋯+
1.2 2.3
𝑛(𝑛 + 1)

𝑆2 =

1
1
1
+
+ ⋯+
1.2.3 2.3.4
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

Nguyễn Minh Ngân

16

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Ta nhận thấy rằng hai tổng trên là hai dạng tương tự nhau: tổng của n
phân số có tử số đều là 1, mẫu là tích của hai và ba số liên tiếp.
Vậy nên, phương pháp chung để tính hai tổng 𝑆1 và 𝑆2 là tương tự
nhau: phân tích mỗi số hạng của hai tổng thành hiệu của hai phân số sao cho
từ số hạng thứ hai trở đi thì phân số bị trừ của phân số này sẽ là phân số trừ
của số hạng liền trước đó.
Ta có:
1
1 1
= − ;
1.2 1 2

1
1 1
1
1 1
= − ;
= − ; …………
2.3 2 3
3.4 3 4

1
1
1

= −
𝑛(𝑛 + 1)
𝑛
𝑛+1

Cộng theo vế của các đẳng thức trên, ta được:
𝑆1 = 1 −

1
𝑛+1

Vận dụng cách tìm tổng 𝑆1 ở trên ta tính tổng 𝑆2 như sau:
Ta có:
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
=
−
;
=

−
;
=
−
;…
1.2.3 2 1.2 2.3
2.3.4 2 2.3 3.4
3.4.5 2 3.4 4.5
1
1
1
1

=
−
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 2 𝑛(𝑛 + 1) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
Cộng theo vế của các đẳng thức trên, ta được:
𝑆2 =

1 1
1
−
2 1.2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

Tương tự, hãy tính tổng sau:
𝑃=

Nguyễn Minh Ngân

1

1
1
+
+⋯+
1.3 3.5
99.101

17

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Chƣơng 2: ỨNG DỤNG DẠY HỌC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Vectơ
1.1. Các định nghĩa
1.1.1. Vectơ ?
B

A

Cho đoạn thẳng AB, nếu ta quy định điểm A là điểm đầu (điểm gốc) và
điểm B là điểm cuối (điểm ngọn), thì ta nói rằng đoạn AB đã được định hướng
hay gọi là vectơ AB, kí hiệu là 𝐴𝐵 .
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 , … được gọi
là vectơ- không.

1.1.2. Hai vectơ cùng phƣơng, cùng hƣớng
Hai vectơ 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷 được gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm
trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 ⇔ 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 hoặc 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 thẳng hàng
B
D
A
C

Hai vectơ cùng phương 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷 được gọi là cùng hướng, nếu chiều
từ 𝐴 đến 𝐵 trùng với chiều từ 𝐶 đến 𝐷. Kí hiệu là 𝐴𝐵 ↑↑ 𝐶𝐷 .
𝐴𝐵 ↑↑ 𝐶𝐷 ⇔ 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 và hai tia 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 cùng hướng.

Nguyễn Minh Ngân

18

K36B-SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

B
C

A
D

Hai vectơ cùng phương 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷 được gọi là ngược hướng, nếu chiều
từ 𝐴 đến 𝐵 ngược với chiều từ 𝐶 đến 𝐷. Kí hiệu là 𝐴𝐵 ↑↓ 𝐶𝐷 .
𝐴𝐵 ↑↓ 𝐶𝐷 ⇔ 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 và hai tia 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 ngược hướng.
Chú ý:
+ Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ.
+ Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ – khơng thì hai
vectơ đó cùng hướng với nhau.
+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng
khi đã có hai vectơ đó cùng phương.
1.1.3. Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ 𝐴𝐵 chính là độ dài đoạn thẳng 𝐴𝐵. Kí hiệu là 𝐴𝐵 .
Như vậy 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵.
Theo đó, độ dài của vectơ – không bằng 0.
1.1.4. Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷 được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng phương,
cùng hướng và cùng độ dài. Kí hiệu 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 .
Chú ý:
+ Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên
tập các vectơ. Tập các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương và
được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như: 𝑎, 𝑏 , 𝑥 , 𝑦, …
+ Mọi vectơ – không đều bằng nhau và kí hiệu là 0.
+ Nếu cho vectơ 𝑎 và điểm 𝑂 thì có một điểm 𝐴 duy nhất sao cho
𝑂𝐴 = 𝑎 .

Nguyễn Minh Ngân

19

K36B-SP Toán