Sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 1

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Trường THPT TRẤN BIÊN
*******************
Mã số:…………………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH




Người thực hiện: VÕ THANH LONG
Lĩnh vực nghiên cứu: GIÁO DỤC
Quản lý giáo dục:
Phương pháp dạy bộ môn: TOÁN
Phương pháp giáo dục: Đổi Mới Phương Pháp Giảng Dạy
Lĩnh vực khác:………………………….


Năm học: 2014 – 2015
Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 2


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC


I. THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN

1. Họ và tên VÕ THANH LONG

2. Ngày tháng năm sinh: 02 / 01 / 1977.

3. Giới tính: Nam.

4. Địa chỉ: B9/10, Tổ 4, khu phố 1, Phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai.

5. Điện thoại di động: 0918806566.

6. Email:

7. Đơn vị công tác: Trường THPT Trấn Biên, Biên Hoà, Đồng Nai.

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

 Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học Sư phạm.

 Năm nhận bằng: 1999

 Chuyên ngành đào tạo: Toán

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC

 Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT

 Số năm có kinh nghiệm: 14 năm

 Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1) 2009 – 2010: Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức
2) 2012 – 2013: Một số phương pháp giải hệ phương trình dành cho học sinh lớp
10.
3) 2013 – 2014: Một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng.



Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN
*******************

CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các phương trình không mẫu mực,
phương trình bậc cao, phương trình chứa căn thức…là những bài toán khó đối
với học sinh phổ thông. Khi giải các bài toán này nếu áp dụng các phép biến
đổi thông thường học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải toán. Vì thế
mà học sinh không làm được bài, hoặc rất dài dòng trong lời giải, mất nhiều
thời gian có thể dẫn đến kết quả sai hoặc bế tắc trong quá trình hoàn thành lời
giải bài toán.
Khi đó việc dùng “ứng dụng đạo hàm” hay “phương pháp hàm số” là một
công cụ rất hay, rất nhanh gọn để giải quyết các bài toán trên, đặc biệt là ứng
dụng để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Việc giải

quyết các bài toán phương trình chứa căn, phương trình bậc cao, phương
trình mũ, logarit, nhất là các phương trình không mẫu mực dùng phương
pháp hàm số hay đạo hàm thì việc giải các bài toán trở nên một cách nhẹ nhàng,
dễ áp dụng và bài toán được giải nhanh chóng. Tôi xin mạo muội viết lại “Ứng
dụng đạo hàm để giải phương trình”, nhằm hỗ trợ cho học sinh có thêm một
tài liệu bổ sung, giúp các em học tốt hơn trong giải toán các bài toán nâng cao,
nhẹ nhàng hơn trong quá trình học toán cũng như ôn thi trong các kì thi THPT
quốc gia. Thêm một tài liệu để các giáo viên giảng dạy cho các em trong các kỳ
thi, trong quá trình bồi dưỡng thêm cho các em trên lớp.

II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy trên lớp, sau khi các em học xong tính đơn điệu
của hàm số. Tôi thực hiện ôn tập cho các em theo từng chủ đề. Khi giải phương
trình, bất phương trình và hệ phương trình , các em giải quyết bài toán bằng các
phương pháp đã biết ở lớp 10, lớp 11 rất khó khăn, nhiều em không làm được
hoặc không đi đến kết luận cuối cùng
Khi đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên, dùng đạo hàm hay phương pháp
hàm số để giải các bài toán trên thì việc giải toán trở nên nhẹ nhàng hơn, dễ
hơn. Trong lớp các em cũng hăng say hơn trong học tập môn toán.


Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 4

III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Do các em ở trường đa số là học sinh khá, giỏi nên các em tiếp thu phương
pháp mới một cách nhanh chóng, áp dụng linh hoạt, giải các bài tập tương tự
một cách thuần thục, gọn gàng. Từ đó việc giải các bài toán phương trình, hệ

phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình không còn là bài tập khó
đối với các em.
Sau khi áp dụng phương pháp này vào giảng dạy, điểm thi Đại học – Cao
đẳng của các em cao hơn hẳn, điều đó thể hiện qua việc bảng xếp hạng điểm thi
trên toàn quốc của trường Trấn Biên càng ngày càng tăng bậc, năm sau luôn
cao hơn năm trước.

IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Trong quá trình giảng dạy, đề tài này áp dụng cho các em từ học sinh trung
bình đến các em học sinh khá giỏi đều tiếp thu nhanh chóng và hiệu quả. Các
em hứng thú hơn trong học tập.
Các Thầy – Cô cũng sử dụng để giảng dạy cho các em học sinh trong lớp
giờ bài tập, giờ học tăng tiết, trong bồi dưỡng học sinh giỏi và đạt kết quả cao
trong các kỳ thi.

V. TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trong bài viết này có tham khảo các tài liệu của các tác giả:
 Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu: Phương pháp giải toán chuyên đề “
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Bất đẳng thức”.
 Trần Phương – Lê Hồng Đức: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn
toán “ Đại số sơ cấp”.
 Nguyễn Cam: Giải toán đại số”
 Trần Phương: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán “ Hàm số”.
 Các bài viết trên các trang web: Violet.vn, Hocmai.vn;…
 Các đề thi đại học các năm gần đây….

NGƯỜI THỰC HIỆN

Võ Thanh Long





Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 5


SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Trường THPT Trấn Biên
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––
Biên Hòa, ngày tháng 05 năm 2015

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2014 - 2015
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Họ và tên tác giả: VÕ THANH LONG Chức vụ: không
Đơn vị: Trường THPT Trấn Biên.
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)
- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay
tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả
cao 
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay
tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 
Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của
người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã
được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả
không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của
chính tác giả.
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của tác giả và người có
thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 6

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)





XÁC NHẬN CỦA TỔ
CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ
họ tên và đóng dấu)




Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 7

CHUYÊN ĐỀ


ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH


Nội dung chuyên đề:
Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
1 – Phương trình bậc cao.
2 – Phương trình chứa căn thức.
3 –Phương trình Mũ – Logarit.



Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 8


NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
A- Lý thuyết
Cho hàm số
( )
y f x

xác định trên khoảng I,
( ; )
a b

 I. Khi đó:
1.
( )
y f x

đồng biến trên
( ; )
a b


' 0
f x
 
,
( ; )
x a b


2.
( )
y f x

nghịch biến trên
( ; )
a b


' 0
f x
 

,
( ; )
x a b


3.
( )
y f x

đồng biến trên


;
a b
thì
 




;
min f x f a
a b

,
 





;
max f x f b
a b


4.
( )
y f x

nghịch biến trên


;
a b
thì
 




;
min f x f b
a b

,
 





;
max f x f a
a b


Chú ý:
 Nghiệm của phương trình
( ) ( )
f x g x

là hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
y f x

với đồ thị
( )
y g x

.
 Nếu hàm số
( ) 0
f x

,
( ; )
x a b


mà
( )

f x

liên tục tại a và b thì


( ) 0, ;
f x x a b
 

 Bất phương trình
( )
f x m

đúng
x I
 




min f x ,
I
m x I
  

 Bất phương trình
( )
f x m

đúng

x I
 




max f x ,
I
m x I
  


Nếu hàm số
( )
y f x

đơn điệu trên
D

thì phương trình
( )
f x k

nếu có nghiệm
0
x x

thì
0
x x


là nghiệm duy nhất.

Nếu hàm số
( )
y f x

đơn điệu trên
D
,

( ), ( )
u x v x
là các hàm số nhận giá trị
thuộc
D
thì ta có





( ) ( ) ( ) ( )
f u x f v x u x v x
  


Nếu
( )
y f x



là hàm số đồng biến (nghịch biến) thì
( )
n
y f x

đồng biến
(nghịch biến),
1
( )
y
f x
 với
( ) 0
f x


là nghịch biến (đồng biến),

( )
y f x
 

nghịch biến (đồng biến).

Tổng các hàm đồng biến (nghịch biến) trên
D
là đồng biến (nghịch biến) trên
D


Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) trên
D
là một hàm đồng biến
(nghịch biến) trên
D


Phương trình
( )
f x m


có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số
Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 9

( )
y f x

và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x

với đường thẳng
y m

. Nếu trên tập
D

hàm số
( )
y f x

đạt giá trị lớn nhất là p,
giá trị nhỏ nhất là n thì phương trình
( )
f x m

có nghiệm khi
n m p
 


 Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, ta cần thực hiện:
 Tìm tập xác định của phương trình.
 Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt
( )
f x

bằng một biểu thức nào đó.
 Tính đạo hàm
( )
f x
, rồi dựa vào tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số để
kết luận nghiệm của phương trình.
 Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu học sinh
nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:
 Phương trình
( )

f x m


có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm
số
( )
y f x

và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x

với đường thẳng
y m


Để giải các bài toán: Tìm giá trị của tham số để phương trình (hoặc bất
phương trình) có nghiệm ta thực hiện các bước sau:
o Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( ).
f x g x


Tìm tập xác định của hàm số
( ).
y f x


o Tính
'( )

f x

o Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền
D
. Tìm
max ( ); min ( )
x D
x D
f x f x


.
 Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp, ta có thể đặt ẩn
phụ thích hợp
( )
t x
 
, từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t
(với bài toán chứa tham số, ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ, ta
thường dùng là đánh giá bằng bất đẳng thức, hoặc đôi khi phải khảo sát hàm
( )
t x
 
) để có thể tìm được điều kiện chính xác của biến mới t).
 Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụng phương
pháp hàm số như trên

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 10

B – Các ví dụ minh họa

I − Phương trình bậc cao

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình sau có nhiệm duy nhất

5 2
2 1 0
x x x
   
( ĐH KD − 05)
Nhận xét :
Đây là một phương trình mà khi giải nó cần có sự có mặt của tư duy hàm số. Sau
đây là một vài cách người thầy giúp học sinh tiếp cận lời giải .
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng
2 2
3 3
1 1
1
x
x x
x x

   
   
   
   

(*)
Nhận xét nếu
0
x x

là nghiệm của phương trình thì
0
0
x

. Vì vậy trong phương
trình (*) ta chỉ xét
0.
x


Mặt khác
3
( )
f x x

là hàm số đồng biến trên


0;

, và hàm số
2
1
( ) 1g x

x
 
 
 
 

nghịch biến trên


0;

nên phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm trên


0;

.
Hàm số
5 2
( ) 2 1
h x x x x
   
liên tục trên
R
,
(1) 3, (2) 23
h h
  
.
nên

(1). (2) 0
h h

. Theo định lý hàm số liên tục thì
( ) 0
h x


có nghiệm thuộc
khoảng


1;2
.
Kết hợp với điều kiện trên ta có phương trình có nghiệm duy nhất.
Cách 2: Biến đổi phương trình như sau:


2
5
1
x x
 

từ phương trình ta thấy nếu phương trình có nghiệm
x
thì
0
x






2
5
0 1 1, 1 1
x x x
     
nên phương trình vô nghiệm


1
x

: xét hàm số
5 2
( ) 2 1
h x x x x
   
,
có
4 3 4 4
'( ) 5 2 2 2 ( 1) 2( 1) 0, 1
h x x x x x x x x
          
nên
( )

h x
đồng
biến trên


0;

 phương trình
( ) 0
h x


có nhiều nhất một nghiệm.
Lại có
5 2
( ) 2 1
h x x x x
   
liên tục trên R nên liên tục trên


1;2

(1) 3, (2) 23
h h
  
nên
(1) (2) 0
h h


. Theo định lý hàm số liên tục thì
( ) 0
h x


có
nghiệm thuộc khoảng


1;2
.
Kết hợp với điều kiện trên ta có phương trình có nghiệm duy nhất.

Cách 3: Biến đổi phương trình


2
5
1
x x
 

Ta có:




2 2
5 5
1 0 0 1 1 1 1

x x x x x
          
sau đó lại xét hàm số
5 2
( ) 2 1
h x x x x
   
như trên.
Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 11


Ví dụ 2. Tìm m để phương trình
2
2( 2) 5 4 0
x m x m
    
(1) có hai nghiệm
phân biệt
1 2
,
x x

thoả mãn:
1 2
1
x x
  
.
Nhận xét:

Do trong chương trình mới không có mặt định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai nên
việc sử dụng định lý này học sinh phải chứng minh. Vì vậy ta áp dụng phương pháp
hàm số là phù hợp
Giải
Biến đổi phương trình như sau:



2
4 4 2 5 (1)
x x m x
    


Vì
5
2
x
 
không là nghiệm nên
(1)
2
4 4
2 5
x x
m
x
  
 


Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng
y m


cắt đồ thị hàm số
2
4 4
( )
2 5
x x
f x
x
  


tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1 2
,
x x

thoả mãn
1 2
1
x x
  

Ta có
 
2

2
7
2 10 28
'( ) 0
2
2 5
x
x x
f x
x
x
 

  
  




.
Bảng biến thiên







Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
3

m
 

là giá trị cần tìm


Nhận xét :
Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau:
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

và thoả mãn (x
1
+1)(x
2
+1)<0

Bình luận:
Bài toán trên có thể được hỏi trực tiếp bằng hàm số như sau:
Tìm m để hàm số
   
3 2 2
1
2 5 4 1
3
y x m x m x m
      
có cực trị tại hai điểm

x
1
, x
2
và thoả mãn x
1
< −1 < x
2
. Đây là một câu hỏi mà các thí sinh thường gặp trong
các kỳ thi Đại học, Cao đẳng. Qua bài toán này người thầy cần nhấn mạnh thêm cho
học sinh thấy được mối quan hệ giữa phương trình và đồ thị hàm số, đồng thời phát

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 12

triển ở học sinh tư duy linh hoạt, biết lột bỏ cái ngụy trang của bài toán để đưa
chúng về bài toán quen thuộc. Đây cũng chính là nội dung của phương pháp “ Quy
lạ về quen” mà Giáo sư Nguyễn Bá Kim đề cập trong cuốn :
“Phương pháp giảng dạy toán ” . Tập 1- NXB GD

Ví dụ 3. Tìm a để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

6 5 4 3 2
3 6 6 3 1 0
x x x ax x x
      
(1)
Giải
Vì
0
x


không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho
3
x
ta
được
3 2
3 2

1 1 1
3 6
x x x a
x x x
     
     
     
     

Đặt
2
1
0
t x x tx
x
    
. Để tồn tại
x
thì
2
t 4 0 t 2
     

Phương trình trở thành:
3 2
3 9 6
t t t a
   
(2)
Để ý rằng với

2
t
 

phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm
x
, còn với mỗi
t 2


cho tương ứng với 2 giá trị của
x
.
Do đó, (1) có 2 nghiệm phân biệt

(2) có 2 nghiệm
2
t
 
hoặc có đúng 1 nghiệm
t
sao cho
t 2


* Trường hợp 1: (2) có 2 nghiệm
2
t
 
2 a 6

22 a 6
 



 

không thoả mãn.
* Trường hợp 2: (2) có đúng 1 nghiệm
t
sao cho
t 2


Xét hàm số
3 2
3 9
y t t t
  
với




t ; 2 2;
    
.
2
1
'( ) 3 6 9 0

3
t
y t t t
t


     

 


Bảng biến thiên


Từ bảng biến thiên,  (2) có đúng 1 nghiệm
t
sao cho
t 2



a 6 27 a 21
a 6 2 a 4
  
 
 
 
   
 

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 13

Kết luận: giá trị của a thoả mãn
a 21
a 4



 


Nhận xét :
Đây là dạng toán gặp khá nhiều, khi làm cần lưu ý
+ Đặt ẩn phụ t chuyển sang phương trình mới với
t D


(cần đánh giá để được miền giá trị của t ứng với miền giá trị của x ).
+ Đưa phương trình về dạng cơ bản
( ) ( ),
f t g m t D
 
.

Ví dụ 4. Cho phương trình
   
4 2 2 2
( 1)
x x x m x
(3). Tìm m để phương trình có
nghiệm.
Giải
Phương trình đã cho tương đương

   
     
   
3 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2

4( ) 4 ( 1) 4 2 2
4 2. ( ) 4
(1 ) (1 ) 1 1
x x x x x x x x
m m m
x x x x

Đặt
 
2
2
; 1;1
1
x
t t
x
  


Khi đó phương trình (3) trở thành
2
2 4
t t m
 

(3) có nghiệm  (*) có nghiệm
Xét hàm số
2
( ) 2
y f t t t

  

với


1;1
t
 
.
Ta có


'( ) 2 2 0, 1;1
f t t t
    

Bảng biến thiên






Từ bảng biến thiên 
1 3
1 4 3
4 4
m m
      

Bình luận :
Các bài tập có dạng như trên nếu học sinh giải theo hướng khác thì gặp rất
nhiều khó khăn, phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho các lớp
bài tập dạng này .

Ví dụ 5. Tìm m để phương trình
3 2
18 2 0
x x mx m
   
(1)
Có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x x x
sao cho
1 2 3
0
x x x
  
.
(Đề thi thử ĐH – Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định)
Giải
(*)



Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 14

Nhận xét: Bài toán trên nếu giải theo phương pháp đại số thông thường thì học sinh
sẽ phải dùng đến định lý viét cho phương trình bậc ba - Đây là định lý không được
trình bày trong chương trình phổ thông, nếu dùng thì học sinh phải chứng minh. Ta
hãy xét cách giải sau bằng phương pháp hàm số .

Biến đổi phương trình như sau
(1)
3 2
2 (9 1) (1)x x m x    
Vì
1
9
x  không là nghiệm của phương trình nên
3 2
(1) 2
9 1
x x
m
x
 
 


Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
( )
9 1
x x
f x
x

 


và đường thẳng 2y m . Ta có
 
2
2
0
2 3 1
'( ) 0
1
(9 1)
3
x
x x
f x
x
x


 

  




.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m < 0 là giá trị cần tìm.
Nhận xét:

Ta thấy cách giải bài toán trên là rất tự nhiên, phù hợp với tư duy, nhận thức của
học sinh. Khi đã rất quen thuộc với bảng biến thiên. Với cách giải như trên chúng ta
có thể giải quyết nhiều câu hỏi khó khác nhau của bài toán như: Tìm m để phương
trình (1) có nghiệm duy nhất, hay tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,x x x

sao cho
1 2 3
1
0
3
x x x   
.


Ta xét cách giải khác sau bằng điều kiện cần và đủ. Giả sử tìm được m thoả mãn
yêu cầu bài toán khi đó:

3 2
1 2 3
( ) 18 2 ( )( )( )f x x x mx m x x x x x x       
Do
1 2 3
0x x x   nên
(0) 0f 

hay 0m 
Với 0m  ,
(0) 2 0, (1) 16 0.f m f m    
lim ( )
x
f x

  , lim ( )
x
f x

 
Nên tồn tại 1a sao cho
( ) 0

f a
, tồn tại 0b sao cho
( ) 0

f b
. Từ đó theo
định lý hàm số liên tục ta thấy phương trình (1) có ba nghiệm
1 2 3
, ,x x x

thoả
     
1 2 3
;0 , 0;1 , ;x b x x a    . Suy ra điều phải chứng minh.

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 15


Ví dụ 6. Tìm m để phương trình:


3
6 2
4 1
x x m
  

(6) có nghiệm trên đoạn


1;1

Giải
Đặt


3
6 2
4 1
y x x
   . Đặt


2
0;1
u x  . Ta có (6) có nghiệm khi phương trình


3
3
4 1 0
u u
  
có nghiệm trong đoạn


0;1

Xét hàm số
3 3 3 2
4(1 ) 12 12 4
y u u u u u
       
 
2
1 2
2
' 9 24 12 ' 0 0;1 ; 2 1
3
y u u y u u
           

Bảng biến thiên








Nhìn bảng biến thiên ta có
 
 
0;1
0;1
4

max 4; min
9
y y
 

Vậy phương trình có nghiệm khi
4
4
9
m
 
.
Nhận xét:
Ngoài cách giải bằng hàm số như trên, học sinh cũng có thể sử dụng bất đẳng thức
Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất suy ra
điều kiện có nghiệm như sau:
Đặt


6 6 6 6 6
sin sin 4cos sin cos 3cos
x u y u u u u u
      




2 2
sin cos 3 4
y u u

   
 
0;1
max 4
y
 

Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có
6 6 2
3
6 6 2
3
8 8 8 8
4
sin 3 sin sin
27 27 27 27 3
4 4 4 4 4
4cos 3 4cos cos
27 27 27 27 3
u u u
u u u

     



     


 

6 6 2 2
8
4 4 12 4
sin 4cos sin cos
9 3 3 9 9
y u u u u y
         
.
Với
 
0;1
2 4 4
min 4
3 9 9
x y y
     

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 16


Các bài tập tương tự:

1. Tìm các nghiệm âm của phương trình
6 5
2 3 0
x x
  
Đáp số:
1
x
 

2. Cho phương trình
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m
     
. Với giá trị nào của m
thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt dương. Đáp số:
1
m

.
3. Xác định m để phương trình
3 2

3 9 0
x x x m
   
có ba nghiệm lập thành cấp
số cộng. Đáp số:
11
m

.
4. Tìm m để phương trình
4 3
4 8 0
x x x m
   
có nghiệm phân biệt.
Đáp số:
4 5
m
  

5. Giải phương trình
4 3 2
4 4 3 2 0
x x x x
    

Đáp số:


3 3

1
1, 2 5 2 5
2
x x    



Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 17


II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Ví dụ 1. Giải phương trình
2
4 1 4 1 1
x x
   
(1)
Giải
Điều kiện:
2
4x 1 0
1
x
2
4x 1 0
 

 


 

. Tập xác định
1
;
2
D
 
 


 

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số

2
4 1 4 1 1
y x x
    
và trục Ox.
Xét hàm số
2
4 1 4 1 1
y x x
    
có tập xác định
1
;
2

D
 
 


 

Có
2
2 4 1
' 0,
2
4 1
4 1
x
y x
x
x
    


 hàm số đồng biến
D

Do đó phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy
1
2
x


thỏa mãn phương trình
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm
1
2
x



Ví dụ 2. Giải phương trình
2 2
3 2 1
x x x x
     
(2)
Giải
Đặt
2
t x x
 
, phương trình (2) viết lại:
3 1 2
t t
   
(2’)
Điều kiện:
3 2
t
  
.
 Xét hàm số

( ) 3
f t t
 
xác định trên


3;2
D
 




1
'( ) 0, 3;2
2 3
f t x
t
     

 hàm số đồng biến trên
D

 Xét hàm số
( ) 1 2
g t t
  
xác định trên



3;2
D
 




1
'( ) 0, 3;2
2 2
g t x
t
      

 hàm số nghịch biến trên D
Do đó phương trình (2) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy
1
t


thỏa mãn phương trình (2’)
Khi đó:
2
1 5
1
2
x x x

   

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm
1 5
2
x



Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 18

Ví dụ 3. Giải phương trình
2 2
1 1 1 1
x x x x x x
        
(3)
Giải
Điều kiện
2 2
2 2
1 0 1 (*)
1 1 0 1 1 (2*)
x x x x x x
x x x x x x
 
       
 

 
         

 
 

2
2
0
1 0
0
(*)
0
0
1 0
x
x x
x
x R
x
x
x x
 




  




   




 





  



2
2
1 0
1 0
1
(2*)
1
1 0
1 0
x
x x
x
x R
x
x
x x
  





  
 



   


 
  





  



Vậy tập xác định
D R


Phương trình (3) viết lại:
2 2
1 1 1 1

x x x x x x x x
          

Xét hàm số
2
( ) 1
f x x x x x
    
(a) có tập xác định
D R


Có
 
2
2 2 2
'
2 1 2 1
'( ) 1 1
2 1 4 1. 1
x
x x x
f x
x x x x x x x x x

   
   
        

Nhận xét:

2 2
2 1 2 1 (2 1) 3 2 1 2 1 2 1 0,
x x x x x x x x R
               

'( ) 0,
f x x R
   

nên hàm số
( )
f x
luôn đồng biến
x R
 

Khi đó phương trình (3)
( ) ( 1) 1
f x f x x x
     

vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 4. Giải phương trình
2 2 2
45
2 5 4 40 5
4
x x x x x x

       


Giải
Tập xác định:
D R


Xét hàm số
2 2
( ) 2 5 4 40
f x x x x x
     
có tập xác định
D R


Ta có:
2 2
1 2
'( )
2 5 4 40
x x
f x
x x x x
 
 
   

   

2 2
'( ) 0 1 4 40 2 2 5
f x x x x x x x
         

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 19

 


 


  
2 2
2 2
1 4 40 2 2 5
1 2 0
x x x x x x
x x

      



  



2 2
36( 1) 4( 2)
5 5
à 5
1
2 2
2
x x
x v f
x
x

  

 
     
 


 
 






2 2
2 2
6 35

lim ( ) lim 3
2 5 4 40
6 35
lim ( ) lim 3
2 5 4 40
x x
x x
x
f x
x x x x
x
f x
x x x x
 
 

 
    

  
    

Bảng biến thiên

Xét parabol (P):
2
45
( ) 5
4
g x x x
  

Có
5
'( ) 2 5 '( ) 0
2
g x x g x x
      
, ta có
5
5
2
g
 
 
 
 

Bảng biến thiên của Parabol (P):

Dựa vào đồ thị hàm số
( )
f x
và
( )
g x
ta thấy
5
2
x
 
là nghiệm duy nhất của
phương trình
Vậy phương trình có một nghiệm
5
2
x
 

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 20

Ví dụ 5. Giải phương trình :
3
3
5 1 2 1 4
x x x
    
(5)
Nhận xét
Quan sát vế trái của phương trình (5), ta thấy khi
x
tăng thì giá trị của biểu thức

trong căn cũng tăng. Từ đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến, vế phải bằng 4 là hàm
hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu
Giải
Điều kiện:
3
1
5
x 
, khi đó đặt
3
3
( ) 5 1 2 1
f x x x x
    

2
3 2
3
15 2
'( ) 1 0
2 5 1 3 (2 1)
x
f x
x x
   
 
,
3
1
( ; )

5
x
  

 Hàm số đồng biến trên
3
1
;
5
 



 
. Mà
(1) 4
f

nên
1
x

là nghiệm duy nhất của
phương trình.

Ví dụ 6. Giải phương trình:









2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2
x x x x x x
         

Giải
Điều kiện:
1
2
x


Viết lại phương trình dưới dạng như sau:




2 1 3 2 6 4
x x x
     

Nhận thấy
2 1 3 0 5
x x
    

hơn nữa hàm

( ) 2 1 3 0, 5, ( ) 2 6 0, 5
g x x x h x x x x
           

( ), ( )
g x h x
đồng biến với
5
x
 
.
mà
(7) 4
f

nên
7
x

là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 7. Giải phương trình:
2 2
3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0
x x x x x
       
(7)
Giải
Tập xác định
D R



Cách 1: Dùng phương pháp đánh giá:
Viết lại phương trình dưới dạng:





2 2
3 2 (3 ) 3 (2 1) 2 [ (2 1) ] 3
x x x x
        

Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn
3 (2 1) 0
x x
 
hay
1
;0
2
x
 
 
 
 

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 21

nhận thấy
1
3 (2 1)
5
x x x
     
thì hai vế của phương trình bằng nhau.
Vậy
1
5
x
 
là nghiệm của phương trình. Hơn nữa ta thấy nghiệm
1 1
;0
5 2
x
 
   
 
 

Ta chứng minh
1
5
x
 
là nghiệm duy nhất.


Với
   
2 2
1 1
3 2 1 0 3 2 1
2 5
x x x x x
           

nên ta có
2 2
2 (3 ) 3) 2 (2 1) 3
x x
     






2 2
3 2 (3 ) 3 (2 1) 2 [ (2 1) ] 3
x x x x
         

hay





2 2
3 2 (3 ) 3 (2 1) 2 [ (2 1) ] 3 0
x x x x
        

suy ra phương trình vô nghiệm trên khoảng
1 1
;
2 5
 
 
 
 
.

Với
1
0
5
x
  
làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô nghiệm trên
1
;0
5
 

 
 
Vậy nghiệm của phương trình là

1
5
x
 

Cách giải trên sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy
nhất
Ta xét cách giải khác sau bằng phương pháp hàm số.

Cách 2: Viết lại phương trình (7) dưới dạng:





2 2
3 2 (3 ) 3 (2 1) 2 [ (2 1) ] 3
x x x x
        

Xét hàm số


2
2 2
2
( ) 2 3 , '( ) 2 3 0
3
t
f t t t f t t

t
       


 hàm số luôn đồng biến trên
R

Do đó (7)
 
1
(3 ) (2 1) 3 (2 1)
5
f x f x x x x
          

Nhận xét:
Qua hai cách giải trên chắc các thầy cô đều đồng ý là cách giải thứ hai hay và tự
nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu. Tôi đã kiểm nghiệm phương trình này trên
lớp ôn thi đại học và không có học sinh nào giải theo cách giải 1 vì nó thiếu sự tự
nhiên, không có “manh mối“ để tìm lời giải. Đây là bài toán khó đối với học sinh, các
em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải phương trình này.
Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 22

Do đó chúng ta cần gợi ý, hướng dẫn để các em đưa về được hàm số rồi áp dụng
phương pháp hàm số để giải.

Ví dụ 8. Giải phương trình:
3 2 3 2
3 3

2 2 3 1 3 1 2
x x x x x x
       

(8)
Giải
Biến đổi (8)
3 3 2 2
3 3
2 3 1 2 3 1 2 2
x x x x x x
         
(*)
Xét hàm số
3
( )
f t t t
 

 
23
1
'( ) 1 1, \ 0
3
f t t R
t
     

 hàm số đồng biến trên



\ 0
R

3 2
(*) (2 1) ( 2)
f x x f x
    

3 2 2
1 1 5
2 1 2 (2 1)( 1) 0 ;
2 2
x x x x x x x
 

 
            
 
 
 


Ví dụ 9. Giải phương trình
2 2
3 3
3 3
2 2 1 2 1
x x x x
     

Giải
Ta có
2 2 2 2
3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x
             (*)
Xét hàm số
3 3
( ) 1
f t t t
  
dễ thấy hàm số
( )
f t
đồng biến trên


\ 0; 1
R


nên (*) 
2 2
1
(2 ) ( 1) 2 1 1
2
f x f x x x x hay x

        


Ví dụ 10. Giải phương trình
3
3
6 1 8 4 1
x x x
   

Giải
Biến đổi phương trình tương đương với
3 3
3 3
6 1 8 4 1 6 1 6 1 (2 ) 2
x x x x x x x
         
(*)
Xét hàm số
3
( )
f t t t
 
dễ thấy
( )
f t
đồng biến trên R,
nên (*)




3
6 1 (2 )
f x f x
 

3 3
3
1
6 1 2 8 6 1 4 3
2
x x x x x x
        
(1)
 Nếu
1
x

thì
3
1
4 3 4 3 (1)
2
x x x x     vô nghiệm.
 Nếu
1
x

, đặt



cos , 0;
x t t

 
phương trình trở thành
3
1 1 2
4cos 3cos cos3
2 2 9 3
t t t t k
 
       
Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 23

chọn các nghiệm trong khoảng


0;
t


ta có nghiệm
5 7
, ,
9 9 9
t t t
  
  

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là
5 7
cos ; cos ; cos
9 9 9
x x x
  
  
Bình Luận:
Bài toán trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số :

( )
f t
đơn điệu thì
1 2 1 2
( ) ( )
f t f t t t
  
. Tuy nhiên mỗi bài toán trước khi áp
dụng được tính chất trên vào giải phương trình thì người giải toán cần phải biến
đổi, lột bỏ được cái nguỵ trang của bài toán, đưa về dạng thích hợp có lợi cho việc
sử dụng công cụ giải toán.

Ví dụ 11. Giải phương trình:
2 2
15 3 2 8
x x x
    

Giải
Xét hàm số

2 2
( ) 3 2 8 15 0
f x x x x
      

+ Nếu
2 2
2
3 2 0, 8 15 0
3
x x x x
       
. Vì vậy
2
3
x

không là nghiệm
+ Nếu
2 2
2 1 1
, '( ) 3 0
3
8 15
x f x x
x x
 
    
 
 

 

Vậy
( )
f x
đồng biến khi
2
;
3
x 
(1) 0 1
f x
  

là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 12. Giải phương trình sau:
3 3 3
2 1 2 2 2 3 0
x x x
     
(12)
Giải
Xét phương trình:
3 3 3
2 1 2 2 2 3 0
x x x
     
.
Tập xác định


D R

Đặt
3 3 3
( ) 2 1 2 2 2 3
f x x x x
     

Ta có:
2 2 2
3 3 3
2 2 2 3 1
'( ) 0, , , 1
2 2
(2 1) (2 2) (2 3)
f x x
x x x
 
        
 
 
  

Suy ra hàm số
( )
f x

đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ta thấy

( 1) 0 1
    
f x
là một nghiệm của (12).
Ta có:
3)
2
3
(;3)
2
1
(  ff
Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 24

Bảng biến thiên của hàm số
( )f x


Từ bảng biến thiên ta thấy
( ) 0 1   f x x

Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm 1 x .

Nhận xét:
Nhiều phương trình vô tỷ được giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp sau đó
đưa về hệ phương trình, từ đó vận dụng hàm số để giải.

Ví dụ 13. Giải phương trình:
3 2 2

3
4 5 6 7 9 4x x x x x     

Giải
Đặt
2
3
7 9 4, 0y x x y   

Ta có
3 2 3 2
2 3 3 3
4 5 6 4 5 6
7 9 4 ( 1) 1
x x x y x x x y
x x y x x y y
 
       
 

 
       
 
 

Xét hàm số
3 2
( ) , '( ) 3 1 0f t t t f t t    
,
t R 

 hàm số đồng biến trên
R


1y x 
3 2
1 5
4 6 5 0 5;
2
x x x x
 
 
 
      
 
 
 

Bình Luận:
Một trong những ứng dụng mạnh và lý thú của hàm số là vận dụng vào việc tìm
điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước.
Đây cũng là một trong những dạng toán quen thuộc mà học sinh hay gặp trong
câu V của các đề thi vào các trường đại học trong những năm gần đây.

Ví dụ 14. (ĐH KA-08) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m      
Giải
Đặt

4 4
( ) 2 2 2 6 2 6f x x x x x       ,
 
0;6x 


3 3
4 4
1 1 1 1
'( ) ( ) ( )
2 6
2 (2 ) 2 (6 )
f x u x v x
x x
x x
 
 
     
 
 
 

 

 

Trường THPT Trấn Biên Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
Võ Thanh Long Page 25

 
3 3
4 4
1 1
0;2 ( ) 0,
2 (2 ) 2 (6 )
x u x
x x
     

1 1
( ) 0
2 6
v x
x x

  


 
3 3
4 4
1 1
2;6 ( ) 0,
2 (2 ) 2 (6 )
x u x
x x
     

1 1
( ) 0
2 6
v x
x x
  


'( ) 0 2f x x   

Bảng biến thiên :


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm thực phân biệt k
hi
4
4

2 6 2 6 12 2 3m   

Bình luận
Đây là bài toán khó về ứng dụng của hàm số trong việc giải phương trình. Việc
tính đạo hàm đã gây nhiều khó khăn cho học sinh, nhưng việc xét dấu của đạo
hàm còn phức tạp hơn . Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và
kỹ năng vững vàng mới giải được. Đây là câu khó khăn nhất của đề Khối A năm
2008. Ta xét thêm một số ví dụ khác

Ví dụ 15. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương

2
11 7
4 1
2
x m
x x
 
   
 
 

Giải
Đặt
2
11 7
4 1
2
y x
x x

 
   
 
 
, ta có
2
2 2
11 28
' 1
2
4 28
y
x
x x
  



2
2 2
11 28
' 0 ( ) 1
2
4 28
y g x
x
x x
    


Lại có ( )g x nghịch biến với 0x ,
(3) 1 3  g x

là nghiệm duy nhất
mà
3 ( ) 1 ' 0
3 ( ) 1 ' 0
x g x y
x g x y
    
    

vì vậy ta có bảng biến thiên sau