Dạy học kiến thức tập hợp và logic toán cho học sinh trung học phổ thông theo hướng tăng cường vận dụng vào học tập môn toán và thực tiẽn

I
bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

Phan thị thanh bình
Dạy học kiến thức tập hợp và lôgic toán
cho học sinh trung học phổ thông theo hớng
tăng cờng vận dụng vào học tập môn toán và
thực tiễn
Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục
NGH AN - 2014
II
bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

Phan thị thanh bình
Dạy học kiến thức tập hợp và lôgic toán
cho học sinh trung học phổ thông theo hớng
tăng cờng vận dụng vào học tập môn toán và
thực tiễn
Chuyên ngành: Lý luận và PPdh bộ môn toán
Mã số: 60.14.01.11
Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục
Ngời hớng dẫn khoa học:
TS. Chu trọng thanh

NGH AN - 2014
Lời cảm ơn
Trớc hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ
Chu Trọng Thanh ngời thầy đã nhiệt tình hớng dẫn tôi hoàn
thành luận văn này trong thời gian qua.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban
giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau Đại học tr ờng Đại
học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng
dạy trong suốt quá trình tôi học tập, nghiên cứu và hoàn
thành các chuyên đề thạc sĩ khoá 20, ngành Toán tại tr-
ờng Đại học Vinh.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban
giám hiệu, tổ Toán tr ờng THPT Hồng Lam, Thị Xã Hồng
Lĩnh, Hà Tĩnh, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong
quá trình tôi tiến hành thực nghiệm s phạm.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý
kiến góp ý quý báu của các thầy cô giáo thuộc chuyên
ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán.
Cuối cùng, tôi xin đợc gửi lời cảm ơn tới gia đình,
bạn bè, đồng nghiệp - những ng ời luôn cổ vũ động viên
tôi để tôi hoàn thành tốt Luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn
không tránh khỏi những thiếu sót cần đ ợc góp ý, sửa
chữa. Rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của
các thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, thỏng 10 nm 2014
Tỏc gi
MC LC
Trang
III
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6
1.1. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn
toán hiện nay ở nước ta.
6

1.2. Một số vấn đề lý luận về tư duy và ngôn ngữ. 7
1.3. Một số vấn đề lý luận về vận dụng kiến thức toán học vào
thực tiễn.
19
1.4. Thực trạng hình thành và sử dụng hệ thống tri thức về tập
hợp và lôgic cho học sinh trong dạy học hiện nay.
33
1.5. Kết luận Chương 1 35
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC KIẾN THỨC
TẬP HỢP VÀ LÔGIC TOÁN THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG
VẬN DỤNG VÀO HỌC TẬP MÔN TOÁN VÀ THỰC TIỄN
36
2.1. Phân tích nội dung kiến thức về tập hợp và lôgic trong
chương trình môn toán THPT.
36
2.1.1. Kiến thức lôgic toán trong môn Toán THPT 36
2.1.2. Kiến thức tập hợp trong môn Toán THPT 42
2.2. Các định hướng xây dựng biện pháp 47
2.3. Các biện pháp dạy học kiến thức tập hợp và lôgic theo
hướng tăng cường vận dụng vào học tập môn toán và thực
tiễn.
50
2.3.1. Biện pháp 1: Giúp học sinh nắm chắc kiến thức
chương: “Mệnh đề - Tập hợp”
50
2.3.2. Biện pháp 2: Làm rõ kiến thức về tập hợp và lôgic
vận dụng trong các tình huống dạy học môn Toán và các chủ
đề học tập tiếp theo có liên quan.
56
2.3.3. Biện pháp 3: Tăng cường các bài toán có nội dung

thực tiễn
74
IV
2.4. Kết luận chương 2 86
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 87
3.1. Mục đích thực nghiệm 87
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 87
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 90
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm 93
KẾT LUẬN 94
TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 - 97
V

VI
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Luật Giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)
quy định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn ”.
Định hướng đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục Việt Nam hiện nay
cũng hướng đến việc đào tạo học sinh thành những người biết kiến tạo cho
mình kiến thức và sử dụng những kiến thức học được vào giải quyết các nhiệm
vụ đặt ra trong thực tiễn.
Chính vì vậy, khi dạy học mỗi hệ thống kiến thức trong nhà trường phải
luôn quan tâm đến việc tạo cơ hội để người học sinh được sử dụng kiến thức đã
học vào những tình huống đa dạng của môn học và thực tiễn.
1.2. Toán học có nguồn gốc thực tiễn và ngày càng xâm nhập vào mọi lĩnh
vực của đời sống. Môn Toán ở trường phổ thông học có nhiệm vụ trang bị cho

học sinh một hệ thống kiến thức toán học phổ thông cơ bản, vững chắc cùng
với các phương pháp toán học và các kỹ năng thích hợp để vận dụng vào giải
quyết các vấn đề đặt ra trong thực tiễn có liên quan.
1.3. Toán học hiện đại được xây dựng trên nền tảng của lí thuyết tập hợp
và lôgic toán. Lí thuyết tập hợp và lôgic toán cũng còn giúp cho việc trình bày
các tri thức toán học ở nhà trường phổ thông được chính xác, rõ ràng và nhất
quán hơn.
Ở nước ta, một số kiến thức về lí thuyết tập hợp và lôgic đã được đưa vào
nhà trường phổ thông với tư cách là nền tảng của giáo trình môn toán. Tinh
thần của chương trình là khai thác phương diện ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp
và lôgic toán để người học có khả năng hiểu và sử dụng được những thuật ngữ
thông dụng về tập hợp và lôgic toán vào diễn đạt các tư tưởng toán học đa
1
dạng, diễn đạt một cách khoa học, ngắn gọn các tình huống thực tiễn, làm cho
kiến thức về tập hợp và lôgic toán trở thành công cụ hữu ích trong việc giải
quyết các tình huống đa dạng của thực tiễn. Tuy nhiên - như thực tiễn sư phạm
đã cho thấy năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của
học sinh trong giải toán ở THPT nhìn chung chưa đạt đến mức độ mà có thể đạt
tới. Nguyên nhân dẫn tới điều này phải chăng vì giáo viên chưa ý thức được
tầm quan trọng, hoặc chưa có những biện pháp sư phạm thích hợp để phát triển
hệ thống tri thức về tập hợp và lôgic cho học sinh?.
1.4. Trong những năm qua, ở nước ta, đã có một số công trình nghiên cứu
liên quan đến việc phát triển tư duy lôgic ([11], [27]) và bồi dưỡng năng lực
ứng dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh. Tuy nhiên, trong thực tế vẫn còn
nhiều học sinh sử dụng kiến thức tập hợp và lôgic toán như một hệ thống ngôn
ngữ để diễn đạt các nội dung toán học và giải quyết các tình huống thực tiễn có
liên quan đang lúng túng.
Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:
“Dạy học kiến thức tập hợp và lôgic toán cho học sinh trung học phổ thông
theo hướng tăng cường vận dụng vào học tập môn toán và thực tiễn”

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức về tập hợp và lôgic toán ở
trường trung học phổ thông nhằm bồi dưỡng cho học sinh năng lực vận dụng
hệ thống tri thức của chủ đề này vào học tập môn toán và giải quyết các tình
huống thực tiễn có liên quan, qua đó góp phần nâng cao chất lượng giáo dục .
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Tổng hợp các quan điểm của một số nhà khoa học về lí luận dạy học
toán học, về năng lực toán học, tư duy toán học, ngôn ngữ toán học và ứng
dụng toán học vào thực tiễn.
2. Xác định hệ thống tri thức về tập hợp và lôgic làm nền tảng cho việc học
tập môn toán và ứng dụng thực tiễn.
2
3. Đề xuất một số định hướng và giải pháp sư phạm nhằm góp phần hình
thành và củng cố hệ thống kiến thức về tập hợp và lôgic cho học sinh trung học
phổ thông và năng lực vận dụng hệ thống kiến thức đó vào học toán và thực
tiễn.
4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng các đề xuất.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu hoạt động dạy học toán;
- Nghiên cứu hệ thống kiến thức về tập hợp và lôgic nói chung, kiến thức
tập hợp và lôgic toán được đưa vào chương trình môn toán phổ thông nói riêng;
- Nghiên cứu hoạt động tri thức phương pháp, ngôn ngữ của tập hợp -
lôgic và cách thức vận dụng phương pháp và ngôn ngữ tập hợp - lôgic vào học
toán và thực tiễn.
2. Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu các vấn đề về tri thức về tập hợp và lôgic trong chương trình
môn toán trung học phổ thông và cách thức vận dụng trong học toán và trong
các tình huống thực tiễn có liên quan.
- Khảo sát thực tế trên địa bàn các trường THPT ở tỉnh Hà Tĩnh.

V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: tìm hiểu các tài liệu trong và ngoài
nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn.
2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn: điều tra, khảo sát thực trạng
của việc dạy học và vận dụng tri thức về tập hợp và lôgic vào học tập môn
Toán và thực tiễn bằng phiếu, phỏng vấn, tọa đàm với giáo viên để thu thập
thông tin về việc bồi dưỡng cho học sinh mảng tri thức này.
3. Phương pháp thực nghiệm: tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét
tính khả thi của các định hướng đã đề xuất.
4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán
3
VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trong dạy học các kiến thức tập hợp và lôgic toán ở trung học phổ thông
nếu giáo viên quan tâm đến việc xây dựng và thực hiện một số biện pháp thích
hợp thì có thể phát triển cho học sinh các năng lực ứng dụng hệ thống kiến thức
này vào học tập môn toán và thực tiễn, thông qua đó góp phần nâng cao chất
lượng dạy học môn Toán.
VII. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
1. Hệ thống hóa tư liệu về lý luận dạy học toán, đặc biệt là các tư liệu về
dạy học hệ thống tri thức về tập hợp và lôgic, làm thành một tài liệu tham khảo
phục vụ công tác chuyên môn và cho học sinh trong việc học toán.
2. Phân tích nội dung toán học phổ thông và hệ thống hóa các dạng toán
điển hình có thể bồi dưỡng cho học sinh tri thức tập hợp và lôgic, qua đó cung
cấp một tài liệu tổng quan về hệ thống kiến thức bồi dưỡng cho học sinh trong
dạy học giải toán.
VIII. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có
3 chương:
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay

ở nước ta
1.2. Một số vấn đề lý luận về tư duy và ngôn ngữ
1.3. Một số vấn đề lý luận về vận dụng liến thức toán học vào thực tiễn
1.4. Thực trạng về việc hình thành và sử dụng hệ thống tri thức về tập
hợp và lôgic của học sinh hiện nay (khảo sát tại một số trường THPT ở
Hà Tĩnh)
1.5. Kết luận chương 1
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC KIẾN THỨC VỀ TẬP
HỢP VÀ LÔGIC TOÁN THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG VẬN DỤNG
VÀO HỌC TẬP MÔN TOÁN VÀ THỰC TIỄN
2.1. Phân tích nội dung về tập hợp và lôgic toán trong chương trình THPT
2.2. Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp
4
2.3. Các biện pháp dạy học kiến thức về tập hợp và lôgic theo hướng
tăng cường vận dụng vào học tập môn toán và thực tiễn
2.4. Kết luận chương 2
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay ở
nước ta
1.1.1. Mục đích dạy học môn Toán ở trường phổ thông nước ta
5
Chương trình giáo dục Quốc gia nước ta (2006) đã xác định rõ việc dạy
học môn Toán có các mục tiêu chung sau đây:
• Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán học

phổ thông cơ bản, thiết thực;
• Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hoàn thành khả
năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống;
• Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học dại học, cao đẳng, trung học chuyên
nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng phân
ban: ban Khoa học Tự nhiên và ban Khoa học Xã hội và Nhân văn.
1.1.2. Nội dung dạy học môn Toán Trung học phổ thông nước ta hiện nay
Nội dung dạy học vừa là đối tượng chiếm lĩnh của học sinh, vừa là phương
tiện để đạt được các mục đích của quá trình dạy học. Chương trình dạy học vừa
phản ánh nội dung dạy học vừa thể hiện quan điểm trình bày nội dung dạy học.
Chương trình môn Toán THPT được Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành năm
2006 thể hiện những tư tưởng chủ đạo sau đây:
- Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số.
- Tăng cường một số yếu tố của giải tích toán học và hình học giải tích.
- Tăng cường làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng Toán học.
- Sử dụng hợp lí ngôn ngữ tập hợp và lôgic toán.
1.1.3. Những định hướng chính về phương pháp dạy học môn Toán ở
trường phổ thông nước ta hiện nay
Trong [12], GS Nguyễn Bá Kim đã trình bày những của định hướng PPDH
môn Toán ở nước ta hiện nay bao gồm các điểm sau đây:
Thứ nhất, xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác, tích
cực chủ động và sáng tạo của hoạt động học tập được thể hiện độc lập hoặc
trong giao lưu.
Thứ hai, tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm.
Thứ ba, dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học
6
Thứ tư, chế tạo và khai thác những phương tiện dạy học để tiếp nối và gia
tăng sức mạnh của con người.
Thứ năm, tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của
bản thân người học.

Thứ sáu, xác định vai trò của người thầy với tư cách là người thiết kế, uỷ
thác, điều khiển và thể chế hoá.
1.2. Một số vấn đề lý luận về tư duy và ngôn ngữ
1.2.1. Sơ lược về tư duy, tư duy toán học và tư duy lôgic
1.2.1.1. Khái niệm về tư duy
Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý của con
người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lý cao hơn. Tuy nhiên, thực
tế cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con người không thể
nhận thức và giải quyết được. Muốn cải tạo thế giới, con người phải đạt tới
mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tính (hay còn gọi là tư duy).
Trong Tâm lý học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã
được trình bày trong các công trình của X. L. Rubinstêin. Những công trình này
đã thúc đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan đến
việc nghiên cứu hình thức hoạt động tâm lý phức tạp. Theo cách hiểu của X. L.
Rubinstêin: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể
với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do
tác động của khách thể”(dẫn theo [27, tr.7])
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy
là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ
có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” hoặc:
“Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm
tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái
quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt
động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [27, tr.7]
7
Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.
Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ tư duy
bằng thao tác tay chân, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tư
duy bằng ngôn ngữ, tư duy trừu tượng, tư duy khái quát - hình thức tư duy đặc
biệt của con người. Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương tiện

ngôn ngữ, sản phẩm có tính xã hội cao để nhận thức tình huống có vấn đề, để
tiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái
quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lý, những quy luật -
những sản phẩm khái quát của tư duy.
1.2.1.2. Đặc điểm của tư duy
Thuộc bậc thang nhận thức cao - nhận thức lý tính - tư duy có những đặc
điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy có những đặc điểm cơ bản
sau (dẫn theo[27, tr. 8-9])
* Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;
* Tư duy có tính khái quát;
* Tư duy có tính gián tiếp;
* Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và ngôn
ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng
nhất với nhau. Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu
đạt kết quả của quá trình tư duy.
“Đặc điểm điển hình của tư duy của con người là mối liên hệ không thể
chia cắt được giữa tư duy và ngôn ngữ. Nhận thức, tư duy của con người chỉ có
thể thực hiện thông qua ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của tư duy
của con người khác với tính chất thuần tuý sinh vật của sự hoạt động tâm lý của
động vật”.
* Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt
đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội
dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác,
8
hỡnh tng trc quan,). X. L. Rubinstờin khng nh rng: Ni dung cm
tớnh bao gi cng cú trong t duy tru tng, ta h nh lm thnh ch da
cho t duy .
* T duy l mt quỏ trỡnh: t duy c xột nh mt quỏ trỡnh, ngha l t
duy cú ny sinh, din bin v kt thỳc. Quỏ trỡnh t duy bao gm nhiu giai
on k tip nhau c minh ho bi s (do K. K. Plantụnụv a ra):

Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên t ởng
Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Chính xác hoá
Khẳng định
Phủ định
Giải quyết vấn đề
Hoạt động t duy mới
Hỡnh 1.1
* Quỏ trỡnh t duy l mt hnh ng trớ tu: quỏ trỡnh t duy c din ra
bng cỏch ch th tin hnh nhng thao tỏc trớ tu nht nh. Cú rt nhiu thao
tỏc trớ tu tham gia vo mt quỏ trỡnh t duy c th vi t cỏch mt hnh ng
trớ tu: phõn tớch, tng hp, so sỏnh, tru tng hoỏ, khỏi quỏt hoỏ,
1.2.1.3. Mt s quan im v s phõn loi t duy
Cú nhiu cỏch phõn loi t duy.
Theo nhúm th nht cú ba loi t duy:
a) T duy trc quan, hnh ng: ú l loi t duy bng cỏc thao tỏc c th
tay chõn hng vo vic gii quyt mt s tỡnh hung c th, trc quan.
9
b) Tư duy trực quan hình tượng: là loại tư duy phát triển ở mức độ cao
hơn, ra đời muộn hơn so với loại tư duy trực quan hành động, chỉ có ở người,
đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa vào các hình ảnh của sự vật,
hiện tượng.
c) Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic): là loại tư duy phát triển ở
mức độ cao nhất, chỉ có ở người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề
dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ,
lấy ngôn ngữ làm phương tiện.
Theo A. V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có 4 loại tư duy: tư duy hình
tượng, tư duy thực hành, tư duy khoa học và tư duy lôgic.

Trong đó, tư duy lôgíc được hiểu là: “Tư duy thay thế các hành động với
các sự vật có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc của Lôgic
học”.
Trong một số công trình của V. A. Cruchetxki, ông có nói đến: tư duy tích
cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận .
Các thuật ngữ tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm đã được V. V. Đavưđôv
sử dụng trong cuốn Các dạng khái quát hoá trong dạy học.
J. Piaget thường nói đến 2 loại tư duy: tư duy cụ thể và tư duy hình thức.
Trên đây là một số cách phân loại tư duy, qua đó có thể nhận thấy rằng:
cách phân loại tư duy là hết sức đa dạng.
1.2.1.4. Về tư duy toán học
Tư duy toán học được hiểu một cách ngắn gọn là quá trình suy nghĩ nhằm
giải quyết những vấn đề thuộc về toán học hoặc trong bộ môn toán. Tuy nhiên
chỉ định nghĩa chung như vậy thì khó có thể lượng hoá và đánh giá về mức độ
tư duy, cho nên một số công trình nghiên cứu đã cố gắng làm sáng tỏ các thành
phần của tư duy toán học, qua đó cung cấp thêm thêm tiêu chí đánh giá mức độ
tư duy. Thực tế cho đến nay, những tài liệu viết về tư duy toán học một cách
chung chung thì cũng có nhiều nhưng viết sâu thì nói thực còn rất hiếm. Hầu
10
hết, mọi tài liệu đều nói lên nhiệm vụ cần phải phát triển tư duy toán học cho
học sinh nhưng rồi cũng dừng lại đấy bởi vì cũng không rõ phát triển tư duy
toán học cho HS là cụ thể phát triển những cái gì. Đến nay hầu như mới có
cuốn sách :‘Phương pháp giảng dạy toán ở trường TH’ của tác giả Kôlyagin,
V.A.Oganberan. Theo các tác giả này thì [27, tr.12-14].
Giáo dục toán học cho HS là một quá trình phức tạp nhằm đạt các mục tiêu
sau :
a. Truyền thụ cho HS một hệ thống nhất định những kiến thức toán học
b. Rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo toán học
c. Phát triển tư duy toán học của HS.
“Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn đề thứ nhất và vấn

đề thứ hai trong số các vấn đề trên, sẽ tự nó kéo theo việc giải quyết vấn đề thứ
ba. Có nghĩa là cho rằng, sự phát triển tư duy toán học diễn ra một cách tự phát
trong quá trình giảng dạy Toán. Trong một chừng mực nào đó, điều này có thể
đúng, nhưng chỉ trong một chừng mực nào đó mà thôi” .
“Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt
động toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển một
cách có phương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việc truyền thụ
cho HS hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học”.
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn nhận xét: “Làm khoa học gì thì cũng đụng
chạm đến kiến thức, tư duy và tính cách con người một cách sâu đậm. Kiến
thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục” .
Cuốn sách nêu trên đã quan niệm rằng những thành phần chủ yếu của tư
duy toán học bao gồm :
a. Tư duy cụ thể
b. Tư duy trừu tượng
c. Tư duy trực giác
d. Tư duy hàm
e. Tư duy biện chứng
11
f. Tư duy sáng tạo
g. Các phong cách toán học của tư duy
Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể được tách thành:
* Tư duy phân tích;
* Tư duy lôgic;
* Tư duy lược đồ không gian.
Điều thú vị là: Cũng cuốn sách trên của cùng nhóm tác giả ở lần tái bản và
bổ sung thì quan điểm về tư duy toán học không hoàn toàn đồng nhất với trước
đó .
Trong lần tái bản sau, các tác giả quan niệm rằng, tư duy toán học bao
gồm các thành phần chủ yếu sau đây:

1) Tư duy cụ thể;
2) Tư duy trừu tượng;
3) Tư duy trực giác;
4) Tư duy hàm .
Nói riêng, tư duy trừu tượng có thể được tách thành :
* Tư duy phân tích;
* Tư duy lôgic;
* Tư duy không gian.
Trong các bài báo của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về giáo dục Toán
học (ở trường phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của tư
duy toán học hay cấu trúc của năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng cụm
từ những yêu cầu đối với tư duy toán học của học sinh. Những yêu cầu đó là:
1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được
sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;
2) Sự cô đọng;
3) Sự chính xác của các ký hiệu;
4) Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận;
5) Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic .
12
Nhà toán học nổi tiếng A. Ia. Khinshin, Giáo sư A. I. Marcusêvich, cũng
không nói rõ rằng tư duy toán học; năng lực toán học bao gồm những thành
phần nào mà có cách sử dụng khác về thuật ngữ.
Theo A. Ia. Khinshin, những nét độc đáo của tư duy toán học là:
1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;
2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích;
3) Phân chia rành mạch các bước suy luận;
4) Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa
xác định chặt chẽ);
5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận .
1.2.1.5. Tư duy lôgic

Có thể nói đây là loại hình tư duy được nhắc đến nhiều nhất, bất kỳ một
người bình thường nào cũng có thể dùng cụm từ này rất nhiều lần rồi. trong khi
đó một số loại tư duy khác thì ít được nhắc đến. Nói đến tư duy lôgíc thì tối
thiểu cũng có thể hiểu sơ bộ về nó, đại thể rằng cái sau và cái trước không mâu
thuẫn với nhau, cái lập luận lại chính xác, cho nên nhiều khi có những người
hơi coi nhẹ về loại tư duy này và ngược lại có phần đề cao một số loại tư duy
khác, thậm chí một số tác giả có uy tín, nhưng không nghiên cứu sâu vấn đề
này vẫn đưa ra các nhận định có vẻ rất chắc chắn, nhưng suy cho cùng thì
không có cơ sở gì cả, ví dụ GS. Nguyễn Cảnh Toàn nhận định: “ Tư duy biện
chứng rất quan trọng, nó giúp con người phát hiện vấn đề và tìm tòi phương
hướng xử lý. Sau đó thì tư duy lôgic là thủ công thực hiện giải quyết vấn đề”.
Nhận định như trên là không đúng, bởi vì chẳng có loại tư duy nào trông cậy
vào loại tư duy khác, thiết kế cho mình con đường đi để rồi mình đi theo. Mọi
loại tư duy đều là suy nghĩ của trí óc chứ không phải chỉ là một cơ học thực
hiện những tính toán thông thường.
Phải có một cách hiểu đúng về tư duy lôgic và đặt nó vào vị trí của một
loại hình tư duy quan trọng hàng đầu, bởi vì về tính kinh điển đó là hạng số
một và đặc điểm của toán học là tính trừu tượng cao độ, xây dựng bằng phương
pháp tiền đề, trông cậy chủ yếu của những lập luận chặt chẽ và chính xác, thì
13
đó là phản ánh tính lôgic. Tuy nhiên, để hình ảnh về tư duy lôgic có giá trị một
cách đích thực, ta cần quan niệm nó trong đó bao gồm sự chính xác, chặt chẽ,
phù hợp giữa trước và sau, không mâu thuẫn mà còn phải có sắc màu của sự
tìm tòi, dự đoán, suy luận có lý ở trong đó nữa.
* Tư duy lôgic được thể hiện qua những thành tố sau:
- Khả năng suy diễn đặc biệt sự chính xác, chặt chẽ;
- Khả năng rút ra kết luận từ những tiền đề cho trước;
- Khả năng dự đoán làm cơ sở cho việc tiến hành suy diễn;
- Khả năng khái quát hoá các kết luận nhận được;
- Khả năng diễn đạt vấn đề theo nhiều cách khác nhau.

1.2.2. Sơ lược về ngôn ngữ và ngôn ngữ tập hợp, lôgic
1.2.2.1. Sơ lược về ngôn ngữ
Vấn đề ngôn ngữ mà Luận văn muốn đề cập đến là ngôn ngữ toán học.
Tuy nhiên, thuật ngữ khoa học không cách biệt hoàn toàn với từ thông thường
và các lớp từ vựng khác không phải là thuật ngữ. Dẫu sao, thuật ngữ khoa học
vẫn là một bộ phận của hệ thống từ vựng nói chung, có quan hệ với các từ khác
trong hệ thống ngôn ngữ. Cả các từ thông thường lẫn thuật ngữ khoa học đều
chịu sự chi phối của các quy luật ngữ âm, cấu tạo từ và ngữ pháp của ngôn ngữ
nói chung. Mặt khác trong giảng dạy Toán, không thể không quan tâm đến việc
nâng cao trình độ sử dụng tiếng mẹ đẻ một cách chính xác. Do đó, cần sơ lược
vài nét cơ bản nhất về ngôn ngữ tự nhiên.
a. Chức năng của ngôn ngữ
* Ngôn ngữ là phương tiện giao tiếp trọng yếu nhất của con người.
* Ngôn ngữ là phương tiện của tư duy.
b. Thuật ngữ khoa học là bộ phận từ vựng đặc biệt của ngôn ngữ, nó bao
gồm những từ và cụm từ là tên gọi chính xác của những khái niệm và những
đối tượng thuộc các lĩnh vực chuyên môn. Thuật ngữ là bộ phận từ vựng rất
quan trọng của ngôn ngữ. Đối với các ngôn ngữ có trình độ phát triển cao, thuật
ngữ chiếm tỷ lệ rất lớn. So với các bộ phận khác trong hệ thống từ vựng thì
14
thuật ngữ là bộ phận phát triển nhất. Theo K. Xôkhôra, nhà ngôn ngữ học
người Cộng hoà Czech, 90% từ mới trong ngôn ngữ là các thuật ngữ khoa học,
kỹ thuật.
Thuật ngữ khoa học có các đặc điểm sau :
Trước hết, thuật ngữ khoa học có tính xác định về nghĩa.
Đặc điểm thứ hai là tính hệ thống: mỗi lĩnh vực khoa học đều có một hệ
thống các khái niệm chặt chẽ được thể hiện ra bằng hệ thống các thuật ngữ của
mình.
Đặc điểm thứ ba của thuật ngữ là xu hướng một nghĩa: nếu như ở những
từ thông thường, hiện tượng nhiều nghĩa rất tự nhiên và phổ biến, thì đối với

thuật ngữ, do tính xác định về nghĩa, cũng như do nó nằm trong hệ thống thuật
ngữ nhất định, nên mỗi thuật ngữ thường chỉ có một nghĩa. Tất nhiên, một
thuật ngữ cụ thể nào đó có thể tham gia vào nhiều hệ thống thuật ngữ khác
nhau, nhưng trong cùng một hệ thống, mỗi thuật ngữ thường chỉ có một nghĩa
mà thôi.
Đặc điểm thứ tư của thuật ngữ là tính quốc tế.
Đặc điểm thứ năm của thuật ngữ thể hiện ở chỗ nó không mang sắc thái tu
từ biểu cảm.
c. Việc sử dụng ngôn ngữ, nói riêng trong giới học sinh, còn có những điều
đáng bàn. “Chúng ta có thể tổ chức dạy và học đạt tới trình độ ngôn ngữ hay.
Đó là công việc ở các trường dạy viết Văn chẳng hạn. Nhưng khi nói đến rèn
luyện ngôn ngữ thì người ta chủ yếu nhìn vào mục tiêu là ngôn ngữ đúng, ngôn
ngữ chuẩn mực. Việc xây dựng kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng, về nguyên tắc
phải được hoàn thành ở bậc học phổ thông. Nhưng trên thực tế, ở nước ta, học
sinh tốt nghiệp 12 năm phổ thông nói, viết tiếng mẹ đẻ chưa tốt lắm. Cho nên,
muốn giữ gìn sự trong sáng của tiếng Việt, chúng ta phải tốn nhiều công sức
cho việc rèn luyện ngôn ngữ, trước hết, tập trung vào luyện kỹ năng sử dụng
ngôn ngữ đúng, chuẩn xác”.
15
N. G. Trernưsepxki cho rằng: “Cái gì anh hình dung không rõ thì diễn đạt
không sáng, diễn đạt thiếu chính xác và lộn xộn thì chứng tỏ ý nghĩ của mình
rối rắm, phức tạp mà thôi”. Vì vậy, “rèn luyện kỹ năng dùng ngôn ngữ chính
xác chính là rèn luyện tư duy chính xác. Khi học sinh học hoặc làm bài mà chú
ý đến từng câu, chữ, các dấu chấm, dấu phẩy, dấu chấm phẩy thì chính là họ
đương tư duy. Trong các bài tập ra cho học sinh, nên có các bài tập yêu cầu
diễn tả các công thức sang ngôn ngữ thông thường để chống bệnh hình thức và
rèn luyện dùng ngôn ngữ cho chính xác” .
1.2.2.2. Ngôn ngữ toán học
a. Một số tác giả quan niệm rằng: “Toán học hiểu theo nghĩa nào đó là một
thứ ngôn ngữ để mô tả những tình huống cụ thể nảy sinh trong nghiên cứu khoa

học, hoặc trong hoạt động thực tiễn của loài người”. Bởi vậy: “Dạy học Toán,
xét về mặt nào đó là dạy học một ngôn ngữ, một ngôn ngữ đặc biệt, có tác dụng
to lớn trong việc diễn tả các sự kiện, các phương pháp trong các lĩnh vực rất
khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn”.
Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theo
những khuynh hướng sau:
- Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên;
- Mở rộng các khả năng biểu diễn của nó;
- Loại bỏ sự đa nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên.
Nhà Vật lý học Niels Bohr coi ngôn ngữ toán học là “sự cải tiến ngôn ngữ
chung, sự trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối
phụ thuộc, mà nếu biểu đạt bằng ngôn ngữ thông thường thì sẽ không chính xác
hoặc phức tạp”.
Theo các tác giả A. A. Stôliar; Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần
Thúc Trình, ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ:
Thứ nhất, trong ngôn ngữ toán học một dấu, chữ số, chữ cái, dấu phép
tính, hay dấu quan hệ biểu thị điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng đến từ hay
16
một kết hợp từ mới biểu thị được, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học gọn gàng
hơn so với ngôn ngữ tự nhiên.
Thứ hai, mỗi ký hiệu toán học hoặc một kết hợp các ký hiệu đều có một
nghĩa duy nhất, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt chính
xác tư tưởng toán học hơn hẳn ngôn ngữ tự nhiên (đôi khi ta gặp những từ
hoặc cụm từ có nhiều nghĩa).
Thứ ba, trong ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ biến (biểu thị
nhiều đối tượng trong một quan hệ nào đó) điều đó cho phép ngôn ngữ toán
học rất thích hợp để diễn đạt khái quát các quy luật chung.
Ngôn ngữ toán học có tính quốc tế nên rất thuận lợi trong giao lưu toán
học giữa các nước trên thế giới.
b. Trong dạy học môn Toán thường sử dụng đan xen ba dạng ngôn ngữ:

Các ký hiệu toán học, các thuật ngữ toán học và ngôn ngữ tự nhiên. Chẳng hạn,
trong Định nghĩa: Phương trình dạng ax + b = 0 trong đó a, b là những hằng
số, a
≠
0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn số; b được gọi là hạng tử
tự do (Đại số 8, tr. 67) có sự xuất hiện của ký hiệu; thuật ngữ và ngôn ngữ tự
nhiên.
Hệ thống các ký hiệu toán học có thể coi là một ngôn ngữ riêng, ngôn ngữ
ký hiệu. Để làm sáng tỏ lợi ích của các ký hiệu toán học, G. Pôlya dẫn ra ví dụ:
chúng ta thử cộng nhiều số khá lớn với giả thiết là không được dùng chữ số
ảrập mà chỉ được dùng chữ số La Mã, như vậy thì phải mất bao lâu để làm
phép tính: MMMXC + MDCXII + MDCCCLXXXVII.
G. W. Leibnitz ví ngôn ngữ ký hiệu như sợi chỉ đỏ của nàng Ariane, ông
cho rằng: “Chúng ta sử dụng ký hiệu không phải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩ
của ta cho người khác, mà còn để đơn giản hoá quá trình suy nghĩ của chính
chúng ta” .
17
Năng lực tư duy toán học và năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu có liên
quan chặt chẽ với nhau, “nắm vững được ngôn ngữ các ký hiệu toán học cũng
có nghĩa là nắm vững được những đặc trưng của tư duy toán học” .
1.2.2.3. Ngôn ngữ lý thuyết tập hợp và lôgic
Số và hình không phải là những đối tượng duy nhất của Toán học. Về
nguyên tắc, Toán học không tách rời Lôgic học. Ngày nay, do sự phát triển của
của Toán học, luận đề của F. Engels: “Đối tượng của Toán học (thuần tuý) là
những hình dạng không gian và quan hệ số lượng của thế giới hiện thực” đã
được hiểu một cách rất rộng: “Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ
số lượng, hình dạng và lôgic trong thế giới khách quan” .
Ngôn ngữ toán học được giảng dạy ở bậc Trung học phổ thông bao hàm
cả một số yếu tố cơ bản nhất của ngôn ngữ Lý thuyết tập hợp và lôgic toán .
A. A. Stôliar trong các công trình: Các vấn đề lôgic trong giảng dạy Toán;

ứng dụng ngôn ngữ toán học hiện đại trong giáo trình môn Toán; Một số vấn
đề về ứng dụng lôgic học trong giáo dục Toán học; giáo dục học môn Toán
hoặc X. B. Xuvôrôva trong Bài tập trong dạy học Đại số (Các lớp 6 - 8) đã
chứng minh sự cần thiết phải đưa vào giảng dạy cho HS một số yếu tố cơ bản
của ngôn ngữ lý thuyết tập hợp và lôgic toán, đặc biệt trong môn Đại số.
Tuy nhiên, A. A. Stôliar cho rằng: “Việc đưa ngôn ngữ lôgíc phải được
thực hiện một cách cực kỳ thận trọng trên cơ sở nội dung của nó”. Vẫn theo A.
A. Stôliar: “Sử dụng ngôn ngữ toán học hiện đại (lôgic - toán) trong giảng dạy
Toán ở trường phổ thông hiện nay là một đề tài cần tranh luận rộng rãi. Để giải
quyết nó có hiệu quả về mặt sư phạm, cần có những nghiên cứu thực nghiệm
lâu dài, ngay cả thầy giáo cũng phải nắm vững một cách đúng đắn ngôn ngữ
này”.
Điểm mới của Đại số 10 (Chỉnh lý hợp nhất) so với Đại số 10 (CCGD) là
đưa thêm nội dung Mệnh đề và suy luận toán học, và điều đó đã được lý giải
như sau: “Một trong những thiếu sót của Chương trình CCGD năm 1989 là
18
thiếu khái niệm mệnh đề và các suy luận toán học Đến đầu cấp THPT,
chương trình môn Toán muốn chính xác hoá các khái niệm đó, cũng như trình
bày một cách chặt chẽ các khái niệm phương trình, bất phương trình. Muốn làm
được điều này không thể không đưa vào chương trình các yếu tố sơ đẳng của
Lôgíc toán, cụ thể là lôgíc mệnh đề và vị từ (mà ta gọi là mệnh đề chứa biến).
Tất nhiên để học sinh diện đại trà có thể hiểu được thì các khái niệm này chỉ
được mô tả thông qua các ví dụ chứ không trình bày một cách hình thức”.
1.3. Một số vấn đề lí luận về vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn
1.3.1. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn
Toán học là sự trừu tượng hoá những đối tượng vật chất khác nhau. Toán
học có quan hệ mật thiết với thực tiễn, những mối quan hệ có tính qui luật của
hàng loạt sự vật, hiện tượng, những điều mà con người chưa biết, cần phải tìm
tòi và giải quyết. Toán học là một dạng phản ánh thực tế khách quan, cụ thể là:
+) Phản ánh nguồn gốc của toán học: Nhận thấy toán học là xuất phát từ

thực tiễn lao động của con người, do nhu cầu của con người trong quá trình lao
động sản xuất, khám phá tự nhiên. Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học
xuất hiện do nhu cầu đo đạc…
+) Phản ánh thực tiễn của toán học: Sự phân tích những điều kiện cụ thể của
quá trình phát triển của đối tượng và ý nghĩa của toán học đã chỉ ra rằng, Thực
tiễn không những chỉ là nguồn gốc và động lực của sự phát triển toán học mà
còn là tiêu chuẩn chân lý của mỗi một lý thuyết toán học. Mỗi lý thuyết toán
học đều trực tiếp hay gián tiếp phản ánh những hiện tượng, những đại lượng,
những qui luật, những mối quan hệ có trong thực tiễn. Khái niệm tập hợp phản
ánh một nhóm hữu hạn hay vô hạn các vật, các đối tượng trong thực tế, hàm số
y=ax phản ánh mối quan hệ giữa số tiền phải trả với lượng hàng hoá cần mua,
trong hình học vectơ phản ánh những đại lượng đặc trưng không chỉ về hướng,
độ dài mà còn phản ánh về độ lớn của vận tốc, lực,…
19