Tài liệu bồi dưỡng HSG toán THPT hay

HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN
KHU VC DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B


K YU
HI THO KHOA HC, LN TH III

MÔN TOÁN HC
(TÀI LIU LU HÀNH NI B)












HÀ NAM, THÁNG 11 NM 2010


===========================================================
4
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

MC LC

STT NI DUNG TRANG
1
LI NÓI U
5
2
MT S DNG PHNG TRÌNH VÔ T CHO HC SINH GII
Nguyn Anh Tun (THPT chuyên Bc Giang)
6

3
LÀM NGC BT NG THC
Nguyn c Vang (THPT chuyên Bc Ninh)
27
4
CHNG MINH BT NG THC BNG CÁCH S DNG BT
NG THC SP XP LI VÀ BT NG THC CHEBYSHEV
ào Quc Huy, T Toán – Tin, Trng THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam
31
5
TÍNH TUN HOÀN TRONG DÃY S NGUYÊN
Ngô Th Hi, trng THPT chuyên Nguyn Trãi, Hi Dng
43
6
NH LÝ PASCAL VÀ NG DNG
Lê c Thnh, THPT Chuyên Trn Phú – Hi Phòng
47
7
HÀM S HC VÀ MT S BÀI TOÁN V HÀM S HC
Trng THPT Chuyên Hng Yên
56
8
MT S BÀI TOÁN S HC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN
Trn Xuân áng (THPT Chuyên Lê Hng Phong – Nam nh)
67
9
NH LÍ LAGRANGE VÀ NG DNG
ng ình Sn, Chuyên Lng Vn Ty – Ninh Bình
73
10

T S KÉP VÀ PHÉP CHIU XUYÊN TÂM
Trng THPT chuyên Thái Bình – Thái Bình
93
11
MT S DNG TOÁN V DÃY S VÀ GII HN
Trn Ngc Thng - THPT Chuyên Vnh Phúc
105
12
S DNG CÔNG C S PHC  GII CÁC BÀI TOÁN HÌNH HC
PHNG
Trng THPT chuyên H Long
123
13
BT BIN TRONG CÁC BÀI TOÁN LÝ THUYT TRÒ CHI
Phm Minh Phng, trng THPT chuyên i hc S phm Hà Ni
130





===========================================================
5
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H

i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

DI TRUYN HC
















LI NÓI U



Hi các trng chuyên vùng Duyên Hi Bc B đn nay đã có 12 trng
tham gia. Trong đó có nhiu trng có truyn thng lâu nm, có thành tích
cao trong các k thi hc sinh gii Quc gia và Quc t môn Toán.
Nm nay, ln th 3 hi tho khoa hc. Vi cng v là đn v đng cai,
chúng tôi đã nhn đc 12 bài vit v các chuyên đ chuyên sâu cho hc
sinh gii Toán. ó là các chuyên đ tâm huyt ca các thày cô dy chuyên
Toán ca các trng chuyên trong hi.
Xin trân trng gii thiu các bài vit ca các thày cô trong k yu môn

Toán ca hi trong dp hi tho khoa hc ln th 3. Hy vng rng cun k
yu này s mt tài liu tham kho cho các thày cô!

T TOÁN - TIN
TRNG THPT CHUYÊN BIÊN HOÀ - HÀ NAM

===========================================================
6
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

MT S DNG PHNG TRÌNH VÔ T CHO HC SINH GII
Nguyn Anh Tun (THPT chuyên Bc Giang)


Li m đu

Toán hc có mt v đp lôi cun và quyn r, ai đã đam mê thì mãi mãi đam mê…
Trong v đp đy huyn bí đó thì các bài toán liên quan đn Phng trình vô t (cha cn
thc) - có nét đp tht s xao xuyn và quyn r.

Có l vì lý do đó mà trong các kì thi HSG các nc, thi HSG Quc gia (VMO) ca
chúng ta, bài toán liên quan đn Phng trình vô t thng có mt đ thách thc các nhà
Toán hc tng lai vi dung nhan muôn hình, muôn v. Ri thì còn trong các kì thi HSG
cp tnh, thi HSG cp thành ph, thi i hc, thi …
Tht là điu thú v !

Chuyên đ: “ Mt s dng phng trình vô t cho hc sinh gii ” tôi vit vi mong
mun phn nào giúp các Thy cô giáo dy Toán, các em hc sinh ph thông trong các đi
tuyn thi hc sinh gii Toán có th tìm thy nhiu điu b ích và nhiu điu thú v đi vi
dng toán này. Trong Chuyên đ có c nhng bài vi cp đ gii trí cho hc sinh gii (rèn
luyn phn x nhanh).

i vi vic gii phng trình vô t thì hu ht các phng pháp gii, các phng
pháp bin đi hay đu có trong cun Chuyên đ này. Cách phân tích đ nhn dng mt
phng trình và chn la phng pháp gii thích hp là khó và đa dng.  có kh nng này
chúng ta phi gii quyt nhiu phng trình và t rút ra nhng nhn xét, kinh nghim và hay
hn na là mt vài thut gii toán, cng nh lu ý rng mt bài toán có th có nhiu cách
gii khác nhau.

Tôi vit Chuyên đ này vi mt tinh thn trách nhim cao. Tôi hy vng rng Chuyên

đ s đ li trong lòng Thy cô và các em hc sinh mt n tng tt đp.
Vi mi ví d trong tng phng pháp gii, ngi đc có th t sáng tác cho mình
nhng bài toán vi nhng con s mà mình yêu thích. Tuy nhiên Chuyên đ chc chn s
không th tránh khi nhng điu không mong mun. Tôi rt mong nhn đc s đng viên
và nhng ý kin đóng góp chân thành ca Quý Thy cô và các em hc sinh đ Chuyên đ
tip tc đc hoàn thin hn.

Tôi xin chân thành cm n!




===========================================================
7
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l

n th III

-

2010

§1. MT S PHNG PHÁP GII PHNG TRÌNH VÔ T

1. MT S QUY C KHI C CHUYÊN 
1.1 Vt: V trái ca phng trình. Vt
2
: Bình phng ca v trái phng trình.
1.2 Vp: V phi ca phng trình. Vp
2
: Bình phng ca v phi phng trình.
1.3 Vt
(1)
: V trái ca phng trình
(1)
.
1.4 Vp
(1)
: V phi ca phng trình
(1)
.
1.5 k, đk: iu kin.
1.6 BT: Bt đng thc. HSG, HSG: Hc sinh gii.
1.7 VMO, VMO: Thi hc sinh gii Vit Nam, CMO: Thi hc sinh gii Canada.

2. PHNG PHÁP T N PH

2.1 Mt s lu ý
Khi gii phng trình vô t bng phng pháp đt n ph ta có th gp các dng
nh:
2.1.1 t n ph đa phng trình đã cho v phng trình đi s không còn cha
cn thc vi n mi là n ph.
2.1.2 t n ph mà vn còn n chính, ta có th tính n này theo n kia.
2.1.3 t n ph đ đa phng trình v h hai phng trình vi hai n là hai n ph,
cng có th hai n gm mt n chính và mt n ph, thng khi đó ta đc mt h đi xng.
2.1.4 t n ph đ đc phng trình có hai n ph, ta bin đi v phng trình
tích vi v phi bng 0.
Thng gii phng trình ta hay bin đi tng đng, nu bin đi h qu thì nh
phi th li nghim.

2.2 Mt s ví d

Ví d 1. Gii các phng trình sau:
1)
2
18 18 17 8 2 0
x x x x x
- - - - =
.
2)
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x
- + = - + +

.
3)
2
2
1 1
2 2 4x x
x x
æ ö
- + - = - +
ç ÷
è ø
.
4)
2 2
2 1 2 1 1
x x x x
+ - + - =
.

Hng dn (HD): 1) t
x y
=
vi
0
y
³
. Khi đó phng trình đã cho tr thành
2 2
(3 4 2)(6 2 1) 0
y y y y

- - + + =
, suy ra
2
(3 4 2) 0
y y
- - =
, ta đc
2 10
3
y
+
= . T đó
phng trình có nghim là
14 4 10
9
x
+
= .
2) Ta có
4 2 2 2 2 2 2
1 ( 1) ( 1)( 1) 0
x x x x x x x x
+ + = + - = + + - + >
, vi mi x.
Mt khác
2 2 2
3 1 2( 1) ( 1)
x x x x x x
- + = - + - + +
.

t
2
2
1
1
x x
y
x x
- +
=
+ +
(có th vit đk
0
y
³
hoc chính xác hn là
3
3
3
y£ £ ), ta đc

===========================================================
8
HI CC TRNG THPT CHUYấN DUYấN HI V NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H

i tho khoa hc mụn

To
ỏn

h

c
l
n th III

-

2010

2 2
3
2 1 0 6 3 3 0
3
y y y y
- = - = + - =
, ta c
3
3
y = (loi
3
2
y = - ).
T ú phng trỡnh cú nghim l
1

x
=
.
3) Ta thy
0
x
<
khụng tha món.
Khi ú phng trỡnh tng ng vi h
2
2
2
2
0
1
4 0
1 1
2 2 4
1
x
x
x
x x
x
ỡ
ù
ù
>
ù
ù

ổ ử
- + >
ớ
ỗ ữ
ố ứ
ù
ù
ổ ử
ổ ử
ổ ử
ù
- + - = - +
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ù
ố ứ
ố ứ
ố ứ
ợ
.
t
1
x y
x
+ =
, ta c
2 2 2
2 4(1)

4 ( 2) 2 5 2( 2) (4 ) (2)
y
y y y
Ê <
ỡ
ù
ớ
- - + - - = -
ù
ợ
.
Xột
2 2
(2) 9 2 4 5
y y y
- = - +

4 3 2
8 28 40 16 0
y y y y
- + - + =
(do hai v khụng
õm).

3 2
2
( 2)( 6 16 8) 0
( 2)(( 2)( 4 8) 8) 0
y y y y
y y y y

- - + - =
- - - + + =

Dn n
2
y
=
(do
2
(( 2)( 4 8) 8) 0
y y y
- - + + >
vi mi
y
tha món (1)).
T ú phng trỡnh cú nghim l
1
x
=
.
Nhn xột: Bi toỏn ny ta cú th gii bng Phng phỏp ỏnh giỏ trong phn sau.
4) Ta cú phng trỡnh tng ng vi
2 2
1 1 2 2 1
x x x x
- = - - -
4 2 2 2 2 3 2
1 1 4 4 (1 ) 4 4 1 8 1
x x x x x x x x x
ị - = + + - - - - + -

2 2 2
2 2 2
(1 4 1 8 1 ) 0
0
1 4 1 8 1 0(1)
x x x x
x
x x x
- - + - =
=
ộ

ờ
- - + - =
ờ
ở

Xột (1), t
2
1
y x
= -
, suy ra
0
y

v
2 2

1
x y
= -
.
Ta c
2 3
1 4 8 (1 ) 0 8 4 1 0
y y y y y
- + - = - - =


2
(2 1)(4 2 1) 0
y y y
+ - - =


1 5
4
y
+
= . T ú suy ra
5 5
8
x
-
= .
Th li ta c nghim ca phng trỡnh l
0
x

=
v
5 5
8
x
-
= - .

Nhn xột: Bi toỏn ny ta cú th gii bng Phng phỏp lng giỏc trong phn sau.
Vớ d 2. Gii phng trỡnh
2 2
3 1 ( 3) 1
x x x x
+ + = + +
.
HD: t
2
1
x y
+ =
, vi
1
y

. Khi ú ta c
2
3 ( 3)
y x x y
+ = +

( 3)( ) 0
y y x
- - =
.
Dn n
3
y
=
v
y x
=
. T ú phng trỡnh cú nghim l
2
x
=
.

===========================================================
9
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To

án

h

c
l
n th III

-

2010


Ví d 3. Gii phng trình
8 3 8
4
17 2 1 1
x x
- - - =
.

HD: t
84
17
x y
- =
vi
0
y
³

và
3 8
2 1
x z
- =
. Khi đó ta đc h
4 3 4 3
1 1
2 33 2 ( 1) 33
y z z y
y z y y
- = = -
ì ì
Û
í í
+ = + - =
î î
.
Xét
4 3 3 2
2 ( 1) 33 ( 2)(2 5 7 17) 0
y y y y y y
+ - = Û - + + + =
.
Suy ra đc y - 2 = 0. T đó nghim ca phng trình là x = 1 và x = -1.

Ví d 4. Gii các phng trình sau:
1)
2 2
4 2 3 4

x x x x
+ - = + -
.
2)
3 2
3
4
81 8 2 2
3
x x x x
- = - + -
.

HD: 1) t
2
4
x y
- =
, vi
0 2
y
£ £
.
Khi đó ta đc h
2 2
2 3
4
x y xy
x y
+ = +

ì
í
+ =
î
.
Th hoc li đt ;
x y S xy P
+ = =
ri gii tip ta đc nghim ca phng trình là
0
x
=
;
2
x
=
và
2 14
3
x
- -
= .
2) t
3 2
3
4
81 8 2 3 3 2
3
x y x y y y
- + = Þ = - + .

Khi đó ta đc h
3 2
3 2
4
3 2
3
4
3 2
3
x y y y
y x x x
ì
= - +
ï
ï
í
ï
= - +
ï
î
.
Xét hiu hai phng trình dn đn
x y
=
(do
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( 2) ( 2) 0
2 2 2 3
x y x y

+ + - + - + >
).
Thay vào h và gii phng trình ta đc
3 2 6
0;
3
x x
±
= = .

Ví d 5. Gii phng trình
2 2
5 14 9 20 5 1
x x x x x
+ + - - - = +
.

HD: k
5
x
³
. Vi điu kin đó ta bin đi phng trình đã cho nh sau:
2 2
2 2
5 14 9 20 5 1
5 14 9 20 25( 1) 10 ( 1)( 4)( 5)
+ + = - - + +
Û + + = - - + + + + + -
x x x x x
x x x x x x x x

2
2 5 2 5 ( 1)( 5) 4
Û - + = + - +
x x x x x
2( 1)( 5) 3( 4) 5 ( 1)( 5) 4
Û + - + + = + - +
x x x x x x
t ( 1)( 5) ; 4
x x y x z
+ - = + =
, vi
0; 3
y z
³ ³
.

===========================================================
10
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

Ta đc
2 2
2 3 5 ( )(2 3 ) 0
y z yz y z y z
+ = Û - - =
, t đó ta đc
3
2
y z
y z
=
é
ê
ê
=
ë
.
Nu
y z

=
thì ta đc
5 61
2
x
+
= (do
5
x
³
).
Nu
3
2
y z
= thì ta đc
7
8;
4
x x
= = -
. Vy phng trình có ba nghim trên.

Ví d 6. Gii phng trình
2
4 9
7 7
28
x
x x

+
+ = , vi
0
x
>
.
Nhn xét: Dng phng trình này ta thng đt
4 9
28
x
ay b
+
= +
, sau đó bình
phng lên ri ta “c ý” bin đi v h đi xng vi hai n
,
x y
. T đó ta s bit đc giá
tr ca a, b. Vi bài toán này ta tìm đc
1
1;
2
a b
= =
. (Nu a = 1 và b = 0 mà gii đc thì
đó là phng trình quá đn gin, ta không xét  đây).
HD: t
4 9 1
28 2
x

y
+
= +
, do
0
x
>
nên
4 9 9 1
28 28 2
x +
> >
, t đó
0
y
>
.
Ta đc h
2
2
1
7 7
2
1
7 7
2
, 0
x x y
y y x
x y

ì
+ = +
ï
ï
ï
+ = +
í
ï
>
ï
ï
î
. Gii h bình thng theo dng ta đc
6 50
14
x
- +
= .

Ví d 7. Gii phng trình
3 2 3
2 2
x x
- = -
.

Nhn xét: Khi gii mt phng trình không phi lúc nào cng có nghim thc, có
nhng phng trình vô nghim nhng khi cho hc sinh làm bài ta cng kim tra đc nng
lc ca hc sinh khi trình by li gii bài toán đó. Chng hn nh bài toán trong ví d này.
HD: t

3 2 3
2 2
x x
- = -
= y vi
0
y
³
. Khi đó ta đc h
2 3
3 2
2
2
x y
x y
ì
= +
ï
í
= -
ï
î
và t
phng trình ban đu ta có
2
x £ - . Xét hiu hai phng trình ca h ta đc phng trình
2 2
( )( ) 0
x y x xy y x y
+ - + - + =

.
Vi
x y
= -
thì
3 2
2
x x
= - -
, dn đn vô nghim.
Còn
2 2 2
( )(1 ) 0
x xy y x y y x x y
- + - + = - - + >
vi mi
0
y
³
và
2
x £ - . Do đó h
vô nghim hay phng trình đã cho vô nghim.
2.3 Mt s bài tp tng t

Bài 1. Gii các phng trình sau:
1)
2 2
2 2 2
x x x x

+ - = -
.

(HD: t
2 ; 0
y x y
= - ³
, ta đc
2 2
( 1)( 1)(2 4) 0
y y y y y
- + - - - =
.

===========================================================
11
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h


c
l
n th III

-

2010

T đó
5 1 33 1
1; ;
2 8
y y y
- +
= = = và đc nghim ca phng trình là
5 1 33 1
1; ;
2 8
x x x
+ +
= = = - ).
2)
2 3
2 5 1 7 1
x x x
+ - = -
.
(HD: T phng trình suy ra
1
x

¹
. t
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
-
, bình phng dn đn
3 2 3
y ³ + . Phng trình tr thành
2
2 7 3 0
y y
- + =
, ta đc
3
y
=
. T đó
4 6
x = ± ).

Bài 2. Gii phng trình
2 2
(4 1) 1 2 2 1
x x x x

- + = + +
.

(HD: t
2
1
x y
+ =
, vi
1
y
³
. T đó ta đc
1
2 1
2
y y x
= Ú = -
. Phng trình có
nghim
4
3
x
=
).

Bài 3. Gii các phng trình sau:
1)
3(2 2) 2 6
x x x

+ - = + +
.

(HD: t 3 2 , 6
x y x z
- = + =
, vi
0; 0
y z
³ ³
.
Ta đc
3 4
x y z
= Ú + =
. T đó phng trình có 2 nghim
11 3 5
3;
2
x x
-
= = ).
2)
4
2 2(1 ) 2 1
x x
- + + =
.

(HD: k

0 2 1
x
£ £ -
. t
4
2 2(1 ) 2 2 1
x y y x
- + = Û = - -

và
4
4 4
2 2
x z z x
= Û = vi
0; 0
y z
³ ³
.
Suy ra
4
2 4
2( ) 1(1)
2 1(2)
y z
y z
ì
+ =
ï
í

+ = -
ï
î
. T (1) thay
4
1
2
y z
= -
vào (2) ta đc
2 2 2
4
1
( 1) ( ) 0
2
z z
+ - + =
. Xét hiu hai bình phng suy ra
4
4 3 2
1
4 2
2
z
-
±
= .
T đó ta đc nghim ca phng trình là
4
4

4
4 3 2
1
2
2
x
æ ö
-
ç ÷
±
ç ÷
=
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
).
Bài 4. Gii phng trình
2
1000 1 8000 1000
x x x- - + = .

(HD: t
1 1 8000
x
+ + =
2
y
, ta đc
2

2
2000
(*)
2000
x x y
y y x
ì
- =
ï
í
- =
ï
î
.

===========================================================
12
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h


c
l
n th III

-

2010

T
(*)
suy ra
( )( 1999) 0
x y x y
- + + =
và , do đó
1999 0
x y
+ + >
.
Suy ra
x y
=
, ta đc nghim
2001
x
=
, loi
0
x

=
).

Bài 5. Gii các phng trình sau:
1)
3
2
1 2
2 5
x
x
+
=
+
.

(HD: t
2
1 0; 1
y x z x x
= + ³ = - +
, ta đc
2
2 2
5
5 2( ) 2 2
y y
yz y z
z z
æ ö

= + Û = +
ç ÷
è ø
2
5 1
2 2 0 2
2
y y y y
z z z z
æ ö
Û - + = Û = Ú =
ç ÷
è ø
.
Nu
2
y
z
=
ta đc
2
1 2 1
x x x
+ = - +
2
1
4 5 3 0
x
x x
³ -

ì
Û
í
- + =
î
(vô nghim).
Nu
1
2
y
z
=
ta đc
2
2 1 1
x x x
+ = - +
1
5 37
5 37
2
2
x
x
x
³ -
ì
±
ï
Û Û =

í
±
=
ï
î
(tha mãn)).
2)
2 3
2 5 2 4 2( 21 20
x x x x
- + = - -
.

(HD: k
4 1
5
x
x
- £ £ -
é
ê
³
ë
. t
2
2 8 10
x x y
- - =
và 4
x z

+ =
, vi
0; 0
y z
³ ³
.
Khi đó ta đc
( )( 3 ) 0
y z y z
- - =
. T đó phng trình có bn nghim là
9 193
4
x
±
=
và
17 3 73
4
x
±
= ).

Bài 6. Gii các phng trình sau:
1)
2
4 3 5
x x x
- - = +
.

(HD: t
5 2
x y
+ = -
, ta đc
5 29
1;
2
x x
+
= - = ).
2)
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ = , vi
1
x
³
.
(HD: t
3
1
2
x

y
+
= +
,đc
3 17
1
4
x
- +
= <
(loi), nu
1
x
³ -
thì
3 17
4
x
- +
= ).
3)
2
4
27 18
3
x x x
+ = +
, vi
0
x

>
.
(HD: Tng t, ta đc
5 37
18
x
- +
= ).
3. PHNG PHÁP ÁNH GIÁ

3.1 Mt s lu ý
Khi gii phng trình vô t (chng hn
( ) ( )
f x g x
=
) bng phng pháp đánh giá,
thng là đ ta ch ra phng trình ch có mt nghim (nghim duy nht).Ta thng s dng

===========================================================
13
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To

án

h

c
l
n th III

-

2010

các bt đng thc c đin Cô si, Bunhiacopxki, đa v trái v tng bình phng các biu
thc, đng thi v phi bng 0. Ta cng có th s dng tính đn điu ca hàm s (có th
thy ngay hoc s dng đo hàm xét s bin thiên ca hàm s) đ đánh giá mt cách hp lý.
Thng ta đánh giá nh sau:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x C C f x g x C
g x C C
=
ì
ï
³ £ Û = =
í
ï
£ ³
î

, hoc đánh giá
( ) ( )
f x g x
³
cng nh là
( ) ( )
f x g x
£
…
Ngoài ra đi vi bài c th nào đó ta s có cách đánh giá khác.
Cng có mt s phng trình vô t có nhiu hn mt n mà ta gii bng phng pháp
đánh giá.

3.2 Mt s ví d

Ví d 1. Gii phng trình
2
4 1 4 1 1
x x
- + - =
.

HD: Bài toán này có trong đ thi vào i hc Bách Khoa và HQG nm 2001. Bài
này có nhiu cách gii, đáp án s dng đo hàm.
Ta có th làm đn gin nh sau: Ta thy
1
2
x
=
là nghim ca phng trình.

Nu
1
2
x
>
thì Vt > 1 = Vp.
Nu
1
2
x
<
thì Vt < 1 = Vp.
Do đó phng trình không có nghim trong hai trng hp này.
Vy phng trình có mt nghim là
1
2
x
=
.

Ví d 2. Gii phng trình
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2
x x x x x x
+ + + + + = - -
.
HD: Bài này quá đn gin, đánh giá Vt
5
³
còn Vp

5
£
, do đó hai v cùng bng 5.
Ta đc phng trình có nghim duy nht là
1
x
= -
.
Ví d 3. Gii phng trình
2 2 2
19 7 8 13 13 17 7 3 3( 2)
x x x x x x x
- + + + + + + + = +
.

HD: Bài này cách gii có v hi mt t nhiên bi cách “c ý” cho nh vy. Giáo viên
và hc sinh có th sáng tác nhng bài kiu đó.
k
2
x
³ -
. Vi đk đó Vt =
2 2 2 2 2
1 75 1 3
( ) (2 1) 3( 2) (2 1) (4 3)
2 4 4 4
x x x x x- + + - + + + - + +

75 3
3 2 4 3

4 2
x x
³ + + + +



5 3
3 3( 2) (4 3)
2 2
x x
³ + + + +


3 3.( 2)
x
³ +
= Vp.
Du đng thc xy ra khi
1
2
x
=
. Vy phng trình có nghim duy nht là
1
2
x
=
.

===========================================================

14
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010


Ví d 4. Gii phng trình
2
4
28 27
2 27 24 1 6
3 2

x x x
+ + = + +
.

HD: Phng trình đã cho tng đng vi phng trình
2
4
(9 4) 3(9 4)
2 4 1
3 2
x x
+ +
+ = + , đk
4
9
x
³ -
. t (9 4)
x y
+ =
, suy ra
0
y
³
.
Khi đó ta đc
2 2
4
3 3
2 4 1 4 4 1 6

3 2 3 2
y y y y
y
+ = + Û + = + + (bình phng hai v).
Theo BT Cô-si ta đc
6
6
2
y
y
+
£ , do đó
2 2
2
4 4 2 4 4 4 ( 2)
3 3
y y
y y
æ ö
+ £ + Û + £ +
ç ÷
è ø


2 2
2
2
4 48 3 12 12
12 36 0
( 6) 0.

y y y
y y
y
Û + £ + +
Û - + £
Û - £

T đó ta đc
6
y
=
, suy ra
2
9
x
=
tha mãn đk.
Vy phng trình có nghim duy nht là
2
9
x
=
.

Ví d 5. Gii phng trình
2
4 3 2
3
2 7 3 3 2
2

x x
x x x x
-
+ - + - + =
.

HD: Phng trình đã cho tng đng vi
2 2 2
2 2
3 4 (2 1) ( 3)
(2 1)( 3) (1)
2 2
x x x x x
x x x
- + - + + +
- + + = = . Phng trình xác đnh
vi mi x là s thc. Theo BT Cô-si cho hai s dng ta đc Vt(1)
£
Vp(1).
Do đó (1)
Û
2 2 2
2 1 3 2 0
x x x x x
- + = + Û - - =
. T đó phng trình có nghim là
1
x
= -
và

2
x
=
.

Ví d 6. Gii phng trình
2
2
1 1
2 2 4x x
x x
æ ö
- + - = - +
ç ÷
è ø
.
HD: k
2
2
2
2
2
2
x
x
é
- £ £ -
ê
ê
ê

£ £
ê
ë
. Vi đk đó, phng trình đã cho tng đng vi
phng trình
2
2
1 1
2 2 4(1)
x x
x x
- + - + + = .

===========================================================
15
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c

l
n th III

-

2010

Theo BT Bunhiacopxki, ta đc
2 2 2 2
2 2
2 2
( 2 ) ( 2 .1 .1) 4
1 1 1 1
2 2 .1 .1 4
x x x x
x x x x
ì
- + = - + £
ï
ï
í
æ ö æ ö
- + = - + £
ï
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
ï
è ø è ø
î
.

Suy ra Vt
(1) 4
£
= Vp
(1)
. Do đó
2
2
2 2
(1)
1 1
2 2
x x
x x
ì
- + =
ï
Û
í
- + =
ï
î
, ngha là du bng trong h
xy ra. T đó phng trình có nghim duy nht là
1
x
=
.

Ví d 7. Gii phng trình

2 2
9
1
x x
x
+ = +
+
.

HD: k
0
x
³
.
Theo BT Bunhiacopxki, ta đc
2
Vt
=
2
1 1
2 2 1 ( 9)
1 1
1 1
x x
x x
x x
x x
æ ö
æ ö
+ + £ + + =

ç ÷
ç ÷
ç ÷
+ +
+ +
è ø
è ø
2
Vp
.
Phng trình có nghim khi du đng thc xy ra hay
1
2 2
1
1
1
x
x x
x
+
=
+
+
1
7
x
Û =
.
Vy phng trình có nghim duy nht là
1

7
x
=
.

Ví d 8. Gii phng trình
2 4 2 4
13 9 16
x x x x
- + + =
.

HD: k
1 1
x
- £ £
.
Vi đk đó phng trình tng đng vi
2 2 2 2 2 2
(13 1 9 1 ) 16 (13 1 9 1 ) 256(1)
x x x x x x- + + = Û - + + =
Theo BT Bunhiacopxki, ta đc
2 2 2 2 2 2
(13 1 9 1 ) ( 13. 13 1 3. 3. 3 1 )
x x x x
- + + = - + +

2 2
2
(13 27)(13(1 ) 3(1 ))

40(16 10 ).
x x
x
£ + - + +
= -

Theo BT Cô-si cho hai s dng ta đc
2
2 2
2 2
10 (16 10 )
10 (16 10 ) 64
2
x x
x x
æ ö
+ -
- £ =
ç ÷
è ø
.
Do đó Vt(1)
£

4 64 256
.
=
, ta đc
(1)
2

2 2
2
2
2 2
1
9 9 1
1
3
20 16
10 16 10
x
x x
x
x
x x
ì
+
ì
- = +
- =
ï ï
Û Û
í í
=
ï
ï î
= -
î
. T đó dn đn
2 5

5
x = ± .
Vy phng trình có hai nghim là
2 5
5
x = ± .

===========================================================
16
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

Ví d 9. Gii phng trình
3 2 3
2 2
x x
- = -
.

Nhn xét: Trong phn gii phng trình vô t bng Phng pháp đt n ph ta đã
gii bài toán này, ta cng có th gii nó bng phng pháp đánh giá nh sau.
HD: k
3
3
2 0 2
x x- ³ Û £ .
Gi s x là nghim ca phng trình. Khi đó
2
2 0
x
- ³ Û
2
2
x
x
é
³
ê
£ -
ê

ë
, ta đc
2
x £ - .
M 6 hai v suy ra
9 6 4 3 2
6 12 4 4 0
x x x x x
- + + - - =
(*).
Cách th nht ta bin đi Vt thành
9 6 2 4 2 3 2
5 ( 1) 12 3 4
x x x x x x x
- - - + + - -
là mt biu
thc âm khi
2
x £ - .
Cách th hai ta bin đi Vt thành
9 4 2 3 2
(6 1) 12 4 4
x x x x x
- - + - -
cng là mt biu thc
âm khi
2
x £ - …
Ta có th bin đi tip phng trình (*) sau khi chia hai v cho
1 0

x
- ¹
, ta đc

8 7 6 5 4 3 2
5 5 4 8 4 4 0
x x x x x x x x
+ + - - - + + + =

6 2 4 2 2
( 1) 5 ( 1) 4 ( 1) 4(2 1) 0
x x x x x x x x
Û + + - + - - + + =
vô nghim vì Vt luôn dng
khi
2
x £ - . Vy phng trình vô nghim.

Ví d 10. Gii phng trình
( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2
x x x x x x
+ - - + = - + - + +
.

HD: Bin đi phng trình thành
( 6 2)( 2 1 3) 4
x x x
+ + + - - =
, suy ra
5

x
³
.
Vt là hàm s đng bin trên đon
[
)
5;
+¥
. T đó dn đn
7
x
=
là nghim duy nht ca
phng trình đã cho.

Ví d 11. Gii phng trình
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
- + - - =
.

HD: Phng trình tng đng vi

2
3
3
12( 3)
( 3)(2 5)

(4 4) 2 4 4 4
x
x x
x x
-
- - =
- + - +
.
Ta thy
3
x
=
là nghim ca phng trình.
Nu
3
x
¹
thì phng trình tng đng vi
2
3
3
12
(2 5) (1)
(4 4) 2 4 4 4
x
x x
- =
- + - +

Nu

3
x
>
thì Vt(1) > 1 > Vp(1).
Nu
3
x
<
thì Vt(1) < 1 < Vp(1).
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.

Ví d 12. Gii phng trình
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 6
x x x x x x x
- + - + = + + + - +
.

Nhn xét: Vi bài toán này ta s dng mt đánh giá ít gp sau đây:
( ) 0; ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
f x g x
f x g x f x ah x g x bh x
h x
³ ³

ì
+ = + + + Û
í
=
î
, vi a, b là hai
s thc dng.
HD: Bin đi phng trình

===========================================================
17
HI CC TRNG THPT CHUYấN DUYấN HI V NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc mụn

To
ỏn

h

c
l
n th III

-

2010

2 2
2 2 2 2
2 1 0; 3 2 0
2 1 3 2 2 1 2( 2) 3 2 2( 2)
2 0
x x x
x x x x x x x x
x
ỡ
- - +
- + - + = - + + + - + + +
ớ
+ =
ợ

T ú ta c phng trỡnh cú nghim l
2
x
= -
.

Vớ d 13. Gii phng trỡnh
16 1
10 ( 1996 2008)
1996 2008
x y
x y

+ = - - + -
- -
.

Nhn xột: Vi bi toỏn ny, ta thy õy l mt phng trỡnh gm hai n. Do ú ta
ngh n bin i phng trỡnh thnh phng trỡnh mi cú Vt l tng cỏc bỡnh phng, cũn
Vp bng 0.
HD: Bin i phng trỡnh thnh

2
2
4
4
4
4
4 1
1996 2008 0
1996 2008
x y
x y
ổ ử
ổ ử
- - + - - =
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
- -
ố ứ
ố ứ
.

T ú ta c phng trỡnh cú nghim l
( ; ) (2012;2009)
x y
=
.

Vớ d 14. Gii phng trỡnh
3
1 2 1
2
x y y x xy
- + - = .

HD: k
1; 1
x y

.
Ta cú
1 3
1 2 1 ( 2 1) ( 2 1)
2 2
x y y x y x x x y y xy
- + - = - - - - - - +

2 2
1 3
( 1 1) ( 1 1)
2 2
y x x y xy

= - - - - - - + .
Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi
2 2
1; 1
1
( 1 1) ( 1 1) 0
2
x y
y x x y

ỡ
ù
ớ
- - + - - =
ù
ợ
.
T ú ta c phng trỡnh cú nghim l
( ; ) (2;2)
x y
=
.

3.3 Mt s bi tp tng t: (Chuyờn cũn tip tc hon thin)
4. PHNG PHP LNG GIC

4.1 Mt s lu ý
Khi gii phng trỡnh vụ t bng phng phỏp lng giỏc ta cú th t
( ) sin
f x

a
=
nu
[
]
( ) 1;1
f x ẻ - vi iu kin
;
2 2
p p
a
ộ ự
ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
hoc
( ) cos
f x
a
=
vi iu
kin
[
]
0;
a p
ẻ . Cng cú khi t
( ) tan ; ( ) cot
f x f x
a a

= =
a phng trỡnh ó cho
v phng trỡnh lng giỏc. Gii phng trỡnh lng giỏc ri t ú tỡm nghim ca phng
trỡnh ó cho.

4.2 Mt s vớ d

Vớ d 1. Gii phng trỡnh
2
4 1 4 1 1
x x
- + - =
.


===========================================================
18
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h


c
l
n th III

-

2010

Nhn xét: Bài toán này (đã xét  trên) cng có th gii bng phng pháp lng giác,
tuy nhiên vi bài này cách gii bng lng giác ch mang tính cht tham kho.
HD: t
4
2
4
4 1 cos
; 0;
2
4 1 sin
x y
y
x y
p
ì
- =
ï
é ù
Î
í
ê ú

ë û
- =
ï
î
. Khi đó ta đc phng trình
8 4 2
2 6 4 2
cos 2cos 8cos 7 0
( 1)( ) 0
(cos 1)(cos cos cos 7) 0
cos 1
y y y
cosy
y y y y
y
- + - =
Û - =
Û - + - + =
Û =

Do vy phng trình có mt nghim là
1
2
x
=
.

Ví d 2. Gii phng trình
2
1 1

2 2
1
x
x
+ =
-
.
HD: t cos , (0; ),
2
x y y y
p
p
= Î ¹
. Phng trình đã cho tr thành
1 1
2 2 sin cos 2.sin 2
cos sin
y y y
y y
+ = Û + = . t
sin cos , 2 2
y y z z+ = - £ £ .
suy ra
2
sin 2 2sin cos 1
y y y z
= = -
, ta đc
2
z = và

2
2
z = - .
Vi
2
z = thì
4
y
p
=
, do đó
2
2
x = .
Vi
2
2
z = - thì
11
12
y
p
= , do đó
1 3
2 2
x
+
= - .
Vy phng trình có nghim là
2

2
x = và
1 3
2 2
x
+
= - .

Ví d 3. Gii phng trình
3 2 3 2
(1 ) 2(1 )
x x x x
+ - = - .

HD: k
1 1
x
- £ £
.
t
sin , ;
2 2
x y y
p p
é ù
= Î -
ê ú
ë û
suy ra
cos 0

y
³
.
Khi đó phng trình tr thành
3 3
sin cos 2 sin cos
y y y y
+ = .
t
sin cos , 2; 2
y y z z
é ù
+ = Î -
ë û
(chính xác là
1; 2
z
é ù
Î -
ë û
), bin đi phng trình
ta đc
3 2
2. 3 2 0
z z z
+ - - =

( 2)( 2 1)( 2 1) 0
z z z
Û - + - + + =

2 1 2
z zÛ = Ú = - .
Nu
2
z = thì thì
4
y
p
=
, do đó
2
2
x = .
Nu
1 2
z = - thì
sin cos 1 2
y y+ = -
2
1 1 2
x xÛ + - = -

===========================================================
19
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010


2
1 1 2 0
1 2 2 2 1
2
x x
x
Û - = - - ³
- - -
Û =

Vy phng trình có 2 nghim trên.

4.3 Mt s bài tp tng t

Bài 1. Gii phng trình
3 2
4 3 1
x x x
- = -
.
(HD: t
cos
x y
=
, phng trình có tp nghim là
5 3 2
cos ;cos ;cos
8 8 4 2
S
p p p
ì ü
ï ï
= = -
í ý
ï ï
î þ
).
Bài 2. Gii phng trình
(
)
2 6 2 3

5 3 1 8 (1 )
x x x+ - = + - .

Bài 3. Gii phng trình
2
2 2
1
x
x
x
+ =
-
.

Bài 4. Gii phng trình
2 2
( 3 2 ) 1 3 2
x x x x
- - = - .

Bài 5. Gii phng trình
2
2
2
(1 )
3 1
1
x x
x
x

+
= -
-
.

Bài 6. Gii phng trình
2 3
2
5 3
(1 )
1
6 20 6
x
x
x x x
+
= +
- +
.

Bài 7. Gii phng trình
2 2
2 1 2 1 1
x x x x
+ - + - =
.
5. MT S PHNG PHÁP KHÁC

5.1 Mt s lu ý
Ngoài nhng phng pháp thng gp  trên, đôi khi ta cng có nhng li gii khác

l đi vi mt s phng trình vô t. Cng có th ta s dng kt hp các phng pháp  trên
đ gii mt phng trình.

5.2 Mt s ví d
Ví d 1. Gii phng trình
2 2
3 2. 9 4 2. 16 5
x x x x
- + + - + =
.

HD: Nu
0
x
£
thì Vt
3 4 7 5
³ + = >
= Vp (phng trình không có nghim).
Nu
0
x
>
thì ta xét tam giác vuông ABC vi
0
90
A = , AB = 4; AC = 3.
Gi AD là phân giác ca góc A, ly M thuc tia AD.
t AM = x, xét
2 2

9 3 2.
ACM CM x x
D Þ = + - và xét
2 2
16 4 2.
ABM BM x x
D Þ = + - .
T đó suy ra Vt =
5
CM BM BC
+ ³ =
. Du đng thc xy ra khi
M D
º
,hay

===========================================================
20
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010


2 2
2 2
3
4
1 6 9
1 6 1 6 .9 4 8 2 . 9 1 6 .9 3 6 2 .
7 1 2 2 . 0
1 2 2
7
C M
B M
C M B M
x x x x
x x
x
=
Û =
Û + - = + -
Û - =

Û =

Vy phng trình có nghim là
12 2
7
x = .

Ví d 2. Gii phng trình
2 2 2 4
4
4 4 1 2 3 5 16
x x x y y y x
- + + + + - - = - + -
.

Nhn xét: Bài toán này không khó, ch kim tra tính cn thn ca hc sinh mà thôi vì
sau khi đt điu kin đã tìm đc giá tr ca x. Tuy nhiên nu hc sinh hc hi ht s ngi
nhìn mà không làm đc bài.
HD: t đk cho phng trình xác đnh ta s đc
2
x
=
. Khi đó phng trình tr
thành 1 2
y y
- = -
, suy ra
3
2
y

=
. Vy phng trình có mt nghim là
3
( ; ) 2;
2
x y
æ ö
=
ç ÷
è ø
.
Ví d 3. Gii phng trình
3 2 3 2
3
7 1 8 8 1 2
x x x x x
+ - - - + - - =
.

HD: t
3 2 3 2
3
7 1; 8; 8 1
y x z x x t x x
= + - = - - = - -
,
suy ra
2
y z t
+ + =

và
3 3 3
8
y z t
+ + =
(1).
Mt khác
( )
3
8
y z t
+ + =
(2).
T (1) và (2) ta đc
3 3 3 3
( ) ( ) 3( )( )( ) 0
y z t y z t y z z t t y
+ + - + + = + + + =


0 (3)
0 (4)
0 (5)
y z y z
z t z t
t y t y
+ = = -
é é
ê ê
Û + = Û = -

ê ê
ê ê
+ = = -
ë ë
.
Xét (3) ta đc
1 9
x x
= - Ú =
, xét (4) đc
1
x
=
và (5) đc
0 1
x x
= Ú =
.
Vy tp nghim ca phng trình là
{
}
1;0;1;9
S = - .

Ví d 4. Gii phng trình
2 2
4 20 4 29 97
x x x x- + + + + = .

HD: Trong mt phng ta đ xét hai véc t

( 2;4)
a x= -
r
và
( 2;5)
b x= - -
r
.
Khi đó ta đc
( 4;5)
a b+ = -
r r
, suy ra
97
a b+ =
r r
và ta cng có
2
4 20
a x x
= - +
r
,
2
4 29
b x x= + +
r
. Phng trình tr thành
a b a b
+ = +

r r r r
, đng thc đó xy ra khi
a
r

và
b
r
cùng chiu
2 2
4 5
x x
- - -
Û = . T đó ta đc phng trình có mt nghim là
2
9
x
=
.

Ví d 5. Gii phng trình
2 2 4 2
1 2 1 2 2( 1) (2 4 1)
x x x x x x x
+ - + - - = - - +
.
HD: t
2 2
2 1 ( 1)
y x x x= - = - - , suy ra

2 2
0 1
( 1) 1
y
x y
£ £
ì
í
- = -
î
.

===========================================================
21
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l

n th III

-

2010

Ta đc
2 2 2
1 1 2(1 ) (1 2 )(1)
y y y y+ + - = - - .
Mt khác
2 2
1 1 1 1 2 (2)
y y y y+ + - ³ + - ³ - .
T (1) và (2), suy ra
2 2 2 2
2(1 ) (1 2 ) 2
y y y
- - ³ -

t
2
y z
=
, ta đc
0 1
z
£ £
và
2 2

2(1 ) (1 2 ) 2 (4 10 7) 0
z z z z z z
- - ³ - Û - + £


0
z
Û £
(do
2
4 10 7 0
z z
- + >
).
Do đó
0
z
=
, suy ra
0
y
=
hay
2
2 0
x x
- =
0
2
x

x
=
é
Û
ê
=
ë
.
Vy phng trình có nghim là
0
x
=
và
2
x
=
.

§2. MT S BÀI TOÁN THI LP I TUYN HC SINH GII TNH
BC GIANG

Chn đi tuyn ca tnh Bc Giang thi hc sinh gii quc gia cng có nhng bài toán
gii phng trình vô t. Sau đây là mt s bài.

Bài 1 (Lp đi tuyn HSG quc gia tnh Bc Giang nm hc 2004 – 2005)
Gii phng trình
3 2
3 3
2 11 4 4 14 5 13 2
x x x x x x

- - - + - + = + -
.

Bài 2 (Kim tra đi tuyn HSG quc gia tnh Bc Giang nm hc 2004 – 2005)
Gii phng trình
3 2 3 3 3 2
2 2 3 1 2 3 1
x x x x x x
+ - - + = - - -
.

Bài 3 (Lp tin đi tuyn HSG quc gia tnh Bc Giang nm hc 2006 – 2007)
Gii phng trình
4
8 4 2 3 3
x x x x
+ + + = + + .

Bài 4 (D tuyn toán QG gi B GD-T ca Bc Giang nm hc 2006 – 2007)
Gii phng trình
2 2 2
2 3 2 1 3 3
x x x x x x
- + = - + + - .

Bài 5. (Kim tra đi tuyn HSG quc gia tnh Bc Giang nm hc 2007 – 2008)
Gii phng trình
2
2
2007 2008 2009

2007
x x x
x x
- +
=
+
.

Bài 6. (Giáo s dy đi tuyn toán tnh Bc Giang nm hc 2004 – 2005)
Gii các phng trình sau:
1)
2
1 3 2 1
x x x x
+ + - = +
. 4)
2
1 5
8
2
x
x
+ =
.

2)
3
4
7 80
x x x

+ + = +
. 5)
4
3
2
8
x x
= +
.

3)
3
3
1 2(2 1)
x x
+ = -
. 6)
2 3
2 4 3 4
x x x x
+ + = +
.






===========================================================
22

HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

§3. MT S BÀI TOÁN THI HC SINH GII CA MT S QUC GIA

Thc t bài toán gii phng trình vô t trong k thi hc sinh gii quc gia là không
khó. Tuy nhiên đ làm đc vic ln thì trc ht phi làm tt vic nh, do đó hc sinh
mun đot gii t khuyn khích tr lên phi làm tt bài toán này. Dù bit vy nhng không
phi hc sinh xut sc nào cng vt qua đc.

Bài 1 (1995 - Bng A. VMO)

Gii phng trình
3 2
4
3 8 40 8 4 4 0
x x x x
- - + - + =
.

HD: k
1
x
³ -
.
Khi đó xét
3 2
( ) 3 8 40
f x x x x
= - - +
và
4
( ) 8 4 4
g x x
= +
trên đon
[
)
1;
- +¥
.
Ta đc

( ) ( )
f x g x
=
. Áp dng BT Cô-si cho bn s không âm, ta đc
4 4 4 4 4 4
4
1
( ) 2 .2 .2 (4 4) (2 2 2 (4 4)) 13(1)
4
g x x x x= + £ + + + + = + . ng thc xy ra khi và
ch khi
4
4 4 2 3
x x
+ = Û =
.
Mt khác
3 2 2
3 8 40 13 ( 3)( 9) 0
x x x x x x
- - + ³ + Û - - ³


2
( 3) ( 3) 0(2)
x xÛ - + ³ .
ng thc xy ra khi và ch khi
3
x
=

.
T (1) và (2), ta đc
( ) 13 ( )
g x x f x
£ + £
. C hai đng thc đu xy ra khi
3
x
=
, tha
mãn điu kin.
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.

Nhn xét: Ta có th s dng đo hàm đ xét s bin thiên ca các hàm s
( )
f x
và
( )
g x
trên đon
[
)
1;
- +¥
, ta đc
[

)
1:
min ( ) (3) 13
f x f
- +¥
= =
và
[
)
1:
max ( ) (3) 13
g x g
- +¥
= =
.
Hoc ta có th đt
4
4 4
x y
+ =
, vi
0
y
³
sau đó dùng đo hàm đ kho sát s bin
thiên ca hàm s
12 8 4
( ) 24 16 512 2816
f y y y y y= - + - + (
'( ) 2( 2). ( )

f y y h y
= -
vi
( ) 0
h y
>
).
Bài 2 (1995 - Bng B. VMO)
Gii phng trình
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
- + - - =
.

HD: t
3
4 4
x y
- =
.
Khi đó
3
4
4
y
x
+
= và suy ra

6 3
2
8 16
6
y y
x
+ +
= . T đó ta có phng trình
6 3 3 6 3
1 11
( 8 16) ( 4) 3 21 0 14 24 96 0(1)
8 4
y y y y y y y+ + - + - + = Û - - + =

2 4 3 2
( 2) ( 4 12 18 14) 0(2)
y y y y yÛ - + + + + = .
Do
0
y
£
thì Vt(1) dng, do đó ta xét
0
y
>
, khi đó
4 3 2
4 12 18 14 0
y y y y
+ + + + >

.
Nên t (2) ta thy
2
y
=
hay
3
4 4 2
x
- =
, ta đc
3
x
=
.Th li đúng.
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.
Bài 3 (2002 - Bng A. VMO)
Gii phng trình
4 3 10 3 2
x x
- - = -
.
HD: Cách 1 (áp án)

===========================================================
23

HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

k
74 10
27 3
x
£ £
. Vi điu kin đó phng trình đã cho tng đng vi phng trình

2 2 2

4 3 10 3 4 4 9(10 3 ) (4 )
x x x x x x
- - = - + Û - = -

4 3 2
2
8 16 27 29 0
( 3)( 2)( 7 15) 0
x x x x
x x x x
Û - + + - =
Û - + - + =


3
x
Û =
(do đk và
2
7 15 0
x x
- + >
vi mi
x
tha mãn đk)
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.

Cách 2: t 10 3
x y
- =
, suy ra
4
0
3
y
£ £
(1) và
2 2
10 4
2 0
3 3
y y
x x
- -
= Þ - = >

vi mi y tha mãn (1).
Khi đó ta đc
2 4 2
4 8 16
4 3 4 3
3 9
y y y
y y
- - +
- = Û - =

4 3
2
8 27 20 0
( 1)( 4)( 3 5) 0
y y y
y y y x
Û - + - =
Û - + - + =


1
y
Û =
.
Hay ta đc
10 3 1
x
- =
3
x
Û =
.
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.

Bài 4 (1998-CMO)
Gii phng trình

1 1
1x x
x x
= - + -
.

Nhn xét: ây là bài toán thi hc sinh gii ca Canada, có th nói là đn gin, nh
nhàng vi hc sinh tinh ý nhng cng đy cm by vi mi hc sinh.
Tht vy, t đk xác đnh ca phng trình ta phi dn đn đc
1
x
>
.
Vi đk đó, phng trình tng đng vi
1 1
1x x
x x
- - = -



2 2
1 1
1x x
x x
æ ö æ ö
Û - - = -
ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

(do hai v không âm vi mi
1
x
>
)

2 2
( 1) 2 ( 1) 0
x x x x
Û - - - + =


2 2
( 1 ) 0
x x
Û - - =


2
1 0
x x
Û - - =
. T đó suy ra
1 5
2
x
+
= .
Cng có th t
2 2

( 1) 2 ( 1) 0
x x x x
- - - + =
, chuyn
2
2 ( 1)
x x
-
sang v phi ri bình
phng hai v, sau đó đt
1
2
x y
- =
ta đc phng trình trùng phng n
1
2
y
>
, gii
phng trình này tìm đc
5
2
y = . T đó suy ra
1 5
2
x
+
= nhng cách này hi dài.
Vy phng trình có nghim duy nht là

1 5
2
x
+
= .

===========================================================
24
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

§4. MT S BÀI TP T LÀM

Sau đây là mt s bài tp t làm mà chúng ta có th s dng các phng pháp  trên.

Bài 1. Gii các phng trình sau:
1)
2 2 2
1 1 2
x x x x x x
+ - + - + = - +
.
2)
2 2
1 1 (1 2 1 )
x x x
+ - = + - .
3)
2
2
1 2
1
x x x
x x
- +
=
+
.
4)
2
2 4 2 5 1

x x x x
- + - = - -
.
5)
3 2 3 2
3 3
3 2001 3 7 2002 6 2003 2002
x x x x x- + - - + - - = .

Bài 2. Gii các phng trình sau:
1)
2 2 2
2 3 2 1 3 3
x x x x x x
- + = - + + - .
2)
42 60
6
5 7x x
+ =
- -
.
3)
( 2) 1 2 2 0
x x x
- - - + =
.
4)
3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0

x x x x
+ + - + - - - =
.
5)
2 2
4 4 10 8 6 10
x x x x
- - = - -
.

Bài 3. Gii các phng trình sau:
1)
2
(2004 )(1 1 )
x x x
= + - - .
2) 3 3
x x x
- = +
.
3)
5 5
x x x x
- - - - =
.
4)
4 3 3
16 5 6 4
x x x
+ = +

.
5)
3 2 3
3 2 ( 2) 6 0
x x x x
- + + - =
.

Bài 4. Gii các phng trình sau:
1)
2
3
5 1 9 2 3 1
x x x x
- + - = + -
.
2)
2
4
28 27
2. 27 24 1 6
3 2
x x x
+ + = + +
.
3)
13 1 9 1 16
x x x
- + + = .
4)

3 3
86 5 1
x x
+ - - =
.
5)
3 2
3
2 ( 4) 7 3 28 0
x x x x x
- - - - - + =
.

Bài 5. Gii các phng trình sau:
1)
2 2
2
2 2 2 2
x x
x x
+ -
+ =
+ + - -
.
2)
2
2 2 4 4 2 9 16
x x x
+ + - = +
.

===========================================================
25
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

3)
2 3
2 5 2 4 2( 21 20)
x x x x- + = - - .
4)

3
3 2
x x x
- = +
.
5)
2
4 3 2 3
1
2 2 2 1 ( )
x
x x x x x x
x
-
+ + - + = + .

Bài 6. Gii các phng trình sau:
1)
3
3
3
6 6 6
x x
- + + =
.
2)
4 1 5
2x x x
x x x
+ - = + -

.
3)
2 4 3 2
2 4 7 4 3 2 7
x x x x x x
+ + = + + - -
.
4)
2 2
4
6
1 1 1 1
x x x x
- + + - + - =
.
5)
2
2
2
1
3
x x
æ ö
- = -
ç ÷
è ø
.

Bài 7. Gii các phng trình sau:
1)

(
)
(
)
2 2
3 2 1 1 1 3 8 2 1
x x x x
+ - = + + +
.
2)
2 3
2( 2) 5 1
x x
+ = +
.
3)
6 4 2 2
64 112 56 7 2 1
x x x x
- + - = -
.
4)
(
)
2 3 3 2
1 1 (1 ) (1 ) 2 1
x x x x
+ - + - - = + -
.
5)

(
)
2
2 3 3
2 1
1 1 (1 ) (1 )
3
3
x
x x x
-
+ - + - - = + .

Bài 8. Gii các phng trình sau:
1)
3
3
6 6 4 4 0
x x
- + - =
.
2)
2 3
2( 3 2) 3 8
x x x
- + = +
.
3)
6 2
3 3

1 1 1
x x x
+ - - = -
.
4)
2 2
3
15 3 8 2
x x x
+ = + + -
.
5)
2 3 3 2
4
4 4 4
(1 ) (1 ) 1 (1 )
x x x x x x x x
+ - + - = - + + -
.

Bài 9. Gii các phng trình sau:
1)
3
3
1 3 3 1
x x
+ = -
.
2)
2

35
12
1
x
x
x
+ =
-
.
3)
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
- + - - =
.
4)
4 3 2 2
4 6 4 2 10 2
x x x x x x
+ + + + + + =
.
5)
2 2 2
2 2 2
32
1 1 4 4
(2 3)
x x x x x
x x

+ + - - + - + =
+
.

Bài 10. Gii các phng trình sau:

===========================================================
26
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To
án

h

c
l
n th III

-

2010

1)
2
3
1
1
x
x
x
+ =
+
.
2)
( 1) 1 5 1 4 4 0
x x x x
- - + - + - =
.
3)
4 2 2 2
10 14 19 (5 38) 2
x x x x
- + = - -
.
4)
2 2
( 1) 2 3 1
x x x x
+ - + = +
.
5)
2 2

1
1 1 2
2
x x x
- - = - .

Bài 11. Gii các phng trình sau:
1)
1 3
1 0
4 2
x
x x
+
- =
+ +
.
2)
3
3 2 0
x x x
- - + =
.
3)
3
3
8 4 6 1 1 0
x x x
- - + - =
.

4)
(
)
2 2 2
3 2 2 2 1 0
x x x x
+ - + - + - =
.
5)
2 2
3 5 12 5 0
x x x
+ + - + - =
.

Bài 12. Gii các phng trình sau:
1)
2 3
2( 8) 5 8
x x
+ = +
.
2)
2
4 3 4 3 10 3
x x x
- = - -
.
3) ( 3) (4 )(12 ) 28
x x x x

+ - + = -
.
4)
2 2 2 3
2 1 6 9 6 ( 1)(9 ) 38 10 2
x x x x x x x
+ + - + + - = + - -
.
5)
2 2 2
7 22 28 7 8 13 31 14 4 3 3( 2)
x x x x x x x
- + + + + + + + = +
.

Bài 13. Gii các phng trình sau:

1)
4 2 2 2 2 2 2
2
1
4 16 9 2 2x y x y x y y x
x
æ ö
- + + - - = +
ç ÷
è ø
.
2)
2 2 2 2 3 2

1 1 1 1
2 2 3 3 1
4 4 4 4
x x x x x x x x
- + - + + - + + + = + + +
.
Trong đó biu thc v trái có tt c 2008 du cn thc bc hai.











===========================================================
27
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

-

H
i tho khoa hc môn

To

án

h

c
l
n th III

-

2010

LÀM NGC BT NG THC
Nguyn c Vang (THPT chuyên Bc Ninh)

Trong báo toán s 377(tháng 11 nm 2008) có bài toán sau:
“Tìm s
 thc k nh nht sao cho vi mi b s thc không âm x, y, z ta luôn có:
{
}
xzzyyxMaxkxyz
zyx
+£
+
+
,,.
3
3
”.
Bt chc cách làm y, tôi khai thác mt s bt đng thc quen bit, bng cách thêm vào

v bé mt lng đng bc ti thiu đ làm thay đi s chênh lch.
Bài 1. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:

2222
.2 yxkxyyx -+£+ .
Bài 2. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:
yxkyxyx -++£+ .)(2
22
.
Bài 3. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:

{
}
xzzyyxMaxkzyxzyx +++£++ ,,.)(3
222
.
Bài 4. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y:

44444
yx.k)
2
yx
(2yx -+
+
£+
Bài 5. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:

nnnnn
yxk
yx
yx -+
+
£+ .)
2
(2 (vi n là s nguyên
dng)
Bài 6. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y, z:

{
}
2222222222
,,.max)()(3 xzzyyxkzyxzyx +++£++
Bài 7. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y, z:

{
}
22
2
21
22
2
2
1
.max) () (
jinn
xxkxxxxxxn -++++£+++

Bài 8. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:

qk
n
n
n
k
k
xxMaxkxxnx -+£
å
=

1
1
.
Bài 9. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y
ú
û
ù
ê
ë
é
Î
2
;0
p