Đề thi thử đại học chuyên ĐHSP năm 2011 môn toán (3)

Page 1



ĐỀ SỐ 14
Đề thi thử Đại học lần VII năm 2011 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số:
21
1
x
y
x




1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và cắt (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho O là trung điểm của đoạn AB.
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
sin( 2 ). ot3x+sin( 2 ) 2 os5 0
2
x c x c x


   

2. Giải phương trình:
22
( 2)( 4 7 1) ( 3 1 0x x x x x       

Câu 3. (1,0 điểm)
Tính tích phân
2
3
4
.cos
sin
xx
I dx
x





Câu 4. (1,0 điểm)
Tứ diện ABCD có các tam giác ABC và BCD đều cạnh bằng a, góc giữa đường thẳng
AD và mặt phẳng (ABC) bằng
0
45
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho các số a, b, c thuộc khoảng (0; 1). Chứng minh rằng:
2 2 2
( )( )( ) ( )( )( )a a b b c c a bc b ca c ab      

Câu 6. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đường thẳng
1
d
: 3x – y – 4 = 0,
2
d
: x + y – 6 = 0 và
3
d
: x – 3 =0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết rằng góc
BAD
= 120
0
; các đỉnh A,
C thuộc
3
d
, B thuộc
1
d
và D thuộc
2
d
.
2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1

:
1

1 2 1
x y z


và
2

:
2
3
16
xt
yt
zt








. Viết phương trình đường thẳng d cắt
1

,
2

và song song với
3



là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 4x – y – 9 = 0 và (Q): y + 2z – 13 = 0.
Câu 7. (1,0 điểm)
Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện:
3 3 10zz   



Page 2



ĐỀ SỐ 14
Đề thi thử Đại học lần VII năm 2011 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu I (2 điểm)
1. (1,0 điểm). Học sinh tự giải.

2. (1,0 điểm). Viết phương trình đường thẳng…
Phương trình đường thẳng d đi qua O có hệ số góc k là y = kx, d cắt (C) tại hai điểm phân
biệt

phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
2
1
21
(1)
( 2) 1 0 (2)

1
x
x
kx
kx k x
x





   


(0,50 điểm)
Pt(1) có hai nghiệm phân biệt

pt(2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2
2
0, ( 2) 4 0
40
( 2) 1 0
k k k
k
kk

     
  


   

đúng với mọi k

0 (0,25 điểm)
Gọi
,
AB
xx
là nghiệm của (2). Do O là trung điểm của AB nên
2
0 0 2
AB
k
x x k
k

      
.
Vậy phương trình đường thẳng d là y = −2x (0,25 điểm)
Câu II (2 điểm)
1. (1,0 điểm). Giải phương trình…
Điều kiện: sin3x

0.
Phương trình đã cho
os3
os2 . sin 2 2. os5 0
sin3

os3 . os2 sin3 .sin 2 2. os5 .sin3 0
os5 2. os5 .sin3 0 (1 2.sin3 ). os5 0
cx
c x x c x
x
c x c x x x c x x
c x c x x x c x
   
   
     
(0,50 điểm)
* Xét
2
1
12 3
1 2.sin3 0 sin3 ,
2
2
43
k
x
x x k Z
k
x





     







Hai nghiệm này đều thỏa mãn đk.
* Xét cos5x = 0

10 5
k
x


. Ta thấy
33
sin( ) 0
10 5
k


với mọi
kZ
.
Đáp số:
2
12 3
k
x



,
2
43
k
x


,
10 5
k
x


(
kZ
). (0,50 điểm)
2. (1,0 điểm). Giải phương trình….
Phương trình đã cho
22
( 2) ( 2) 3 1 ( ) ( ) 3 1x x x x
   
         
   

Xét hàm số
2
22
2
( ) ( 3 1) '( ) 1 3 0

3
t
f t t t f t t
t
        

với mọi
tR
.


Page 3



Vậy hàm f(t) đồng biến trên R do đó từ pt suy ra:
F(x + 2) – f(−x)

x + 2 = −x

x = −1. (1,0 điểm)
Câu III (1 điểm)
(1,0 điểm). Tính tích phân…
Ta có
'
2 4 2
1 2sinx.cos 2cos
()
sin sin sin
xx

x x x

  
. Do đó
2
22
2 2 2
4
4
4
1 1 1 1 1 1
1 . ( ) .
2 sin 2 sin 2 sin
x d x dx
x x x





      


=
2
4
11
cot
22
x




. (0,50 điểm)
Câu IV (1 điểm)
AM=DM=
3
2
a

Gọi M là trung điểm của AB thì
và BC

(AMD). Nếu kẻ DH

AM thì DH

(ABC)
0
45DAH H M   
và

AMD
vuông cân tại M

DM

(ABC).
Suy ra tâm O của hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là
giao điểm của hai trục tam giác đều ABC và DBC lần lượt

đi qua hai trong tâm
12
,GG
của hai tam
giác đó.
Ta có
12
13
36
a
OG OG DM  
và
1
3
3
a
AG 

Suy ra:
22
11
15
6
R OA OG AG a   

Vậy,
3
3
4 5 15
3 54

a
VR




Câu V (1 điểm)
Bất phương trình tương đương với BPT:

(1 )(1 )(1 ) ( )( )( )abc a b c a bc b ca c ab      

Với x, y, z

(0; 1), Ta có:
2
2 2 3 2 2
(1 ) ( )( ) (1 ) ( )( )
(1 2 ) ( ) 0
yz x y xz z xy yz x y xz z xy
yz x x yz xy xz x yz y z
        
         

Vậy BĐT
(1 ) ( )( )yz x y xz z xy   
là đúng (0,5 điểm)
Câu VI (2 điểm)
Gọi t là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD thì DB

AC, IA=IC, IB=ID

Theo giả thiết, đặt B(t ; 3t − 4), D(t’ ; 6 – t’) và vectơ chỉ phương của
3
d
là
3
u
=(0; 1).
Ta có
( ' ;10 ' 3 ),BD t t t t   

BD

3
u

t’=10 – 3t

D(10 – 3t; 3t −4) (0,5 điểm)


Page 4



Do I là trung điểm của BD nên
5
34
I
I
xt

yt





và I

3
d
nên
5 – t – 3 = 0

t = 2.
Vậy B(2; 2), D(4; 2) và I(3; 2). Ta có BI=d(B,
3
d
)=1
Do BAD = 120
0

ABC=60
0



ABC đều và IA=IC=IB.tan30
0
=
3

3

Suy ra
3
3
2
3
A
A
x
y







và
3
3
2
3
C
C
x
y









Hoặc
3
3
2
3
A
A
x
y







và
3
3
2
3
C
C
x
y








(0,5 điểm)

Viết phương trình đường thẳng d (1,0 điểm).
Vectơ chỉ phương của
3

là
3
1 0 0 4 4 1
, ; ; ( 2; 8;4)
1 2 2 0 0 1
PQ
u n n



    




Gọi (


) là mặt phẳng chứa a và
1

, (

) là mặt phẳng chứa d và
2

.
Do d//
3

nên (

) và (

) song song với
2

và
( ) ( )d


, vecto chỉ phương của d là
3
u
(0,25 điểm)
Vectơ pháp tuyến của (

) là

13
2 1 1 1 1 2
, ; ; ( 8;3;2)
4 2 2 1 1 4
n u u



   





Vectơ pháp tuyến của (

) là
23
3 6 6 2 2 3
, ; ; ( 18;10;11)
4 2 2 1 1 4
n u u




   






Vậy, (

): −8x+3y+2z+3=0
(

): −18x+10y+11z−11=0 (0,5 điểm)
Gọi M(0; y; z)

d, khi đó y, z là nghiệm của hệ pt
55
3 2 3
13
10 11 11 63
13
y
yz
yz
z





  











Vậy d:
55
4
13
63
2
13
xt
yt
zt





  






(0,25 điểm)
Câu VII (1 điểm)

Page 5




(1,0 điểm). Tìm tập hợp điểm M…
Giả sử z = x + yi; (x, y

R)

M(x; y)
Ta có
2 2 2 2
3 3 10 ( 3) ( 3) 10(*)z z x y x y          

Gọi
1
F
(−3; 0) và
2
F
(3; 0) thì (*)

M
1
F
+M
2

F
=10(**)
Theo đinh nghĩa về elip, tập hợp các điểm M(x; y) thỏa mãn (**) là elip (E) có hai tiêu điểm
1
F
(−3; 0) và
2
F
(3; 0), độ dài trục lớn 2a =10

a = 5, tiêu cự c = 3 và nửa độ dài trục bé b = 4
Vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình :
22
1
25 16
xy
