Đề thi thử đại học chuyên ĐHSP năm 2011 môn toán (5)

Page 1



ĐỀ SỐ 17
Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I V n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g
T H P T c h u y ê n K H T N

Câu I
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
()
1
x
yC
x




2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng
( ): 2d y x m
cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm
A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.
Câu II
1. Giải phương trình:
3
2cos 2cos 2tan2 sin .sin2x x x x x  

2. Giải hệ phương trình:
1
2
2 2 2
( 2 1 1).2
log 2
y
x
x
x
xy



  






Câu III. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi:
0; ; 0; sin ( sin )
2
x x y y x x x

    
.
Câu IV. Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có các cạnh AB = AD = AA' = 1 các góc phẳng tại
đỉnh A bằng

0
60
. Tính thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB' và A'C'.
Câu V. Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện
2ab
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 4 2 4
11
2 6 9 6 9
P
a a a b b

   
.
Câu VI.
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lập phương trình đường tròn có bán kính bé nhất tiếp xúc
đồng thời với trục Ox và đường tròn
22
4 8 11 0x y x y    
.
2. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng
( ): 2 0P x y z   
,
( ): 1 0Q x y z   
. Lập phương trình đường thẳng (d) song song với 2 mặt phẳng
( ),( )PQ

và cách hai mặt phẳng một đoạn bằng
3

.
Câu VII. Tìm số phức z thỏa mãn 2 điều kiện
1
z
i
có modun bằng 2 và có acgumen bằng
12

.


Page 2



ĐỀ SỐ 17
Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I V n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g
T H P T c h u y ê n K H T N

Câu I.
1. TXĐ:
1x 
. Ta có
2
2
'0
( 1)
y
x
  


. Hàm số giảm trên các khoảng
( ,1)
và
(1, )

và không có cực trị
1
lim 1,lim
xx
yy
 
  
nên y = 1 là TCN và x = 1 là TCĐ. BBT và đồ thị
(tự vẽ)
2. Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của
2
1
2 2 2 ( 3) ( 1) 0
1
x
x m x m x m x m
x

         

,
2
2 17 0mm    
nên pt có hai

nghiệm phân biệt (khác 1)
12
,xx
. Từ đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt
11
( ,2 )A x x m

và
22
( ,2 )B x x m
.
Khi đó:
2 2 2
1 2 1 2
( ) (2 2 )AB x x x m x m     
22
1 2 1 2 2 2
5( ) 5( ) 20x x x x x x    
2
2
3 1 5
5 20 ( 2 17) 20
2 2 4
mm
mm


     



.
Dấu bằng khi m = −1. Vậy khoảng cách nhỏ nhất là
20
khi m = −1.
Câu II.
1. Đk:
cos2 0x 
. Pt
2
2cos (1 cos ) 2tan2 sin sin2 0x x x x x    
2
2cos sin sin sin2 2tan2 0x x x x x   
hay
2sin sin2 2tan2 0x x x
1
sin2 sin 0
cos
xx
x

  


sin2 0
sin cos2 1
x
xx







(chú ý khi đó đk luôn được thỏa mãn)
2. Đk:
1
2
x
. Khi đó từ pt thứ hai suy ra
2
2
y
x


hay
1
2
2
y
x


.
Thay vào pt đầu ta thu được
2 1 1 1 2xx    
2 1 2 2xx    
bình phương
hai vế rồi chuyển vế suy ra
2 (2 1)(2 ) 3x x x   

bình phương hai vế ta thu được:
2
17
9 26 17 0 1,
9
x x x x     

Câu III.
1. Giả sử số phức z có mô−đun là r và một argumen là

. Ta có
z
có mô−đung là r và
argumen là −

. Mà
1 2 cos sin
44
ii


  


suy ra
1
z
i
có mô−đun là
2

r
và một
argumen là
4



. Từ đó
22r 
và
13
2 2 2 6
3 2 2
z i i



      



.


Page 3



2. Ta có
2 2 2

2
0 0 0
(sin sin ) (1 cos2 ) cos
2
V x x x dx x dx xd x
  


    
  
2
2
22
00
0
sin2
cos cos
2 2 4
x
x x x xdx



  

     




Câu IV.
1. Do AA'BD là tứ diện đều cạnh bằng 1 nên
' ' ' ' '
22
6 6.
12 2
ABCDA B C D AA BD
VV  
(đvtt)
Gọi MN là đường vuông góc chung của AB' và A'C'
( , ' ')M AB N A C
. Đặt
', ' 'AM mAB AN nA C
. Ta có
' ' ' ' ' 'MN MA AA A N mAB AA nA C      
( ') ' ( )m AB AA AA n AB AD     
( ) (1 ) 'n m AB nAD m AA    

Do
.0
. ' ' 0
MN AB
MN A C








nên suy ra
83
,
11 11
mn
và
2
11
MN 
.
2. Đường thẳng d nằm đồng thời trong các mặt phẳng
( ')/ /( )PP
và
( ') / /( )QQ
. Các mặt
phẳng
( ')P
và
( ')Q
cách các mặt phẳng
( ),( )PQ
bằng
3
. Phương trình đường thẳng d là
7 1 1 3
,,,
2222
3 9 3 5
2 2 2 2
x t x t x t x t

y t y t y t y t
zzzz


       


           



     



3. Gọi
11
(2,4), 3OR
là tâm và bán kính đường tròn đã cho. Kẻ
11
4O H Ox O H  
.
Gọi r là bán kính đường tròn cần tìm, ta có
1 min
11
2 3 2 4
22
R r O H r r r        

tâm đường tròn thuộc

1
OH
. ĐS:
2
2
11
( 2)
24
xy

   



Câu V.
Ta có bđt
22
1 1 1
(*)
1 1 1x y xy

  
với mọi x, y > 1.
Thật vậy (*)
2 2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2(1 )(1 )y xy x xy x y        

3 3 2 2 2 2
22x y xy xy x y x y     
2

( 1)( ) 0xy x y   
đúng. Từ đó ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 2
1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 (1 3 )(1 3 )
P
a b a b
  
      

Ta có
2 2 2 2 2 2
1 (1 3 )(1 3 ) 2 3( ) 9a b a b a b      
2 2 2
9 6 2 3( ) 9 6 14t a b t t       
2
(3 1) 13t  
với
 
0;1t ab
.


Page 4



Từ đó
2 2 2
1 (1 3 )(1 3 ) (3 1) 13 17ab      

. Tức là
2
17
P 
. Dấu "=" xảy ra khi
1ab