ĐỀ THI HSG TOÁN TRƯỜNG CHUYÊN TỈNH BẮC NINH 2013-2014

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán – Lớp 12 – THPT chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28 tháng 3 năm 2014
Câu 1 (4,0 điểm)
Giải phương trình:


2
2014 1 1 ( ).
x
x x x    
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho dãy số
 
n
x
xác định bởi:
4
*
1 1
3
9
4; ,
6
n
n
n n

x
x x n
x x


   
 

.
1. Chứng minh rằng
3 1
n
x n  
và dãy số
 
n
x
không có giới hạn hữu hạn;
2. Với mỗi số nguyên dương
n
, đặt
3
1
1
3
n
n
k
k
y

x




. Tính
lim
n
y
.
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh BD và AC. Trên các đường thẳng AB, DN lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho PQ
song song với CM. Tính độ dài đoạn thẳng PQ và thể tích khối tứ diện AMNP.
Câu 4 (4,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;3), B(7;0), C(2;5). Lập phương trình
đường tròn (T) có bán kính nhỏ nhất sao cho A, B, C nằm trên hoặc nằm trong (T).
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho các số thực
, , ,a b c d
thỏa mãn
,a d b c 
và
2012 2012 2012 2012
2014 2014 2014 2014
a b c d
a b c d
  



  

Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4 4 4 6.a b c d c d a b a d c             
HẾT
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC