Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 11

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y =
1
1
2
+
++
x
mxx
1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C
1
)
b) Tìm trên 2 nhánh của (C
1
) 2 diểm A và B
sao cho AB bé nhất
2) Xác định m để hàm số có y
CĐ
, y
CT
và y
CĐ
.y
CT
> 0
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình:
6 2

33
111
−=−−+
xxx
2đ
b) Tìm ∀ x, y ∈ Z thoả mãn
2đ
( )
yyxxlog
y
3732
2
8
2
2
2
+−≤++
+
Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số
∫
=
π
0
2
sin xdxeI
x
n
(n = 1, 2, )
a) CMR:
, ,n

n
e
I
n
21
2
2
=∀≤
π
3đ
b) Tính
n
n
Ilim
∞→
1đ
Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
có a > b
Xét M
o

(X
o
, Y
o
) ∈ E ; O là gốc toạ độ
1) CMR: a ≥ OM ≥ b
2đ
2) CMR: tiếp tuyến với E tại M
O
(x
0
> 0;y
0
> 0)cắt chiều dương OX và
OY ở A, B thì tồn tại vị trí M
O
để độ dài AB min.
2đ
Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp ∆SABC có góc tam diện đỉnh S vuông
và SA = 1; SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ∆ABC. Gọi P là tổng các
khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để P
min
.
Hướng dẫn đáp án:
Bài 1:
1) m = 1:
a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x +
1
1
+x

→ TXĐ: R - {-1) 0,5đ
b) y' = 1
( )
2
1
1
+
−
x
→ y' = 0
khi x = -2 hoặc x = 0 → dấu y'
- 2 - 1 0 x 0,25đ
Hàm số đồng biến trong (-∞, -2) ∪ (0 + ∞) hàm số nghịch biến trên (-2,
-1) ∪ (-1, 0)
Có x
LĐ
= -2, → y
CĐ
= -3 và x
CT
= 0 → y
CT
= 1 0,5đ
Tiệm cận: đứng x = -1 vì
∞=







+
+
→
1
1
1
x
xlim
x
+ - - +
Tiệm cận xiên y = x vì
1
1
+
∞→
x
lim
x
= 0
Bảng biến thiên:
1
x
y'
y
-∞
-2 -1 0
+∞
+ 0 - 0 +-
-∞ -∞

+∞
+∞
-3
Vẽ đồ thị (0,5d) y
- 3
b) Gọi A ∈ nhánh phải; B ∈ nhánh trái. 0,5đ
→ A (-1 +α, -1 + α +
α
1
) và β(-1 -β, -1 -β -
β
1
) với α và β dương
→ BA
2
= AB
2
= (α + β)
2
+ (α + β)
2
2
1
1







αβ
+
= (α + β)
2






βα
+
αβ
+αβ≥














αβ
++

22
2
12
24
1
11
= 8αβ
αβ
+
4
+ 8
288 +≥
=>
288 +=
min
AB
1điểm
- 1
-1-2
1
0
y = x
tại α = β =
4
2
1
→







++−+−
4
44
2
2
1
1
2
1
1 ;A






−−−−−
4
44
2
2
1
1
2
1
1 ;B
0,5đ

Bài 2:
a) x = ± 1 không phải nghiệm phương trình 0,5đ
chia 2 vế cho
6
2
1−x
ta có:
1
1
1
1
1
66
=
+
−
−
−
+
x
x
x
x
đặt
)t(
x
x
t 0
1
1

6
>
−
+
=
ta có:
01
1
=−=
t
t
→ t
2
- t - 1 = 0
→
)i¹lot(t
2
51
2
51 −
=
+
=
0,5đ
=









−








+
⇒








+
=
−
+
⇒ 1
2
51
2

51
1
1
66
x
x
x
1
2
51
2
51
1
2
51
1
6
6
6
−








+









+
+
=⇒








+
+= x
b) Nhận xét rằng: x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 ≥ 2
→ log
2
(x
2
+ 2x + 3) ≥ 1 ∀ x ∈ R 0,75đ

→ điều kiện cần phải có
8+
7+3+
2
2
y
yy -
≥ 1
→
2
1
≤ y ≤ 1 y ∈ Z → y = 1 0,5đ
→ x
2
+ 2x + 3 ≤ 2 → x = -1 0,5đ
→ BPT có nghiệm



=
−=
1
1
y
x
(∈ Z) 0,25
Bài 3: Đặt
∫
π
=

0
2
nxdxsin.eI
x
n
∫
−==ν=→= nxcos
n
nxdxsin,dxxedueu
xx
1
2
22
→
∫
π
π
+−=
0
0
22
21
nxdxcosxe
n
xncose
n
I
xx
n
1,0đ

→
( )
∫
π
π
=+−−=
0
22
2
11
1
nxdxcosxeJ;J
n
e.)(
n
I
x
nn
n
n
=>
nn
n
n
J
nn
e
J
nn
e)(

I
21211
22
+
+
≤+
−−
=
ππ
1,0đ
mặt khác có:
∫∫∫
πππ
≤→≤=

000
222
dxxeJnxdxcosxenxdxcosxeJ
x
n
xx
n
=
n
e
I
e
n
22
2

2
1
ππ
≤→
−
1,0đ
Do
0
2
0
2
22
→→−
ππ
n
e
vµ
n
e
nên I
n
→0 theo nguyên lí kẹp (1đ)
Bài 4:
1) 2 điểm: từ M
O
∈ E →
1
2
2
2

2
=+
b
y
a
x
OO
và OM
2
=
22
OO
yx +
và từ a > b ta có: 1,0đ
1=
2
2
0
2
2
0
+
b
y
a
x
≤
2
2
0

2
2
0
+
b
y
b
x
⇒
2
b
≤
2
0
2
0
+ yx
(1)
và 1=
2
2
0
2
2
0
+
b
y
a
x

≥
2
2
0
2
2
0
+
a
y
a
x
⇒
2
a
≥
2
0
2
0
+ yx
(2)
từ (1) và (2) → a
2
≥ OM
2
≥ b
2
→ a ≥ OM ≥ b 1,0đ
2) Đường thẳng AB có dạng

1=+
n
y
m
x
với A(m,o); B(n,o)
theo t/c tiếp tuyến →
1
2
2
2
2
=+
n
b
m
a
=> 0,5đ
vậy AB
2
= m
2
+ n
2
= (m
2
+ n
2
).1 =
=

( )
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
a
m
n
b
n
m
ba
n
b
m
a
nm +++=







++
0,5đ
≥ a
2
+ b
2
+ 2ab = (a + b)
2
dấu = có khi
2
2
2
2
2
2
a
m
n
b
n
m
=

→






=+
=
1
2
2
2
2
22
n
b
m
a
anbm
→ AB
min
= a + b khi





+=
+=
abbn
abam
2
2
Bài 5: Đặt ASM = α, BSM = β, CSM = γ
Ta có: P = sinα + 2sinβ + 3sinγ
S

M
γ
α
β
sẽ tính được sin
2
α + sin
2
β + sin
2
γ = 2 0,5đ
→ sinα + sinβ + sinγ ≥ sin
2
α + sin
2
β + sin
2
γ = 2
=> sinβ + sinγ - 1 ≥ 1 - sinα
→ 2(sinβ + sinγ) - 2 ≥ 1 - sinα 0,5đ
→ 2sinβ + 3sinγ + sinα ≥ 2 + 1 = 3 1,0đ
P
min
= 3 khi sinα = sin
2
α; sinβ = sin
2
β; sinγ = sin
2
γ 0,5đ

=> sin γ = 0, sinα = sinβ = 1 → α = 90
0
, β = 90
0
, γ = 0
0
P
min
= 3 khi M ≡ C.
A
B
C