Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 13

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG B
Môn: Toán
Bài 1:(2đ) Xét chiều biến thiên của hàm số:
1
2
+−+= xxxy
Bài 2:(2đ) Parabol:
2
2
x
y =
chia hình tròn
8
22
≤+ yx
ra làm 2 phần. Tính diện
tích mỗi phần đó.
Bài 3:(2đ) Tìm m để phương trình x
4
– ( 2m+3)x
2
+ m + 5 = 0 có 4 nghiệm
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
thoả mãn :

-2 < x
1
< -1 < x
2
< 0 < x
3
< 1 < x
4
< 3
Bài 4:(2đ) Giải bất phương trình:
( )
943
22
−≤+− xxx
Bài 5:(2đ) Giải phương trình:
x
x
xx
sin2
1
sin
3
2
3
cos22
3
cos2
+=
−
+

Bài 6:(2đ) Biết rằng tồn tại x để các cạnh của ∆ABC thoả mãn: a = x
2
+ x +
1; b = 2x + 1;
c = x
2
– 1. Hỏi ∆ABC có đặc điểm gì?
Bài 7:(2đ) Tính
x
x
x
x
Lim
2
13
53






−
+
∞→
Bài 8:(2đ) Giải hệ phương trình:






=++
=++
=++
2logloglog
2logloglog
2logloglog
16164
993
442
yxz
xzy
zyx
Bài 9:(2đ) Cho mặt cầu (C) tâm O, bán kính R và n điểm trong không gian:
A
1
, A
2
, A
n
. Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu (C) người ta dựng điểm N
sao cho:
→→→→
+++=
n
MAMAMAMN
21
. Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi.
Bài 10:(2đ) Biết rằng các số a,b,c,d thoả mãn:




=+++
+=+
0
22
22
dcdc
baba
Chứng minh:
( ) ( )
22
22
≤−+− dbca
-2 O
2
x
ĐÁP ÁN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 – BẢNG
B
Môn : Toán
Bài
Nội dung
Điểm
1
(2đ)
Đk:







≥





≥






≥
≤
⇔
≤
≤



⇔
≥+−
<
⇔
∈∀≥+−−≥+−⇔




≥+−+
≥+−
0
0
0
0
1
0
1
0
011
01
01
22
22
2
2
x
x
x
x
x
x
xxx
x
Rxxxxxx
xxx
xx
vi

⇒
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: y’ =
( )
x
xxxxx
xx
xxxxx
xx
xxxxx
xxx
∀≥
+−+−+
−+−
>
+−+−+
−++−
=
+−+−+
−++−
0
1.14
1212
1.14
12312
1.14
1212
2222
2
22

2
⇒
Hàm số luôn đồng biến trên toàn tập xác định R
0.5
0.5
0.75
0.25
2
(2đ)
Đường tròn có bán kính: R=
228 =
y
Diện tích hình tròn là: S =
ππ
8
2
=R
(đvdt)
Gọi diện tích phần gạch chéo là S
1
, phần còn lại là S
2
.
A

B
Cần tính S
1
.Phương trình đường tròn: x
2

+ y
2
= 8
⇒
y =
2
8 x−±

Đường tròn và Parabol cắt nhau tại 2 điểmA, B có toạ
độ là nghiệm của hệ:
( )



=
±=
⇔



=−+
≥=
⇔





=+
=

2
2
082
02
8
2
2
2
22
2
y
x
yy
yyx
yx
x
y

S
1
=
2
0
2
0
3
2
2
0
2

2
3
82
2
82
∫∫
−−=








−−
x
dxxdx
x
x
đặt x =
tdtdxt cos22sin22 =⇒
cận
2
0
x
thành cận
4
0
π

t
0.5
0.5
0.5
( )
3
4
2
3
8
)2cos1(8
3
8
cos16
3
8
cos.22.sin182
4
0
4
0
2
4
0
2
1
+=−+=−=−−=⇒
∫∫∫
π
πππ

dtttdttdttS
(đvdt)
3
4
6
3
4
28
12
−=






+−=−=⇒
πππ
SSS
( đvdt)
0.5
3
(2đ)
Txđ của phương trình là : R
Đặt x
2
= X
0≥
, ta có phương trình: f(X) = X
2

– ( 2m+3).X + m + 5 = 0
(*)
để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x
1
< x
2
< x
3
< x
4
thì phương trình (*)
có hai nghiệm thoả mãn: 0 < X
1
< X
2
. Khi đó
24131221
;;; XxXxXxXx ==−=−=
Do đó: -2<-
2
X
<-1< -
1
X
< 0 <
1
X
< 1
<
2

X
< 3
>⇔
2
2
X
>1 >
1
X
> 0
⇔
4 > X
2
> 1 > X
1
> 0





>+−
>+
<+−
⇔






>
>
<
⇔
097
05
03
0)4(
0)0(
0)1(
m
m
m
af
af
af







<
−>
>
⇔
7
9
5

3
m
m
m
⇒
không tồn tại m thoả mãn bài toán .
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Giải bất phương trình : (x-3)
4
2
+x
9
2
−≤ x
Txđ :R
Bpt :
( )
(
)
0343
2
≤−−+− xxx























−≤
−>
≤



−≤
≤






−≥
≥
−⇔


















++≥+
>+
≤



≤+
≤




++≤+
≥
−⇔









+≥+
≤−



+≤+
≥−
⇔
6
5
3
3
3
3
6

5
3
964
03
3
03
3
964
3
34
03
34
03
22
22
2
2
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
xxx

x
xx
x
xx
x
0.5
1.0
[
)
+∞∪






−∞−∈⇔







−≤<−
−≤
≥
⇔ ;3
6
5

;
6
5
3
3
3
x
x
x
x
Đây là tập nghiệm của bấtt phương trình.
0.5
5
(2đ)
Đk:
.,2
2
2
0sin
0cos
zkkxk
x
x
∈+≤<⇔



>
≥
π

π
π
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VF =
3
32
sin2
1
sin
3
2
≥+
x
x
áp dụng Bđt Bunhiacôpxki cho vế trái ta được:
VT
( )
3
32
3
cos22
3
cos2
11
22
=







−
++≤
xx
.
để phương trình có nghiệm thì VT=VF =
3
32
( )
zkkx
x
x
xx
x
x
∈+=⇔







=
=
⇔








−
=
=
⇔
π
π
2
3
2
1
cos
2
3
sin
3
cos22
3
cos2
sin2
1
sin
3
2
đây là họ nghiệm của
phương trình.
0.5
0.5

0.5
0.5
6
Để a, b, c là 3 cạnh của ∆ABC: a = x
2
+ x + 1; b= 2x+1; c = x
2
–1 thì điều kiện cần
là:
( )














>⇔+∞∪
>







−∞−∈
−>
⇔
>
>−−
−>
⇔





++>++−
+>−+++
−>++++
1;1
1
2
1
;
1
1
012
33
1)12()1(
12)1()1(
1)12()1(
2

22
22
22
x
x
x
x
x
xx
x
xxxx
xxxx
xxxx
Với điều kiện x>1, từ giả thiết của bài toán ta kiểm tra thấy:
a
2
= b
2
+ c
2
+bc. Theo định lý hàm số côsin ta có: a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA => cosA=
2
1
mà 0 < A <

π
=> A =
3
2
π
. Vậy ∆ABC có góc A =
3
2
π
0.5
1.0
0.5
7
(2đ)
Ta có
xx
xx
x
22
13
6
1
13
53







−
+=






−
+
đặt
13
61
−
=
xt
thì 6t = 3x-1 ⇔
3
16 +
=
t
x
Khi x ⇒ ∞ thì t ⇒ ∞
0.5
0.5
M
Khi đó

















+














+=







+=






−
+
∞→
+
∞→∞→
3
2
4
3
2
42
1
1
1
1lim
1
1lim
13

53
lim
tttx
x
t
t
t
t
x
x
= e
4
vì










=







+=






+
∞→∞→
1
1
1lim;
1
lim
3
2
t
e
t
t
t
t
t
0.5
0.5
8
(2đ)
Đk: x > 0; y > 0; z > 0. Khi đó hệ phương trình tương đương với:






=
=
=
⇔









=++
=++
=++
2)(log
2)(log
2)(log
2log
2
1
log
2
1
log
2log

2
1
log
2
1
log
2log
2
1
log
2
1
log
4
3
2
444
333
222
xyz
xzy
yzx
yxz
xzy
zyx






=
=
=
⇔





=
=
=
)3(16
)2(9
)1(4
16
9
4
22
22
22
xyz
xzy
yzx
xyz
zxy
yzx
Nhân (1), (2), (3) vế với vế ta được x
2
y

2
z
2
= 4.9.16 ⇔ x.y.z=24
3
32
24
16
;
8
27
24
9
;
3
2
24
4
2
2
22
======⇒ zyx
0.5
0.5
0.5
0.5
9
(2đ)
→→→→→→→→→
→→→→

+++=++++++=
+++=
nn
n
OAOAMOnOAMOOAMOOAMO
MAMAMAMN

)1(
121
21
Gọi tổng:
→→→→
=+++ OKOAOAOA
n

21
( Điểm K hoàn toàn được xác định tuỳ thuộc vào
cách cho hệ điểm A
1
, A
2
, A
3
, , A
n
)
Khi đó: (1)
→→→→→→→→→
−=⇔−=−⇔+=+⇔ MOnKNMOnOKONOKMOnONMO ).1().1(.
)2().1().1( ≥−=−=⇔

→→
nRnMOnKN
⇒ Tập hợp các điểm N là mặt cầu tâm K, bán kính (n-1)R
0.5
0.5
0.5
0.5
10
(2đ)
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 điểm : y
M(a,b) và N(c,d). Từ giả thiết ta có:
0.5
M
1
1
1/2 1






=+++
=−+−
2
1
)
2
1
()

2
1
(
2
1
)
2
1
()
2
1
(
22
22
dc
ba



⇒ M nằm trên đường tròn tâm I
)
2
1
,
2
1
(
bán 1 x
kính R=
2

2
, và N nằm trên đường tròn tâm
K
)
2
1
,
2
1
( −−
, bán kính R=
2
2
. Nối IK cắt 2 đường


tròn tại 2 giao điểm xa nhất M
1
và N
1
⇒ MN≤ M
1
N
1
=
22


),();,( RKNRIM ∈∈∀
22)()(

22
≤−+−⇔ dbca
(đpcm)
0.5
0.5
0.5
Tài liệu tham khảo:
Bài 1,7,9: Sách các bài luyện giảng môn Toán tập 3
Bài 2 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 2
Bài 3 : Sách các bài luyện giảng – tập 1
Bài 4, 6 : Sách các bài luyện giảng môn Toán - tập 2
Bài 5 : Sách phương pháp giải toán lượng giác.
Bai 8 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 1
1/2 1/2
-1
1

1

N
1
-1
N
1/2
1
11
O

-1/2

1/2


K