Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 1

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Vòng I
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)
 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 2.5 điểm): 

  
    x x+ + = ∈ ¥

Câu 2 (2.5 điểm)
 !"#$%&

' 
()*+, */0*





1
 1
 2  
1
n n
n
u
u u n
u
+
=



 

= + ∈
 ÷

 

¥

34
56
n
u
7
Câu 3 (1.5 điểm):
 !*)*%&8*"(9$9: 06;
     
   1<
=x y z x y y z z x
+ + ≥
+ + +


Câu 4 (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân
đường phân giác góc
·
BAC

. Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt
các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P, Q theo thứ tự đó. Đường thẳng
vuông góc với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh OQ vuông BC.

Câu 5 (1.5 điểm):
36>6'$?"*@A

 1x y z+ = +

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBC3BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Vòng I
(Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
 Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
 Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải
sau có liên quan.
Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là
0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng
bài.
 Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Câu Nội dung Điểm
1
D
 

( (     + + = ∈
EFG(


≥
9.H


 

   
 
     
 
 
  
 
   
    
+ + =
⇔ + + = + − + +
   
⇔ + = + −
 ÷  ÷
   
⇔ + = +
⇔ + − =
A+I*
 JK



− +
=
LA6#+M'N>
D*O>6


 JK
(

− +
=
PH


 JK
(

− +
= −
9
 ∈¥

2,5 điểm
9K
9K
9K
9K
9K
9K

9K
2
3Q!*/0*()*+,"#$
 
n
u
9A*O

2
n
u n> ∀ ∈¥

"R-S+T0* /%9A*O
2,5 điểm
9K
3ABE))3!)BUV
 
1
1

  
 1  1 1
  1 2
1 1
n n n n n
n n n
u u u u u n
u u u
+
   

= + = + + ≥ = ∀ ∈
 ÷  ÷
   
¥

!+O

1
1 2
n
u n≥ ∀ ∈¥

WFN)*
1

  
   1  1

1 1 1
n
n n n n n
n n n
u
u u u u u
u u u
+
   
−
− = + − = − = ≤
 ÷  ÷

   

UX$
 
n
u
5H"#$%&6PH-,*F"Y?O*OYZ
%[9
56
n
u a=
3A*O
1
 
  1
1
1
a a a a
a a
= + ⇔ = ⇔ =

UX$
1
56 1
n
u =
9K
9K
9K
9K

3

     
   1<
=x y z x y y z z x
+ + ≥
+ + +
     
  
=  1<x y y z z x
x y z
 
⇔ + + + + + ≥
 ÷
 

3A*O
( ) ( ) ( ) ( )
1

: \:(
: : (
1
xy y
xy xy y z
+
 
= ≤
 ÷
 


!+O

( )
( )
 

1
] :\:(
   :\:(
($:
:\:(
]

:\:(
xy y
xy y
x y z
xy y
xy y
+
   
+
+ + = ≥
 ÷  ÷
+
   
=
+
WFN)*


( ) ( ) ( )
( )
           
= <   
 1 
x y y z z x x y y z z x
xy yz zx
+ + + = + + + + + +
≥ + + +
( )

     

  
= 
]
 1 :\:( 
:\:(
x y y z z x
x y z
xy y
xy y
 
 
⇒ + + + + +
 
 ÷
 
 

≥ + + 
 
+

( )
=
J < xy yz zx
xy yz zx
 
= + + + +
 
+ +
 

( )
=
J <  =<xy yz zx
xy yz zx
 
≥ + + + =
 ÷
+ +
 

1.5 điểm
9K
9K
9K
9K
3A1BE))3!)BUV

'$A
     
  
=  1<x y y z z x
x y z
 
+ + + + + ≥
 ÷
 

S'“=”($ANPH*^Nx = y = z = 1.
9K
9K
4
_>R*_A+`Nxy%A!*!A, N;6?R*!H
UABN/%!%!PY*)*R*_A+`?*@AO*O
"Z y = ax + b a
≠
0a+O
2
b
A
a
 
= −
 ÷
 
9
2 P b=


AC+b'AA PH+&(0PYAB b'AR*!H?*O
y = -ax – b.
PO+b'AP9P'/O*PYAB?*O

y x b
a
= − +

O5HA!+c6*@APO PHR*!H?
 9O ab=

BC+b'A&*_A+`?
\d'BC N/;6?R*'BC *O"Zy =
cx PYc
≠
0,c
≠
±
a PB, C N/'`*R*!H9BCN/%!
%!PYABPHAC
B 5HA!+c6*@ABC PHAB ?_A+`B 5H>6*@A>

2
y ax b
b bc
B
y cx
c a c a
= +


 
⇒ =

 ÷
=
− −
 


C 5HA!+c6*@ABC PHAC ?_A+`C 5H>6*@A>

2
y ax b
b bc
C
y cx
c a c a
= − −

 
⇒ = − −

 ÷
=
+ +
 


2.0 điểm
9K

9K
9K
9K
9K
9K
3ABE))3!)BUV
$
(
O
Q
P
M
N
C
B
A
!+O
   
2
ab abc
M
c a c a
 
=
 ÷
− −
 
9%'$A
( )


 
2
 
bc
AM c a
a c a
=
−
uuuur

3e+OA*O*@AAM 5H

a ab
y x
c c
= +

Q 5HA!+c6*@AAM PYR*'?


2 2
ab
Q QO ab
c c
   
= ⇒ = −
 ÷  ÷
   
uuur


!+O
QO
uuur
5H6`PQ*)'$d*@ABC ?QO P'/O*BC.
\d'BC ;6?R*'A6)*ABC *fZA?M
≡
N9"!
+OO '`*AN?QO P'/O*BC.
9K
9K
5
%[
( )
9 9x y z
5H>6'$?"*@A3A*O

[ ]
[ ]
[ ] [ ]


(\ 1  :
   :  1
   J 1 : 
  1   
   1    
y z y
x y z y
x y z yz y
yz x y z

x y z x y z yz
= + +
⇔ − + = −
⇒ − + = − +
= − − + −
⇒ − + + − + + =
d'
  x y z≠ +

[ ]

   
 1
 
x y z yz
x y z
− − + + +
= ∈
− +
¤
P/5g
d'
x y z= +


1
1 
1

y

z
yz x
y
z
 =



=


= ⇔ ⇒ =

=



=




3[5Z9AS$(4; 3; 1)PH(4; 1; 3)5H>6*@A 
UX$>6'$?"*@A+#*!5H(4; 3; 1)PH(4;
1; 3).
1,5 điểm
9K
9K
9K
9K

9K
3AKBE))3!)BUV