đề thi hsg giải toán trên máy tính cầm tay, đề 3

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2008-2009
MÔN TOÁN LỚP 9 THCS
Ngày 27 tháng 2 năm 2009
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề bài
Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán sau đây(Cần trình bày sơ lược
cách giải; Phần thập phân trong kết quả tính toán không làm tròn.)
Bài 1(5 điểm)Giải phương trình sau:
2
Ax - 2Bx+C=0
trong đó
1
3
2
5
4
7
6
9
8
10
A =
+
+
+
+

;
1
1
2
1
7
1
2
29
B =
+
+
+
;
1
1
20
1
30
1
40
50
C =
+
+
+
Bài 2(5 điểm)Cho dãy các số thực thoả mãn
1 2
2 1
1; 2

4 3
n n n
u u
u u u
+ +
= =


= −

Tìm
20 20 1 2 20 8 1 2 8
; ; u S u u u P u u u= + + + =
Bài 3(5 điểm)Giải hệ phương trình:
1 9 4,1
1 9 4,1
x y
y x

+ + − =


+ + − =


Bài 4(5 điểm)Trong các hình tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính
R=3,14 cm hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.
Bài 5(5 điểm)Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) (với x nhỏ nhất, có 3 chữ
số) thoả mãn:
3 2

8 2 0x y xy− − =
Bài 6(5 điểm)Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn:
1 2 3 10 11
n n n n n
+ + + + >
Bài 7(5 điểm)

Cho
4 3 2
P(x) = x +ax +bx +cx+d;P(1)=1995; P(2)=1998;P(3)=2007;P(4)=2008
. Hãy tính
1
( )
2009
P
;
(27,22009)P
Bài 8(5 điểm)

Giả sử
2 3 4 5 10 2 50
0 1 2 50
(1 2 3 4 5 84 ) .x x x x x a a x a x a x+ + + + + = + + + +
Tính
0 1 2 50
S a a a a= + + + +
Bài 9(5 điểm)Bạn An gửi tiền tiết kiệm để mua máy tính phục vụ cho học tập
với số tiền gửi ban đầu là 1,5 triệu đồng, gửi có kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 0,75%
một tháng hỏi sau bao lâu(số năm, tháng) thì bạn An đủ tiền mua 1 máy tính
trị giá 4,5 triệu đồng. Hãy so sánh hiệu quả của cách gửi nói trên với cách gửi

có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,8% một tháng(cách nào nhanh đạt nguyện
vọng của An hơn)
Bài 10(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn:
1
1
0,24995
( 1)( 2)
n
k
k k k
=
>
+ +
∑
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 THCS(2/2009)
(Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu
bằng)
Bài 1(5 đ)Rút gọn được A=
2861
7534
;B=
442
943
; C=0,04991687445
2đ
gửi vào A,B và C
1đ
Dùng máy tính giải phương trình bậc hai
2
Ax - 2Bx+C=0

ta có nghiệm là:
X
1
=2,414136973; X
2
=0,05444941708
2đ
Bài 2(5 đ)

Xây dựng quy trình bấm máy Casio FX 570 ES:
1
;2 ;3 ;2A B C D→ → → →
X=X+1:A=4B-3A:C=C+A:D=DA:X=X+1:B=4A-3B:C=C+B:D=DB
2đ
X? 2 ;C? 3; D? 2 và ấn dấu bằng liên tiếp ta có U
20
= 581130734; U
8
=1094;
2đ
P
7
=U
1
U
2
…U
7
=255602200 .Từ đó suy ra ;S= 871696110 ;P
8

=279628806800
1đ
Bài 3 (5 đ)

Đk:
, [ 1;9]x y ∈ −
Ta chứng minh nếu hệ có nghiệm thì x=y, thật vậy nếu có nghiệm mà x>y thì
-y>-x do đó từ 2 phương trình suy ra
4,1 1 9 1 9 4,1x y y x= + + − > + + − =
(Vô lý)
Tương tự cũng vậy khi có nghiệm mà x<y
2đ
Khi x=y hệ đã cho tương đương với
1 9 4,1(*)x x
y x

+ + − =


=


(*)
2
10 2 ( 1)(9 ) 4,1x x⇔ + + − =
( 1)(9 ) 3,405x x⇔ + − =
2
8 2,594025 0x x⇔ − + =
2đ
1 2

7,661417075; 0,3385829246x x⇔ = =
thoả Đk
Vậy nghiệm của hệ
1
1
7,661417075
7,661417075
x
y
=


=

;
2
2
0,3385829246
0,3385829246
x
y
=


=


1đ
Bài 4 (5 đ)Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R),
ta chứng minh

1
.
2
ABCD
S AC BD≤
.
1,5đ
Mặt khác ta có
; 2AC BD R≤
. Từ đó
2
1
2 .2 2
2
ABCD
S R R R≤ =
. 1,5đ
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
AC BD
AC BD R
⊥


= =


hay ABCD là hình vuông cạnh
2R
1đ

Vậy diện tích lớn nhất cần tìm bằng 2R
2
=2.(3,14)
2
=19,7192 (cm
2

) khi ABCD
là hình vuông nội tiếp(O;R) cạnh là
2R
=4,440630586 cm
1đ
Bài 5(5đ)

Ta coi pt đã cho là pt với ẩn y rút y theo x
Khi đó
2 3
8y x x x= − ± +
. Vì x>0,y>0 nên
2 3
8y x x x= − + +

2đ
Dùng máy tính với công thức:
2 3
1: 8X X X X X= + − + +
Calc X? 99 = liên tiếp (vì x tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số)
2đ
Ta được nghiệm cần tìm:
105

2940
x
y
=


=

1đ
Bài 6:(5đ)Với mọi n nguyên dương ta có
11
n
n
X
giảm khi n tăng (1
10X≤ ≤
)
Nên BĐT đã cho
⇔
10
1
1
11
A
A
X
X
=
−
∑

>0(*) ở đó vế trái giảm khi A tăng
2đ
Dùng máy:
10
1
1: 1
11
A
A
X
X
X X
=
= + −
∑
với X ? 0 = liên tiếp ta có (*) đúng với
mọi A=1,2,…,6; (*) sai khi A=7 .
2đ
Kết hợp nhận xét trên suy ra đáp số n=1,2,…,6
1đ
Bài 7(5đ)Theo bài ra có hệ:
1994
8 4 2 1982
27 9 3 1926
64 16 4 1752
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
+ + + =



+ + + =


+ + + =


+ + + =

1đ
Giải hệ ta có
37 245
; 52; ; 2036
3 3
a b c d= − = = − =
2đ
P
( )
1
2035,959362; 27, 22009 338581,7018
2009
P
 
= =
 ÷
 
2đ
Bài 8(5đ)Đặt
2 3 4 5 10 2 50

0 1 2 50
( ) (1 2 3 4 5 84 ) .f x x x x x x a a x a x a x= + + + + + = + + + +
Khi đó
0 1 2 50
S a a a a= + + + +
= f(1)=99
10

1đ
10 5 2 2
99 (99 ) 9509900499= =
=
2 10 5 2
95099 .10 2.95099.499.10 499+ +
2đ
Viết kết quả từng phép toán thành dòng và cộng lại ta có 1đ
S = 90438207500880449001
1đ
Bài 9(5đ)Lý luận để ra công thức lãi kép : số tiền sau kỳ thứ n (cả gốc và lãi )
là
S = 1,5.(1+3.0,75:100)
n
=1,5.(1,0225)
n
(triệu đồng)
1đ
Yêu cầu bài toán
n
1,5.(1,0225) 4,5⇔ ≥
(*)(Tìm n nguyên dương)

1đ
Dùng máy dễ thấy
49n ≤
thì(*) không đúng n=50 thì (*) đúng , lại có
(1,0225)
n
tăng khi n tăng vì 1,0225>1
Do đó kết luận phải ít nhất 50 kỳ 3 tháng hay 12 năm 6 tháng thì bạn An mới
có đủ tiền mua máy tính
2đ
So sánh để thấy gửi kiểu sau hiệu quả hơn( Chỉ cần 24 kỳ 6 tháng=12 năm là
đạt nguyện vọng)
1đ
Bài 10(5đ)Ta có
1 1 1 1
( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)k k k k k k k
 
= −
 ÷
+ + + + +
 
1đ
1
1 1 1 1
0,24995 0,24995
( 1)( 2) 2 2 ( 1)( 2)
n
k
k k k n n
=

 
⇒ > ⇔ − >
 ÷
+ + + +
 
∑
( 1)( 2) 10000n n⇔ + + >
2đ
Chứng minh được cần đủ là n
99≥
2đ