đề thi hsg giải toán trên máy tính cầm tay, đề 4

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2008-2009
MÔN TOÁN LỚP 12 THPT
Ngày 27 tháng 2 năm 2009
(Thời gian làm bài 150 phút)
Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán sau đây(Cần trình bày sơ lược
cách giải; Phần thập phân trong kết quả tính toán không làm tròn.)
Bài 4(5 điểm)Trong các tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính r =
3,14 cm, hãy tìm tam giác có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích đó.
Bài 5(5 điểm)Giải bất phương trình:
3 4 9
x x x
+ >
Bài 6(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn:
1
1
0,0555555
( 1)( 2)( 3)
n
k
k k k k
=
>
+ + +
∑
Bài 7(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn:

1 2 3 50 51
n n n n n
+ + + + >
Bài 8(5 điểm)Cho dãy số
( )
n
U
thoả mãn
1 2 3
3 2 1
U = 0,1; U = 0,2; U = 0,3
9 4
n n n n
U U U U
+ + +


= − +

Tính
20
20 20 k 10 1 2 10
k=1
U ; S = U ; P =U U U
∑
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THPT(2/2009)
(Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu
bằng)
Bài 4(5đ)

Có S = pr ; ta chứng minh
3 3S p≤
(dùng công thức Hê-Rông)
1đ
nên
2 2 2 2
3 3 .S p r S r= ≥
hay
2 2 2
3 3 3 3(3,14) 51,23198443( )S r cm≥ = =
2đ
Từ đó kết luận diện tích tam giác ngoại tiếp (O;r) nhỏ nhất khi và chỉ khi tam
giác đều cạnh a =
2 3.3,14 10,87727907( )cm=
1đ
diện tích nhỏ nhất bằng
2
51,23198443( )cm
1đ
Bài 5(5đ)

Bpt đã cho
1 4
1 0(*)
3 9
x x
   
⇔ + − >
 ÷  ÷
   

Dễ thấy hàm số ở vế trái bpt nghịch biến trên R
1đ
Dùng máy tính: với lệnh SHIFT SOLVE X? 0,5 ta có nghiệm của vế trái
x
0
= 0,7317739413.
2đ
Từ đó suy ra nghiệm của bpt: x< 0,7317739413
2đ
Bài 6(5đ)

Ta có VT=
1
1 1 1
3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
n
k
k k k k k k
=
 
−
 ÷
+ + + + +
 
∑
=
( )
1 1 1
3 6 1 ( 2)( 3)n n n
 

−
 ÷
 ÷
+ + +
 

2đ
Do đó bđt đã cho
1 1
3.0,0555555
6 ( 1)( 2)( 3)n n n
⇔ − >
+ + +
( 1)( 2)( 3) 6000 000,024n n n⇔ + + + >
1đ
Suy ra ĐK cần: (n+3)
3
>
6000 000,024
hay n>178,71, n nguyên nên n
179≥

1đ
ĐK đủ: thử lại :có 180.181.182<6.10
6
loại; 181.182.183>
6000 000,024
thoả
mãn. Lại có khi n tăng thì
( 1)( 2)( 3)n n n+ + +

tăng.
Vậy các số tự nhiên thoả mãn là n
180≥
,
n N∈
1đ
Bài 7(5đ)

Yêu cầu của bài toán tương đương với
50
1
1 0(*)
51
n
k
k
=
 
− >
 ÷
 
∑
1đ
Với n=0 thì (*) đúng
Vì
0 1
51
k
< <
nên khi n tăng thì

51
n
k
 
 ÷
 
giảm; suy ra VT(*) là hàm giảm theo n
1đ
Dùng máy tính:
50
X=1
1: 1
51
A
X
A A
 
= + −
 ÷
 
∑
với A ? 0 và = liên tiếp
Ta được
34A ≤
thì (*) đúng;
35A =
thì (*) sai 1đ
nên với mọi n
35≥
thì (*) sai(do nhận xét trên)

1đ
Vậy đáp số n tự nhiên& n
34≤
1đ
Bài 8(5đ)

Tính U
20
;
20
1
k
k
U
=
∑
Dùng máy tính:
0,1 A; 0,2 B; 0,3 C→ → →
1đ
X=X+1:D=C-9B+4A:Y=Y+D:
X=X+1:A=D-9C+4B:Y=Y+A:
X=X+1:B=A-9D+4C:Y=Y+B:
X=X+1:C=B-9A+4D:Y=Y+C
calc X ? 3 ; Y ? 0,6 và ấn = liên tiếp ta có
20 20
27590581; 38599763,5U S= =
;
2đ
Tương tự có P
10

=24859928,14 2đ