Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 54

ĐỀ THI THỬTỐT NGHIỆP QUỐC GIA NĂM 2015 SỐ 54
Ngày 18 tháng 3 năm 2015
Câu 1( 3,0 điểm ). Cho hàm số :
2x 1
y
x 1
−
=
+
có đồ thị là
( )
C
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Gọi
I
là giao điểm của hai đường tiệm cận của
( )
C
.Tìm trên đồ thị
( )
C
điểm
M
có hoành độ dương sao
cho tiếp tuyến tại
M
với đồ thị
( )
C
cắt hai đường tiệm cận tại

A
và
B
thoả mãn :
2 2
40IA IB
+ =
.
Câu 2. ( 3,0 điểm )
1) Giải phương trình :
sin 2 cos 2 sin cos 1 0x x x x+ + + + =
2) Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
2
2
1 0
1 2 0
x y x y
x x y y

− + + =


+ + − + =



3,Giải phương trình :

( )
( ) ( )
2
3
3 3
3
2.log 1 log 2 1 log 1x x x
+ = − + +

Câu 3.( 1,0 điểm ).Tính tích phân: I =
1
5 3
0
1x x dx−
∫
.
Câu 4.( 1,0 điểm ) .Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh bên bằng
a
, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy
bằng
0
45
. Tính thể tích khối chóp .
Câu 5.( 1,0 điểm ).Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
(2 1) (2 1) (2 1) 2a a b b c c

+ + ≥
− − −
Câu 6.(1 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm
)2;3(K
và đường tròn
0142:)(
22
=+−−+
yxyxC
với tâm là I.
Tìm tọa độ điểm
)(CM ∈
sao cho
0
60=∠IMK
.
Câu 7.(1,0 điểm) : Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng
1
2 4
:
1 1 2
x y z
d
− +
= =
−
và
2
8 6 10

:
2 1 1
x y z
d
+ − −
= =
−
.
a. Chứng minh rằng
1 2
,d d
chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
b. Gọi AB là đường vuông góc chung của
1
d
và
2
d
(
1 2
, A d B d∈ ∈
). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Câu 8.(1,0 điểm)Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện
2 1z i z i+ = − +
và
1
2
z i
z i
+ −

+
là một số thuần ảo.
Hết
1
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ
Câu Nội dung Điểm
I
Cho hàm số :
2x 1
y
x 1
−
=
+
có đồ thị là
( )
C
.
3,0
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
2x 1
y
x 1
−
=
+
+Tập xác định
{ }
\ 1D = −¡
+Sự biến thiên

• -Chiều biến thiên:
( )
2
3
'
1
y
x
=
+
0
>

1x
∀ ≠ −
.
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
1;− +∞
• Cực trị : Hàm số không có cực trị.
• Giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

2 1
lim lim 2
1
x x
x

y
x
→±∞ →±∞
−
= =
+
,đường thẳng
2y =
là tiệm cận ngang
1 1
2 1 2 1
lim ; lim
1 1
x x
x x
x x
− +
→− →−
− −
= +∞ = −∞
+ +
, đường thẳng
1x
= −
là tiệm cận đứng
• Bảng biến thiên :
x -
∞
- 1 +
∞

y' + || +
y
+∞
2
||
2
−∞

+Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
1
;0
2
A
 
 ÷
 
Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
( )
0; 1B −
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là
( )
1;2I −
làm tâm đối xứng.
2) Gọi
I
là giao điểm của hai đường tiệm cận của

( )
C
.Tìm trên đồ thị
( )
C
điểm
M
có hoành
độ dương sao cho tiếp tuyến tại
M
với đồ thị
( )
C
cắt hai đường tiệm cận tại
A
và
B
thoả
mãn :
2 2
40IA IB
+ =
.
2,0
0,25
0,5
0,5
0,5
1,0
2

8
6
4
2
-2
-4
-6
TCĐ
( )
1
d
:
1x
= −
,TCN
( )
2
: 2d y =

( )
1;2I⇒ −
.Gọi
0
0
0
2 1
;
1
x
M x

x
 
−
 ÷
+
 
( ) ( )
0
, 0C x∈ >

Phương trình tiếp tuyến với
( )
C
tại
( )
( )
( )
0
0
2
0
0
2 1
3
: :
1
1
x
M y x x
x

x
−
∆ = − +
+
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0
1 2 0
0
2 4
1; , 2 1;2
1
x
d A d B x
x
 
 
−
 
∆ ∩ = − ∆ ∩ = +
 
 ÷
+
 
 
 
( )
( )
( ) ( )

2
4 2
0
2
2 2
0 0
0
0
0
36
4 1 40
1 10 1 9 0
1
40
0
0
x
x x
x
IA IB
x
x

+ + =

+ − + + =
 
+
+ = ⇔ ⇔
 

>



>

0
2x⇔ =

( )
0
1y =

( )
2;1M⇒
.
0,25
0,25
0,25
0,25
2.1 Giải phương trình :
sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x
+ + + + =
1,0

( )
( )
( ) ( )
2
2 2

sin 2 cos 2 sin cos 1 0 sin cos cos sin sin cos 0
sin cos 0
4
sin cos 2cos 1 0 ( )
1
2
cos
2
2
3
x x x x x x x x x x
x x
x k
x x x k Z
x
x k
π
π
π
π
+ + + + = ⇔ + + − + + =
−

+ =
= +



⇔ + + = ⇔ ⇔ ∈


−

=

= ± +




0,5
0,5
2.2
Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
2
2
1 0
1 2 0
x y x y
x x y y

− + + =


+ + − + =



1,00
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
1 0
1 (1)
1 2 0 2 0 (2)
x y x y
x y x y
x x y y y x y x y y

− + + =

+ = +
 
⇔
 
+ + − + = + + − + =




.Do
0y =
không thỏa mãn nên:

0y ≠
( ) ( ) ( )
2 2 1 0 1x y x y x y⇔ + + − + = ⇔ + =
Khi đó hệ trở thành
2
0, 1
1
1, 2
1
x y
x y
x y
x y
= =

+ =

⇔


= − =
+ =


Vậy hệ phương trình có nghiệm (0;1) , (-1;2) .
0,5
0,5
Giải phương trình :
( )
( ) ( )

2
3
3 3
3
2.log 1 log 2 1 log 1x x x
+ = − + +
ĐK :
1
1
2
x
x
> −



≠


1,0
2.3
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 3
3 3 3 3 3

3 2
2
2
(1) 2log 1 2log 2 1 2log 1 log 1 log 2 1 1
1 2 1 1 1 1 2 1 0
1
1 ( )
1 2 1 1
2
1 1 2
x x x x x x
x x x x x x x
x
x loai
x x x x
x
x x x
⇔ + = − + + ⇔ + = − +
 
⇔ + = − + ⇔ + − + − − =
 
= −

= −



⇔ − + = − ⇔ =





=
− + = −


Vậy nghiệm phương trình là :
1 ; 2x x= =

0,25
0,25
0,25
0,25
3
Tính tích phân: I =
1
5 3
0
1x x dx−
∫
.
1,00
1 1
5 3 3 3 2
0 0
1 1 .I x x dx x x x dx= − = −
∫ ∫
0,5
3
Đặt

3 2 3 2 2
2
1 1 2 3
3
t x t x tdt x dx tdt x dx
−
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =
Khi
0 1;
1 0
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy tai có :
( ) ( )
1 0 1
3 5
3 3 2 2 2 4
0 1 0
1
2 2 2 2 2 4
1 . 1 . . .
0
3 3 3 3 5 3 15 45
t t
I x x x dx t t tdt t t dt
 
= − = − − = − = − = =
 ÷

 
∫ ∫ ∫
0,5
4 Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh bên bằng
a
, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy
bằng
0
45
. Tính thể tích khối chóp
1,00
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có
( )SG ABC⊥
Gọi I là trung điểm cạnh BC ta có
(gt) suy ra
0
45SIG∠ =
. Gọi cạnh của tam giác đều ABC là
2 ( 0)x x >
Ta có
3AI x=
,
3
3
IG x=
và
2 2
0

2 3 2 2
(1)
cos45 3 3
3 2
IG x
SI x SI x= = = ⇒ =
Lại có :
2 2 2
SI a x= −
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2 2 2 2 2
2 3
5 3
3 5
x a x x a x a
= − ⇔ = ⇔ =
Vậy ta có :
2 0 2
1 3 3 3
.4. .sin 60
2 5 5
ABC
S a a
∆
= =
Và
3 3
.
5 3

5
a
SG IG a= = =
(Do tam giác ABC vuông cân )
Vậy thể tích khối chóp là :
3
2
. .
1 1 3 3 15
. . .
3 3 5 25
5
S ABC ABC
a a
V SG S a
∆
= = =
(đvtt)
0,25
0,25
0,25
0,25
V Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
(2 1) (2 1) (2 1) 2a a b b c c
+ + ≥
− − −
1,00

Từ giả thiết suy ra
1 1 1
2
a b c
+ + =
Đặt :
1 1 1
; y = ; z =
b c
x
a
=
Suy ra x,y,z > 0 và x+y+z=2
Ta có:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1
(2 1) (2 1) (2 1) ( ) ( ) ( )
x y z
P
a a b b c c y z x z y x
= + + = + +
− − − + + +
Áp dụng bđt Cô-si:
3
2
3
( ) 8 8 4
x y z y z x
y z

+ +
+ + ≥
+

3
2
3
( ) 8 8 4
y x z x z y
x z
+ +
+ + ≥
+

3
2
3
( ) 8 8 4
z y x y x z
y x
+ +
+ + ≥
+
Do đó:
1 1
( )
4 2
P x y z
≥ + + =
( Đpcm)

0,25
0,25
0,25
0,25
6
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm
)2;3(K
và đường tròn
0142:)(
22
=+−−+ yxyxC
với tâm là I. Tìm tọa độ điểm
)(CM ∈
sao cho
0
60=∠IMK
.
1,0
4
+) Ta có
4)2()1(:)(
22
=−+− yxC
. Suy ra tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 2.
Nhận thấy IK = 2. Suy ra
).(CK ∈
Do
)(CM ∈
và
0

60=∠IMK
. Suy ra
IMK∆
đều. Do đó yêu
cầu bài toán
⇔
Tìm
)(CM ∈
sao cho KM = R = 2.
+) Giả sử
)(),(
00
CyxM ∈
4)2()1(
2
0
2
0
=−+−⇔ yx
(1)
Ta có
4)2()3(2
2
0
2
0
=−+−⇔= yxKM
(2)
Từ (1) và (2) suy ra





−
+
)32;2(
)32;2(
M
M
0,25
0,25
0,25
0,25
7
Ta có:
1
2 4
:
1 1 2
x y z
d
− +
= =
−
và
2
8 6 10
:
2 1 1
x y z

d
+ − −
= =
−
.

1
d
đi qua điểm
1
(0;2; 4)M = −
, có vectơ chỉ phương là
1
(1; -1; 2)u =
ur

2
d
đi qua điểm
2
( 8;6;10)M = −
, có vectơ chỉ phương là
2
(2;1; 1)u = −
uur
.
a/
1 2 1 2 1 2 1 2
, ( 1;5;3), ( 8;4;14) , . 70 0u u M M u u M M
   

= − = − ⇒ = ≠
   
ur uur uuuuuur ur uur uuuuuur
Suy ra
1
d
và
2
d
chéo nhau.
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
70
( , ) 2 35
35
,
u u M M
d d d
u u
 
 
= = =
 
 
ur uur uuuuuur
ur uur
b/ Ta có
1 2

, ( ;2 ; 4 2 ), ( 8 2 ;6 ;10 )A d B d A t t t B s s s∈ ∈ ⇒ = − − + = − + + −
( 8 2 ;4 ;14 2 )AB s t s t s t⇒ = − + − + + − −
uuur
Do AB là đường vuông góc chung nên
1 1
2 2
. 0
4

2
. 0
AB u AB u
s
t
AB u AB u
 
⊥ =
=

 
⇒ ⇔ ⇔
  
=
⊥ =

 
 
uuur ur uuur ur
uuur uur uuur uur
(2;0;0), (0;10;6)A B⇒ = =

.
Mặt cầu đường kính AB có PT là:
2 2 2
( 1) ( 5) ( 3) 35x y z− + − + − =
.
0.25
0.25
0.25
0.25
8
* Tìm số phức z
Đặt
2 ( 2)
( , )
1 ( 1) (1 )
z i a b i
z a bi a b R
z i a b i
+ = + +

= + ∈ ⇒

− + = − + −

2 2 2 2
2 1 ( 2) ( 1) (1 ) 1 3z i z i a b a b a b⇒ + = − + ⇔ + + = − + − ⇔ = − −
Và
2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) (2 3) 2
2 (2 )

(2 ) (2 )
z i a b i a a b b a b b
i
z i a b i
a b a b
+ − + + − + − − − − + −
= = +
+ + −
+ − + −
là một số thuần ảo khi và
chỉ khi
2
( 1) ( 2)( 1) 0 4 3 1 0a a b b b b+ − − − = ⇔ + − =
1 2
1 7
4 4
b a
b a
= − =
 
 
⇔ ⇒
 
= = −
 
. Vậy có hai số phức cần tìm:
2z i= −
và
7 1
4 4

z i= − +
0,25
0,25
0,25
0,25
5