Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 110

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 SỐ 110
Ngày 25 tháng 5 năm 2015
Câu 1.(2.0 điểm) Cho hàm số
3 2 2
2 1y x mx m x m= − + − +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành.
Câu 2.(1.0 điểm)
1. Giải phương trình
1 2(cos sin )
cot 2 cot 1
x x
tgx g x gx
−
=
+ −
.
2. Cho số phức
z
thỏa mãn
3 6
(1 ) 0
1
i z
i z
i
+ -
+ - =
+
. Tìm

1 iz+
.
Câu 3.(0.5 điểm) Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 4
2
log 4 log 4 2 log 1 .x x x+ + − = + +
Câu 4.(1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2
2 4 3
x y x y
x y x y
+ + + =


− + − =

.
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân
2
8
3
1
1
dx
x x +
∫

Câu 6.(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S; mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng
(ABCD) bằng 45
0
. Gọi M, N, E là trung điểm của các cạnh CD, SC và AD. Gọi F là hình chiếu
của E lên cạnh SD. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và chứng minh rằng mặt phẳng (AMN)
vuông góc với mặt phẳng (CEF).
Câu 7.(1.0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2 2
1x y+ =
. Tìm các giá trị thực
của m sao cho trên đường thẳng
0x y m− + =
có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai
tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 90
0
Câu 8.(1,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
4 0x y z+ + + =
và đường thẳng
(d):
3 1 2
2 1 1
x y z− − −
= =
−
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;0;-1) và cắt đường
thẳng (d) tại điểm A, cắt mặt phẳng (P) tại điểm B sao cho M là trung điểm của AB.

Câu 9.(0.5 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức
n
xnxx )1( )1(21
2
−++−+−
thu được đa thức
n
n
xaxaaxP
+++=
)(
10
. Tính hệ số
8
a
biết rằng
n
là số nguyên dương thoả mãn:
n
CC
nn
171
32
=+
.
Câu 10(1 điểm)
Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn
3x y z+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
3 3 3

P xy yz zx
x y z
= + + + + +

1
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 110
Câu NỘI DUNG Điểm
1.1
Cho hàm số
3 2 2
2 1y x mx m x m= − + − +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
1.0
Với m=1 ta có
3 2
2y x x x= − +
TXĐ: R
2
' 3 4 1 0y x x= − + >
.
1
' 0 ; 1
3
y x x= ⇔ = =
0,25
Giới hạn:
lim
x

y
→±∞
= ±∞

bảng biến thiên
x
-∞
1
3
1 +∞
y’ + 0 - 0 +
y
0,25
Hàm số đồng biến trên khoảng
1
( ; );(1; )
3
−∞ +∞
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1
( ;1)
3
Điểm cực đại
1 4
( ; )
3 27
; điểm cực tiểu (1;0)
0,25
Đồ thị : Điểm uốn I
2 2

( ; )
3 27
2
-2
-5
5
Nhận xét: đồ thị nhận điểm I
2 2
( ; )
3 27
là tâm đối xứng
0,25
1.2 Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành. 1.0
Đồ thị hàm số
3 2 2
2 1y x mx m x m= − + − +
tiếp xúc với trục hoành
3 2 2
2 2
2 1 0
3 4 0
x mx m x m
x mx m
− + − + =

⇔

− + =

có nghiệm

3 2 2
2 1 0(1)
3
x mx m x m
x m
x m
− + − + =


⇔
=




=


0,25
Với x = m thế vào (1) ta được : m=1
Với 3x = m thế vào (1) ta được :
3 3 3 3
1 3
6 9 3 1 0 4 3 1 0
1 3
2 2
x m
x x x x x x
x m
= − ⇒ = −



− + − + = ⇔ − + = ⇔

= ⇒ =

Vậy m = 1; m= -3; m =
3
2
0,25
2
+∞
-∞ 0
4
27
O
y
x
2.1
Giải phương trình
1 2(cos sin )
cot 2 cot 1
x x
tgx g x gx
−
=
+ −
Điều kiện :






≠+
≠
≠
02cot
1cot
02sin
xgtgx
gx
x
0.5
Pt ⇔
xx
xxx
xgtgx sincos
sin)sin(cos2
2cot
1
−
−
=
+
⇔
x
x
x
x
x

sin2
2sin
2cos
cos
sin
1
=
+
0,25
⇔ sin2x =
2
sinx ⇔ sinx(2cosx –
2
) = 0
⇔ 2cosx –
2
= 0 (vì sin2x ≠ 0)⇔ cosx =
2
2
⇔ x =
)(2
4
Zkk ∈+±
π
π
với x =
)(2
4
Zkk ∈+
π

π
thì cotgx = 1 (loại)
với x =
)(2
4
Zkk ∈+−
π
π
thỏa mãn điều kiện
Vậy nghiệm của phương trình là : x =
)(2
4
Zkk ∈+−
π
π

0,25
2.2
Cho số phức
z
thỏa mãn
3 6
(1 ) 0
1
i z
i z
i
+ -
+ - =
+

. Tìm
1 iz+
.
0.5
Ta có
2
3 6
(1 ) 0 3 6 (1 ) 0 3 6 2 0
1
i z
i z i z i z i z z
i
+ -
+ - = Û + - + - = Û + - + =
+
(*)
Giả sử
( )
, ,z x yi x y= + ∈¡
. Khi đó (*) trở thành
3
3 6 2( ) 0
2
x
i x yi x yi
y
= −

+ − − + − = ⇔


=

0.25
Suy ra
3 2 1 1 3z i iz i= − + ⇒ + = − −
.Vậy
1 1 3 10iz i+ = − − =
0.25
3
Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 4
2
log 4 log 4 2 log 1 .x x x+ + − = + +
ĐK:
4
4
1
x
x
x
> −


<


≠ −


0.5
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2
(1) log 4 log 4 2 log 1
log 16 log 4 1 16 4 1 (*)
x x x
x x x x
⇔ + + − = + +
⇔ − = + ⇔ − = +
-Nếu
1x > −
, (*)
2
2 (tm)
4 12 0
6 (ktm)
x
x x
x
=

⇔ + − = ⇔

= −

0.25

-Nếu
2
2 2 6 (loai)
1,(*) 4 20 0
2 2 6 (tm)
x
x x x
x

= +
< − ⇔ − − = ⇔

= −


Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là
2
2 2 6
x
x
=


= −

(Học sinh áp dụng công thức sai, không có dấu ||, trừ 0,5 điểm)
0.25
4
Giải hệ phương trình
2 2

2 2
2
2 4 3
x y x y
x y x y
+ + + =


− + − =

. 1.0
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 4 3 2 1 4 4 0
x y x y x y x y
x y x y x x y y
⇔
+ + + = + + + =
 
 
− + − = + + − − − =
 
2 2
2 2
2 2
2(1)
2
1
( 1) ( 2) 0

3
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
⇔ ⇔
+ + + =

+ + + =


= +

 
+ − + =



= − −


0,5
Với x = y+1 thế vào (1) ta được :
2
0 1
2 4 0
2 1
y x
y y

y x
= ⇒ =

+ = ⇔

= − ⇒ = −

0,25
3
Với
3x y= − −
thế vào (1) ta được :
2
1 2
2 6 4 0
2 1
y x
y y
y x
= − ⇒ = −

+ + = ⇔

= − ⇒ = −

Vậy hệ có 3 nghiệm là (1;0) ; (-1;-2); (-2;-1)
0,25
5
Tính tích phân
2

8
3
1
1
dx
x x +
∫
1.0
Đặt
2 2 2
1 1t x t x tdt xdx= + ⇒ = + ⇒ =
Đổi cận:
3 2; 8 3x t x t= ⇒ = = ⇒ =
0,5
3
2
2
8
3
2
3
2
1 1
1
1 1
( )
2
1 1
1
1

dx dt dt
t t
x x
t
= −
∫
− +
+
=
−
∫ ∫
3
2
1
1
ln
2
1
1 3
| ln
2 2
t
t
−
=
+
=
0,5
6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S; mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 45

0
. Gọi M, N,
E là trung điểm của các cạnh CD, SC và AD. Gọi F là hình chiếu của E lên cạnh SD. Tính thể tích hình
chóp S.ABCD và chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (CEF).
1.0
Gọi H là hình chiếu của S lên AB Vì
( ) ( ) ( )SAB ABCD SH ABCD
⊥ ⇒ ⊥
mà ∆SAB cân tại S nên
H là trung điểm của AB. Vì
( )SH A BCD
⊥ ⇒
0,25
Ta có
2 2 2 2
5 5
4 2
DH AD AH a SH DH a= + = ⇒ = =
Vậy
3
1 5
.
3 6
SABCD ABCD
V SH S a= =
0,25
Vì
DC E DAH∆ = ∆
suy ra
·

·
D DA H EC CE DH= → ⊥
mà
( )
S D DH CE CE S H CE S⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

mà
( )
EF D D ES S CF⊥ ⇒ ⊥
.
Mặt khác ta có SD//MN nên SD//(AMN).suy ra
( ) ( )
EAMN CF⊥
7
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2 2
1x y+ =
. Tìm các giá trị thực của m sao cho
trên đường thẳng
0x y m− + =
có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao
cho góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 90
0
1.0
Gọi M(a;a+m) là điểm thuộc đường thẳng d .Goi A ,B là hai tiếp điểm.Vì 2 tiếp tuyến kẻ từ M vuông góc
với nhau nên ∆ MAB vuông cân tại M . Vì ∆MAB vuông cân tại M nên suy ra ∆MAO vuông cân tại A ta
có
2 2 2
2MO OA AM= + =
0,25

4
O
B
A
M
:
2 2 2 2
( ) 2 2 2 2 0a a m a am m+ + = ⇔ + + − =
(1) Trên
đường thẳng d tìm được duy nhất một điểm M
⇔
PT(1) có nghiệm
duy nhất
⇔
/
0∆ =
⇔
m=
2±
.Vậy m=
2±
thỏa mãn đề bài.
0,25
0,5
8
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
4 0x y z+ + + =
và đường thẳng (d):
3 1 2
2 1 1

x y z− − −
= =
−
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;0;-1) và cắt đường thẳng (d) tại
điểm A, cắt mặt phẳng (P) tại điểm B sao cho M là trung điểm của AB.
1.0
Phương trình tham số của (d)
3 2
3 1 2
1
2 1 1
2
x k
x y z
y k
z k
= +

− − −

= = ⇔ = −

−

= +

Gọi A(3+2k;1-k;2+k) thuộc đường thẳng (d).Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ của B(-1-2k;-1+k;-4-k)
Vì B thuộc mặt phăng (P) suy ra :
1 2 1 4 4 0 1k k k k
− − − + − − + = ⇔ = −

0.5
Suy ra A(1;2;1)
(0; 2; 2) / /(0;1;1)AM⇒ − −
uuuur
.Vậy PT đường thẳng cần tìm là
1
1
x
y k
z k
=


=


= − +

0.5
9
Khai triển và rút gọn biểu thức
n
xnxx )1( )1(21
2
−++−+−
thu được đa thức
n
n
xaxaaxP
+++=

)(
10
. Tính hệ số
8
a
biết rằng
n
là số nguyên dương thoả mãn:
n
CC
nn
171
32
=+
.
0.5
Ta có





=
−−
+
−
≥
⇔=+
nnnnnn
n

n
CC
nn
1
)2)(1(
!3.7
)1(
2
3
171
32

.9
0365
3
2
=⇔



=−−
≥
⇔
n
nn
n
Suy ra
8
a
là hệ số của

8
x
trong khai triển
.)1(9)1(8
98
xx −+−
Vậy
8
a
=
.89.9.8
8
9
8
8
=+ CC
0,25
10
Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn
3x y z+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3 3 3
P xy yz zx
x y z
= + + + + +

1.0
Ta có:
3

3 1x y z xyz xyz+ + ≥ ⇒ ≤
Ta có
2 2 2
3
3
3 3 3 1
3 9xy yz zx x y z
x y z xyz
+ + + + + ≥ +
.Mà
2 2 2
3
3 3
1 1
3 3 3 9x y z
xyz xyz
+ + ≥
Và
3
1
3 3
xyz
≥
. Suy ra
2 2 2
3
3
3 3 3 1
3 9 12P xy yz zx x y z
x y z xyz

= + + + + + ≥ + ≥
Vậy Pmin =12 khi x=y=z=1
0,25
0,25
0,25
0,25
5