Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU
——————–
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT,NĂMHỌC2013-2014
—————-
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài thi : 180 phút
Ngày thi : 17/12/2013
Bài 1 (5.0 điểm)
1. Cho hàm số y =
x + 1
x −1
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến
của (C) tại M cùng với hai tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
2. Cho hàm số y = x
3
−3x
2
+6x +2 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của m để (C) có 2 tiếp tuyến
có cùng hệ số góc m. Gọi A, B là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên, tìm m để đường thẳng AB
vuông góc với đường thẳng y = 3x −1.
Bài 2 (5.0 điểm)
1. Giải phương trình : 6

x
3
+ 8 = 5x
2
−9x + 22

2. Giải phương trình : log
3
(tanx) = log
2
√
sinx
Bài 3 (3.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và góc B bằng
60
o
, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng
(ABC D) bằng 60
o
. Gọi M là trung điểm của đoạn SC.
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
2. Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt
phẳng (BMD) theo a.
Bài 4 (3.0 điểm).
1. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N là điểm cạnh AD
sao cho AN = 2ND. Giả sử đường thẳng CN có phương trình : x + 2y −11 = 0 và M

5
2
;
1
2

. Tìm tọa
độ điểm C.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C
1

) : x
2
+ y
2
= 9 và điểm M(2;−1). Viết phương trình
đường tròn (C
2
) có bán kính R
2
= 2
√
5, biết (C
2
) qua M và (C
2
) cắt (C
1
) theo dây cung bé nhất.
Bài 5 (4.0 điểm).
1. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất



(x + y)
2
+ 2x + 2015y + m ≤ y
(x −y)
2
+ 3x −2014y + m ≤ x
2. Cho a, b, c ∈


0;
1
2

và thỏa điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
5a −1
a −a
2
+
5b −1
b −b
2
+
5c −1
c −c
2
HẾT
R
T
E
X by Nguyễn Minh Tuấn (Popeye), thành viên www.k2pi.net
1