Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 22

TRNG THPT HU LC 2
THI CHN HC SINH GII LP 12 VềNG 1
NM HC 2012-2013
Mụn: TON
Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )
Cõu 1: (3 im)
Chứng minh rằng hàm số y = x
4
- 6x
2
+ 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ
độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Cõu 2: (3 im)
Giải phơng trình:
2
2cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = +
(1)
Cõu 3: (4 im)
1. Cho hm s
1 cosx.cos2x
khi x 0
f (x)
x
0 khi x 0




=

=

Tớnh o hm ca hm s ti
x 0=
.
2. Gii phng trỡnh:
( )
( )
3
1 2 1 3 6 6x x x x + + = +
Cõu 4: (2 im)
Cho cỏc s thc x , y , z tha món
2 2 2
3x y z+ + =
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
2 2
3 7 5 5 7 3F x y y z z x= + + + + +
Cõu 5: (3 im)
Trong mt phng vi h to Oxy cho im M
(1; 1)
v hai ng thng
1
: 1 0d x y =
,
2
: 2 5 0d x y+ =
. Gi A l giao im ca
1
d
v

2
d
.
1. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm nm trờn
1
d
, i qua im M v tip xỳc vi
2
d
.
2. Vit phng trỡnh ng thng

i qua im M ct
1
d
,
2
d
ln lt B v C sao cho
ba im A, B, C to thnh tam giỏc cú BC
=
3AB.
Cõu 6: (3 im)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt
phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lợt tại M và N. Gọi V
1
, V thứ tự là thể tích của khối
chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số
V
V

1
.
Cõu 7: (2 im)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
23
24
5
++ xx
x
HT
H v tờn thớ sinh: S bỏo danh:
TRNG THPT HU LC 2
P N THI CHN HC SINH GII LP 12 VềNG 1
NM HC 2012-2013
Mụn: TON
Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )
(ỏp ỏn gm 06 trang)
CU NI DUNG IM
Cõu 1
Tập xác định: D = R y = x
4
- 6x
2
+ 4x + 6.
y = 4x
3
- 12x + 4 y = 0 <=> g(x) = x
3
- 3x + 1 = 0 (1)
Ta có g(x), liên tục g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3

0 2) 1).g( g(
0 1) g(-1).g(
0 1) 2).g(- g(-





<
<
<

g(x) liên tục nên phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn :
- 2 < x
1
< -1 < x
2
< 1 < x
3
< 2
* Ta có y =
4
1
y.x- 3.(x
2
- x - 2) (1)
Gọi các điểm cực trị là A (x
1

,y
1
), B(x
2
,y
2
), C (x
3
,y
3
) và G (x
0
,y
0
) là trọng tâm
tam giác ABC.
Theo ĐL Viet có x
1
+ x
2
+ x
3
= 0 (2)
x
1
x
2
+ x
2
x

3
= x
3
x
1
= -3 (3)
Từ (2) suy ra x
0
=
3
321
xxx ++
= 0
Từ (1) (2) (3) suy ra:
y
0
=
3
1
(y
1
+y
2
+y
3
) = -3 [(
2
3
2
2

2
1
xxx ++
)-(x
1
+x
2
+x
3
) - 6]
= -3 [(x
1
+ x
2
+ x
3
)
2
- 2 (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1

) - 6] = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0
Vậy G (0;0) 0(0;0) (ĐPCM)
3.0
Cõu 2
Bài 1.1. Giải phơng trình:
2
2cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = +
(1)
(1)
2 cos2x 3sin2x 3(sinx 3 cosx)+ + = +

1 3 1 3
2 2 cos2x sin2x 6 sinx cosx
2 2 2 2

+ + = +
ữ ữ
ữ ữ


2 2cos 2x 6cos x
3 6


+ =
ữ ữ


1 cos 2x 3cos x
3 6

+ =
ữ ữ


2
2cos x 3cos x
6 6


=
ữ ữ


3
cos x 0vcos x (loaùi)
6 6 2


= =
ữ ữ


2
6 2 3
x k x k


= + = +

, k Z.
Vậy phơng trình c 1 họ nghiệm là:
2
3
x k


= +
, k Z.
3.0
Cõu 3
1. Cho hm s
1 cos .cos2
0
( )
0 0
x x
khi x
f x
x
khi x




=


=

4.0
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Tính đạo hàm của hàm số tại
x 0=
.
2. Giải phương trình :
( )
( )
3
1 2 1 3 6 6x x x x− − + + = +
Ý 1.
(2 đ)
Xét giới hạn
2
0 0
( ) (0) 1 cos cos2
lim lim
0
x x
f x f x x
x x
→ →
− −
=
−
0.5
( )
2 2 2
0 0 0

1
1 cos3 cos
1 cos3 1 cos
2
lim lim lim
2 2
x x x
x x
x x
x x x
→ → →
− +
− −
= = +
0.5

2 2
0 0
3
sin sin
9 1 5
2 2
lim lim
3
4 4 2
2 2
x x
x x
x x
→ →

   
 ÷  ÷
= + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
0.75
Vậy
5
'(0)
2
f =
0.25
Ý 2.
(2 đ)
ĐK:
1x ≥
.
• x = 1 không là nghiệm của phương trình
0.5
•
1>x
thì PT
3
6
2 1 3 6
1
x
x x
x

+
⇔ − + + =
−
(*)
0.5
Ta xét các hàm số sau trên
( )
1;+∞
1)
3
( ) 2 1 3 6f x x x= − + +
có
3
1 1
'( ) 0, 1
1 6
f x x
x x
= + > ∀ >
− +
0.25
2)
6
( )
1
x
g x
x
+
=

−
có
( )
2
7
'( ) 0, 1
1
g x x
x
−
= < ∀ >
−
0.25
Do đó trên miền x > 1: VT(*) là hàm số đồng biến, VP(*) là hàm số nghịch biến nên
nghiệm
2x =
cũng là nghiệm duy nhất của (*) 0.25
Tóm lại: PT có nghiệm duy nhất
2x =
0.25
Câu 4
Cho các số thực x , y , z thỏa mãn
2 2 2
3x y z+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
3 7 5 5 7 3F x y y z z x= + + + + +
2.0
Áp dụng BĐT Buniacovsky ta có:
( )

( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
3 6 12 18 2 2 18 2 2 3F x y z x y z x x
   
 
≤ + + ≤ + + = + −
 
   
   
0.75
Xét hàm số:
( )
2 2
( ) 2 2 3f x x x= + −
trên miền xác định
3 3x− ≤ ≤
( )
( )
2
4
'( ) 2 ( 3; 3 )
2 3
x
f x x x
x
= − ∈ −
−
0.25

0

'( ) 0 ên (- 3; 3)
1
x
f x tr
x
=

= ⇔

= ±

0.25
( )
( ) ( )
3 3, 0 2 6 1 5f f f± = = ± =

3; 3
max ( ) 5f x
 
−
 
⇒ =
0.25
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Suy ra
2
18.5 3 10F F≤ ⇒ ≤
Với
1x y z= = =
thỏa mãn

2 2 2
3x y z+ + =
thì
3 10F =
. Vậy
max 3 10F =
0.5
Câu 5
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M
(1; 1)−
và hai đường thẳng

1
: 1 0d x y− − =
,
2
: 2 5 0d x y+ − =
. Gọi A là giao điểm của
1
d
và
2
d
.
1.Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng
1
d
, đi qua điểm M và
tiếp xúc với đường thẳng
2

d
.
2.Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M cắt
1
d
,
2
d
lần lượt ở B và C sao cho ba
điểm A , B , C tạo thành tam giác có BC
=
3AB.
3.0
Ý 1.
(1.5 đ)
Gọi đường tròn cần tìm là (T) có tâm I, bán kính là R. Vì
( )
1
; 1I d I a a∈ ⇒ −
0.25
(T) qua M và tiếp xúc d
2
nên ta có:

( )
( )
2
2

2
2 1 5
( ; ) 1
5
+ − −
= ⇔ − + =
a a
IM d I d a a
0.25

2
26 31 0 13 10 2a a a⇔ + − = ⇔ = − ±
0.25
•
( ) ( )
13 10 2 13 10 2; 14 10 2 ; 5 9 6 2a I R= − − ⇒ − − − − = +
Phương
trình (T) là :
( ) ( ) ( )
2 2 2
13 10 2 14 10 2 5 9 6 2 (1)+ + + + + = +x y
0.25
•
( ) ( )
13 10 2 13 10 2; 14 10 2 ; 5 9 6 2a I R= − + ⇒ − + − = = −
Phương trình (T) là :
( ) ( ) ( )
2 2 2
13 10 2 14 10 2 5 9 6 2 (2)+ − + + − = −x y
0.25

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài với phương trình (1) và (2) 0.25
Ý 2.
(1.5 đ)
Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
x y 1 0 x 2
A(2;1)
2x y 5 0 y 1
− − = =
 
⇔ ⇒
 
+ − = =
 
0.25
Lấy điểm
( ) ( )
1
3;2 ∈ ≠E d E A
. Ta tìm trên d
2
điểm F (
≠F A
) sao cho EF = 3AE
Do
( )
2
;5 2F d F x x∈ ⇒ −
.
Khi đó
( ) ( )

2 2
EF = 3AE 3 3 2 18x x⇔ − + − =
0.25

( )
2
0;5
0
5 18 0
18
18 11
;
5
5 5
F
x
x x
x
F

=



⇔ − = ⇔ ⇔
 


=
−

 ÷


 

(Cả hai điểm F này đều thỏa mãn
≠F A
)

0.25
Vì
3
// //
3
BC AB
EF AE
BC EF EF
EF AE
BC AB
=

⇒ = ⇒ ⇒ ∆

=

0.25
•
( ) ( )
0;5 3;3 : 0⇒ − ⇒ ∆ + =
uuur

F EF x y
0.25
•
18 11 3 21
; ; : 7 6 0
5 5 5 5
   
− ⇒ − ⇒ ∆ + − =
 ÷  ÷
   
uuur
F EF x y
0.25
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là
: 0x y∆ + =
và
: 7 6 0x y∆ + − =
0.25
Câu 6
Cho tứ diện ABCD có AB
=
a , AC
=
b , AD
=
c và
·
·
·
0

BAC CAD DAB 60= = =
.
1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo
a, b, c
.
3.0
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
2. Cho
a, b, c
thay đổi luôn thỏa mãn
a b c 2010+ + ≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
chu vi tam giác BCD.
Ý 1.
(1.5 đ)
Bµi 5: (3 ®iÓm):
V× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh
=> V
SABC
= V
SADC
=
2
1
V
SABCD
=
2
1
V.

§Æt
x
SB
SM
=
,
y
SD
SN
=
th×
4
.
.
Vx
V
SC
SK
SB
SM
V
V
SAMK
SABC
SAMK
=⇒=
=> V
1
= V
SAMK

+ V
SANK
=
4
V
(x + y) (1)
MÆt kh¸c V
1
= V
SAMN
+ V
SMNK
=
= x.y.
2
V
+ x.y.
4
V
=> V
1
=
4
.3 Vxy
(2).
Tõ (1) (2) => x + y = 3xy => y =
13 −x
x
(3)
Do x > 0 vµ y > 0 nªn tõ (3) => x >

3
1
Vµ y =
1
13
1 ≤
−
⇒≤
x
x
SD
SN
⇔ 2x - 1 ≥ 0 (v× 3x-1> 0) => x ≥
2
1
do ®ã
2
1
≤ x ≤ 1
Tõ (1) =>
4
1
1
=
V
V
(x + y) =
xy
4
3

=
)13(4
3
13
.
4
3
2
−
=
− x
x
x
x
x
XÐt hµm sè f(x) =
)13(4
3
2
−x
x
víi
1
2
1
≤≤ x
. Ta cã f’(x) =
2
)13(4
)23(3

−
−
x
xx
f’(x) = 0 ⇔ x = 0 kh«ng thuéc ®o¹n [
1;
2
1
]
x =
3
2
=> B¶ng biÕn thiªn
x
2
1

3
2
1

f’(x) - 0 +

f(x) 3/8 3/8


3
1
Suy ra
3

1
≤ f(x) ≤
8
3
víi ∀x ∈ [
1;
2
1
] hay
3
1
≤
8
3
1
≤
V
V
0,5®
0,5®
0,5
0,5
0,5
CU NI DUNG IM
Vậy Min (
V
V
1
) =
3

1
khi x =
3
2
hay SM =
3
2
SB
Và Max (
V
V
1
) =
8
3
khi










=
=
BM
M

x
x
1
2
1
0,5
Cõu 7
1) (2 điểm)
Ta có:
23
23
23
24
3
24
5
++
+
=
+ xx
xx
x
xx
x
vì x
4
+ 3x
2
+ 2 = (x
2

+ 2 ) (x
2
+ 1)
Đặt
1223
23
2224
3
+
+
+
+
+
=
++
+
x
DCx
x
bAx
xx
xx
Với x
3x
3
+ 2x = (Ax + B) (x
2
+ 1) + (Cx + D) (x
2
+ 2) Với x

Hay 3x
3
+ 2x = (A+C)x
3
+ (B + D)x
2
+ (A + 2C)x + B + 2D Với x
=> A + C = 3 B = D = 0
B + D = 0 => C = -1 tức là
12
4
23
23
2224
3
+

+
+
=
++
+
x
x
x
x
xx
xx
A + 2C = 2 A = 4
B + 2D = 0

=> f(x) = x -
12
4
22
+
+
+ x
x
x
x
=> f(x)dx =
1
)1(
2
1
2
)2(
2
212
4
2
2
2
2
22
22
2
+
+
+

+
+
=
+
+
+

x
xd
x
xdx
x
xdx
x
xdxx
Vậy f(x)dx =
kxx
x
++++ )1ln(
2
1
)2ln(2
2
22
2
với k là hằng số
2.0
HNG DN CHUNG
+ Trờn õy ch l cỏc bc gii v khung im bt buc cho tng bc ,
yờu cu thớ sinh phi trỡnh by v

bin i hp lý mi c cụng nhn cho im .
+ Mi cỏch gii khỏc ỳng vn cho ti a theo biu im .
+ Chm tng phn . im ton bi khụng lm trũn .
là trung điểm của SB