Bài toán khoảng cách và góc liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian

Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 05: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính khoảng cách
Loại 1:Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp: Cho điểm M và đường thẳng (d) có VTCP
u

và đi qua điểm
0
M
. Khi đó khoảng
cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được cho bởi:
 
 
0
;
,
MM u
d M d
u
 
 

 


Ví dụ 1:Tính khoảng cách
a) Từ điểm


2;3; 1
M

đến đường thẳng
2 1 0
: .
2 3 2 0
x y z
d
x y z
   


   


b) Từ điểm


2;3;1
M
đến đường thẳng
2 1 1
: .
1 2 2

x y z
d
  
 


Bài giải:
a. Gọi
u

là VTCP của đường thẳng (d)


7; 5;1
u 

và


0
4; 3;0 ( )
M d
 
Ta có:


0
2; 6;1
MM  


 
0
; 1;5;3
MM u
 
  
 
 

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:
 
 
1 25 9 35 7
,
75 15
49 25 1
d M d
 
  
 

b. Gọi
u

là VTCP của đường thẳng (d)


1;2; 2
u
 


và


0
2;1; 1 ( )
M d
  
Ta có:
   
0 0
4; 2; 2 ; 8; 10; 6
MM MM u
 
       
 
  

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:
 
 
64 100 36 10 2
,
3
1 4 4
d M d
 
 
 

Ví dụ 2:Tìm điểm M thuộc
1
1
:
4
x t
d y t
z t
 







sao cho khoảng cách từ M đến
2
2
: 4 2
1
x t
d y t
z
 


 





bằng 2.
Bài giải:
Vì




1
1 ; ;4
M d M t t t
  
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Đường thẳng


2
d
có VTCP


1;2;0
u 


và qua điểm


0
2;4;1
M
Ta có:
   
0 0
1 ;4 ;1 4 ; 2 8 ; 1 4 ; 6
MM t t t MM u t t t
 
          
 
  

Khoảng cách từ M đến


2
d
là:
 
 
     
2 2 2
2
2
2 8 1 4 6
81 28 41

,
1 4 5
t t t
t t
d M d
      
 
 


Mà




2
, 2
d M d


2
2 2
81 28 41
2 81 28 41 2 5 81 28 41 20
5
t t
t t t t
 
         
2

81 28 21 0
t t
   
(1)
Phương trình (1) vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của M thỏa mãn
Ví dụ 3:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
 
1
: .
2 1 2
x y z

  
Xác định tọa độ
điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến



bằng OM.
Bài giải:
Đường thẳng



đi qua điểm A(0; 1; 0) và có VTCP


2;1;2
u 


Do M thuộc Ox nên M (t; 0; 0)
   
; 1;0 ; 2;2 ; 2
AM t AM u t t
 
      
 
  

 
 
2
;
5 4 8
,
3
AM u
t t
d M
u
 
 
 
   
 


Ta có:
 

 
2
2
1
5 4 8
, 2 0
2
3
t
t t
d M OM t t t
t
 

 
        




Vậy




1 2
1;0;0 , 2;0;0
M M
Loại 2. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng



1

và


2


Bài toán 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Phương pháp:
Bước 1: Lấy một điểm M thuộc và đường thẳng


1


Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Bước 2:Khi đó











1 2 2
, ,d d M
   

Ví dụ 1:Cho hai đường thẳng
 
1
2 1 2
:
1 2 1
x y z
  
  

và
 
2
1 1 3
:
2 4 2
x y z
  
  
 
Tính khoảng cách
giữa



1

và


2


Bài giải:


1

có VTCP


1
1; 2;1
u  

và qua


1
2; 1; 2
M
  



2

có VTCP


2
2;4; 2
u
  

và qua


2
1; 1; 3
M
  

   
1 2 1 2 2
1;0; 1 ; 4;0; 4
M M M M u
 
      
 
  

Ta thấy



1

và


2

song song với nhau nên










1 2 1 2
, ,d d M
   
1 2 2
2
;
M M u
u
 
 


 


16 0 16 32 2 3
3
4 16 4 24
 
  
 

Vậy
   
 
1 2
2 3
,
3
d   
Ví dụ 2:Trong không gian tọa độ Oxyz. cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng (a) nằm trong (P) và cách d một khoảng là
.
Bài giải:
Đường thẳng (d) qua


2;3; 3
A

và có VTCP là



4;2;1
d
u 


Vì đường thẳng (a) và (d) cùng nằm trong mặt phẳng (P) và hai đường thẳng đó cách nhau một
khoảng là nên (a) // (d)

đường thẳng (a) có VTCP là


4;2;1
u 



 

 


 

x 2 4t
d: y 3 2t
z 3 t



    
P : x y 2 z 5 0
14
14
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Gọi
u

là VTCP của đường thẳng



qua A và vuông góc với (d) thì
 
; 3 1; 3;2
d
d p
p
u u
u u n
u n



 

   

 



 
  
 

Phương trình đường thẳng
 
2 3
: 3 9
3 6
x t
y t
z t
 


  


  


Lấy





2 3 ;3 9 ; 3 6M t t t
     

Đường thẳng (a) cần tìm là đường thẳng qua M và song song với (d)
Theo giả thiết:
2 2 2 2
1 1
14 9 81 36 14
9 3
AM t t t t t
         

Với
   
1 3 1
3;0; 1 :
3 4 2 1
x y z
t M a
 
     
Với
   
1 1 6 5
1;6; 5 :
3 4 2 1
x y z
t M a

  
      
Bài toán 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp:
Bước 1: Đường thẳng


1

đi qua
1
M
và có VTCP là
1
u

, đường thẳng


2

qua
2
M
và có VTCP là
2
u


Bước 2: Khi đó

   
 
1 2 1 2
1 2
1 2
; .
,
;
u u M M
d
u u
 
 
  
 
 
  
 

Ví dụ 1: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng
a)
1
1
: 1
1
x t
d y t
z
 



  





và
2
2 3
: 2 3 .
3
x t
d y t
z t
 


  





Bài giải:


1
d
có VTCP



1
1; 1;0
u 

và qua điểm


1
1; 1;1
M 
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà



2
d
có VTCP


2
3;3;3
u 

và qua điểm



2
2; 2;0
M 
   
1 2 1 2
1; 1; 1 , ; 3; 3;0
M M u u
 
      
 
  
1 2 1 2
; . 0
u u M M
 
 
 
  

Vậy






1 2
, 0

d d d


Ví dụ 2:Cho hai đường thẳng:
1 2
1
4 8 8
: 1 :
2 1 1
2 2
x t
x y z
d y t d
z t
 

  

   



  


a) Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.

b) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của hai đuờng thẳng. Hãy viết phương trình đường
vuông góc chung MN


Bài giải:
a.


1
d
có VTCP


1
1; 1;2
u 

và qua điểm


1
1;1; 2
M




2
d
có VTCP



2
2;1; 1
u


và qua điểm


2
4;8;8
M 
   
1 2 1 2 1 2 1 2
5;7;10 , ; 1;5;3 ; . 5 35 30 70 0
M M u u u u M M
   
          
   
     

Vậy hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
b. Chuyển



2
d
về dạng tham số:
4 2 '
8 '
8 '
x t
y t
z t
  


 


 


Gọi








1 2
1 ;1 ; 2 2 , 4 2 ';8 ';8 '
M t t t d N t t t d

         


5 2 ' ;7 ' ;10 ' 2
MN t t t t t t
        


Vì MN là đoạn vuông góc chung của


1
d
và


2
d
nên
1
2
' 6 8 0 ' 2
6 ' 13 0 1
MN u
t t t
t t t
MN u


     

 

 
  
    

 


 
 





0;2; 4 , 8;4;14
M MN   


Phương trình đường thẳng MN là
8
2 4
4 14
x t
y t
z t
 



 


  


Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Bài toán 3: Các bài toán khoảng cách tổng hợp
Vi dụ 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) và đường thẳng
(

) :
1 2
1 1 2
x y z
 
 

. Tìm tọa độ điểm M trên (

) sao cho:
2 2
28
MA MB
 

Bài giải:
Chuyển (

) về dạng tham số:
 
1
: 2
2
x t
y t
z t
 


   





Lấy




1 ; 2 ;2
M M t t t
     
Ta có

     
2 2
2 2
;6 ;2 2 6 2 2
MA t t t MA t t t
        

2
6 20 40
t t
  

       
2 2 2
2 2
2;4 ;4 2 2 4 4 2 6 28 36
MB t t t MB t t t t t
             


2 2 2
12 48 76 28
MA MB t t
     
2
12 48 48 0 2
t t t
     

Vậy M(-1; 0; 4).

Ví dụ 2: Cho ba điểm






3; 2;3 , 1;0;5 , 7;2; 2
A B C
  
và đường thẳng
 
1 2 3
:
1 2 2
x y z
d
  
 


a. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng (d) để
2 2
MA MB

đạt giá trị nhỏ nhất
b. Tìm tọa độ điểm N trên đường thẳng (d) để
NA NB NC
 
  

đạt giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
a. Gọi I là trung điểm của AB


2; 1;4
I 
Ta có:




2 2
2 2
2 2
MA MB MA MB MI IA MI IB
      
     

2 2 2 2
2 . 2 .
MI MI IA IA MI MI IB IB
     
   

2 2
2 2
2 2 ( ) 2
2 2
AB AB

MI MI IA IB MI     
  

Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Từ đó ta thấy
2 2
MA MB

đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức là M là hình chiếu của I
trên (d)
Chuyển (d) về dạng tham số:
 
1
: 2 2 ,
3 2
x t
d y t t R
z t
 


  


 







1 ;2 2 ;3 2
M d M t t t
    


1;3 2 ;2 1
IM t t t
    


M là hình chiếu của I trên (d) nên






. 0 1 1 2 3 2 2 2 1 0 9 9 0
IM u IM u t t t t
            
   
1
t
 

Vậy


2;0;5
M
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC


1;0;2
G 
Ta có:
3 3
NA NB NC NG NG
   
   
.
Từ đó ta thấy
NA NB NC
 
  
đạt giá trị nhỏ nhất khi NG nhỏ nhất, tức là N là hình chiếu của
G trên (d)
Gọi (P) là mặt phẳng qua G và vuông góc với (d).Khi đó (P) có VTPT là


1; 2;2
n u  
 
. Khi

đó phương trình mặt phẳng (P) là:
2 2 3 0
x y z
   

Vì




d P N
 
nên tọa độ N là nghiệm của hệ
1
2 2
1 4 4 6 4 3 0 9 0 0
3 2
2 2 3 0
x t
y t
t t t t t
z t
x y z
 


 

           


 


   


Vậy


1;2;3
N
Ví dụ 3: (A_2008) Trong hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường
thẳng:
1 2
:
2 1 2
x y z
d
 
 

a) Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )

chứa d sao cho khoảng cách từ A đến
( )

lớn nhất.
Bài giải:

Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Chuyển (d) về dạng tham số:
 
1 2
:
2 2
x t
d y t
z t
 





 


a. Đường thẳng (d) có VTCP


2;1;2
u


Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (d)




1 2 ; ;2 2 2 1; 5;2 1
H t t t AH t t t
       


Vì






. 0 2 1 2 2 2 1 0 1
AH d AH u t t t t
          
 

Vậy


3;1;4
H
b. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên
( )


Ta có




,
d A AK AH

  ( tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do đó khoảng cách
từ A đến
( )

lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH hay
K H


Vậy mặt phẳng
( )

qua H và nhận véctơ


1; 4;1
AH 

là VTPT nên có phương trình là







1 3 4 1 1 4 0 4 3 0
x y z x y z
          

Dạng 2: Tính Góc
Loại 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp:Cho đường thẳng




1 2
,
d d
lần lượt có VTCP là


1 1 1 1 2 2 2 2
( ; ; ), ; ;
u a b c u a b c
 
. Khi đó góc
tạo bởi hai đường thẳng





1 2
,
d d
là

với 0
2


 
 
 
 
được tính theo công thức:
1 2
1 2
.
os
.
u u
c
u u


 
 
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.

a a bb c c
a b c a b c
 

   

Chú ý:
a. Điều kiện cần và đủ để




1 2
d d
 là
1 2 1 2 1 2
os 0 0
c a a b b c c

    

b. Trong nhiều bài toán ta lại áp dụng kết quả sau của hình không gian, bằng cách thực hiện các
bước:
Bước 1: Tìm góc, ta đi tìm điểm I nào đó thỏa mãn:


 
   
 
1

1 2
2
/ /
,
/ /
IA d
d d AIB
IB d


   




Bước 2: Tính góc:
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

- Nếu biết tọa độ của
,
IA IB
 
thì sử dụng công thức tính góc của hai đường thẳng
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lý coossin trong
tam giác thường.
Ví dụ 1:Lập phương trình đường thẳng đi qua



4;1; 1
A

căt



và tạo với



một góc bằng
0
45
,
biết
 
0
: 1 ,
1
x
y t t R
z t



   



 


Bài giải:
Đường thẳng



đi qua điểm


0;1;1
B và có VTCP


0;1;1
u




Giả sử đường thẳng (d) cần tìm có VTCP là


; ;
d
u a b c



Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa



. Khi đó VTPT của (P) được xác định bởi:
 
; 2;4; 4
p
n AB u

 
   
 
  
. Chọn


1; 2;2
p
n  


Vì (d) cắt



nên





d P
 , do đó:
. 0 2 2 0 2 2
d p d p
u n u n a b c a b c
         
   
(1)
Vì góc giữa (d) và



bằng
0
45
nên:
0
2 2 2 2 2
.
1
os45
2
.
. 1 1
d
d
u u
b c

c
u u
a b c



  
  
 
 

   
2 2
2 2 2 2
2 2 2 5 2 0
b c b c b c b bc c
         

2
2
b c
c b







Với b = 2c thì a = 2c nên



2 ;2 ;
d
u c c c


. Chọn


2;2;1
d
u 

. Khi đó phương trình đường thẳng (d) là:
 
4 2
: 1 2
1
x t
d y t
z t
 


 


  


,
t R


Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Với c = 2b thì a = -2b nên


2 ; ;2
d
u b b b
 

. Chọn


2;1;2
d
u  

. Khi đó phương trình đường thẳng (d)
là:
 
4 2
: 1

1 2
x t
d y t
z t
 


 


  

,
t R


Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1; 1; -1) vuông góc với đường thẳng
1
1 2
: 1
3 4
x t
d y t
z t
 


  



 

và tạo với trục Ox góc 60
0
.
Bài giải:
Goi (d) là đường thẳng cần tìm và (d) có VTCP


; ;
u a b c





1
d
có VTCP là


1
2;1;4
u 

, trục Ox có VTCP là


2
1;0;0

u 


Vì (d) vuông góc với


1
d
nên
1 1
. 0 2 4 0
u u u u a b c
      
   
2 4
b a c
   

Vì (d) tạo với Ox một góc bẳng
0
60
nên
2
0
2 2 2 2
2
.
1
os60
2

.
. 1
u u
a
c
u u
a b c
  
 
 
 

2 2 2
3
b c a
  
2 2 2 2
4 16 16 3
a c ac c a
    



2 2
16 17 0 8 47
a ac c a c       

Chọn
1, 8 47 20 2 47
c a b      


phương trình (d) là:
1 ( 8 47)
1 (12 2 47) ( )
1
x t
y t t R
z t

   


   


  


và
1 ( 8 47)
1 (12 2 47) ( )
1
x t
y t t R
z t

   



   


  



Loại 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Phương pháp:Mặt phẳng (P) có VTPT
1 1 1
( ; ; )
n a b c

, đường thẳng (d) có VTCP là


2 2 2
; ;
u a b c

. Khi đó
góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là

với 0

2


 
 
 
 
được tính theo công thức:
.
sin
.
n u
n u


 
 
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
a a bb c c
a b c a b c
 

   

Chú ý: Điều kiện để (d)// (P) hoặc



( )
d P
 là
1 2 1 2 1 2
sin 0 0
a a bb c c

    

Ví dụ 1:Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a)
1 2
: 1 3
2
x t
d y t
z t
 


  


 


và


: 2 2 1 0.

P x y z
   

Bài giải:


d
có VTCP là


2;3; 1
u
 


(P) có VTPT là


2; 1;2
n  


Gọi

là góc tạo bởi đường thẳng (d) và (P). Khi đó
.
4 3 2
1
sin
4 9 1. 4 1 4 3 14

.
n u
n u

 
  
   
 
 

b)
2 3 1 0
:
2 0
x y z
x y z
   



   

và


:3 1 0.
x y z

   

Bài giải:
Đường thẳng
( )

có VTCP là


4;5; 1
u
 


Mặt phẳng



có VTPT là


3; 1;1
n  


Gọi

là góc tạo bởi đường thẳng
( )

và




. Khi đó:
.
12 5 1
6
sin
77
16 25 1. 9 1 1
.
n u
n u

 
  
   
 
 

Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc


biết
1
cos
6


.
Bài giải:
a. Gọi (P) là mặt phẳng chứa A’C và song song với MN. Khi đó






' , ,
d A C MN d M P

Ta có:
 
1 1
1;1;0 , ;0;0 , ;1;0
2 2
C M N
   
   
   

     
' 1;1; 1 , 0;1;0 ' ; 1;0;1

A C MN A C MN
 
    
 
   

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A’(0; 0; 1), nhận


1;0;1
n

là VTPT có phương trình là:






1 0 0 0 1 1 0 1 0
x y z x z
         

Vậy
   
 
2 2 2
1
0 1
1

2
' , ,
2 2
1 0 1
d A C MN d M P
 
  
 

b. Gọi mặt phẳng cần tìm là




2 2 2
:ax 0 0
Q by cz d a b c
      

Vì (Q) qua A’(0; 0; 1) và C (1; 1; 0) nên
0
0
c d
c d a b
a b d
 

    

  



Do đó, (Q) có dạng:




ax 0
by a b z a b
     

Mặt phẳng (Q) có VTPT là


; ;
n a b a b
 

, mặt phẳng Oxy có VTPT


0;0;1
k


Vì góc giữa (Q) và Oxy là

mà
1
os =

6
c

nên


1
os ;
6
c n k 
 

 
 
 
2
2 2
2
2 2
1
6 2
6
a b
a b a b ab
a b a b

      
  
2
2

a b
b a
 



 


Với
2
a b
 
. Chọn
1, 2
b a
  
( ): 2 1 0
Q x y z
    

Với
2
b a
 
. Chọn
1, 2 ( ) : 2 1 0
a b Q x y z
       

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
( )

có phương trình:
1 2
2 1 1
x y z
 
 

và mặt
phẳng


: 2 0
P x y z
  
. Gọi C là giao điểm của
( )

và (P), M là điểm thuộc
( )


. Tính khoảng cách
từ M đến (P), biết
6
MC 

ĐS:
1
6

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 5; 3) và đương thẳng
 
1 2
:
2 1 2
x y z
d
 
 
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đương thẳng (d)
b. Viết phương trình mặt phẳng
( )

chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến
( )

lớn nhất.
ĐS: a. H (3; 1; 4) b. x – 4y + z – 3 = 0
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường
thẳng
1 2

1 9 1 3 1
: , :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z
    
     

. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
1

sao
cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
2

bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
ĐS:
 
1 2
18 53 3
0;1; 3 , ; ;
35 35 35
M M
 

 
 

Bài 4:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng
qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

0
60
.
Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. ĐS:
3
.
3
S BCNM
V a ,
 
2 39
,
13
a
d AB SN 
Bài 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d):
1 3 3
1 2 1
x y z
  
 

và mặt phẳng
( ):2 2 9 0
P x y z
   

a. Tìm tọa độ điểm I thuộc (d) sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) và mp(P). Viết phường tham số của đường
thẳng




nằm trong mp (P), biết



đi qua A và vuông góc với (d)
Khóa học: Hình học giải tích trong không gian


Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

ĐS: a.
1 2
( 3;5;7), (3; 7;1)
I I  b.
 
: 1 ,
4
x t
y t R
z t



   



 


Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết
   


2;0;0 , 0;1;0 , 0;0;2 2
A B S
. Gọi M là trung điểm của SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
ĐS: a)
 
0
2 6
30 , ,
3
d SA BM

  b)
.
2
S ABMN
V 
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mp
(ABC) bằng
0

60
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và BC theo a. ĐS:
3
7
12
SABC
a
V  ,
 
42
,
8
a
d SA BC 
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm






1;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A B b C c
, trong đó
, 0
b c


và mặt phẳng



: 1 0
P y z
  
. Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng
1
3
ĐS:
1
2
b c
 

Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh






1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1
A B C  và


0;3;1
D . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) ĐS:



: 4 2 7 15 0
( ):2 3 5 0
P x y z
P x z
   


  


Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng


: 2 2 5 0
P x y z
   
và hai điểm




3;0;1 , 1; 1;3
A B  . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với mp (P), hãy viết phương
trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất
ĐS:
 
3 1
:
26 11 2

x y z
 
  
