PT, BPT, Hệ phương trình Vô tỉ Luyện thi Đại học - Cao Hoàng Nam
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (623.74 KB, 30 trang )
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
PH N I
-----------------------------------------------------------------B
------------------------------------------------------------------CÁC D
CAO HOÀNG NAM
x 4 2 3x 2 2x 2 3x 1
2x 2 3x 1
2x 1
2x 1 0
(2x 1) 2
N
2x 2 3x 1
2x 1 0
A
B 0
B
A
B2
A
B 0
A B
B
A
A
B 0
A B
B
A
B
A
B
x
0
0
0
x 2 4x 5 3x 17
3.
2
x
7
2
0 x
u ki n nh n x
0
V y: x
x 2 4x 5 0
3x 17 0
T NG QUÁT:
i v i nh ng nh
trình khơng có d ng chu
u ki
- Chuy n v sao cho 2 v
hai v
VÍ D
2x
2
1
2
x
B2
B 0
A
1
2
7x
x
B 0
A 0
A 0
B 0
B
4x 2 4x 1 2x 2 3x 1
x 2 4x 5 (3x 17) 2
c hi n:
x
1 x 5
17
x
3
2
8x 98x 294 0
u khơng âm,
kh
.
- BÀI T P
Ví d 1: Gi
1.
4 2x x 2
2.
x 4
3.
3x 2 19x 20
5.
x 12
1 x 5
17
x
3
21
x
x 7
4
x 2 4x 5 3x 17
4.
x
x 7
V y: x 7
x 2
1 x
1 2x
3x 2 19x 20
4.
4x 4
4x 4
4 2x x 2
x 2 0
x 2
x
2
2
x 3x
V y: x 3
0
x 4 1 x
x 4
1 x
x 4 0
u ki n: 1 x 0
1 2x 0
2.
4x 4 0
3x 2 19x 20 (4x 4) 2
x 3
x 1
x 2
4 2x x 2
1.
4x 4 0
3x 2 19x 20 0
2x 1
x
x
x
x 1
4
3
5 x
2
3
1 2x
1 2x
4 x
x
x
3
5
x
2
0 x
4
3
5
4
3
V y: x
1
2
5.
- 0907894460www.mathvn.com
5
13x 2 51x 4 0
x 1
1
x
13
x 1
x 1 1 x
4
3
x 1 1 x
x 12
2x 1
x 12
x 3
4
4
4
x 3
2x 1 (*)
Trang 1
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
x 9
x 12 0
u ki n: x 3 0
2x 1 0
x 12
(*)
4x 2 6x 54 0
x 3
x 3
x 12
x 9
x
9
x
x
3
2
u ki n nh n x
3
V y: x
2x 1
x 3 2x 1 2 (x 3)(2x 1)
14 2x
2 (x 3)(2x 1)
(x 3)(2x 1)
x
x
x
3
Do
x
x
(2)
9x 52 0
1
2
x
x
7
4 x 13
1
3 x
2
x
u ki n 3 x
V y: 3 x 4
4
4.
3 x
4
x 8
5 x 8
u ki n nh n x
5
x
2
4
6.
x
51 2x x 2
1 x
3 x 0
9 5x 0
2
9
x 2 1 2x 2
5
u ki n: 16x 17 0
(3)
8x 2 15x 23 (3)
x
(x 1) 16x 17
(x 1)
x
1
x
9
5
81 18x x 2
8x 23 0
16x 17
x
- 0907894460
64x 2 368x 529
1
x
x
5x 2 24x 27
8x 23
1
5x 2 24x 27
0
(x 1) 8x 23
16x 17 8x 23 0
16x 17
9 5x (1)
17
16
1
x
3 x
5
9 5x
2x 2 8x 6
9 x
c:
3. (x 1) 16x 17
5.
9 x
x
3
0
x 8
16x 80
V y: x
4. (x 3) x
(1)
4
8 x
x
4 x
x 8
x 16
5
x 3
x 3
x 3
2
3. (x 1) 16x 17 8x 15x 23
u ki n:
4 x
x 2 16 (8 x) 2
2.
6
3 x
x
x
ng b m
x 2 16
8 x
2
1.
5
(2)
x 3
x 3 0
Ví d 2: Gi
1.
3
x 2 16 0
8 x 0
3
6
3 x
x
3
x 3
x 2 16 0
u ki n:
x 3 0
7
2
x 2 16
x 3
2.
(x 3)(2x 1) 49 14x x 2
x
9
2
7 x
(x 3)(2x 1) 0
7 x 0
1
2
CAO HOÀNG NAM
V y: x
23
8
2 x
x
x
4
4
u ki n nh n x
1 ho c x 4
www.mathvn.com
1
1 ho c x
4
Trang 2
4
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
4. (x 3) x 2 4
x
2
x 2 9 (4)
u ki n: x 2 4 0
(4)
(x 3)
x
2
2 x
4 x 3
(5)
(x 1)(2x 6)
0 (*)
2 (2x 6)(x 1)
4
x 3
x
2
x
x
x
6x
51 2x x 2
1 x
u ki n:
3
13
2
51 2x x 2
1 x 0
13
x
13
6
3 x
6
ng h p 2: x 3 th a (*)
ng h p 3: x 3
x
2
4
4
ng h p 1: 1 x
51 2x x 2
(6)
1 x
x
V y: x
5.
1 2 3
0
x 1
0
51 2x x
x 4 0
x 3 0
x
x
1 x
51 2x x 2
2
0
2
(1 x) 2
x 1
1 2 13 x
x
5 x 5
x 2 6x 9
2 x
3
13
1 2 13
x 1
ng h p.
x 3
x
x
6x
0
t d u c a (1 x) nên ta chia làm 2
x 3
x2 4
1 (6)
6.
3
x2
(*)
1
6x 9
3
2 x
x
x 1
25
7
V y: x 1 ho c x
x
x 3 0
4
x 1
x 1
x2 4 0
x
4(x 1)
7x 2 18x 25 0
x 3 0
2
x 1
x 1
4(2x 6)(x 1) (x 1) 2
ng h p 1: x 3
x
2 x 1
x 1
2
2x 6 x 1 2 (2x 6)(x 1)
ng h p:
(*)
(x 1)(x 1)
2x 6
2
t d u c a (x 3) nên ta chia làm 3
2
CAO HOÀNG NAM
2
1 2 13 x 5
ng h p 2: 1 x 0
51 2x x 2
(6)
2
x
13
6
13
ho c x 3
6
2x 2 8x 6
2
x
3
x 1
1 x
1 x 0
51 2x x 2
0
x 1
1 2 13
x 2 1 2x 2 (5)
1 x
x
x
1 2 13
1 2 13
V y: 1 2 13
2x 2 8x 6 0
u ki n: x 2 1 0
1 2 13
x
5 ho c 1 x
1 2 13
1 x 1
2x 2 0
ng h p 1: x
1 th a (5).
ng h p 2: x 1
- 0907894460www.mathvn.com
Trang 3
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VƠ T
Ví d 3: Gi
CAO HOÀNG NAM
14x 49 7 0
1.
x 3 2 x 4
2.
x
3.
x 2 x 1
14x 49
14x 49
x 2 x 1 1
x
14x 49
3
x 2 x 1
2
7
14x 49 0
14x 98
14
V y:
1.
x 3 2 x 4
2
x 4 1
x 1 1
x
x 1 1
x 1
x 1 1
x 1
x 4 1 2
5
5
x 1 1
x
x 4 1
x 4
5
x 4 1
2.
x
x
5
5
14x 49
( 14x 49 7)
14x 49 7
x
t t
x
2
14
B
A
B
A
14
( 14x 49 7)
14x 49 7
14x 49 7
thành:
t 7 7 t 14
t
14x 49
14x 14 14x 49
2
u ki n: 14x 49 0
t
x 1
x 1
(*)
u ki n.
B T
A D U TR TUY
5
A
14x 14 14x 49
(2)
x
Chú ý: CÁC D
5
x
x 1
V y: x 1
x 1 1 x 4 2 x 4
V y: x
x 1
i m i x th
5
x
x 1 1
x 1 1
x 1
3
2
3
(3)
2
x 1 1
1
2
1
x 1 1
2
1
x 1 1
2
(3)
3
2
3
2
x 1 1
u ki n: x 1 0
x 4 1 2
VN do x
x 1 2 x 1 1
2
x 1 1
x 1 1 1
2
7
3
2
x 2 x 1
x 1 2 x 1 1
4
x
7
1
x 1 0
x
x
2
x 4 1
2
x 2 x 1
x 1 1 1 (1)
x 4 0
u ki n:
x 1 0
x 4 1
x
7
2
x 1 2 x 1 1 1
2
(1)
3.
x 2 x 1 1
x 4 2 x 4 1
x 4 1
7
2
7
2
7
x
B
14
A
A
B
B
B 0
A
B
A
A
A B
A B
A
B
A B
A B
14 (2)
t 7
t 0
- 0907894460
www.mathvn.com
B
B
(A B)(A B) 0
49
14
14x 49
I
Trang 4
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
GI
3
3
A
3
B
3
3
3
A
3
B
3
A
B
C
c:
C
x 3
(2)
A B 3 3 A.B.C C
2x 2 (2)
3x 1 2 x
x
3x
u ki n:
x
2x
C
A B 3 3 A.B
Thay
2.
QU
CAO HOÀNG NAM
3 0
1 0
0
2 0
3x 1
x
2x 2
0
4x
x 3 (*)
5x 3 2 (3x 1)(2x 2)
f (x)
g(x)
h(x)
k(x)
(3x 1)(2x 2)
f (x) h(x) g(x) k(x)
Mà có:
f (x).h(x) g(x).k(x)
Bi
d ng:
f (x)
h(x)
k(x)
g(x)
B
, gi
qu
VÍ D VÀ BÀI T P
Ví d 1: Gi
3
1.
3
x 1
2.
x 3
3.
w
x3 1
x 3
3
1.
3
x 1
3
3
3
x 3
3
x 2
x 2
c
qu .
Bài toán v n có th gi i theo cách bi
i
i cách này thì ph c t p.
2x 2
x 3
x3 1
x 1
x 3
u ki n: x
1
0
x 2
3
3
3
x 1
x 2
x 3
3(x 2)
x3 1
x 3
(x 2) (x 1)(x 3) (x 2)
2
0
x 1 3x 2
h h qu
bi t có nghi m hay khơng?
gi i:
3
x 1
3
3
x 2
3
3
x 3 ta ch nh n
x 3
2x 3 3 3 x 1 3 x 2
3
x 1
3
x 2
x 3
2
x 1
x2 x 1
Th l i nh n x 1
V y: x 1
x 1
x2 x 1
x 3
3; x 1
x 1
3
x 1
2
x 3 (3)
2
x 2 2x 2 0
Nh n xét:
Khi thay
x2 x 1
x 3
x3 1
x 3
(x 1)(x 2)(x 3) (x 2)3
(x 2)( 1) 0
x 2
Th l i nh n x
V y: x 2
x3 1
x 3
(3)
x 3
3 3 (x 1)(x 2)(x 3)
x2 x 1
3.
x 3
3
3
x 1
Nh n xét:
x 3
2x 3 3 x 1 x 2
3
2x 2 4x 2 0
x 1
Th l i nh n x 1
V y: x 1
3
3
Ta thay
6x 2 8x 2 4x 2 12x
0
x2 x 1
x 1
x 2
3
x 1
x 3
3x 1 2 x
3
x 1
4x(x 3)
c 2v
3
x 2
5x 3 2 4x(x 3)
3
3; x 1
3
3
Nh n xét chung:
Th
ng h
c ba và
ab
c hai
thì ta có
th
qu .
N u khi gi
ph
c
c m th
n trong vi c gi
u ki n và s
u ki
gi i b
trinh h qu
l i.
- 0907894460www.mathvn.com
Trang 5
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
CÁC D
T M T N PH
a.f (x) b f (x) c 0; a
:
t t
t
t
t 2 3t 4 0
0.
V i t
1
f (x), t 0
2 ho c x
2
t t
A
n
n
b. AB c. B
a.A x
bB x
A
B
2. 2x 2 15
B
2
0
u ki n: x
c A x .B x
mA
:B
v d
B1: Th
B2: Xét v
u
v
2
nB
2
t2
t n ph
: u
uv v2 0
ng h p v = 0
0
thành :
2
u
v
2
B
2
5
53
x 2 5x 7 0
5
53
5
6
x 2 5x 4 3 x 2 5x 2
0
u ki n: x 2 5x 2 0
x
x 2 5x 2
5
x
2
53
2
2x 2 5x 2 2 2x 2 5x 6 1
3.
u ki n: 2x 2 5x 6 0
5
x
2x
2x
6
x 2 5x 2 3 x 2 5x 2
53
2
6
x 2 5x 6 10x
1. (x 4)(x 1) 3 x 2 5x 2
x
2
VÀ BÀI T P
2x 2 5x 2 2 2x 2 5x 6 1
x
x 1
3
x 1
x
2
2
2
73
x
4
5x 6
5
73
4
(t 0)
5x 2 t 8
thành:
t 8 2 t
1
t 8 1 2 t
2
5
17
2
(t
0)
x 2 5x 2
x 2 5x
t 1
x 2 5x 6 1
V i t 1
t t
t2
3
2
t
x 2 5x 6 1
1. (x 4)(x 1) 3 x 2 5x 2
t t
0)
0
t 3 0
V y: x
2
(t
2(t 2 6) 15 t
0
Ví d 1: Gi
17
x 1 x 6
t 1
t
VÍ D
5
0
t2 6
thành:
x
2. 2x 2 15
x 2 5x 6
5x 6 0
x 2 5x
Tham s bi n thiên
x
7
x 2 5x 6
2t
thành
t2
c
0
u
tt=
v
4.
2; x
x 2 5x 6 10x
x 2 5x 6
t t
2
3.
x
7
2x 2 10x 15
a. A
4
B) b(A B 2 AB) c 0
:
n
t
4
x 2 5x 42 2
x 2 5x 14 0
4
V y: x
a( A
CAO HOÀNG NAM
t2 2
thành:
- 0907894460
t 8
4 t
V i t 1
1 2 t
7 3t
7 3t
0
16t
(7 3t)2
2x 2 5x 6 1
x 1; x
V y: x 1 ho c x
www.mathvn.com
t 1
7
2
7
2
Trang 6
: PT- BPT - HPT VÔ T
x
4.
x 1
x
x 1
x
u ki n:
x 1
0
1.
0)
2t 2 3t
1
t
t
2
V i t
2
x 1 0
4 x 0
t t
t
2
1
x 1
2
x
1
0
x 1 2
x 0 x 1
1 x 1
4 x
t
t
2
5
2
V y: x
0
t
t
2
3x 4
3
t
3
x 2 3x
0
5
22 5
2
2
2x 2 5x 3 0
t
2
2x 3
x 1
(t
2
5x 3
3x 4 2 2x
3x 2 2x 2 5x 3
thành:
0 x 1
t
(*)
x 1
x 1
x
9
2
x 1 5
x 1
x
2
2
2
2x 2(x 1) 5x(x 1)
2(x 1)x
t 2 4 16
V i t
5
0)
t2 4
t
t
t 2 t 20 0
0
2x 3
2 2x 2 5x 3
1 x
0
5
4 (loaïi)
x 1 5
3x 2 2x 2 5x 3
x
x2 x 2
2(x 1)x
0
3
0 ho c x 3
2
x
x
x
2x 3
x 1 3x 2 2x 2 5x 3 16
2x 3 0
u ki n: x 1 0
x
1
3
(*)
2
x
0)
2.
t t
x 1
(t
5
x 2 3x 4
Cách khác:
x
4
t2 5
2
t 2 2t 15 0
2
x 1
x
2
x 1
x 2x 2
0
x 1
x 2
0 1 x 2
x 1
V y: 1 x 0 ho c 1 x 2
x 1
5
thành:
x
x 1
x
5
x 1 4 x 2 (x 1)(4 x)
x
x
1 x
(x 1)(4 x)
x
2
u ki n:
(x 1)(4 x)
x 1
2
1 x 0
V i t
x 2 3x 4
4 x
4 x
0
5
x 1 3x 2 2x 2 5x 3 16
x 1
3
2
1
2
x 1
1.
thành:
1
t
2x 3
x 2 3x 4
4 x
u ki n:
B
t
x 1
2.
0 x 1
(t
x 1
CAO HỒNG NAM
Ví d 2: Gi
3
2
x
x
t t
www.MATHVN.com
52 4
21 3x
7
x 2 146x 429 0
1 x 7
x 3 x 143
1 x 0 ho c 1 x 2
V y: x
- 0907894460www.mathvn.com
x
3
3
Trang 7
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VƠ T
Ví d 3: Gi
2 2
1. 4 3 (x 2)2
2. 2 x
2
2
7 3 (4 x 2 ) 3 3 (2 x) 2
5 x
3. x 2 3 x 2 1
3
1
x4
(1)
x 2
2 x
43
t t
4t
(2 x) 2
2
x 2
2 x
73
2
3
4
x 2
2 x
3
V y: x
3
4
0 ho c x
5 x
u ki n: x3 1 0
(2)
2(x
2
x 1
x x 1
2
1
2
x 1
x x 1
1
2
2
Do x 2
2
2
x 2
2 x
74
91
V y: x
x 1
4 (VN)
x x 1
2
x 1
1
x x 1 4
5
37
x
2
2
3
x
5
37
2
Nh n xét:
a ta là trong vi c phân tích:
x
0
27
64
2 x
2
2(x 2
2
x3 1 (x 1)(x 2 x 1)
B
ng nh t h s :
(x
2
(x 1)2 x 2
x 1)
và
ta d dàng ch n
M t s khai tri
0
x 1) 2(x 1) .
Vi c này có th th c hi n d dàng do:
74
91
x
7 3 (4 x 2 ) 3 3 (2 x) 2
2
1
2
V i t
3 0
x 2 và v 3 2 x
thành:
2
4u 7uv 3v2
Do v 0 không là nghi
c:
cho v 0
2
u
u
u
4 2 7
3 0
1
v
v
v
x 2
x 2
u
3
1
1
V i
v
2 x
2 x
u
x 2 3
x 2
1 3
V i
v
2 x 4
2 x
74
V y: x 0 ho c x
91
2. 2 x
t
5t 2 0
0)
2
V i t
x3 1
3
2
2
2t
0 (1)
Cách khác:
t u
(t
t
c:
t 1
3
t
4
x 2
1
2 x
1
x 2
2 x
4 3 (x 2)2
x 1
x x 1
thành:
thành:
7t 3 0
3
2
2
x2 1
x 2
2 x
3
V i t 1
V i t
3
x 1
x 1
5 2
x x 1
x x 1
t t
2
2
2
3
3
3
1. 4 (x 2) 7 (4 x ) 3 (2 x)
x 2 khơng là nghi
Ta có: 2 x 0
trình. Chia 2 v cho:
0
CAO HOÀNG NAM
x4
x 1 x2
.
c thành nhân t :
x 1
u
v
1
x4 1
3
4
27
64
0
x
74
91
3. x 2 3 x 2 1
u ki n: x 2 1 0
x 1 x2
P
x4 x2 1
x
1 x 1
u 2 v2
u 2 v2
v 0
10v 2 6uv 0
x 1 0 chia hai v cho x 2
- 0907894460
x 1)
x 1 :
2x 1
x 2 1 (u, v 0) .
1 (2)
2
2x 1
thành :
u 3v
1
x 1
2x 1 x 2
x2 , v
t: u
x2
2x 2 2x 1 2x 2
u 2 6uv 9v2
x 1) 2(x 1) 5 (x 1)(x
2x 2 1
x2
4x 4 1
x
x4
x2
0
x2 1
2(x 2 2)
2
V i v 0
V y: x
x2 1 0
1
www.mathvn.com
3
u
5
v
x2
1
v 0
x
1
Trang 8
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VƠ T
CAO HỒNG NAM
Ví d 4: Gi
T N PH
1. x 2
2(x 1) x 2
x 1
2.
x
2
x 1 x 2 0
2x 3
x
2
:
t các n ph . Tìm m i liên h gi a các n
ph . K t h p v
u c a bài toán
ch
ih
1
1. x 2
2(x 1) x 2 x 1 x 2 0 (1)
u ki n: x 2 x 1 0
x
x2 x 1
(1)
x2
t t
t
2(x 1) x 2 x 1 2(x 1) 1 0
0. ph
x 1; t
0,
2(x 1)t 2x 1 0, t
t 1
t 1 2x
x2
V i t 1
x 1 1
x
2
' x
0; x
1.
3x
0 ho c x
x
0
x3
x 1
x 2 2x 3
x2 1
x 2 2x 3
3x 1
2
3
3
3x 1
3
25 x 3
35 x 3
2
3
9x 2 1 1
30
x 3 y3 35
n v h sau:
y3
cc p
x 2 2x 3 2x 2
t2
thành:
t
t
0
x 1
x
2x 3
2
x 2 2x 3
x 1
x 1
x 1 0
x 2 2x 3 x 2 2x 1
V y: x 1
2
(VN)
.
1 x
u v
u2
2
2
3
2
n v h sau:
2
x 1
x 1
2
t
1 x 31 x
u 31 x
v
x 1 t 2 x 1
2
3
2.
x
x 2 2x 3 . P
t t
x 1 t t 2 2x 2
V i t
30
35
i x ng lo i 1. Gi i h
nghi m là (2;3) ho c (3;2)
V y: x 2 ho c x 3
1
u ki n: x 2 2x 3 0
V i t
25 x 3
xy(x y) 30
5x
x 1
2.
3
5.
1. x 3 25 x 3 x
2
3
2. 3 1 x 3 1 x 2
3. 3 2 x 1 x 1
4. x3 1 2 3 2x 1
t y
1
2
2
V y: x
x
x 1 (1 2x)
x
1. x 3 25 x 3 x
2
x2 x 1 1 2x
1 2x 0
V i t 1 2x
Ví d 1: Gi
ng trình tr thành:
2
H
2
v2
2
u v 2
uv 1
V y: x = 0.
u
v 1
x 0
3. 3 2 x 1 x 1
x 1
u ki n: x 1 0
t
u
v
3
2 x
x 1
u 3 + v2 = 1
u + v =1
- 0907894460www.mathvn.com
(v 0)
n v h sau:
2
u(u u 2) 0
v 1 u
Trang 9
: PT- BPT - HPT VƠ T
www.MATHVN.com
Ví d 2: Gi
u 0
u 1
u
2
x 2
x 1
x 10
v 1 u
x 3
2
x 1000 1 8000x 1000
1. 2x 2
4x
2. x 2
2 ho c x 1 ho c x 10
V y: x
CAO HOÀNG NAM
3. 4x 2 7x 1 2 x 2
4
4. 3 81x 8 x 3 2x 2
x 2
3
4. x3 1 2 3 2x 1
t y 3 2x 1
y3 1 2x .
n v h sau:
3
x 1 2y
5. 7x 2 13x 8 2x 2 . 3 x(1 3x 3x 2 )
6. 4x 2 11x 10
(x 1) 2x 2
6x 2
y3 1 2x
x 3 1 2y
x3
y3
1. 2x 2
2(y x)
Cách 1:
x 3 1 2y
(x y)(x
(Do x 2
2
xy y
xy y 2 2
x
2
2)
0
2
y
2
3 2
y 2 0)
4
u ki n: x
t: u
3
u2
1
x
u 3 v3
u v 2
2
3
5
t t
3
y2
9x 2 1 1
3x 1
n v h sau:
v 2
3v
2
v 2
V i t
t
2
y 0
t2 1
y
1
u
v v 2
1
3
2
V i y
x
(t
1
t
2
t
0
V y: x
3
www.mathvn.com
4
;x
17
4
t
2
(th a).
4t 2
2t 3 0
1
2
t
13
5
x
4
17
1
2
t
3
1 2
) 1
2
1
2
1
t
y
y
x
4
1
- 0907894460
t
2t 2 t 2 0
t 0
17
0
u 1
3x 1 1
v 3 3x 1
V y: x 0
1
t
6v 3 0
3 v 1
v
v
y 0
1
y
2
1
1
t
2
1
(t y)(t y
) 0
2
u.v 1
2
t
2.
t2 1
2
3
y2 1
t
1
2
n v h sau:
2
3x 1
2
u
x 1
1
2
x 1; y
t
2
1 x 1
1 .
2
2
2
5
1
3x 1 và v
v2
(x 1) 2
2
2(x 1)2 2
(1)
x 1
V y: x 1 ho c x
3x 1
3.
(x 1)2 1
x 3 1 2x
x y 0
3
x 3
(1)
2
2x 2 4x
x 3 1 2y
x y 0
5.
x 3
2
4x
5
13
4
13
4
(th a)
.
Trang 10
: PT- BPT - HPT VƠ T
www.MATHVN.com
CAO HỒNG NAM
và có phân tích thành
Cách 2:
2x
2
4x
u ki n: x
L
,b
3.
x 3
2
t
(x2 + a1 x + b1) ( x2 + a2 x + b2) = 0
x 3
(1)
2
a1 a 2
2x
2t
4x
2
a1b 2 a 2 b1
2x
4x
x
2 x
x
2 x
4
32x
x
2 x
5
x
2
3
4
2 x
0
3
x
x
(*)
0
8 x2
x
32x 2 x 3 0
x2
17
17
4
5
x
4
3
3
1
x
2
2
x
0
(**)
13
4
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
m máy tính b túi)
m nghi m b ng máy
A B
1.5
C.D 0.749999 0.75
C D
2.5
13
Nh n xét:
V i hai cách gi i cách 1 và cách 2
u chuy n
v m th
i x ng lo i 2
gi i quy t bài toán.
Cách 3 cho ta m t cách gi i t nhiên nh t kh
b
.V
t ra là khi
c 4 có nghi
p và
ta ph
y làm
th nào chúng ta có th
c ???
pháp gi i quy t v
này:
: (kh
n x tính tốn)
Gi s
c 4:
1 3
.
2 4
B 0.280776406
C
0.348612181
D
2,151387819
Ta có:
A.B
0, 49999
0.5
4
5
1 3
.
2 4
Nh p bi u th c: 8x 4 32x3 32x 2 x 3
Ch n các kho ng nghi m và tìm nghi m.
c các nghi m.
A
1.780776406
0
3
0
n
S d
tính. (CALC).
x 3
2
0
t chút nh
: (kh
0
4x 4 16x 3 16x 2
Tr l i ví d trên:
B
c h s
x 3
2
2
d
8x 4 32x 3 32x 2 x 3
1
3
x 4 4x 3 4x 2
x
8
8
3
3 1 3 1
Ta có:
.
.
8 2 4 2 4
V
c các c p b1; b 2
0
2x 2 4x
8x
u ki n ta
3.
2
c
ng nh m tìm h s a1;a 2 ; b1; b2 (v i các
a1;a 2 ; b1; b2 là s nguyên ho c h u t
x 3
2
2x 2 4x
b
Ta t
x 1
i x ng lo i 2. Gi
3 17
5 13
;x
nh n nghi m x
4
4
Cách 3:
u ki n: x
b1b 2
t 1
4t
a
a1a 2 b1 b 2
x 3 2t 2 4t 2
t 1
n v h sau:
2
ng nh t h s ta có:
T
------------------------------------------------V i cách 1 cho ta cách nhìn t ng qt c a bài tốn.
D ng t ng quát c a bài toán:
f (x)
Cách gi i:
t t
Ta có h :
n
b a n af (x) b
f (x); y
tn
b
n
af (x) b
ay
.
y n b at
i x ng lo i II v i hai n t và y.
Sáng t o: Khi thay a, b,f (x) là các s
c
các bài toán v
- 0907894460www.mathvn.com
Trang 11
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
2. x 2
x 1000 1 8000x 1000 (2)
1
u ki n: x
8000
2
(2)
4x 4x 4000 4000 4000(2x 1) 3999
(2x 1)2 3x
(2)
t t
(2x 1)2 4001 4000 4000(2x 1) 4001
4001
t u 2x 1
;v
1 8000x 0
4000
n v h sau:
2
u 4001 4000v
v 2 4001 4000u
v2
t 2 3x
3.
3
81x 8
x 3 2x 2
t 2 2t 3x
t 0
t
27x 3
27 3 27.3x 8
27 3 27.(3x 2) 46
t t
3
3x 2; y
t
3
27t
y
(3x 2)3 46
27t 46
y 3 27t 46
n v h sau:
27(y t) (t y) t 2 ty y 2
t 3 46
(t y) t 2
Do t 2
ty y 2 27
V y: x
0; x
t
t
4x 2 11x 7 0
3
x
2
7
1
.
;x
4
4
(2t 1)3 (t 2
2
t 1 2 6
x
0
x
3 2 6
3
3 2 6
3
2
4. 4x 7x 1 2 x 2 (2)
u ki n: x 2
- 0907894460
0
2
x
7
.
4
2 3 t 2 3t 3
8t 3 13t 2 7t
0
ty y2 27 0 nên
27y t 3 46
t y 0
t 2
5. 7x 2 13x 8 2x 2 . 3 x(1 3x 3x 2 )
Ta th y x 0 không là nghi m c
c:
Chia hai v
x3 t
7 13 8
1 3
23 2
3.
2
3
x x
x
x
x
1
t t
thành:
x
t 3 46
27y
t
Nh n xét:
Ta có th thay b trong d ng toán t ng quát
b ng m t bi u th c ch a x.
thay a trong d ng
t ng quát b ng m t bi u th c ch a x.
46
27y
t 2
V y: x
46
3
27y
2t
4x 2 3x 1 0
1
x
1
4
x
2
t 2 3x 2(t 2) 0
4001 (do u 0 )
4
x 2
3
54x 2 36x 54
y
y
(t y)(t y 2) 0
V i y
u
y2 3x
y 0
n v h sau:
2t
4000(v u)
u 2 4000u 4001 0
u v
V i u 4001 x 2000 .
V y: x 2000 .
2t 3x
2y
y 2 3x
V i y
u 2 4001 4000v
(u v)(u v 4000) 0
Do u v 4000 0 nên
u 2 4001 4000v
u v 0
2 2(2x 1) 3x
2x 1; y
u 2 4001 4000v
u2
CAO HOÀNG NAM
tu
v3 t 2
2 3 2(2t 1) t 2
t 1.
2(2t 1) t 2 t 1
n v h sau:
t 1 2v
u 3 v3 2v 2u
t 1 2u
2t 1, v
u3 t 2
t 1)
3
(u v)(u 2 uv v2 2) 0
u v 2t 1 3 t 2 3t 3
8t 3 13t 2 3t 2 0
www.mathvn.com
Trang 12
: PT- BPT - HPT VÔ T
(t 1)(8t 2 5t 2) 0
t 1
t 1
5
8t 2 5t 2 0
t
www.MATHVN.com
NG LIÊN HI P
89
16
Th l i nh n ba nghi m t.
V i t 1 x 1
5 89
16
V i t
x
16
5 89
16
V y: x 1; x
.
5 89
6. 4x 2 11x 10 (x 1) 2x 2 6x 2
(2x 3)2 x 1 (x 1) (x 1)(2x 3) x 1
tu
u2
Các công th
Bi u th c
A
Bi u th c liên hi p
A
B
B
Tích
A B
B
A
2
3
AB
3
B2
A B
A 3B
M ts
3
A2
3
AB
3
B2
A B
3
A
3
:
ng d
liên hi
xu t hi n nhân t chung.
Cách
trái, v ph
m.
Ví d 1: Gi i ph
x 1 (x 1)u
2
ng dùng:
3
3
(x 1)(2x 3) x 1 ,
n v h sau:
x 1 (x 1)v
v2
ng trình, b
ng
ch ng minh
h sau:
2x 3; v
1.
V i u v 1 x
2x 3
2x 2 6x 2 1 x
x 2 12 5 3x
x2 5
2.
4x 1
x 3
5
3.
2
u v (x 1)(v u)
(u v)(u v x 1) 0
V i u v u 2 x 1 (x 1)u
(2x 3)2 x 1 (x 1)(2x 3)
2x 2 6x 7 0 (VN)
V y:
CAO HOÀNG NAM
(3
3x 2
2x 2
9 2x ) 2
4. 9(x + 1)2
x 21
(3x + 7)(1 - 3x + 4)2
x 2 12 5 3x
x2 5
1.
u ki n: x
Nh n xét ta d dàng nh
c x
2x 2 6x 2 4 3x
4
x
(VN)
3
2
7x 18x 14 0
m.
Do
x 2 12 4 3x 6
x2 5 3
x2 4
x2 4
3 x 2
x 2 12 4
x2 5 3
x 2
x 2
x 2
3 0
x 2 12 4
x2 5 3
x 2
x 2
x 2
x 2
3 0
2
2
x 12 4
x 5 3
x 2
x 2
x 2 12 4
x 2
x 2 12 4
V y: x 2
2.
4x 1
u ki n:
Ta có
4x 1
- 0907894460www.mathvn.com
2 là nghi m
c:
x2 5 3
x 2
x2 5 3
x 3
5
3x 2
4x 1 0
3x 2 0
3 0, x
x
2
3
4x 1
3x 2 0 . Nhân 2 v cho
3x 2 ta
c ph ng trình:
Trang 13
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
x 3
( 4x 1
5
x 3
(x 3)( 4x 1
x
3x 2)
3.
3x 2 5) 0
4x 1
3x 2
2 12x 2 5x 2
5
(3
(*)
26 7x
9 2x
2
26
x
3
7
2
x 344x 684 0
So
V y:
x 2
V y: x 2
Ta
b
4x 1
5
x 3
3x 2
5
gi i bài toán b ng cách thêm
3x 2
7
2
x
u ki
9
2
9
2
c
7
và x
2
x
9(x 1)2 (1
3
3x 2
1
5
x
2 3x 4
0
4
3
x
Ví d 2: Gi i ph
1
5
x
0
2.
nên
4x 1 3 2
(*) vô nghi m.
V y: x 2
Tuy nhiên, cách làm này thì vi c ch ng minh
(*) vơ nghi
c).
3.
0 (*)
x
1.
4
c
3
x
1
1
ng trình sau:
3
4 x 2x 2 5x 1
2x x 2
1 x2
x 2
3
4. x 2
5.
(3x 7).9(x 1) 2
x 2
1 x
x
1.
(*)
2
;
3
2
u ki
V y:
i bi u th c
1 th a.
4
3 ta có:
1
x
(*)
3
0
3x 4)2
3x 4)2 3x 7
ng h p 1: x
ng h p 2:
7
và x
2
x
0
3x 4)2
9(x 1)2 (1
x 3
5
x 2 0
x 2
4
3
4x 1 3 2
3x 2
4
4
x 21
(3x 7)(1
4
i u ki n: 3x 4
x
3
Ta nhân c hai v c
c:
(1 3x 4)2
3x 2
x 3
4x 1 3 2
3x 2
1
5
4x 8
4 3x 2
x 2
5
4x 1 3 2
3x 2
4
3
1
x 2
4x 1 3 2
3x 2 5
Do
x
4. 9(x 1)2
Nh n xét:
T (*) ta có th gi i b ng cách k t h p:
4x 1
0
9 2x ) 2
2
(3
2
26
x
3
7
2
4(12x 5x 2) (26 7x) 2
4x 1
x 21
9
u ki n:
2
3 9 2x 0
x 0
Ta nhân c t và m u c a v trái v i
c:
(3
9 2x )2
5
3x 2
2x 2
9 2x ) 2
9 2x
3 (l)
4x 1
CAO HOÀNG NAM
x 1
3
2x 2
3
2x 2 1
x 1 (x 2) x 2 2x 2
x 24
12 x
6
x 2
4 x 2x 2 5x 1 (1)
x 2 0
u ki n:
2 x 4
4 x 0
1.
(1)
- 0907894460
x 2 1
www.mathvn.com
4 x 1 2x 2 5x 3
Trang 14
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
x 3
x
x 2 1
4
x 3 0
1
x 2 1
4
x 3 0
1
x 2 1
4
1
1
x 2 1
Ta có:
1
2x
4 x 1
V y: x 3
3
(x 3)(2x 1)
x 1
4. x 2
x 2 2x 7 (x 2)(3
1
x 1
2x 1
x
1
2x 1
x 1
(*)
3
2x 2
3
(2x 2 1) 2
3
3
x 1
x 2
3
2x 2
3
2x 2 1
2x 2 x 1
3
(x 1) 3 2x 2
x 1 2 2
3
3 x 24 9
(x 3)( 12 x
x
3
(x 24)
3
(x 24) 2
3
12 x
3
x 24
(x 24) 2
u ta có:
3
(x 24) 2
12 x
3 3 x 24 6 0
6
4 3 x 24
x 24
12 x
V y: x
24 ho c x
6
88
0
x
x
24
88
x 1 0
3
3
(x 2) 2
(x 1) 2
0
x 1
2x
2
x 1 0
V y: x 1 ho c x
x
1
2
1
2
- 0907894460www.mathvn.com
0
3 3 x 24 6) 0
3 3 x 24 6 0
(*) k t h p v
3
2
3 x
12 x 3
3
12 x
3
0
2x 2 1
(x 2) 3 2x 2 1
4x 4
(x 24)
0
) 0
x 2 2x 2 3
2
0
0
2x 2 3
x 2
12 x 6 (5)
5. 3 x 24
x 12
u ki n: 12 x 0
3
x 24 3 12 x 3 0
(5)
x 3
2x 2 x 1
3
2x 7)
(x 1)2 1 (x 1)
x 2 2x 7 0
V y: x 1 2 2
x ) ( 1 x 2x x ) 0
3
x 2
2
x 2 2x 2 3
nên (*) vô nghi m.
1 x 4x 3
0
1 x 2x x
(1 2x)(2x 2 x 1)
0
1 x 2x x
x2
2x 2 x 1
(1 2x)(
) 0
1 x
x
1 x 2x x
1
(do bi u th c còn l
x
2
1
V y: x
2
3
2
(x 2 2x 7)(1
x 2 2x 7
1 5
x 2 2x 2
(x 2)(x
x 2 2x 7
x 2 (1 2x)
1 x
x
2
x (1 2x)
1 x
x
3.
x 1 (x 2) x 2 2x 2
x 2 2x 7 3(x 2) (x 2) x 2 2x 2
1 x 2x x 2
(2)
2.
x
1 x2
1 x
u ki n:
0
0 x 1
x
(2)
(1 x 2 ) 1 x (2x x 2 ) x
x2 ( 1 x
CAO HOÀNG NAM
Trang 15
(*)
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
x 2 6x 11
2.
Ch y u b ng cách s d ng công c
o hàm ho c s d ng b
ng th
tìm nghi m
CAO HOÀNG NAM
x 2 6x 13
4
c
(x 3)2 2
ng gi i quy t:
H ng 1:
Chuy n ph ng trình v d ng: f (x) k
Xét hàm s y f (x)
Nh n xét:
V i x x0
f (x) f (x 0 ) k
x 0 là
nghi m
V i x x0
f (x) f (x 0 ) k
ph ng trình vơ nghi m
V i x x0
f (x) f (x 0 ) k
ph ng trình vơ nghi m
V y x 0 là nghi m duy nh t c a ph ng trình
H ng 2:
Chuy n ph ng trình v d ng: f (x) g(x)
Dùng l p lu n kh
nh r ng f (x) và g(x) có
nh ng tính ch t trái ng
nh
x 0 sao cho f (x 0 ) g(x 0 )
V y x 0 là nghi m duy nh t c a ph ng trình.
H ng 3:
Chuy n ph ng trình v d ng f (u) f (v)
Xét hàm s y f (x) , dùng l p lu n kh ng
nh hàm s
u
f (u) f (v)
u v
Ví d 1: Gi
1.
3x 2 6x 7
5x 2 10x 14
2.
x 2 6x 11
(x 3)2
D
ng
y ra
7
2
7
2
3. x 2 3x
x
2
4x 5 3
Ta có:
x 2 2x 2 (x 1) 2 1 0
x 2 4x 5 (x 2) 2 1 0
(x 2 2x 2) (x 2 4x 5)
x 3x
2
Áp d ng b
ng th c Côsi cho 2 s
a x 2 2x 2;b x 2 4x 5 ta có:
a b
ab
2
7
x 2 3x
(x 2 2x 2)(x 2 4x 5)
2
D u b ng x y ra khi và ch khi:
7
2
2
V y: x=
2
x 2 2x 7
1.
3x
6x 7
3(x 1)
u ki n: D
2
5x
4
5
D
V y: x
x 1
2
10x 14
5(x 1)
3(x 1)2 4
Mà:
2
2
x 2 2x 7
5 x 1
4 2x x
9
4
9
5
y ra khi x 1
22 32
2
x 2 3x 6
2
x 2 2x 7
2 x 2 3x 6
2
0
2
5
x
1
2
3 x 2 2x 7
x 2 2x 7
5x 2 12x 33
2
2
D u b ng x y ra khi và ch khi: ad bc
V i a 2;b 3;c x 2 3x 6;d x 2 2x 7
2
13 x 2 3x 6
2
3
2
Áp d ng b
ng th c Bunhiacôpxki cho 4 s :
2
2
a b c2 d 2 (ac bd)2
5 (x 1)2
9
x
5x 2 12x 33
2
5x 2 12x 33
2
2
(x 2 2x 2)(x 2 4x 5)
4. 13 x 2 3x 6
2x 3
3
.
2
4. 13 x 2 3x 6
2
2
(x 2 2x 2)(x 2 4x 5)
(x 2 2x 2) (x 2 4x 5)
4 2x x 2
(x 2)2 1
4
4
2
2
4 1 3
2
(x 3) 0
(vô lý)
x 2 0
m.
x 2 6x 13
4
(x 2)2 1 3
(x 3)2
2
V y:
3. x 2 3x
2
(x 3) 2 4
4
Mà:
x 2 4x 5 3
2
2
D u b ng x y ra khi và ch khi:
3(x 2 3x 6) 2(x 2 2x 7)
1
- 0907894460
www.mathvn.com
Trang 16
2
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
3x 2 9x 18 2x 2 4x 14
2
x 5x 4 0
V y: x 1; x 4
x 1; x
3. 3 x 1 3x 2
u ki n: x 1 0
3 x 1 3x 2
(1)
Xét hàm s : y 3
4
Ví d 2: Gi
D
1. 3x 2
9x
2
1 x x2 1
0
4x 1
4x 2 1 1
2.
3. 3 x 1 3x 2 8x 3
x 2 6x 11
9x 2 3
1. 3x 2
3x 2
9x
2
3
3 x
2x 1
(2x 1)
có nghi m trong
u2 3
Xét hàm s : f (t)
t 2
t 4 3t 2
3 2
1
;0
2
x 2 2x 3
x 1 0
u ki n:
3 x 0
4.
x 2 2x 3
u
x 1
v
t
3x
2
2
Xét hàm s : y
t
y'
2
t 2
t2 3
0,
0
2x 1
f x 1
x
y 0 có
0
v2 3
v 2
2t 3 3t
2
f (u) f (v)
V y: x
2
x D
y ' 0 có nhi u nh t 1 nghi m
nhi u nh t hai nghi m.
Nh m nghi
c x 0; x 3
V y: x 0; x 3
3x; v 2x 1. u, v 0 .
thành:
u 2
f '(t)
x 1
1 x x2 1
4x 2
Nh
tu
1;
3
6x 8
2 x 1
3
y ''
6 0,
3
4 x 1
3
x 2 2x 3
8x 3 (1)
x 1
8x 3 0
x 1 3x 2 8x 3 trên
y'
4x 2
4.
CAO HOÀNG NAM
1
5
x 2 6x 11
3 x
x 1
1 x 3
x 1
x 1
x 2 6x 11
3 x
3 x
t2 2
1
2 t
f 3 x
3 x
2
2
t
0
x
1;3
x 1 3 x
x
2
V y: 2 x 3
1
5
4x 1
4x 2 1 1
4x 1 0
1
x
u ki n:
2
2
4x 1 0
2.
4x 1
4x 2 1 1
Xét hàm s : y
1
D
;
2
2
4x
1
y'
0,
x
2
2
4x 1
4x 1
u có nghi
nghi m duy nh t.
1
Nh m nghi
c x
2
1
V y: x
2
- 0907894460www.mathvn.com
Trang 17
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
PH N II
-----------------------------------------------------------------H
-------------------------------------------------------------------
T m
theo y.
Th
cx
B ng cách bi
d ng tích
c x theo y
Th
nghi m.
Ví d : Gi i các h
i gi i tìm x ho c y.
x 2y y x 1 2x 2y
Ví d : Gi i các h
x
xy
x (y 1)(x y 1) 3x
1.
xy x 1 x
2
xy
1.
2x 1
x2
24
3
x
3
x2
x 72
9
x
0
V y: nghi m h là
9,
8
19
3
y
x y x 2y 1
x 2y 1 0
x 2y 1
19
y
2xy y2
xy
3
5
2y 1
; 8, 5
Do x
(2)
x 2 (y 1)(x y 1) 3x 2 4x 1
xy x 1 x
2
x 2 1 2x 2 1
(2)
x 1 3x 1
x 1 2x 3 2x 2 x 1
x 1 2x x 2
V i x
(1)
0 không là nghi m h
x2 1
y 1
c:
x
x2 1
x2 1
x2
x
3x 2 4x 1
x
x
V i x 1
y
2
0
y 1
(2)
x 0
x 1
x
2
V y: nghi m h là 1; 1 ;
2;
5
2
- 0907894460
0
x y 0)
c:
2(2y 1) 2y
2 y 1
2y 2
0
y 2
( Do y 0)
Nh n xét:
Ta có th ki
c nhân t chung hay không b
tham s bi n thiên.
xy x y x 2 2y2
x 2 (y 1)x 2y2
y 0
(y 1)2 8y2 4y
Ta có:
T
c: x
2.
5
2
0
V i y 2 ta có x 5
V y: nghi m h là (5; 2)
x 1 3x 1
1
y
(1)
x y
2y y 2y
2y y 1
2.
x 2 2y 2
x 2 xy 2y2 (x y) 0
(1)
2x 1
y
xy x y
u ki n: x 1; y 0
3
x2 x
x y 2
y2
x 2y y x 1 2x 2y
24
2x 1
y
y3 7y
x2
2
2x 3y 1
x2
x 3 7x
3.
4x 1
5x 4 4 x
y 2 5x 2 4xy 16x 8y 16 0
24
2
2.
y2
2.
2x 3y 1
2
i gi i tìm
x 2 2y 2
xy x y
1.
1.
CAO HOÀNG NAM
y2
9y2 6y 1
y ho c x
5x 4 4 x
2y 1
(1)
y 2 5x 2 4xy 16x 8y 16 0
T
thiên xem y là n ta có:
y2 5x 2 4xy 16x 8y 16 0
www.mathvn.com
3y 1
(2)
bi n
Trang 18
2
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VƠ T
CAO HỒNG NAM
(y x 4)(y 5x 4) 0
y 4 x
y 5x 4
V i y 4 x
c:
V i y 5x 4
2
y
x
3
4
7x
x
2
2
x
3
y
x2
y
3
y2
y2
x
0
x
x
y
x2
y2
S
2S 15 0
S
5 P 10
S 3 P 2
o:
2
5
2
5
T
i:
Cách 1: Có t ng, tích nên áp d
V y: nghi m h là
2
u ki n: S2
P 5 S
x y 2
5
5 1
;
5
S2 2 5 S
xy y 2 7 0 (VN)
2
1
y2
P 5 S
2
y
3
S2 2P 5
0
5
1
2y
x
S x y
P xy
2
1
5
S P 5
H
x2
2x 2
y2
2x
y
x2
x y 2
y
2x 2
x2
x y xy 5
t:
xy y 2 7
4P
x y xy 3
7y
x y 2
x y x2
x2
4
;0
5
1.
7 x y
S x y
v i S2
P xy
t
x y xy 5
2.
x y 2
3
f (x, y) f (y, x)
g(x, y) g(y, x)
Ví d : Gi i các h
y 0
0
y
Cách gi i
1.
V y: nghi m h là 0; 4 ; 4;0 ;
3.
y 0
y 4
5x 4 4 x
4
5
x
4
0
c
5x 4
x
x
x
5x 4 4 x
I X NG LO I I
f (x, y) 0
v i
g(x, y) 0
D ng:
2
4 x
H
;
1
2
5 1
;
5
2
X SX P 0
x, y là nghi m c
S 5 P 10 :
H
m (do S2 4P = -15 < 0)
S 3 P 2
X2 3X 2 0
x, y là nghi m c
x 1 x 2
;
X 1;X 2 nên
y 2 y 1
Cách 2: Gi
ng b ng ph
S 5 P 10
x
5 y
x y
5
y 5 y 10 (VN)
xy 10
:
S 3 P 2
x y 3
xy 2
x
3 y
y 3 y
V y: h
- 0907894460www.mathvn.com
10
y 1
x 2
x 2
y 1
m là: 1, 2 , 2,1
Trang 19
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
2x
y
2.
2y
x
H
3
x y xy 3
2 x2
y2
(x y)h(x; y) 0
f (x; y) 0
5xy 0
x y 0
h(x; y) 0
hay
f (x; y) 0
f (x; y) 0
Ví d : Gi i các h
x y xy 3
Cách 1
h
t u
H
i x ng lo i 1.
x; v
2 u
y
2
v
2
x 2 2y 2
1.
u v uv 3
H
2 S2
2.
uv
2P
5P
0
S 1
P
2
u
v
P
x 2
y 1
u
v
1
1
u
v
x
y
3
3
2
2
1
2
u
v
x
y
H
2
xy
9
2
2x y
x
3
3;
2
2x y
x y 0
x
x
1
2
3
x
2
y 3
x y
2x y
x 2 2y 2
x
x
y
2x y (2y x)
(x y)(3x 3y 1) 0
3
x
2
y 3
2x y
y
x 2 3x
y
ho c
ho c
0
3x 3y 1 0
x 2 2y 2
y
9x 2
m
1; 2 ,
3
3
3;
, ,3
2
2
- 0907894460
2x y
3x 1
(vn)
3
3x 5 0
y 0
y
3
V y: h có hai nghi m (0;0); ( 3; 3)
2.
2x 3
4 y
4 (1)
2y 3
V y: H
2;1 ,
2y x (2)
x 2 2y 2
5xy 0
x 2
;
y 1
3
2
2x
2x y (1)
2
3(x y)(x y)
x y xy 3
x y
y
2
x 2 2y 2
2xy
x y 1
xy 2
4
x 2 2y 2
Cách 2: Gi i tr c ti p.
2 x y
4 x
x 2 2y 2 (y 2 2x 2 )
3
2
3
3
3
2
4
Tr t ng v (1) và (2) ta có:
H
3
2
9
2
S
2
4 y
2x
x 2 2y 2
1.
S P 3
2y x
2x 3
y
2
2x y
2
2y 3
5uv 0
t S u v;P
f (x, y) g(y, x)
g(x, y) f (y, x)
f (x; y) g(x; y) 0
f (x; y) 0
Cách gi i:
2x 2y
4 9
y
x
x y xy 3
I X NG LO I II
f (x, y) 0
v i
g(x, y) 0
D ng:
u ki n: xy 0
H
CAO HOÀNG NAM
4 x
4 (2)
3
;4
2
Tr t ng v (1) và (2) ta có:
u ki n: x, y
www.mathvn.com
Trang 20
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
2x 3
4 y
2x 3
4 y
2x 3
4
H
2y 3
4 y
x y
4 x
4 y
1
2y 3
2x 3
x y
0
4 x
4 y
0
4
4 x
4 y
0
NG C P
a1 x 2
b1xy c1 y 2
a2x2
D ng:
2
2x 3
4 x
4
2(x y)
2x 3
2y 3
Do
CAO HOÀNG NAM
b 2 xy c2 y 2
Cách gi i:
Xét y = 0.
Xét y 0
trình b c hai n t
4
ty và gi
Ví d : Gi i các h
:
3x 2
2xy y 2
11
x2
1.
2xy 3y 2
17
2
x 7 2 2x 3 4 x
x y
x
d2
0
2x 3
x y
x
t x
d1
16
2.
y 3
11
y
9
Nh n xét:
Ta ph i kh
hi
xu t hi n nhân t
11 11
;
9 9
x y .
x
2
2xy y 2
11
2
17
2xy 3y
Xét y = 0. Ta có
ng liên
2
x 3 y3 19
3x 2
1.
V y: H có 2 nghi m là 3;3 ,
x y y
3x 2
x
2
11
17
(mâu thu n)
V y y = 0 không là nghi m h
t x = ty thay vào h ta có:
y 2 (3t 2
2t 1) 11(1)
y 2 (t 2
2t 3) 17 (2)
L y (1) chia (2)
c: 10t2 + 3t
Kh
V it=-
4
thay vào (1)
5
4=0
y2
t
25
3
5
4
x
;
3
3
5
4
x
y=3
3
1
y2 4 y
thay vào (1)
V it=
2
x 1;
y=2
x
1
y=-2
V y: Nghi m h :
4 5
4
5
(
; ), ( ;
), (1; 2), ( 1; 2)
3 3
3
3
4
;t
5
y
1
2
5
3
y=
2
2.
x y y
2
2
x 3 y3 19
Do x 0 không là nghi m c a h .
- 0907894460www.mathvn.com
Trang 21
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
t y
tx
N PH
2
x tx tx
H
x
3
3
tx
3
2
19
2
3
x 1 t t
3
x 1 t
3
2
Ví d 1: Gi i các h
19
x2 1 y y x
L y (1) chia (2)
t 3 2t 2 t 2
Kh
c:
1 t3
19
2
t t
2
2
t t 1 19
1.
2.
t
V i t
2
3
1
7
19 3
x 19
27
342 3
x 19
343
x
y
x
3
2
3
1
7
1
y
y
x y 3
1
y
3
2
7
3
18
V y: H có hai nghi m 3; 2 ,
4y
x2 1 y x 2
x
21t 2 17t 2 0
V i t
CAO HOÀNG NAM
t
y
8
x2 1 y y x
1
3
18
7
1
;3
3
18 18
Nh n xét:
N uh g
ng b c thì ta có th gi
2x y
1.
v
H
4y
x2 1 y x 2
y
Do y 0 không là nghi
c:
2
x 1
x y 4
y
x2 1
y x 2
y
1
x2 1
;v x y 2
y
u v 2
u 1
uv 1
v 1
tu
H
c:
x2 1
1
y
x y 2 1
x2 1 y
y 3 x
x2 x 2 0
y 3 x
x 1 y 2
x
2 y 5
V y: H có 2 nghi m (1;2),( 2;5)
x
2.
1
y
2x y
x y 3
1
y
3
8
x y 3 0
1
0
u ki n: x
y
y 0
- 0907894460
www.mathvn.com
Trang 22
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VÔ T
t u
1
;v
y
x
H
x y 3
3
1
y
2 v
3
3u 2
1
1
y
x y 7
x
x y 3
2
y 3
10
x
4
10
2
8 3
3
2 v)
y
1
x2
2
7x 9 ta
7x 9 x 3
2
y2 1
4
2
x
4
2
x y
x y2
Gi i (2):
2xy
x
x
y
4
1 2 3
3 x 0
1 0
2(l)
1
y2 1
2
2
ng trình
2
2 x y (1)
3
x y2
2
c:
y
V y: Nghi m h ph
4
0
8 2 2
y
3
x
x 3
45 24 2
5
x
2 x y2
u
v
2
xy 2 1
x
x 2 y 4 2xy 2 y 4 1 2 3
0 **
y2 (x 3) 1 0 do ( u
Ví d 2: (D2-10). Gi i h
2
v2
2
45 24 2 v 2
2 uv
xy 2 1 3y 2
Thay y2
x y
3
u
u
8 2
3
5
v
v
3
2
2
xy 1
xy 1
8 2
3
5
2
2
y
y
3
y 3 10 x 4 10
u ki n nh n 4 c p nghi m trên.
V y: H có 4 nghi m
3;1 ; 5; 1 ; 4 10;3 10 ; 4 10;3 10
2
2 uv
0 không là nghi m nên
u
3
v
**
1
8 3
y2
Do v
V i u 1; v 2 ta có h :
2
2
4 u2 2 3
x
y 1 x 3
y
1 x 5
1
y
2 v
2 v
u
1
4
y
x y 4
2
3
2 v 0
3
3
u 2 v2
x y 3 1
x
2 u
u
v 1
v 2
thành:
2 u
u 2 v2
u 2
u 1
2 y2 xy 2
3
y2
u v u v
u 2 v2 5
2; v 1 ta có h :
x
xy2 1; v
tu
x y 3 5
u v 3
V i u
y2 1
21
1
y
x
xy2 y2 1 xy2
x y 3
1
y
x
CAO HOÀNG NAM
2;1 ; 2; 1 ; 4
2; 1
2 ; 4
2;
1
(2)
3
3 x 0
x y2 9 6x x 2
y2
Gi i (1): B
2
y là
c:
2
x 2 y4 2xy2
y4 1 2 3
2
(x 1)y2 1 (x 1)y2 1
x 2 7x 9
bi n thiên coi
2 x y2
2 3
2 x y2
- 0907894460www.mathvn.com
Trang 23
2
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VƠ T
Do x
P
Ví d : Gi i h
:
3 x2
1.
3 y
2 x
2
3
2 y
1
5
x
2
V y: Nghi m h
x
4
4
1
5
y
2
1
5
2
;4
1
5
2
y3 5y
x8
2.
1;1 nên nh n
y
3
x 3 5x
x4
CAO HOÀNG NAM
1
y4
3 x2
2 x
3
y
3 y2 2 y
u ki n: x, y 0
Tr v cho v c
3
x
3 y
2
1.
3 x
2
c:
3 x
3 y
Xét hàm s y f (t)
3 t2
t
3
y'
0,
3 t2 2 t
f (x) f (y)
x y
u:
3 x2
2 x
3 x2
3
3 t
t
0
x
x 3 0
Xét hàm s : G(x)
3 x2
x 3
t
1
G '(x)
0,
x 0
2
2 x
3 x
Mà G(1) 0
m duy nh t
x 1 y 1
V y: Nghi m h (1;1)
2.
x 3 5x
x8
Nh n xét:
Do x8
y4
y3 5y
1
x
Xét hàm s : y f (t)
1
y
y4 1 nên
1
t
y3 5y
x
1
x4
x4
1;1
y
i:
x4
x8
1;1
t 3 5t
y ' 3t 2 5 0,
x3 5x
x, y
5
1
2
1
5
2
- 0907894460
www.mathvn.com
Trang 24
www.MATHVN.com
: PT- BPT - HPT VƠ T
B
CAO HỒNG NAM
Xét hàm s f x
TRÌNH H
CH A THAM S
1
;
2
\ 0
I. Ki n th c c n nh
f' x
Cho hàm s y f x liên t c trên t p D
Yêu c u
f x
f x
Khai thác
min f x
m có nghi m
x D
min f x
m có nghi m
x D
lim 3x 4
x
x
0
lim f x
f x
m có nghi m
max f x
m
\ 0
x
1
x
;
1
x
B ng bi n thiên:
x D
min f x
x D
x
1
0
2
m
+
-
I
gi i bài tốn tìm giá tr c a tham s m sao
f(x)
9
2
có nghi
c 1: Bi
trình v d ng: f x
f x
S nghi m c
trình, b
g m ho c
g m ho c f x
c
f x
c 3: L p b ng bi n thiên c a hàm s
y f x trên D
c 4: Tìm min f x ; max f x
x D
Ví d 1:
th c phân bi t:
x
2
x
x
mx
mx 2
2x 1
mx 2
mx 2
0
m
1
3x 4
x
f x
1
;
2
m trên mi n
ng th ng
\ 0
D a vào b ng bi
c giá tr c a m th a
mãn yêu c u bài toán là m
9
2
9
2
Ví d 2:
thu c 0;1
trình sau có nghi m
3
x 2 2x 2 1
m
x 2 x
0
2x 1
2x 1
2
1
2
3x 2 4x 1 *
*
V i x 0
y
V y: m
m
2x 1 0
2
th hàm s
x D
c 5: K t lu n giá tr m c n tìm.
x2
ng s
g m
D c a hàm s y
c 2:
V i x
0
lim 3x 4
x
m
x D
1
;
2
x
m
max f x
II.
0v i
lim f x
x D
m có nghi m
m có nghi m
1
x2
3
Gi i h n:
m max f x
f x
f x
1
trên t p
x
3x 4
1 (vô nghi m).
1
3x 4
m.
x
m
t t
x 2 2x 2 1
x 2 x
0
x 2 2x 2
x 2 x
t2 2 .
x 1
t'
2
x 2x 2
B ng bi n thiên :
x 0
0.x
t
,t' 0
x 1
1
0
1
3
+
2
2
1
- 0907894460www.mathvn.com
Trang 25
