Các bài toán về tiếp tuyến - phần 3 - ViettelStudy

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho
(m 1)x m
(Cm) : y
xm
−+
=
−
.
Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục.

y
|
= =
|
m
f(x)
2
2
m
(x m)
−
−

Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác
2
():y x

Δ
=− , ta phải có:
2
|2
m
2
m
f1 1m(4m)m
(4 m)
−
=− ⇔ =− ⇔ = − ⇔ =
−
2
2


Cho
2
(3m 1)x m m
(C): y ,m 0.
xm
+−+
=
+
≠Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành
song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến.

Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành
2
0

mm 1
x,m0,
3m 1 3
−
⎧⎫
=∉
⎨⎬
+
⎩⎭
,1−

2
|
2
4m
y
(x m)
=
+

Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x
2
22
000
2
0
4m
14m(xm) xmx 3m
(x m)
=⇔ = + ⇔ = ∨ =−

+

2
2
mm
m1
m
3m 1
1
m
mm
3m
5
3m 1
⎡
−
=−
=
⎡
⎢
+
⎢
⎢
⇔⇔
⎢
=−
−
⎢
−=
⎣

⎢
⎣+

•
tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1 m=−1
•

1
m
5
=−
tiếp tuyến tại
3
,0
5
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
có pt :
3
yx
5
=
−

Cho
m
(C): y x 1

x1
=−+
+
.Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thò vuông góc nhau

Gọi là điểm cần tìm là đường thẳng (d) qua M
000
M(x,y)
0
yk(xx)y⇒= − +
0
0

(d) là t
2

00 0
2
0
m
x1 k(xx)y kxkkkx y
x1
1
1k
(x 1)
⎧
−+ = − + = + − − +
⎪
+
⎪

⇔
⎨
⎪
−=
+
⎪
⎩
0

00
m
x1 k(x1)(1x)ky
x1
1
x1 k(x1)
x1
⎧
−+ = + − + +
⎪
⎪
+
⇔
⎨
⎪
+− = +
⎪
⎩+

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

00
2
m1
x1 x1 (1x)ky
x1 x1
1
1k
(x 1)
⎧
−+ = +− − − +
⎪
++
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪
+
⎩

[]
0
00
0
2
2
2
2
00

m1
y2
y2(x1)k
k
x1
x1
m1
(1 k)(m 1)
y2(x1)k (1k)(m1)
x1
+
⎧
+
⎧
=+− +
⎪
≠
+
⎪
⎪
+
⇔⇔
⎨⎨
+
⎛⎞
⎪⎪
=− +
+− + = − +
⎜⎟
⎩

⎪
+
⎝⎠
⎩

0
0
22 2
000000
y2
k
x1
(x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*)
+
⎧
≠
⎪
+
⇔
⎨
⎪
++− −−−++−=
⎩

Từ M
0
kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
pt (*)
⇔
có 2 nghiệm thỏa k

1
k
2
= -1 và khác
0
0
y2
x1
+
+

0
0
22
00
y2
k
x1
m0
(x 1) (y 2) 4m
+
⎧
≠
⎪
+
⇔⇒
⎨
⎪
++ + =
⎩

>


Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thò
x1
y
x3
+
=
−
với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó
vuông góc với đường thẳng y = x + 2006

|
2
4
y,
(x 3)
=− ∀ ≠
−
x3
Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là K
T
= -1
. Gọi (x
0
,y
0
) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có
0

|
2
0
0
T
x5
4
Ky 1
x1
(x 3)
=
⎡
=⇔−=− ⇒
⎢
=
−
⎣

•

00 1
x1y 1(T):y x=⇒ =−⇒ =−
•

00 2
x5y3(T):y x=⇒ =⇒ =−+8
{
}
{
}

12
(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩= ∩=


Cho hàm số
x2
yf(x)
x1
+
==
−
; gọi đồ thò hàm số là (C) , và A(0,a).Xác đònh a để từ A kẻ được 2 tiếp
tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox


Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại
0
000 0 0
|
(x )
M(x,y):y y f (x x )−=
−

0 0
00
2 2
00 00
x2 x2
33
y(xx);A(0,a)(T):a

x 1 (x 1) x 1 (x 1)
⎛⎞ ⎛⎞
++
⇔− =− − ∈ − =− −
⎜⎟ ⎜⎟
−− −−
⎝⎠ ⎝⎠
(x)

0
0
2
2
00
00
0
(x )
x1
x10
g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0
(a 1)x 2(a 2)x a 2 0
≠
⎧
−≠
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
−−+ ++=

−−+ ++=
⎩
⎪
⎩

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi
0
(x )
g
0=
có 2 nghiệm phân biệt khác 1
và
|2
2
g
a1 0
(a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1
g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0
⎧
−≠
⎪
Δ= + − + − > ⇔−< ≠
⎨
⎪
=− − + ++≠
⎩
Khi đó gọi là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox
111 2 2 2

M (x ,y ),M (x ,y )
12 1212
12
12 1212
x2x2 xx2(xx)4
yy 0 0 0(1)
x1 x1 xx (xx)1
⎛⎞⎛⎞
++ +++
⇔<⇔ <⇔ <
⎜⎟⎜⎟
−− −++
⎝⎠⎝⎠

Trong đó x
1
,x
2
là nghiệm của có
0
g(x ) 0=
12
12
2(a 2)
xx
a1
a2
xx
a1
+

⎧
+=
⎪
⎪
−
⎨
+
⎪
=
⎪
⎩−

(1)
a24(a2)4(a1) 9a6
00
a22(a2)a1 3
++ + + − +
⇔<⇔
+− + +− −
<
2
0a
2
a1
3
3
Đk 2 a 1
⎫
⇔⇔>−
⎪

⇒− < ≠
⎬
⎪
−<≠
⎭


Cho hàm số có đồ thò (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M đi qua gốc toạ độ
32
y2x 3x 12x1=+−−


Ta có
|2
00
y
6x 6x 12 , M(x ,
y
)=+− ⇒
tiếp tuyến tại M
(C)
∈

|2 32
00 0 0 0 0 0 0
0
(x )
yy
(x x )

y
(6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)=−+=+−−++−−

(T) qua gốc toạ độ O(0,0)
32 2
00 0 00
:4x3x10 (x1)(4xx1)0++=⇔+ −+=
00
x1y12 M(1,1⇔=−⇒= ⇒−2)

Cho hàm số
3
1
yxx
33
=−+
2
có đồ thò (C) . Tìm trên đồ thò (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C)
vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +


Gọi
3
000
1
Ax, x x

33
⎛
−+
⎜
⎝⎠
2
⎞
⎟
là điểm bất kỳ thộc (C) .
Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc
2
0
0
|
(x )
k
y
(x 1) (1)==−

Do (T) vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +

k3⇒=
Khi đó
2
00
x13 x 2−= ⇔ =±

Vậy
12
4
A2, ,A(2,0)
3
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho hàm số
2
x3x6
y
x1
−+
=
−
, đồ thò (C) . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số
(C) , tìm toạ độ tiếp điểm

Gọi (T) là tiếp tuyến của (C)
QuaO
Hệ số góc k
⎧
⎨
⎩

(T) : y kx⇔=
2
2
2
x3x6
kx
x1
x2x3
k
(x 1)
⎧
−+
=
⎪
−
⎪
⇔
⎨
−−
⎪
=
⎪
−
⎩
có nghiệm
22
(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x
x1
⎧
−−+=−−

⇔
⎨
≠
⎩
2
x6x30
x3 6
x1
⎧
−+=
⇔⇔=
⎨
≠
⎩
±

Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C)
1
2
M(3 6,363)
x3 6 y363
M(36,363
x3 6 y 363
⎡
⎡⎡
=+ −
=+ = −
⇒⇒
⎢
⎢⎢

=− − −
=− =− −
⎢
⎢⎢
⎣⎣
⎣
)


Cho hàm số
32
y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)=−−−++−
1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1
2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

1.m =1
2.
3
(C): y x 3x ; A(a,2) (d): y 2 (d) : y k(x a) 2=− ∈ =⇒ = −+
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
3
2
x3xk(xa)2
3x 3 k
⎧
−
=−+
⎨
−=
⎩

2
x1
f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0
=−
⎡
⇔
⎢
=−+++=
⎣

Qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) có 2 nghiệm khác 1
f(x) 0⇔=
f
(1)
0
f0
−
Δ>
⎧
⇔
⎨
≠
⎩
2
(3a 2) 8(3a 2) 0
aa
3
23a23a2 0
a1

⎧
+− +>
2
<
−∨>
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
++++≠
⎩
⎪
≠−
⎩

Vậy điểm cần tìm là A(a,2)
;
2
aa2a
3
<− ∨ > ∧ ≠−
1
1


Cho hàm số , đồ thò (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến đến (C)
42
yx2x=− + −

Gọi A(0,a) , (d) là đường thẳng qua A dạng
Oy∈ :y kx a
=
+

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ :
42
42
3
x2x1kxa
3x 2x 1 a 0 (1)
4x 4x k
⎧
−+ −= +
⇔−−−=
⎨
−+=
⎩

Từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi (1) phải có 3 nghiệm
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

1a 0 a 1⇔− − = ⇔ =−
. Khi đó
42
2
3x 2x 0 x 0 x
3
−=⇔=∨=±

Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1)



Cho hàm số ; đồ thò (C)
32
yx 3x 2=− +
1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên

1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng
yk(x1)
=
−
là tiếp tuyến của (C) khi hệ
32
2
x3x2k(x1
3x 6x k
⎧
−+=−
⎨
−=
⎩
)
3
b
có nghiệm
3
(x 1) 0 x 1 k 3⇔− =⇒=⇒=−

Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : kẻ đến (C)
y3x=− +
2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng
y3x
=
−+

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ :
32
2
x3x2 3xb
3x 6 3
⎧
−+=−+
⎨
−=−
⎩
32
bx 3x 2
b3 (T):y 3x3
x1
⎧
=− +
⇔⇒=⇒=−
⎨
=
⎩
+

(T) (d)≡

vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A

Cho hàm số
4
2
x
y3x
22
=− +
5
a
, có đồ thò (C)
1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M có hoành độ
M
x
=
.CMR hoành độ các giao điểm của
tiếp tuyến (d) với đồ thò là nghiệm của phương trình
22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0
−
++−=

2.Tìm tất cả các giá trò của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm
qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ

1.Gọi
44
22
(a)

|
(a)
a5 a5
Ma, 3a (C) y 3a y 2a(a 3)
22 22
⎛⎞
−+∈⇒=−+⇒ = −
⎜⎟
⎝⎠
2

Tiếp tuyến tại M có phương trình
242
35
y2a(a 3)x a 3a
22
=−−++

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là :
4
224
x5 3
3x 2a(a 3)x a 3a
22 2
−+= −− ++
2
5
2
2

22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔− + + −=
2.Qũy tích trung điểm K
Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có
2 nghiệm khác a
2
x2ax3a6++−
|2 2
222
a3
a(3a6)0
a1
a2a3a60
⎧
⎧
<
Δ= − − >
⎪
⇔
⎨⎨
≠
++−≠
⎪
⎩
⎩

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Khi đó
K

42
KKK
xa;x3;x
K
75
yx9x
22
⎧
=− ≤ ≠
⎪
⎨
=− + +
⎪
⎩
1

Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong
42
7
yx9x
22
5
=
−++
và giới hạn bởi 1x 3≠≤

Cho hàm số có đò thò là (Cm).Đònh m để các tiếp tuyến của đồ thò (Cm) tại A và
B điểm cố đònh vuông góc nhau
42
yx2mx2m=− + − +1

x

Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) và
|3
y4x4m=− +
||
AB
y
44m;
y
44m⇒=− =−+

Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau
||
B
A
y
.
y
1
⇔
=−

35
(4 4m)(4m 4) 1 m m
44
⇔− −=−⇒=∨=

Cho hàm số
x1

y
x1
+
=
−
có đồ thò (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Gọi A(0,a) qua A có phương trình
Oy∈ (d)⇒ ykxa
=
+

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
2
2
2
x1
kx a
x1 2x
x1
a(a1)x2(a1)xa10(1
2
x1 (x1)
k
(x 1)
+
⎧
=+
⎪

+−
−
⎪
⇒= +⇔−−+++=
⎨
−
−−
⎪
=
⎪
−
⎩
)

Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C)
(1)
⇔
có 1 nghệm
 Xét
(1)
1
a1 0 a 1 4x2 0 x A(0,1)
2
−= ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒


a1 0 a 1
a1A(a,1
'0 2a20
⎧

−≠ ≠
⎧
⇔⇔=−⇒
⎨⎨
Δ= + =
⎩
⎩
)−

Cho hàm số
x1
y
x1
−
=
+
có đồ thò (C)
Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thò và góc giữa 2
tiếp tuyến đó bằng
4
π


Gọi M(x
0
,y
0
) tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng
00
yx M(x,x)∈=⇔ ⇒

0
yk(xx)x
0
=
−+ (d)
Phương trình hoành độ của (d) và (C)
00
x1
kx kx x (1)
x1
−
−+=
+

Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép
2
00 0 0
kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔+−+−+−+=
có nghiệm kép
22 2 2
000
k0
(1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2)
≠
⎧
⇔
⎨
Δ= + − + + − =
⎩
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc
4
π

(2)⇔
có 2 nghiệm phân biệt thỏa
2
12 12
12 12
kk kk
tan 1 1
1k.k 4 1k.k
⎛⎞
−−
π
=
=⇔ =
⎜⎟
++
⎝⎠

0
0
22
2
2
0
00
12 12

00
k
x1
x10
8(x 1) 0
2(x 3) x 1
51
(k k ) 5k .k 1 0
(1 x ) x 1
≠
⎧
+≠
⎧
⎪
⎪
⇔Δ= + > ⇔
⎡⎤⎡⎤
⎨⎨
+−
0
−
−=
⎢⎥⎢⎥
⎪⎪
+− −=
++
⎩
⎣⎦⎣⎦
⎩

0
0
2
0
x1
M( 7, 7)
x7
x18
M( 7, 7)
⎧
≠−
−−
⎧
⎪
⇔⇔=±⇒
⎨⎨
+=
⎩
⎪
⎩


Cho Parabol . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp
tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45
2
(P) : y 2x x 3=+−
0

Gọi M(0,m) . Phương trình qua M có hệ số góc k là
ykOy∈ xm(d)

=
+

Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là :
22
2x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+−= + ⇔ + − − −=
(d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép
0
⇔
Δ=

2
k2k8m250(2⇔−+ += )
5

Có
12 12
kk 2;k.k8m2+= = +
Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 45
0
khi
0
21
12
kk
tan 45 1
1k.k
−
==
+

22
1 2 12 12
(k k) 4kk (1 kk)⇔+ − =+
(3)
Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 45
0
khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3)
|
2
2
k
m3
18m 25 0
16m 112m 193 0
44(8m25)(8m26)
<−⎧
Δ=− − = ⎧
⇔⇔
⎨⎨
+
+=
−+=+
⎩
⎩

314 314
mm
44
+−

⇔=− ∨=

Vậy
12
314 314
M0, ,M0,
44
⎛⎞⎛
+−
−
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠


Cho hàm số
2
x
y
x1
=
−
gọi đồ thò là (C) . Tìm trên đường y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể
kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập nhau góc 45
0

Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4
Gọi (T) là đường thẳng
Qua A(a,4)
có dạng: y k(x a) 4
Có hệ số góc là k
⎧
=
−+
⎨
⎩

Và mọi đường thẳng (T
1
) và (T
2
) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng :
12
yk(xa)4vàyk(xa)4=−+ =−+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Do (T
1
) và (T
2
) tạo nhau 1 góc 45
0
khi
0
12
12

kk
tan 45
1k.k
−
=
+

22 22
12 1 2 12 1 2 12
(1 kk) (k k) (1 kk) (k k) 4kk 0 (1)⇔+ = − ⇔+ − + + =

Do (T) là tiếp tuyến của đồ thò (C)
2
x
k(x a) 4
x1
⇔=−+
−
có nghiệm kép
2
(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔− −− − +− = có nghiệm kép khác
1
2
22
k1
1k 0
k (a 1) 4(a 2) 0 (2)
(a 1) k 4(a 2)k 0
⎧
≠

⎧
−≠
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎡⎤
−− − =
Δ= − − − =
⎪
⎪
⎣⎦
⎩
⎩
Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 45
0
khi phương trình (2) có 2 nghiệm k
1
,k
2
(k 1)
≠

và thỏa mãn hệ thức (1)
2
k0
4(a 2)
k
(a 1)
=
⎧

⎪
−
⎨
=
⎪
−
⎩
thỏa mãn (1) khi
2
2
2
2
2
4(a 2)
k1
a3
(a 1)
a1
4(a 2)
a2a70
k0.(10) 0 4.00
(a 1)
−
⎧
=≠
≠
⎧
⎪
−
⎪⎪

⇔≠
⎨⎨
−
⎡⎤
⎪⎪
+
−=
=+−+ +=
⎩
⎢⎥
⎪
−
⎣⎦
⎩

a12
a12
⎡
=− −
⇔
⎢
=− +
⎢
⎣
2
2

Vậy
12
A( 1 2 2,4), A( 1 2 2,4)−− −+

Cho hàm số
2
xx2
y
x1
++
=
−
có đồ thò (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thò tại A vuông
góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thò

Giả sử
00
0
4
Ax,x 2
x1
⎛
++
⎜
−
⎝⎠
⎞
⎟
là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận
00
0
4

AI 1 x ,1 x
x1
⎛⎞
⇒=− −−
⎜⎟
−
⎝⎠
uur

Như vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI
AI
uur
Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc
|
2
00
0
(x )
4
ky 1 a 1,1
(x 1) (x 1)
⎛⎞
==− ⇒=−
⎜
−−
⎝⎠
r
2
4
⎟

là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó
(d) (AI) a.AI 0⊥⇔=
r
uur

0
4
x18⇒=±

Vậy có 2 điểm
44
44
12
44
4388 4388
A1 8, ,A1 8,
88
⎛⎞⎛
−+ ++
−+
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho hàm số
2
x3x2
y
x
−+
=
.Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp
tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Gọi M(1,m) .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng :
x1∈=
yk(x1)m
=
−+

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ
2
2
2
x3x2
k(x 1) m
x
x2
k
x
⎧
−+
=−+

⎪
⎪
⎨
−
⎪
=
⎪
⎩
( I ) có 2 nghiệm thỏa mãn
11
22
(x ,k )
(x ,k )
⎧
⎨
⎩
12
k.k 1
=
−
Từ ( I )
2
(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒+ −+= ≠
Theo ycbt
22
12
22
12
m20
'42(m2)0

(x 2) (x 2)
.1
xx
⎧
⎪
+≠
⎪
⎪
⇔Δ=− + >
⎨
⎪
−−
⎪
=−
⎪
⎩

22
12 1 2 12 12
m2
m0
(xx ) 2 (x x ) 2xx 4 (xx)
⎧
≠−
⎪
⎪
⇔<
⎨
⎪
⎡⎤

−+− +=−
⎪
⎣⎦
⎩
22
2m0
244
24
m2 m2 m2 m2
−≠ <
⎧
⎪
⎡⎤
⇔
⎨
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
−−+=−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎪
+++
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
⎩
2
2
+
2
2m0

2m0
m3
m6m20
m37
−≠ <
⎧
−≠ <
⎧
⎪
⇔⇔⇔=
⎨⎨
++=
=− ±
⎪
⎩
⎩
7−±

Vậy
12
M(1, 3 7),M(1, 3 7)−− −+


Cho hàm số .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ
thò (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
3
yx 3x=+
2

Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành

Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng :
yk(xm)
=
−

(d) là tiếp tuyến (C) khi
32
2
x3x k(xm)
(I)
3x 6x k
⎧
+=−
⎨
+=
⎩
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trò k
sao cho 2 trong 3 giá trò đó tích bằng -1
Khi đó ( I )
32 2 2
x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0
⎡⎤
⇔+ = + − ⇔ +− − =
⎣⎦
2
x0
2x 3(1 m)x 6m 0 (*)
=
⎡
⇔

⎢
+− − =
⎣

Theo ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
m3
3m 10m 0
1
m0
m0
3
<−
⎡
⎧
Δ= + +>
⎢
⇔⇔
⎨
⎢
−
<≠
≠
⎩
⎣

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và
12

12
2
xx (m1
3
xx 3m
⎧
+= −
⎪
⎨
⎪
=−
⎩
)

Khi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì
22
1112 223
k3x6x,k3x6x,k0
=
+=+=

Theo bài toán :
22
12 1 1 2 2
k k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1=− ⇔ + + =−
1
m
27
⇒=
thỏa hoặc m<−3

1
m0
3
−< ≠

Vậy
1
M,0
27
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠


Cho hàm số
2
2x x 1
y
x1
−+
=
−
có đồ thò (C) . Tìm trên trục hoành 4 điểm từ đó dựng được tiếp tuyến hợp
với Ox góc 45
0
. Viết phương trình tiếp tuyến đó

Tiếp tuyến hợp với Ox góc 45
0
là tiếp tuyến có hệ số góc

k1
=
±

TH1:
|
2
2
ky1 2 1 x1 2
(x 1)
==⇔− =⇒=±
−

1
2
(T ): y x 2 2 2
x1 2 y332
(T ) : y x 2 2 2
x1 2 y332
⎡
⎡⎡
=+−
=− =−
⇒⇒ ⇒
⎢
⎢⎢
=++
=+ =+
⎢
⎢⎢

⎣⎣
⎣

TH2:
|
2
22
ky 1 2 1 x1
(x 1) 3
==−⇔− =−⇔=±
−

3
4
22
x1 y35
(T ) : y x 4 2 6
33
(T ) : y x 4 2 6
22
x1 y35
33
⎡⎡
=− =−
⎢⎢
⎡
=− − −
⎢⎢
⇒⇒ ⇒
⎢

⎢⎢
=− + +
⎢
⎣
=+ =+
⎢⎢
⎣⎣


Cho hàm số có đồ thò (C)
32
yx 3x 2=− +
1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua
23
A,2
9
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thò (C) 2 tiếp tuyến vuông góc

1.Tiếp tuyến (C) qua A :
23
y
kx 2
9
⎛⎞
=−−

⎜⎟
⎝⎠

Ta có :
32
2
23
x3x2kx 2
9
3x 6x k
⎧
⎛⎞
−+= − −
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎨
⎪
−=
⎩

2
(x 2)(3x 10x 3) 0⇒− − +=
x2,k0
x3,k9
15
x,k
33
⎡
⎢

==
⎢
⇔==
⎢
⎢
==−
⎢
⎣
tiếp tuyến ⇒
(d):y 2
(d):
y
9x 25
56
(d):y x
32
⎡
⎢
=−
⎢
=−
⎢
⎢
=− +
⎢
⎣
1
7

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2.Gọi A(a,-2)
y2∈=−
Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc là k , có phương trình
yk(xa)2
=
−−

Điều kiện (T) và (C) tiếp xúc nhau là:
32
2
2
x3x2k(xa)2
(x 2) 2x (3a 1)x 2 0
3x 6x k
⎧
−+=−−
⎡⎤
⇒− − − +=
⎨
⎣⎦
−=
⎩

2
12 12
x2;k0 y 2
3a 1
g
(x) 2x (3a 1)x 2 0 có x x ;x .x 1

2
==⇒=−
⎡
⎢
⇔
−
⎢
=−−+= += =
⎣

Để từ A dựng 2 tiếp tuyến vuông góc khi g(x) = 0 có 2 nghiệm x
1
,x
2
sao cho k
1
(x
1
).k
2
(x
2
) = -1
2
22
12 1122
g
(2)
5
a1a

0
(3a 1) 16 0
3
k .k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1 27a 55
g 0 a2 a2
⎧
<
−∨ >
Δ>
⎪
⎧
⎧
−−>
⎪
⎪
⎪
⇔=−⇔− −=−⇔=
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
≠≠ ≠
⎩
⎩
⎪
⎩

55 55
aA,
27 27
⎛⎞
⇔= ⇒ −

⎜⎟
⎝⎠
2
2


Cho hàm số . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó dựng được 3 tiếp tuyến đến
đồ thò
32
yx3x=− + −

Gọi A(a,2)
y2∈=
Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k có phương trình :
yk(xa)2
=
−+
là tiếp tuyến của (C) khi hệ :
có nghiệm
32
2
x3x2k(xa)2
3x 6x k
⎧
−+ −= −+
⎨
−+=
⎩
2
2

(x 2) 2x (3a 1)x 2 0 x 2 0
2x (3a 1)x 2 g(x) 0
⎡⎤
⇒− − − +=⇔−=
⎡
⎣⎦
⎢
−
−+= =
⎣

Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 thỏa :
g
(2)
5
0
3(a 1)(3a 5) 0
a1a
3
g0
a2
a2
⎧
Δ>
⎧
+−>
<
−∨ >
⎧
⎪⎪

⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
≠
≠
⎩
⎪
⎪
⎩
≠
⎩

Vậy
5
a1a a
3
<− ∨ > ∧ ≠
2


Cho họ đường cong
(m 1)x m
(Cm) :
y
,m 0
xm
−+
=
−
≠
.Chứng minh rằng (Cm) tiếp xúc 1 đường thẳng cố

đònh tại 1 điểm cố đònh khi m: thay đổi

Gọi (x
0
,y
0
) là điểm cố đònh mà (Cm) đi qua khi
0
0
0
(m 1)x m
y
xm
−
+
=
−

00 00
(x y 1)m x (y 1) 0 :⇔+−− += có nghiệm m0
∀
≠ ;
0
xm
≠

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

00 0 0
00 0 0

x
y
10 x 0 x 2
x(
y
1) 0
y
1
y
1
⎧
+−= = =
⎧⎧
⎪
⇔⇔∨
⎨⎨⎨
+= = =−
⎪
⎩⎩
⎩

Điều kiện ; nên A(0,1) thỏa bài toán
m0∀≠
0
xm≠
Vậy A(0,1) là điểm cố đònh mà (Cm) đi qua
Ta lại có
22
||
22

(0)
mm
yy 1;
(x m) (0 m)
=
−−
=⇒ =−∀
−−
m0≠

Vậy phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại A là
|
A
A
(0)
yy y
(x x )−= −

yx1⇔=+


Cho hàm số ,đồ thò là (C) . Tìm trên đường thẳng y = -4 những điểm A mà từ đó có thể
kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
3
yx 12x12=− +

Gọi A(a,-4)
y4∈=− (d): y k(x a) 4⇒=−−
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
3

2
x12x12k(xa)4
3x 12 k
⎧
−
+= −−
⎨
−=
⎩

2
x2
g(x) 2x (4 3a)x 8 6a 0
=
⎡
⇔
⎢
=+− +−=
⎣

Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt
g(x) 0
⇔
=
có 2 nghiệm phân biệt khác 2
(2)
g
4
0
a4a

3
g0
a2
⎧
⎧
Δ>
<− ∨ >
⎪⎪
⇔⇒
⎨⎨
≠
⎪⎪
≠
⎩
⎩

Vậy những điểm
4
A(a, 4);a 4 a a 2
3
−<−∨>∧≠
thỏa bài toán

Cho hàm số , có đồ thò là (C)
43
yx 4x 3=− +
1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt
2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thò song song với tiếp tuyến vừa kể . Cho biết hoành
độ tiếp điểm
3.Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo tham số m , suy ra số nghiệm phương trình :

43
x4x8xm0−++=

1.Tiếp tuyến tại 2 điểm của (C) dạng
yaxb
=
+
(d)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
43
x4x3axb
−
+= +
43
x4xax3b0⇔− −+−=
(1)
Để (d) tiếp xúc (C) thì phải có đồng thời 2 nghiệm kép
43 2
x4xax3b(x )(x)⇔− −+−=−α −β
2

43 4 322 2
x 4x ax 3 b x 2( )x ( 4 )x 2 ( )x⇔ − − + − = − α+β + α +β + αβ − αβ α+β
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Đồng nhất thức 2 vế
22
22
22

40
2( )a a 8
3b b 1
α+β= α+β=
⎧⎧
⎪⎪
α+β+αβ= αβ=−
⎪⎪
⇔
⎨⎨
αβ α+β = = −
⎪⎪
⎪⎪
αβ = − =−
⎩⎩
2
1
tiếp tuyến : y 8x 1 (d )
hoành độ tiế
p
điểm : 1 3 ; 1 3
=− −
⎧
⎪
⇒
⎨
α= − β= +
⎪
⎩

2.Tiếp tuyến song song
y8

x=− −1
Ta có
|32
y8 4x12x 8 x1 y0
x1 3
x1 3
=− ⇔ − =− ⇔ = ⇒ =
⎡
⎢
=−
⎢
⎢
=+
⎣
)
Vậy tiếp tuyến thứ 2 có phương trình
2
y8x8(d
=
−+
3.
3344
x4x8xm0 x4x38xm−++=⇔−+=−+3
Là phưong trình hoành độ giao điểm giữa
34
(C): y x 4x 3
(d):8x m 3

⎧
=
−+
⎨
−+
⎩

{
}
{
}
{}
1
2
(d ) O
y
0, 1 , (d) O
y
0,3 m
(d ) Oy 0,8
∩=− ∩= −
∩=

-m + 3 m Nghiệm phương trình

+∞
m < -5 2 nghiệm
8 m = -5 3 nghiệm (có 1 nghiệm kép x = 1)
-5 < m < 4 4 nghiệm phân biệt
-1 m = 4 2 nghiệm kép x =

13 ±

−∞ m > 4 Vô nghiệm


Cho hàm số
2
(3m 1)x m m
y
xm
+−+
=
+
,
m0
≠
có đồ thò là (Cm)
1.Với giá trò nào của m thì giao điểm của đồ thò với trục hoành , tiếp tuyến sẽ song song với
đường thẳng y = x – 20 . Viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR : (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố đònh
3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua

1.
2
2
00
mm 1
(Cm) Ox : (3m 1)x m m 0 x ;m 0;m
3m 1 3
−

∩+−+=⇔= ≠≠
+
−
Ta có :
22
||
0
22
4m (3m 1)
yy
(x m) 4m
+
=⇒=
+

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 10
2
|
0
2
(3m 1)
y1
4m
+
1
⇔
=⇔ =
1
00
2

00
A( 1,0) , (T ): y x 1
m1,x 1,y0
33
13
B,0,(T):yx
m,x,y0
55
55
−=
⎡
=− =− =
⎡
⎢
⎢
⇔⇔
⎛⎞
⎢
⎢
+
=
−
=− = =
⎜⎟
⎢
⎣
⎝⎠
⎣

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2.Gọi đường thẳng cố đònh là y = ax + b
Phương trình hoành độ giao điểm :
2
(3m 1)x m m
ax b
xm
+−+
=
+
+

[
]
22
ax (a 3)m b 1 x m (b 1)m 0⇔+−+−++−=

ĐKTX :
[]
22
a0
a0
m
(a 10a 9)m 2 (a 3)(b 1) 2a(b 1) m (b 1) 0
0
≠
⎧
≠
⎧
∀⇔

⎨⎨
−+ + − −− − +−=
Δ=
⎩
⎩
2
1
2
a1
(T ) : y x 1
a9
(T ) : y 9x 1
b1
⎧
=
⎡
=+
⎧
⎪
⎢
⇔⇔
=
⎨⎨
⎣
=+
⎩
⎪
=
⎩

3.Gọi A(1,a)
x1∈=
Ycbt :
2
3m 1 m m
A(Cm)Khi:a
1m
+− +
∉=
+
vô nghiệm m
2
m(a4)ma1⇔+− +−=0 vô nghiệm m khi
m0
Δ
<

2
a12a200 2a10⇔− +<⇔<<

Những điểm mà (Cm) không qua là
A(1,a) ; 2 a 10
<
<


Cho đường cong ; đồ thò (C)
3
y3x4x=−
1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó đi qua M(1,3)

2.Tìm trên đường cong y = -9x + 8 những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C) và chúng
vuông góc nhau

1.Gọi (d) là đường thẳng qua M(1,3) và có hệ số góc là k có pt : y = k (x – 1) và có x
0
là hoành độ tiếp
điểm , khi đó ta có :
3
00 0 0
2
0
0
3x 4x k(x 1) 3 x 0 ; k 3 ; y 3x
312x k 3
x;k24;
y
24x 27
2
⎧
−= −+⇔= = =
⎧
⎪
⎨
⎨
−=
⎩
=
=− =− +
⎪
⎩

2.Gọi . Mọi đường thẳng qua A có hệ số góc là k đều có phương trình :
A(a, 9a 8) y 9x 8−+∈=−+
yk(xa)9a8=−−+
và x
0
là hoành độ tiếp điểm khi hệ
3
00
2
0
3x 4x k(x a) 9a 8
312x k
⎧
−=−−+
⎨
−=
⎩
có nghiệm
0
2
00 0
0
2
00
()x
(x 1) 2x (2 3a)x 2 3a 0
x1;k9
f2x(23a)x23a
⎡⎤

⇔− −− +−=
⎣⎦
==
⎡
⇔
⎢
=−− +−=
⎣
0

Theo bài toán ta có = 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
()xf
2
2
(2 3a) 8(2 3a) 0 a a 2 (*)
3
⇔− − − >⇔>∨<−

0
()xf = 0 thỏa k
1
.k
2
= -1
0
22
12
222
12 11 12 12

(x )
(3 12t )(3 12t ) 1
9 36 (t t ) 2t t 144t t 1 Với t t là 2 nghiệm của f = 0
⇔− − =−
⎡⎤
⇔− + − + =−
⎣⎦

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Gọi (Cm) là đồ thò
2
x(12m)xm
yf(x)
x1
+− −
==
−
. Hãy xác đònh giá trò m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và 2
tiếp tuyến đó vuông góc với
Giải



2
2
x2xm
y' f '(x)
(x 1)
++

==
+
;
m
yx2m ;(m0)
x1
=− + ≠
+

(Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt
⇔
phương trình :
2
x(12m)xm0
+
−−= (1) có hai nghiệm
phân biệt khác -1
⇔
2
2
(1 2m ) 4( m) 0
(1) (1 2m)(1) m 0
⎧
Δ= − − − >
⎪
⎨
−+− −−≠
⎪
⎩

⎧
⎨
đúng.
⇔
2
4m 1 0
m0
+>
≠
⎩
≠
Vậy với
m
thì (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt với
0
12
( ,0), ( , 0)Mx Nx
12
,
x
x là 2 nghiệm của
phương trình (1). Khi đó ta có :
12
xx 2m1
+
=− và
12
xx m
=
−

Tiếp tuyến tại M, N vuông góc nhau
⇔
12
'( ) '( ) 1fxfx
=
−
() ()
()()
22
11 2 2
22
12
22
22
11 2 2 1 2
2222
12 12 1 2 1 2 1 2 12 12 1 2
222
2
x2xmx2xm
1
x1 x1
(x 2x m)(x 2x m) x 1 x 1
(x x ) 2x x (x x ) m(x x ) 2m(x x ) m 4x x (x x x x 1)
4m m(2m 1) 4m m
m(4m m 3) 0
⎛⎞⎛ ⎞
++ ++
⎜⎟⎜ ⎟
⇔=−

⎜⎟⎜ ⎟
++
⎝⎠⎝ ⎠
⇔++ ++=−+ +
⇔ + ++ + + +++ =− +++
⇔+ −−=−
⇔+−=
2

m0⇔=
(loại) V m1 V =−
3
m
4
=

V
1m =−
3
4
m =

Vậy


Nhận xét
:
1) Nếu ko đặt điều kiện để tồn tại (Cm) là hàm hữu tỉ hoặc không nói rõ (Cm) cắt Ox có hai
nghiệm khác mẫu số (nghóa là ) thì ắt hẳn ta nhận m=0 làm nghiệm thì kết quả sai.
0m ≠

0m ≠
2) Thông thường các em quen dùng Viet cho y' . Nhưng yêu cầu bài toán không đề cập y' để
trong Viet của phương trình bậc hai.
12
'( ) '( ) 1fxfx=−

1/ Cho hàm số có đồ thò (C) .Tìm phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) tại hai điểm
phân biệt , tính toạ độ tiếp điểm.
432
23yx x x=− − +5
6
2/ Chứng minh rằng có 1 tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc (C) :
432
427
y
xxxx
=
+−++
tại hai điểm phân
biệt . Tìm toạ độ tiếp điểm.
3/ Xác đònh a, b để (d) : y= ax+b tiếp xúc với đường cong (C) :
432
6263
y
xxx x
=
−+++
tại hai điểm
phân biệt. Tìm toạ độ tiếp điểm
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

1/ Gọi (d) : y = ax + b.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
3x
≠
432
235
x
xx axb
−
−+=+

432
235xxx axb⇔− − +−−=0

Phương trình (1) phải có 2 nghiệm kép
12
,
x

x phân biệt.
(1) viết lại
432 2 2
12
235 ( )( )x x x axb xx xx⇔− − +−−=− − =0
2432 4 3 2 2 2
12 12 12 1212 12
235 2()()2 2()
x
x x axbx xxx xx xxx xxxxxxx
⎡⎤
⇔− − +−−=− + + + + − + +
⎣⎦
= 0
Đồng nhất thức hai vế ta được:
12
2
12 12
12 1 2
22
12
2( ) 2
()2
2( )
5
xx
xx xx
xx x x a
xx b
+=

⎧
⎪
++ =−
⎪
⎨
+=
⎪
⎪
=−
⎩
3

12
12
1
2
4
1
xx
xx
a
b
+=
⎧
⎪
=−
⎪
⇔
⎨
=−

⎪
⎪
=
⎩
⇒ tiếp tuyến của (C) tại hai điểm phân biệt (d): y= -4x+1. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình
:
⇔ x= -1 V x= 2
2
20xx−−=
Vậy 2 tiếp điểm là ; A (-1,5) ; B (2,-7)

2/ Tương tự y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18)
3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5)

Cho (C) :
2
(1) (52)21
3
mx m xm
y
x
−−++−
=
−
4
và (d) : y = 2mx + 2 .
1.

Xác đònh m để (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B.
2.

Gọi M là giao điểm của (d) và trục Oy. Tính theo m toạ độ của điểm N trên (d) thoả mãn hệ thức
NA MA
NB MB
=−
uuur uuur
uuur uuur
.
3.

Tìm quỹ tích điểm N khi m thay đổi.

1. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
2
(m 1)x (5m 2)x 2m 14
x3
−
−++−
−
=2mx+2;
3x
≠

2
(1) (4)82mx mx m⇔+ +− +− =0 (1).
(d) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2
m1 0
9m 32m 16 0
+≠
⎧
⎨
Δ= − − >
⎩

4
m V m >
9
m-1
⎧
<−
⎪
⇔
⎨
⎪
≠
⎩
4

2.
AN
AM
BN BM
xx
x
xNA MA

x
xxx
NB MB
⎛⎞
−
−
=− ⇔ =−
⎜⎟
−−
⎝⎠
uuur uuur
uuuruuur

()2
ABN AB N
xxx xx x⇔+ = ⇔=4
2228
NN
y
mx m=+=− ⇒ N (-4,2-8m).
3.
N
x
= -4 : x = -4 giới hạn bởi:⇒
()Nd∈
1
4
9
4
m

m
m
≠
−
⎧
⎪
⎪
⎡
<
−
⎨
⎢
⎪
⎢
⎪
>
⎣
⎩

2
1
8
29
84
2
4
8
y
y
y

−
⎧
≠
−
⎪
⎪
−
⎪
⎡
⇔
<
−
⎨
⎢
⎪
⎢
⎪
−
⎢
>
⎪
⎢
⎣
⎩
10
30
50
9
y
y

y
≠
⎧
⎪
<−⎪
⎡
⇔
⎨
⎢
⎪
⎢
>
⎪
⎣
⎩

Quỹ tích điểm N là phần đường x = -4 , ứng y< -30 V y >
50
9
với
10y
≠


Cho hàm số : ; (C) .Tìm các điểm thuộc đồ thò (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một
tiếp tuyến tới đồ thò (C).
32
3yxx=− + −2

Gọi . Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc là k có dạng
32
000 0 0 0
(, )() 3 2Mxy C y x x∈→=−+−
00
()
y
kx x y=−+
(t) tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm :
32
0
2
32( )
36
0
x
xkxx
xxk
⎧
y
−
+−=−+
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩
với
32
000

32yxx=− + −
2
0000
0
2
000
0
2
00
0
0
0
()2(3)(3)
0
2(3) (3)0;(3)
(3) : 9( 1) 0, 1
3
V
2
xx x xxxx
xx
xxxxx
xx
xx
xx
x
xxx
⎡⎤
⇔− − ++ + − =
⎣⎦

−=
⎡
⇔
⎢
−++ + −=
⎣
=
⎡
⇔
⎢
Δ= − > ∀ ≠
⎣
=
⎡
⎢
⇔
−
⎢
==
⎣
0

2
00
0
2
0
00
36
3

33
36
2
22
kxx
xx
x
x
x
x
k
⎡
=− +
=
⎡
⎢
⎢
⇔⇒
−
−−
⎢
⎛⎞⎛⎞
⎢
=
=− +
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎣
⎝⎠⎝⎠
⎣

Vậy qua
000
(, )()
M
xy C∈ có 2 tiếp tuyến với tiếp điểm
0
0
3
,
2
x
xxx
−
==
. Muốn có 1 và chỉ 1 tiếp tuyến
với (C) , điều kiện cần và đủ là 2 tiếp điểm phải trùng nhau
0
00
3
1, 0
2
x
xx
0
y
−
⇔
=⇔==
. Khi đó hệ số

góc của tiếp tuyến là k = 3.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2
Kết luận : Vậy có tiếp tuyến duy nhất của (C) là : y=3(x -1) với tiếp điểm
0
(1, 0)M

Cho đường cong
3
3
y
xx=− + +
tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến với
đường cong








Gọi
0
(,0)
M
x∈Ox: Đường thẳng qua M có dạng
0
()

y
kx x
=
− ;(t)
(t) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
32
0
2
00
2
32( )
(1)2 (3 2)3 20;(1
36
xx kxx
xxxxx
xxk
⎧
−+ −= −
⎪
⎡⎤
⇔+ − + + +=
⎨
⎣⎦
−+=
⎪
⎩
)

Qua vẽ được 3 tiếp tuyến với đường cong khi : (1) có 3 nghiệm phân biệt
0

(,0)Mx
2
00
2
00
(1) 0
000
(3 2) 8(3 2) 0
;() 2 (3 2) 3 2
660
2
1; 1 ; 2
3
xx
fx x x x x
fx
xxx
−
⎧
Δ= + − + >
⎪
⇔=−
⎨
=+>
⎪
⎩
⇔<−<<− >
+++

Viết phương trình tiếp tuyến chung của

2
2
y
xx
=
− ;
3
24
y
xx
=
+−
Gọi y= ax+b là tiếp tuyến chung và giả sử
12
,
x
x là hoành độ tiếp điểm. Với
2
2
y
x=−x
4
và
3
2
y
xx=+− . Khi hệ sau có nghiệm
2
22
111

1111 1
2
1
2
2
12 1
3
22 2
2
2
32
2
2
22 22
2;(1)
2(22)
22;(2)
34
23 2
2
24 ;(3)
(3 4)
32;(4)
24(3 2)
4
xxaxb
bx xxx x
xa
x
xx x

xx axb
x
xa
xx xx
⎧
⎧
−=+
⎪= − − − =−
⎪
⎪
−=
+
⎪⎪
⇒−= +⇒=
⎨⎨
+−=+
⎪⎪
⎪⎪
+
+=
⎩
+−= +−
⎪
⎩

43
22 2
2
2
2

2
2
1
2
1
98240
0
32
2
34
4
2
xx x
x
ax
a
x
x
b
bx
⎧
−+ =
⎪
=
⎧
=+
⎪
⎪⎪
⇔⇒
=

24yx⇒= −
⎨⎨
+
=
⎪⎪
=−
⎩
⎪
⎪
=−
⎩


Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số đi qua A (-6,5)

Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc là k :
(6)ykx 5
=
++
, (d)
(d) là tiếp tuyến của đồ thò (C)

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

22
44
1(6)51(2)8
22
44
(2) (2)
kx kx k
xx
kk
xx
⎧⎧
+=++ +=−++
⎪⎪
−−
⎪⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
−= −=
−−
⎪⎪
⎩⎩
5

2
2
44
185

2
21
22
2
4
(2 1)
(2)
k
k
xx
x
k
kk
x
⎧
+=−++
⎧
⎪
=
+
−−
⎪⎪
⇔⇔
−
⎨⎨
⎪⎪
−=
−+=
⎩
−

⎪
⎩

1
1
4
k
k
=−
⎡
⎢
⇔
⎢
=−
⎣
với k = -1 :y= -x -1 với
1
4
k =−
:
17
42
yx
=
−+


Cho hàm số
2
43

4
mx x
y
xm
+−
=
+
.Với giá trò nào của m thì tiếp tuyến của đồ thò tại điểm có hoành độ x = 0
vuông góc với tiệm cận.

• Tiệm cận đứng : .
40xm+=
• Tiệm cận xiên :
37
.
416
yx=− + m

• y' =
22
12 6 16
(4 )2
xmxm
xm
−+−
+

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thò tại
0
0x

=
là
2
(0)
2
16
'
m
y
k
m
−
=
=
tiếp tuyến vuông góc với TCĐ thì k = 0
2
2
16
04
m
m
m
−
⇔
=⇔ =±
TCX
3
1
4
k⇔− =−

vô nghiệm.
⇒ tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc TCĐ khi
4m
=
±


Cho hàm số
3
():
4
mx
Hm y
x
m
−
=
+−

1/ Đònh m nguyên để hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
2/ Với m= 2 . Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox 1 góc dương . Viết
phương trình tiếp tuyến.
0
135


1/
2
2
4

'
(4
mm
y
xm
−+
=
+−
3
)
. Hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
2
'0 4 30ymm
⇔
<⇔ − +<
13
2
:
m
m
gt m
<<
⎫
⇔⇒
⎬
∈Ζ
⎭
=

2/ m=2

⇒
23
2
x
y
x
−
=
−
.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Gọi
0
00 0
0
23
(, )()
2
x
Mx y H y
x
−
∈⇒=
−

0
2
0
2

0
0
0
00
1
00 2
1
'
1
(2)
1
(2)
' tan135 1
3; 3
(1,1)
1; 1 ( 3, 3)
y
x
x
ky
xy
M
xy M
⎫
=−
⎪
−
⇒=
⎬
−

⎪
== =−
⎭
==
⎡
⎡
⇒→
⎢
⎢
==
⎣
⎣

phương trình tiếp tuyến tại
1
2
:2
:6
My x
M
yx
=− +
=− +


Cho hàm số
2
21
1
x

x
y
x
−+
=
−

1/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 3 điểm M kẻ được đến (C) chỉ 1 tiếp tuyến // Ox
2/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao từ điểm đó có thể kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến lập với
nhau 1 góc
0
45
ĐS: 1/
12 3
(1, 7), (2,7), (3,7)MM M
2/
12
( 3 2 6); (5 2 2)MM−± ±


Cho hàm số
2
2
x
mx m
y
x
++
=
+

; đồ thò (Cm) ; m tham số .Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại hai
điểm phân biệt và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.

Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt khi phương trình :
2
0
2
xmxm
x
++
=
+
có hai nghiệm phân
biệt khi
2
x
mx m++
=0 có 2 nghiệm phân biệt
2
40
2
42 0
xm
x
mm
⎧
Δ
=− >
≠− ⇔
⎨

−
+≠
⎩

0
4
m
m
<
⎡
⇔
⎢
>
⎣
. Vậy với m< 0 V m > 4 thì đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành
độ
,
AB
x
x là nghiệm của phương trình :
2
x
mx m
+
+
= 0.
Hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau .
() ()
''
AB

yy 1
⇔
=−

[]
22
22
2
44
1
(2) (2)
(4 ) 2( ) 4 0,(1)
AA BB
AB
AB AB A B
xxmxxm
xx
mxx xx x x
⎛⎞⎛⎞
++ ++
⇔=
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠
⇔− + + + +=
−

Với
AB
AB

xx m
x
xm
=
⎧
⎨
+=−
⎩
thì (1)
22
(4 ) (4 ) 0mm m⇔− +− =
m= 4 (loai) vì m >4
1
m= -1 ( nhân) vì m< 0
m
⎡
⇔=−
⎢
⎣


Cho hàm số có đồ thò là (Cm). Tìm m để đường thẳng (d) : y= -x+1 cắt (Cm) tại 3 điểm
phân biệt A (0,1) , B,C sao cho các tiếp tuyến tại B và C của (Cm) vuông góc
32
1yx mx=+ +
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

f
m⇔Δ = − >

Ta có : . Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt thì f(x) = 0
buộc có 2 nghiệm phân biệt khác 0
32
2
()
0
11
10
x
x
xmx x
fxmx
=
⎡
++=−+⇔
⎢
=+ +=
⎢
⎣
2
'40
⇔
m< -2 V m > 2
và
12
,
x
x là hoành độ của B và C thoả :
12

12
()
1
xxm
I
xx
+=
⎧
⎨
=
⎩

Ta có hệ số góc tiếp tuyến tại B là :
1
2
1() 1 1
'(32
x
ky x mx==+)
)
hệ số góc tiếp tuyến tai C là :
2
2
2() 2 2
'(32
x
ky x mx==+
Để 2 tiếp tuyến tại B và C vuông góc thì:
12
1kk

=
−
2
12 12 1 2
96()4 1;()
x
xxx mxx m II
⎡⎤
⇔+++=−
⎣⎦

Từ (I) và (II)
2
5mm⇒=⇒=±5 thoả m< -2 Vm> 2.
Vậy
5m =± thoả bài toán.

Cho đường cong (Cm) :
32
y
xmxm=− + −
và đường thẳng : y= k(x+1)+1 . Tìm điều kiện giữa k và m
để cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt . Tìm k để cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.
()
k
d
()
k
d ()
k

d

()
k
d : y=k(x+ 1)+1 luôn qua A(-1,1) nên ( có điểm chung (Cm) là A. Phương trình hoành độ giao
điểm của
( và (Cm) :
)
k
d
)
k
d
32
x
mx m−+ −
= k(x+1)+1
2
2
(1) (1 ) 10
1
() (1 ) 1 0
xx mxmk
x
gx x mx m k
⎡⎤
⇔+ −+ +++=
⎣⎦
=
⎡

⇔
⎢
=−+ +++=
⎣

Để
( cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt khi g(x)= 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 )
k
d
2
(1)
1
0
(2
4
0
23
g
kmm
g
km
−
⎧
Δ>
⎧
<−−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
≠

⎪
⎪
⎩
≠− −
⎩
3)

Do qua A (-1,1)
∈ (Cm) nên ( cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau thì qua điểm uốn
I
()
k
d )
k
d ()
k
d
3
2
,
327
m
mm
⎛
−+
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
của (Cm) khi đó toạ độ I thoả : ()

k
d
3
2
1
27 3
m
mmk
⎛⎞
−
+=+
⎜⎟
⎝⎠

3
42(
27( 1) 2
mm
k
mm
+
⇒= −
++
1)


Xét hàm số
2
3
1

x
xa
y
x
++
=
+
, a là tham số .
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò khi : a= 3 ;
()
()
H
SC
=
, TCX x=1, x= 5 hoặc
()
()
H
SC
=
, TCX x= -3, x= -2 .
2/ Với những giá trò nào của tham số a thì đồ thò của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường
phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ ? CMR khi đó đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu .


Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2
2
23

'
(1)
xx a
y
x
++−
=
+
;1x
≠
tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác , góc phần tư thứ nhất y=x là đường
thẳng có phương trình : y= -x +m. (t). với (t) là tiếp tuyến của(C) khi hệ sau cónghiệm
2
2
2
3
,(1)
1
23
1, ( 2)
(1)
xxa
xm
x
xx a
x
⎧
++
=− +
⎪

+
⎪
⎨
++−
⎪
=−
⎪
+
⎩

(1) có nghiệm có nghiệm
2
13()(xxxaxmx≠⇔ + + =−+ +1)
1x
≠
−

2
2
(1)
2
(4 ) 4.2( ) 0
2( 1) ( 4 )( 1) 0
816
2
mxm
gma
ma
a
−

⎧
−− −≥
⎪
⇔
⎨
=− ++ −+−≠
⎪
⎩
⎧
≥+
⇔
⎨
≠
⎩
m
2
1)

(2) có nghiệm . Có nghiệm
2
123(xxxax≠− ⇔ + + − =− +
1x
≠
−
.
2
2( 1) 2xa⇔+=− có nghiệm
1x ≠−
2
(1)

20
2
2
2( 1 1) 2
2
a
a
a
ha
a
−
−≥
⎧
≥
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=−+ ≠−
≠
⎪
⎩
⎩
⇔>

Điều kiện chung của hệ (1),(2) để có nghiệm
1x
≠
−
là :

2
81
2
ca
a
⎧
≥−
⎨
>
⎩
6
Với a > 2 , y'= 0
2
2
23
0
(1)
xx a
x
++−
⇔=
+

2
23 0;'
1
xx a a
x
⎧
++−=Δ=−

⇔
⎨
≠−
⎩
2
0
3

y'= 0 có , do đó có 2 nghiệm phân biệt , nên đổi dấu 2 lần qua nghiệm . Hàm số có cực đại ,
cực tiểu.
'2aΔ= − >
Có thể kiểm nghiệm với chọn
2
38aC=⇒ ≥
2
9CC
=
⇒=±
. Khi đó có 2 tiếp tuyến :
y = -x – 3 ; y = -x + 3 . Lần lượt tiếp xúc với (C) tại
12
54 110
,; ,
33 33
MM
⎛⎞⎛
−− −
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞

⎟
⎠



Cho hàm số : y = x + 1+
4
1
x
−
; có đồ thò là (C)
Tìm quỹ tích những điểm trong mặt phẳng từ đó dựng được 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp tuyến này
vuông góc với nhau .

Gọi M(x
0
, y
0
) là điểm bất kì thuộc mặt phẳng ; x
0
≠

1
Đường thẳng qua M, có hệ số góc la k dạng : y = k( x – x
0
) + y
0
; (d)
Phương trình hoành độ của (d) và (C) là:
k(x- x

0
) + y
0
= x + 1 +
4
1
x
−
<=> (k – 1)x
2
– ((x
0
+ 1)k – y
0
)x + kx
0
– y
0
– 3 = 0 (*)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Để (d) tiếp xúc (C) khi (*) có nghiệm kép
<=> <=>
10
0
k −≠
⎧
⎨
Δ=
⎩

22 2
0000
1
() ( 1) ( 2 5) ( 2) 16 0
k
gk x k x y k y
≠
⎧
⎨
=− ++ ++−−=
⎩
Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc thì g(k) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt k
1
, k
2
sao cho k
1
k
2
= -1
và k 1
≠
<=>
2
0
2
0
2
0
(2)16

1
(1)
(1) 0
(1)0
y
x
g
x
⎧
−−
=−
⎪
−
⎪
⎪
≠
⎨
⎪
−≠
⎪
⎪
⎩
<=>
22
00
000
(1)( 2)16
16
xy
xyy

⎧
−+ − =
⎪
⎨
≠=> ≠∨ ≠−
⎪
⎩
2
Vậy quỹ tích những điểm M từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến đồ thò (C) là đường tròn tâm I(1,2)
, bán kính R = 4 có phương trình : (x -1)
2
+ (y – 2)
2
= 16 trừ đi 2 điểm : (1,-2) và (1, 6)

Cho hàm số y = x
3
+3x
2
+mx +1 ; có đồ thò là (Cm)
1.

Chứng minh rằng với mọi m thì (Cm) luôn cắt đồ thò (C) : y = x
3
+ 2x
2
+ 7 tại hai điểm phân biệt
A và B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
2.

Xác đònh m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1); D và E . Tìm m để các
tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau
3.

Tìm a để mọi x : f(x) = (x -2)
2
+ 2
≥

x
a
−
3

1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (C) là :
x
3
+ 3x
2
+ mx +1 = x
3
+ 2x
2
+7 <=> f(x) = x
2
+mx – 6 = 0
f(x) = 0 luôn có 2nghiệm phân biệt (Vì
2
24

f
m
Δ
=+>
7 7
0) A,B thỏa
A(x
1
, ) ; B( x
32
11
2xx++
2
, ) ; với x
32
22
2xx++
1
, x
2
là nghiệmsố củaf(x) = 0 có x
1
+ x
2
= -m
Gọi I là tọa độ trung điểm của AB thì :
I
12
33
22 2

12 1 2
12
22
18
()7
22 2
I
I
xx m
x
yy xx
mm
yxx
+−
⎧
==
⎪
⎪
⎨
++
−−
⎪
==+++= ++
⎪
⎩
19m

<=>
3
2

2
(2 ) 18(2 )
(2 ) 19
2
I
II
II
mx
xx
yx
=−
⎧
⎪
⎨
=>y
−− − −
=+−+
⎪
⎩
I
=
32
4 4 18 19
II I
xx x
+
++

Vậy quỹ tích trung điểm I là đường cong : y = 4x
3

+ 4x
2
+18x +9
2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và y = 1 là :
x
3
+ 3x
2
+mx + 1 = 1 <=> x(x
2
+ 3x + m) = 0
<=>
⎡
⎢

2
0
() 3 0(2)
x
gx x x m
=
=++=
⎣
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Để (Cm) cắt y = 1 tại 3 điểm C(0,1) ; D và E khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 <=>
94 0
9
0

0
4
m
m
m
−>
⎧
<=> ≠ <
⎨
≠
⎩

Khi đó gọi x
D
, x
E
là hoành độ của D,E ta có :
3
.
DE
DE
xx
x
xm
+
=−
⎧
⎨
=
⎩

Tiếp tuyến của (Cm) tại D, E vuông góc khi
() ()
'.'
DE
xx
yy 1
=
−

22
22 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1
.[( )2]
DD EE
DE D E DE
xxmxxm
xx mx x xx m
⇔++ ++=−
⇔−+− +=
1
−

<=> 4m
2
– 9m + 1 = 0 <=>
965 9
;0
84
mm

±
=≠
<

Vậy
965
8
m
±
=


3. f(x) = (x – 2)
2
+
2xa−≥3,
đặt g(x) = (x -2)
2
+
23xa
−
−

ta cần chứng minh f(x)
≥
<=> min g(x)
≥
;
3 0
x

∀

* Nếu x – a <=> x
≥ ; khiđó g(x) = (x – 2)
0≥
m
2
+2(x – a) – 3 có:
g’(x) = 2x - 2 ; g’(x) = 0 <=> x = 1


x a 1
+
∞

g’(x) - 0 +
g(x
-2a


x a =>a
≤ 1 => min g(x) = -2a >0 <=> a ≥
≤
0
*Nếu x – a
≤ 0; g(x) = (x – 2)
2
-
2
; g’(x) = 2x – 6

3xa−−
g’(x) =0 <=> x = 3

x
−∞ 3 a
+
∞

g’(x) - 0 +
g(x)
2a – 8


x
≤ a => a ≥ 3 =>min g(x) = 2a – 8 0 => a ≥ 4≥

Vậy
aa

04≤∨≥