CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU TRON KHÔNG GIAN

1
Mặt cầu
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Định nghĩa mặt cầu
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm
O
cố định một khoảng
R
không đổi được gọi là
mặt cầu tâm
O
, bán kính
R
. Ký hiệu:


;
S O R
.
II. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu


;
S O R
và mặt phẳng


P
, gọi
d

là khoảng cách từ
O
tới


P
và
H
là hình
chiếu của
O
lên


P
. Khi, đó ta có các trường hợp sau

d R

:


P
cắt mặt cầu


;
S O R
theo giao tuyến là một đường tròn nằm trong



P
có
tâm là
H
và bán kính
2 2
r R d
 
.

d R

:


P
cắt mặt cầu


;
S O R
tại một điểm duy nhất
H
.

d R

:



P
không cắt mặt cấu


;
S O R
.
III. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu


;
S O R
và đường thẳng

, gọi
d
là khoảng cách từ
O
tới

và
H
là hình chiếu
của
O
lên

. Khi đó:

 Nếu
d R

thì

cắt mặt cấu


;
S O R
tại hai điểm
A
,
B
phân biệt. Đoạn thẳng
AB
nhận
H
là trung điểm và
2 2
2
AB R d
 
.
 Nếu
d R

thì

cắt mặt cấu



;
S O R
tại một điểm duy nhất
H
.
 Nếu
d R

thì

không cắt mặt cấu


;
S O R
.
Định lý. Qua điểm
A
nằm ngoài mặt cấu


;
S O R
có vô số tiếp với mặt cầu. Hơn nữa
 Độ dài các đọan thẳng nối
A
với các tiếp điểm bẳng nhau;
 Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

IV. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Mặt cầu bán kính
R
có thể tích là
2
4
R

. Khối cầu bán kính
R
có thể tích là
3
4
3
R

.
B. Một số ví dụ
2
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
B
, cạnh góc vuông có độ dài bằng
a
. Trên đường
thẳng

vuông góc với mặt phẳng



ABC
tại
A
lấy điểm
S
khác
A
. Mặt phẳng


Q
đi qua
A

và vuông góc với
SC
, cắt
SB
và
SC
lần lượt tại
H
và
K
.
1) Xác định tâm và bán kính mặt cầu


1

S
đi qua
4
điểm
S
,
A
,
H
,
K
. Xác định vị trí tương
đối của mặt cầu này với mặt phẳng


ABC
.
2) Chứng minh rằng khi
S
chuyển động trên đường thẳng

thì
5
điểm
A
,
B
,
C
,

K
,
H
luôn
nằm trên một mặt cầu cố định, còn mặt phẳng


Q
luôn quay quanh một đường thẳng cố định.
Giải.
1) * Ta có
BC AB
BC SA










BC SAB





1

AH BC . Giả thiết




2
AH SB .


1
,


2





AH SBC





3
AH SB .
Cũng từ giả thiết




4
AK SC .


3
,


4





90
AHS AKS 




S
,
A
,
H
,
K
cùng

thuộc mặt cầu tâm
O
(
O
là trung điểm của
SA
), bán
kính
2
SA
R








1
;
S O R
 .
* Ta thấy
OA
chính là khoảng cách từ
O
đến



ABC





1
S
tiếp xúc với


ABC
.
I
R
O
K
H
S
C
A
B

2) *


4



AH HC

. Do đó



90
ABC AHC AKC  




A
,
B
,
C
,
A
,
H
,
K
cùng
thuộc mặt cầu tâm
I
(
I
là trung điểm của
AC

), bán kính
2
2 2
'
a
AC
R   (mặt cầu này cố định).
*


AHK SC









5
AHK SAC . Lại có


ABC SA










6
ABC SAC ,






7
AR AHK ABC  .


5
,


6
,


7






AR SAC



AR
là đường thẳng cố định.
Vậy


Q
luôn quay quanh một đường thẳng
AR
cố định.
Ví dụ 2. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
. Trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng


ABCD
tại
A
lấy điểm
S
khác
A
. Mặt phẳng



Q
đi qua
A
và vuông góc với
SC
lần lượt
cắt
SB
,
SC
,
SD
tại
1
B
,
1
C
,
1
D
.
1) Chứng minh rằng
7
điểm
A
,
B

,
C
,
D
,
1
B
,
1
C
,
1
D
cùng nằm trên một mặt cầu. Tính diện
tích của mặt cầu này và thể tích của khối cầu tương ứng.
3
2) Xác định vị trí của
S
trên

sao cho thể tích khối đa diện
1
ABCDC
đạt giá trị lớn nhất. Khi
đó hãy xác định thể tích khối đa diện nói trên.
Giải.
1) * Ta có
CD SA
CD AD











CD SDA





1
1
AD CD . Giả thiết




1
2
AD SC . Từ


1
,



2





1
AD SCD



1 1
AD CD
 . Một cách tương
tự ta cũng chứng minh được
1 1
AB CB
 .
Do đó




1 1
90
ABC ADC AB C ADC   




7
điểm
A
,
B
,
C
,
D
,
1
B
,
1
C
,
1
D
cùng nằm trên mặt cầu tâm
O

(
O AC BD
 
), bán kính
2
2
a
R  .

* Diện tích măt cầu
2 2
4 2
S R a
 
  . Thể tích mặt cầu
3
3
2
4
3 3
a
V R


  .
H
O
D
1
C
1
B
1
D
C
B
A
S

2) Hạ
1
C H AC





1
C H ABCD
 .
3
2 2 2
1
2 2
1
1 1 1
3 3 3 3 2 6
. . . .
a a
a a a
ABCDC ABCD
V S C H C H C O    


3
1
2
6
a

ABCDC
V  . Đẳng thức xảy ra


H O




1
C AC
 vuông cân tại
1
C



SAC

vuông
cân tại
A



2
SA AC a
 
. Vậy
1

ABCDC
V đạt giá trị lớn nhất


2
SA a

. Khi đó
3
1
2
6
a
ABCDC
V  .
Ví dụ 3. Cho tam giác vuông cân
ABC
vuông tại
A
, có các cạnh góc vuông bằng
a
. Từ
B
,
C

dựng các đoạn thẳng
BD
,
CE

vuông góc với mặt phẳng


ABC
ở về cùng một phía của mặt
phẳng


ABC
sao cho
BD CE a
 
. Chứng minh
5
điểm
A
,
B
,
C
,
D
,
E
cùng nằm trên một
mặt cầu. Tính diện tích của mặt cầu này và tính thể tích khối cầu tương ứng.
Giải.
4
* Ta có
AB AC

AB CE










AB ACE



AB AE

.
Từ



90
BAE BCE BDE  




A
,

B
,
C
,
D
,
E
cùng
nằm trên mặt cầu đường kính
BE
. Mặt cầu này có bán
kính
2 2 2 2 2
3
2 2 2 2
BC CE AB AC CE a
BE
R
  
    .
* Diện tích măt cầu
2 2
4 3
S R a
 
  . Thể tích mặt cầu
3
3
3
4

3 2
a
V R


  .
O
a
a
a
E
D
C
B
A
a

Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có các cạnh đáy bằng
a
, tất cả các mặt bên đều tạo
với đáy góc

. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu
và thể tích của khối cầu tương ứng.
Chú ý. (Cách xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp-mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình
chóp)
Hình chóp

1 2
.
n
S A A A
có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi
1 2

n
A A A
là đa giác nội tiếp một
đường tròn. Khi đó để xác định mặt cầu ngoại tiếp


;
S O R
của hình chóp, ta làm như sau:

xác định tâm đường tròn ngoại tiếp
I
của
đáy;
 dựng đường thẳng

vuông góc với đáy
tại
I
;
 dựng mặt phẳng trung trực



P
của đoạn
thẳng
1
SA
(có thể thay
1
SA
bằng
2
SA
, …,
n
SA
);
O
P
S
Δ
I
A
n
A
2
A
1

 ta có



O P
 
,
1 2
n
R OA OA OA
   

.
Trường hợp hay gặp.
1
SA
và

đồng phẳng. Ta làm như sau:
 trong mặt phẳng


1
,
SA

dựng đường trung trực
d
của
1
SA
;
 ta có
O d

  
,
1 2
n
R OA OA OA
   

.
5
A
n
Δ
O
S
I
A
2
A
1

(


1 1

n n
SA A A A
 )
I
O

S
Δ
A
n
A
2
A
1

(
1
SA
cắt

)
C. Bài tập
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có các cạnh đáy bằng
a
, tất cả các cạnh bên đều tạo
với đáy góc

. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu
và thể tích của khối cầu tương ứng.
Bài 2. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy

ABC
là tam giác cân có
AB AC a
 
,

120
BAC 

, cạnh
bên
2
SA a

vuông góc với đáy. Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 3. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật có
AB a

,
3
BC a
 . Cạnh bên
5
SA a
 , vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 4. Cho hình chóp
.

S ABCD
có đáy là nửa lục giác đều,
AB BC CD a
  
,
2
AD a

.
Cạnh bên
2 3
SA a
 vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
Bài 5. Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
, Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng


ABCD
tại
H
lấy điểm

S
sao cho
3
2
a
SH  . Xác định tâm và bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
Bài 6. Cho tứ diện
SABC
có
SA
,
SB
,
SC
đôi một vuông góc,
2
SA a

,
2
SB a

,
3
SC a
 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.