Phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




NGUYỄN THỊ HIỂN



PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN
QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng



HÀ NỘI, 2014

2

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Tạ Duy Phượng. Sự hướng dẫn giúp đỡ rất
tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã
giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo
dạy Cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu, các thầy cô
đồng nghiệp Trường trung học phổ thông Liên Bảo cùng gia đình, người thân,
bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành
khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày….tháng 02 năm2014
Học viên

Nguyễn Thị Hiển
3


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Tạ Duy Phượng.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và
biết ơn. Tôi xin cam đoan những thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày…tháng 02 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Hiển






4


Mục lục
Lời nói đầu…………………………………………………………… 6
Chương 1. Bài toán quy hoạch toàn phương………………………… 8
1.1. Bài toán tối ưu…………………………………………………… 8
1.2. Một số khái niệm cơ bản………………………………………… 9
1.3. Định lí tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương………. 10
1.4. Các điều kiện cực trị 16
Chương 2. Một số phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương
…………………………………………………………………………… 21
2.1. Phương pháp hạn chế tích cực……………………………………… 21
2.2. Phương pháp hạn chế giả định…………………………………… 29
2.3. Phương pháp Gradient đối ngẫu……………………………………. 33
2.4. Phương pháp điểm trong……………………………………………. 38
Kết luận………………………………………………………………… 50
Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 51

5


BẢNG KÝ HIỆU

Tập số tự nhiên.
*

Tập số tự nhiên khác không.

Tập số thực.


Tập số thực dương.

Tập số phức.
K
Tập số thực hoặc phức
n

Không gian Euclide n – chiều.
 
;
a b
C
Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a;b].
Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a;b].


,

L X Y
Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y.







 
2
;
a b
L
6


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các phương pháp tối ưu đã được áp dụng sâu rộng
và hiệu quả vào cách ngành kinh tế kỹ thuật, công nghệ thông tin và các
ngành khoa học khác. Nhờ các công cụ tính toán ngày càng hoàn thiện mà các
công trình nghiên cứu lý thuyết và thực hành của Tối ưu hóa ngày càng mở
rộng và phát triển.
Ngày nay, đối với các kỹ sư và các nhà nghiên cứu khoa học, kỹ thuật, kinh
tế, công nghệ thông tin, sự hiểu biết về các phương pháp tối ưu cũng cần thiết
như các kiến thức cơ sở của Giải tích, Vật lý, Hóa học,…
Bài toán quy hoạch toàn phương đã được nhiều người nghiên cứu, nhưng cho
đến nay nó vẫn là bài toán mang tính thời sự. Với mong muốn tìm hiểu sâu
hơn và nghiên cứu về phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương

nên tôi đã chọn đề tài:
“Phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương”
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một số phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn
phương, ứng dụng vào giải một số bài toán cụ thể.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp số. Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của
từng phương pháp. Nêu các ứng dụng của các phương pháp vào giải một số
7

bài toán cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp hạn chế tích cực.
Phương pháp hạn chế giả định.
Phương pháp Gradien đối ngẫu.
Phương pháp điểm trong.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ của Đại số tuyến tính, Giải tích, Giải tích
hàm, Lý thuyết tối ưu, Giải tích số và lập trình cho máy tính để tiếp cận và
giải quyết vấn đề.
Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn
đề mà luận văn đề cập tới.
Suy luận logic, phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về tối ưu.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp số giải bài toán
quy hoạch toàn phương. Nêu nên các ứng dụng của phương pháp điểm trong
vào giải một số bài toán quy hoạch toàn phương.

8

Chương 1
Bài toán quy hoạch toàn phương
1.1 Bài toán tối ưu
Tối ưu hóa là một lĩnh vực toán học nghiên cứu lí thuyết và các thuật toán giải
bài toán cực trị.
Nhiều vấn đề thực tế khác nhau dẫn tới việc giải bài toán cực trị sau:
Tìm cự tiểu của phiếm hàm


min
f x  (1)
với các điều kiện:





   
 
1
2
0, 1,2, , 2
0, 1,2, , 3

4
i
j
n

g x i m
h x j m
x X
 

 


 



trong đó



1 2
, , : 1,2, , ; 1,2, ,
n
i j
f g h i m j m
  
 

Bài toán (1) - (4) được gọi là bài toán quy hoạch toán học. Hàm
( )
f x
được
gọi là hàm mục tiêu, còn các hàm
,

i j
g h
gọi là các hàm ràng buộc (các hạn
chế). Tập hợp các vectơ
n
x X
 

thỏa mãn các ràng buộc (2), (3) gọi là
tập phương án hay miền chấp nhận được (miền ràng buộc) bài toán trên.
Phương án
*
x
thỏa mãn




*
f x f x

với mọi phương án chấp nhận
x
gọi
là phương án tối ưu hay lời giải của bài toán,


*
f x
được gọi là giá trị tối

ưu.
Nếu hàm mục tiêu f(x) và các hàm ràng buộc




,
i j
g x h x
đều là các hàm
tuyến tính và
n
X



, ta có bài toán quy hoạch tuyến tính, ngược lại là các
9

bài toán quy hoạch phi tuyến. Nếu X là tập hợp rời rạc ta có bài toán quy
hoạch rời rạc.
Trong các bài toán quy hoạch phi tuyến thì bài toán quy hoạch toàn phương
đã được nghiên cứu đầy đủ nhất. Luận văn của tôi tập trung nghiên cứu: Bài
toán quy hoạch toàn phương là bài toán với hàm mục tiêu là một dạng toàn
phương
     
1
, , ,
2
f x x Ax c x


  
trong đó A là ma trận xác định dương,

là hằng số, còn các hàm ràng buộc






1 2
, , 1, , 1,
i j
g x h x i m j m
  đều là
các hàm tuyến tính. Đối với quy hoạch toàn phương đã có những thuật toán
rất nổi tiếng của Beale, Frank-Wolfe,….
Bài toán quy hoạch toàn phương được xét ở đây là trường hợp đặc biệt của
bài toán quy hoạch lồi.
Bài toán quy hoạch lồi là bài toán:



min
f x 
với các điều kiện:




0, 1, , ,
i
n
g x i m
x X
 

 



trong đó các hàm






, , 1,
i
f x g x i m
 đều là các hàm lồi và tập X là tập lồi.
Bài toán quy hoạch lồi cũng đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và đề ra
các thuật toán hữu hiệu. Tuy nhiên đến nay vẫn còn rất nhiều vấn đề cần được
nghiên cứu tiếp.
1.2 Một số khái niệm cơ bản
1.2.1 Hàm toàn phương
Hàm :
n
f 

 
gọi là hàm toàn phương nếu có dạng
10

     
1 1 1
1 1
, ,
2 2
1
,
2
T T
n n n
ij i j i i
i j i
f x x Dx c x x Dx c x
d x x c x
 

  
     
  
 

trong đó D là một ma trận cấp n×n, c là một vectơ n chiều, α là một số.
Nhận xét Vì
 
1
,

2
T T T n
x Dx x D D x x   


nên ta có thể giả thiết ma trận D là ma trận đối xứng


T
D D

.
1.2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương
Xét bài toán quy hoạch toàn phương:
(P)




min : ,
f x x


trong đó f là hàm toàn phương và tập hạn chế


: ,
n
x x Ax b
   



là tập đa diện (polyhedral set).
Nếu f lồi thì (P) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương lồi.
Định nghĩa
Ma trận D được gọi là xác định dương nếu
0, 0.
T
v Dv v
  

Ma trận D được gọi là xác định không âm (nửa xác đinh dương) nếu
0.
T
v Dv


Nhận xét Nếu D là ma trận đối xứng, nửa xác định dương thì f là hàm lồi.
1.3 Định lí tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương
Xét bài toán (P):
11


 
1
Minimize : ,
2
s.t. , ,
T T
n

f x x Dx c x
x Ax b
 
 

(P)
trong đó D là ma trận đối xứng (không nhất thiết là xác định dương).
Kí hiệu:



 
 
: ,
inf : .
n
x Ax b
f x x

   
 


Qui ước: Nếu
  
thì đặt
.

 

Nếu
  
thì có hai trường hợp xảy ra:




là một số thực


.

 



 
thì bài toán (P) không có nghiệm.
Câu hỏi 1 Khi

 
thì tồn tại hay không một điểm
x

để hàm số đạt
giá trị cực tiểu, tức là tồn tại hay không một điểm
x

sao cho







min ?
x
f x f x



Nhận xét Nếu


f x
không phải là hàm toàn phương và

không phải là tập
compact thì điểm tối ưu
x

có thể không tồn tại.
Ví dụ:
 
1
, , 1.
f x x x
x

  


Ta thấy




inf : 1 0
f x x
 
nhưng không tồn tại
x
để


0
f x

.
Định lí 1.1 (Frank-Wolfe, 1956) Nếu




inf :f x x

 
là hữu hạn thì bài
toán (P) có nghiệm, tức là tồn tại
x


để


.
f x



Chứng minh Xem, thí dụ, [1], trang 30-35.
Ý nghĩa Nếu


f x
bị chặn dưới trên tập

thì bài toán (P) có nghiệm.
Nhận xét Nếu

không là tập đa diện lồi thì định lý trên có thể không đúng.
12

Ví dụ




2
1 1 2
, , .
f x x x x x   



Với




2
1 2 1 2 1 2
, : 1, 0, 0
x x x x x x x
      

ta có:




inf : 0
f x x

  

nhưng không tồn tại


1 2
,
x x x
 sao cho



0
f x

.
Nhận xét Nếu


f x
không phải là hàm toàn phương,

là tập đa diện lồi thì
định lý trên có thể không đúng.
Ví dụ






2
2 2
1 1 2 1 2
1 0, , .
T
f x x x x x x x     


Đặt





2
1 2 1 2
, : 0, 0 .
x x x x x     


Chọn
1
,1
k
x k
k
 
 
 
 
thì
 
 
2
2 2
1 1 2
1 1 0,
k
k
f x k

k k k

 
     
 
 

do đó




inf : 0.
f x x

  
Nhưng
 
2
1
1 2
0
0
1 0
x
f x
x x


 


 

vô nghiệm.
Câu hỏi 2 Khi nào


f x
bị chặn dưới trên trên tập
?


Định lí 1.2 (Eaves, 1971) Bài toán (P) có nghiệm khi và chỉ khi ba điều kiện
sau được thỏa mãn:
1.
  

2. Nếu
, 0
n
v Av
 

thì
0
T
v Dv

.
3. Nếu

n
v


,
n
x


sao cho
0, 0,
T
Av v Dv Ax b
  
, thì


0
T
Dx c
 
.
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử bài toán (P) có nghiệm
x
thì
x

nên
.

  

Giả sử
n
v


và
0.
Av


13

Do


, 0
A x tv Ax tAv b t
     
nên
, 0.
x tv t
   

Vì
x
là nghiệm nên





, .
f x f x x
  
Suy ra




, 0.
f x tv f x t
   

Do đó
     
1 1
, 0
2 2
T
T T T
x tv D x tv c x tv x Dx c x t
       
.
Vậy
 
2
1
0, 0
2

T
T
t v Dv t Dx c v t
    
, hay
0
T
v Dv

.
Chứng tỏ điều kiện 2 được thỏa mãn.
Từ trên ta thấy, nếu
x
là nghiệm của bài toán (P) thì điều kiện 2 được thỏa
mãn, tức là
0
T
v Dv

với mọi
n
v


mà
0.
Av

Bây giờ giả sử
0

T
v Dv

với
mọi
,
n n
v x 
 
mà
0, .
Av Ax b
 

Khi ấy vì
x

nên
, 0,
x tv t
   
suy ra




, 0,
f x tv f x t
   

hay
       
1
, 0,
2
T
T
x tv D x tv c x tv f x t
      

tức là
 
2
1 1
, 0.
2 2
T T T T T
x Dx t v Dv tx Dv c x tc v f x t
      

Do
0
T
v Dv

nên biểu thức trên trở thành
   
1
, 0.
2

T
T T
x Dx c x t Dx c v f x t
     

Vậy


0.
T
Dx c v
 
Chứng tỏ điều kiện 3 được thỏa mãn.
Điều kiện đủ Xem [1], trang 36 - 40.
Hệ quả 1.1 Giả sử
D
là ma trận đối xứng nửa xác định dương. Khi đó (P) có
nghiệm khi và chỉ khi
  
và nếu
14

, , 0, 0,
n n T
v x Av v Dv Ax b
    
 
, thì



0
T
Dx c v
 
.
Chứng minh
Hiển nhiên, điều kiện 1 và điều kiện 3 của Định lí Eaves được thỏa mãn.
Vì
D
là ma trận đối xứng nửa xác định dương nên
0, ,
T n
x Dx x  

hay
0, .
T n
v Dv v  

Do đó điều kiện 2 của Định lí Eaves (Định lí 1.2) được
thỏa mãn.
Hệ quả 1.2 Giả sử
D
là ma trận đối xứng nửa xác định âm. Khi đó (P) có
nghiệm khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i)
  
.
(ii) Nếu
, 0

n
v Av
 

, thì
0
T
v Dv

.
(iii) Nếu
, 0, ,
n n
v Av x Ax b
   
 
thì


0.
T
Dx c v
 

Chứng minh Do
D
là ma trận nửa xác định âm nên
0, ,
T n
x Dx x  


hay
0, .
T n
v Dv v  


Theo điều kiện 2 của Định lí Eaves (Định lí 1.2) thì từ
, 0
n
v Av
 

, suy ra
0.
T
v Dv

Chứng tỏ
0.
T
v Dv


Mặt khác, từ điều kiện
0
Av

suy ra
0.

T
v Dv

Do đó kết luận cuối cùng của
Hệ quả 1.2 được suy ra từ kết luận 3 của Định lí 1.2.
Hệ quả 1.3 Giả sử
D
là ma trận đối xứng xác định dương. Khi ấy (P) có
nghiệm khi và chỉ khi
.
  

Chứng minh Do
D
là ma trận xác định dương nên từ
0
T
v Dv

suy ra
0,
v


chứng tỏ


0.
T
Dx c v

 
Kết hợp với Hệ quả 1.1 ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.4 Giả sử D là ma trận đối xứng xác định âm. Khi ấy (P) có nghiệm
khi và chỉ khi

khác rỗng và compact.
15

Chứng minh Do D là ma trận đối xứng nửa xác định âm nên điều kiện (ii),
(iii) của Hệ quả 1.2 được thỏa mãn khi và chỉ khi tập


: : 0
n
L v Av
  


chứa một phần tử
0
v

. Vì
L
là nón lùi xa của tập đa diện lồi


:
n
x Ax b

   

nên điều kiện


0
L 
tương đương với tính compact
của
.

Do đó ta khẳng định được Hệ quả 1.4 từ Hệ quả 1.2.
Hệ quả 1.5 Giả sử
D
là ma trận đối xứng. Khi ấy bài toán

1
min : , , 0
2
T T n
x Dx c x x Ax b x
 
   
 
 

(P1)
có nghiệm khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn:
1.



: , 0 .
n
x Ax b x
      


2. Nếu
, 0
n
v Av
 

, thì
0.
T
v Dv


3. Nếu
, , 0, 0, 0, , 0
n n T
v x Av v v Dv Ax b x
      
 
thì


0.
T

Dx c v
 

Chứng minh Đặt ,
0
A b
A b
E
   
 
   
   
thì (P1) trở thành
1
min : ,
2
T T n
x Dx c x x Ax b
 
  
 
 
 .
Áp dụng Định lí 1.2 suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.6 Giả sử D là ma trận đối xứng. Khi ấy bài toán

1
min : , ,
2
T T n

x Dx c x x Ax b Cx d
 
   
 
 

(P2)
có nghiệm khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn:
1.


: , ;
n
x Ax b Cx d
      


2. Nếu
, 0, 0
n
v Av Cv
  

thì
0;
T
v Dv


16

3. Nếu
,
n n
v x 
 
sao cho
0, 0, 0,
T
Av Cv v Dv Ax b
   
và
Cx d

thì


0.
T
Dx c v
 

Chứng minh Đặt

, .
A b
A C b d
C d
   
   

 
   
   
 
   


Khi đó bài toán (P2) có thể viết lại thành


1
min : , .
2
T T n
x Dx c x x Ax b
 
  
 
 



Áp dụng Định lí 1.2 suy ra điều phải chứng minh.
1.3 Các điều kiện cực trị
1.3.1 Điều kiện cực trị cấp 1
Định lí 1.3 Giả sử
x
là nghiệm của bài toán sau đây:

 

1
min : ,
2
T T
f x x Dx c x x
 
  
 
 
, (1.1)
trong đó
D
là ma trận đối xứng,
n
 

là đa diện lồi.
i) Nếu
x
là nghiệm của bài toán (1.1) thì


, 0, .
Dx c x x x
    
(1.2)
ii) Nếu





, 0, \
Dx c x x x x
     , (1.3)
thì
x
là nghiệm địa phương của (1.1), hơn nữa tồn tại
0


và
0


sao cho






, , .
f x f x x x x B x
 
     

Chứng minh
i) Nếu
x
là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại

0


sao cho







, , .
f x f x x B x

   
17

Lấy


\ .
x x
 Khi ấy do

là tập đa diện lồi nên tồn tại
0


sao cho







, , 0, .
x t x x B x t
 
     
Suy ra






0.
f x t x x f x
   

Bởi vậy






 
 
0

0 lim = ,
= , = , .
t
f x t x x f x
f x x x
t
f x x x Dx c x x

  

 
   

Vậy (1.2) được chứng minh.
ii) Xem [1] trang 46 - 47.
Định lí 1.4 (Cottle, 1992) Nếu
x
là nghiệm địa phương của (P) thì tồn tại


1
, ,
T
m
n
  
 

sao cho:
 

0
0, 0
0
T
T
Dx A c
Ax b
Ax b




  

  


 

(1.5)
Chứng minh Kí hiệu
i
A
là dòng thứ i của A, và tập
,
T
i i
a A

i

b
là thành phần
thứ i của vectơ b. Kí hiệu tập


:
n
x Ax b
   

.
Giả sử
x
là một nghiệm địa phương của (P). Theo Định lí 1.3 (i), ta có tính
chất (1.2).
Kí hiệu tập






0
1, , , : ,
i i
I m I i I a x b
   
và





1
: ,
i i
I i I a x b
  
.
Giả sử
n
v


thỏa mãn


0
, 0, .
i
a v i I
  

Tương tự như chứng minh Định lí 1.3 (ii), tồn tại
1
0


sao cho




, ,
i i
a x tv b i I
   
và


1
0, .
t


18

Thay
,
x x tv
 
trong đó


1
0, ,
t

 vào (1.2) ta được


, 0.

Dx c v
 
Khi đó
ta có


, 0
Dx c v
  
với mỗi
n
v


thỏa mãn


0
, 0,
i
a v i I
   
.
Theo Định lí 1.3 tồn các số thực không âm


0
i
i I



sao cho


0
. (*)
i i
i I
a Dx c


   

.
Đặt
1
0,
i
i I

  
và


1
, , .
m
  

Do ,

T
i i
a A i I
  
với, từ (*) ta thu được phương trình đầu tiên trong (1.5).
Do
x

và


0
i i i
A x b

 
với mỗi
i I

, những điều kiện khác trong (1.5)
cũng được thỏa mãn. Định lí được chứng minh.
Hệ quả 1.7 (Murty, 1972) Nếu
n
x


là nghiệm địa phương của bài toán
1
min : , , 0
2

T T n
x Dx c x x Ax b x
 
   
 
 


thì tồn tại
n



sao cho
 
 
0
0, 0, 0
0.
T
T T
Dx A c
Ax b x
x Dx A c Ax b


 

  



   


    


(1.6)
Hệ quả 1.8 Nếu
n
x


là nghiệm địa phương của bài toán (P2)
1
min : , ,
2
T T n
x Dx c x x Ax b Cx d
 
   
 
 

thì tồn tại
n



và

n



sao cho
 
0
0, 0, 0
0
T T
T
Dx A C c
Ax b x
Ax b
 



   

   


 


19

1.3.2 Điều kiện cực trị cấp hai
Định lí 1.5 (Majthay 1971, Contese 1980 ) Điều kiện cần và đủ để

n
x


là
nghiệm địa phương của bài toán (P2) là tồn tại một cặp vectơ




1 1
, , , , , ,
m s
m s
     
  
 
sao cho
i) Hệ
 
0
0, , 0 (1.8)
0
T T
T
Dx A C c
Ax b Cx d
Ax b
 




   

   


 


được thỏa mãn, và
ii) Nếu


\ 0
n
v

sao cho
1 2
0, 0, 0
I I
A v A v Cv
  
, trong đó




1 2

: , 0 , : , 0
i i i i i i
I i Ax b I i Ax b
 
     

thì
0.
T
v Dv


Chứng minh Xem [1] trang 50, 52-58.
Định lí 1.6 (Cottle, 1992) Điểm
n
x


là nghiệm địa phương của bài toán
(P2) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
i)






, 0, ,
f x v Dx c v T x


     
trong đó






0
0
: 0, 0 , :
n
I i i
T x v A v Cv I i Ax b

     


ii)
0
T
v Dv

với mọi
   


,
v T x f x



 
trong đó








: , 0 .
n
f x v f x v

    

Chứng minh Xem [1], trang 52.
Định lí 1.7 (Mangasarian 1980, Contesse 1980) Điểm
n
x


là nghiệm địa
20

phương của bài toán (P2) khi và chỉ khi tồn tại


,

m s
 
 
 
sao cho
(i) Hệ (1.8) được thỏa mãn.
(ii) Nếu


\ 0
n
v

sao cho
1 2
0, 0, 0,
I I
A v A v Cv
  
trong đó


 
1
2
: , 0
: , 0
i i i
i i i
I i A x b

I i A x b


  
  

thì
0.
T
v Dv


Chứng minh Xem [1], trang 58 - 60.
Định lí 1.8 Điểm
n
x


là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán (P2)
khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
i)








, 0,

f x v Dx c v T x

      ,
trong đó






0
0
: 0, 0 , :
n
I i i
T x v A Cv I i Ax b

     


ii)
   


0, ,
T
v Dv v T x f x


   

trong đó








: , 0 .
n
f x v f x v

    
Chứng minh Xem [1], trang 60 - 61.
Định lí 1.9 Nếu
n
x


là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán (P2) thì
tồn tại
0, 0
 
 
sao cho







2
, ,
f x f x x x x B x
 
    

, trong
đó


: ,
n
x Ax b Cx d
    


Chứng minh Xem [1], trang 61 - 62.

21

Chương 2
Một số phương pháp số giải bài toán quy
hoạch toàn phương
Trong chương này chúng tôi trình bày bốn phương pháp số giải bài toán qui
hoạch toàn phương: Phương pháp hạn chế tích cực, Phương pháp hạn chế
không tích cực, Phương pháp Gradient đối ngẫu theo tài liệu [2], Phương
pháp điểm trong theo tài liệu [4].
2.1 Phương pháp hạn chế tích cực

2.1.1 Bài toán quy hoạch toàn phương
Xét bài toán quy hoạch toàn phương (PQ)
1
min ( ) ,
2
, ,
, ,
T T
T
i i
T
i i
f x x Dx c x
a x b i I
a x b i E

 



 


 



(PQ)
trong đó
D

là ma trận đối xứng nửa xác định dương;
,
I E
là tập các chỉ số tự
nhiên;
, , , , .
n n
i i
a b i I E x c    
  

Để thuận tiện trong sử dụng, dưới đây chúng nhắc lại các tiêu chuẩn tối ưu đã
nêu trong chương 1 áp dụng cho bài toán (PQ).
Điều kiện cực trị Giả sử
*
x
là điểm chấp nhận được (thỏa mãn hạn chế) của
bài toán (PQ). Khi ấy
*
x
là nghiệm của bài toán (PQ) khi và chỉ khi tồn tại
*
i


với
i I E
 
sao cho
22

* *
* *
*
0,
( ) 0, ,
0, .
i i
i I E
T
i i i
i
Dx c a
b a x i I
i I





  


  


 






2.1.2 Tối ưu hàm toàn phương trên đa tạp affine. Phương pháp phân rã
vuông góc
Xét bài toán
1
min ( ) ,
2
,
T T
f x x Dx c x
Ax b

 





(EP)
trong đó
, , , , , .
n m n n m
D A m n x c b
 
    
   

Định nghĩa Tập M được gọi là đa tạp affine nếu với mọi
1 2

,
x x M

thì
1 2
x x M
 
 
với mọi
,
 


.
Ta có điều kiện cực trị sau cho bài toán (EP):
n
x


là nghiệm của bài toán (EP) khi và chỉ khi tồn tại
m



sao cho
0,
T
Dx c A

  

(2.1)
Ax b

(2.2)
Theo phân rã Cholesky (xem, [3], trang 191), ta có thể phân tích ma trận
A

như sau:
1 2 1
[ , ] ,
0 0
T
R R
A Q Q Q Q R
   
  
   
   

với
Q
là ma trận vuông cấp
n
trực giao,
R
là ma trận tam giác trên khả
nghịch,
1
Q
là ma trận cấp

,
n m


2
Q
là ma trận cấp
( ).
n n m
 

Vì
Q
là ma trận trực giao nên ta có:
23

1 1 2 2 1 2
, , , 0.
T T T T
n m m n
Q Q I Q Q I Q Q I Q Q

   

Suy ra
2 1 2 1 2
( ) 0.
T T T
AQ Q R Q R Q Q
  

Chứng tỏ các vectơ cột của
2
Q
tạo thành cơ sở của không gian nhân của
,
A



( ): : 0
n
N A x Ax
  


có số chiều là
.
n m


Giả sử
0 0 1
1
, ( )
n T
x x Q R b

 


thì
0 1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) .
T T T T T
Ax Q R Q R b R Q Q R b b
 
  

Giả xử
x
là điểm chấp nhận được của bài toán (EP), tức là
.
Ax b

Khi ấy
0
( ) 0,
A x x
 
do đó
0
( ).
x x N A
 
Bài toán (EP) được đưa về bài toán tối ưu toàn phương không hạn chế:
min ( ),
,
n m
f z

z









(P)
trong đó
0
2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 2 2
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
2
1 1
( ) ( ) .
2 2
T T
T T T T
f z f x f Q z x
x Q z D x Q z c x Q z
z Q DQ z Dx c Q z Gx c x

  
    
    


Theo điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu không có hạn chế ta có:
z
là
nghiệm của bài toán (P) khi và chỉ khi
z
là nghiệm của hệ tuyến tính
0
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0.
T T
f z Q DQ z Q Dx c
    


Do đó
0
2 2 2
( ) ( ).
T T
Q DQ z Q Dx c
  
(2.3)
24

Trong công thức trên

2 2
T
Q DQ
là ma trận Hessian thu gọn và
0
Dx c

là
gradient thu gọn.
Vì vậy nếu
x
là nghiệm của bài toán (EP) thì
0
2
.
x x Q z
 

Ta đi tính

như sau:
Từ
0
T
Dx c A

  
suy ra
1
.

Q R Dx c

 
Do đó
1
1
( )
R Q Dx c


 
hay
1
( ),
T
R Q Dx c

 
trong đó R là ma trận tam giác trên khả nghịch.
Giải hệ phương trình này từ dưới lên trên ta tìm được
.


Nhận xét Nếu ma trận
2 2
T
D Q DQ


là xác định dương thì

x
là nghiệm duy
nhất của (EP),
z
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình (2.3).
2.1.3 Mô tả phương pháp hạn chế tích cực
Nội dung của phương pháp hạn chế tích cực là tại mỗi bước ta sử dụng tất cả
các hạn chế tích cực. Phương pháp được mô tả như sau.
Giả sử tại bước thứ k ta đã biết
,
k
x
thì ta có thể tính được
, ;
.
T k k
i i
T k k
i i
a x b i A
a x b i A
 
 

Ở đây
k
A
là tập các hạn chế tích cực,



: .
k T k
i i
A E i I a x b
  

Cùng với bài toán (EP)
1
min ( ) ,
2
, ;
,
T T
T
i
T
i
f x x Dx c x
a x b i I
a x b i E

 



 


 




(EP)
ta xét bài toán
k
(EP )

25

1
min ,
2
0, ,
T T k
T k
i
s Ds s c
a s i A





  


k
(EP )

trong đó

( ).
k k k
c Dx c f x
    (2.4)
Theo điều kiện cần và đủ cực trị, điểm
k
s
thỏa mãn điều kiện tối ưu khi và
chỉ khi tồn tại các
k
i

không đồng nhất bằng 0 sao cho
0
0,
k
k k k
i i
i A
T k k
i
Ds c a
a s i A



  




 


(2.5)
trong đó ,
k k
i
i A


là các nhân tử Lagrange ứng với
.
k
s

Từ (2.4) và (2.5) ta suy ra:
( ) 0.
k
k k k
i i
i A
D x s c a


   


Nhận thấy nếu
k

s
là nghiệm tối ưu của bài toán
k
(EP )
khi và chỉ khi
k k
x x s

 
là nghiệm tối ưu của bài toán
k
(PQ )

1
min
2
,
T T
T k
i i
x Dx x c
a x b i A





 


k
(PQ )

 Nếu
k
s
thỏa mãn tất cả các hạn chế với mọi
k
i A

, tức là
0
T k
i
a s

với
mọi
.
k
i A
 Do đó
x

là chấp nhận được với mọi
.
i I E
 
Khi ấy đặt
1

.
k k k
x x x s


  

 Nếu tồn tại
k
i A

để
0
T k
i
a s

thì ta phải đi theo hướng
k
s
để tìm
điểm chấp nhận được. Đặt